Решение нелинейных задач теплопроводности методом экспоненциальной аппроксимации законов изменения термических параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО _ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 162 ' 1967

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЗАКОНОВ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕРМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

А. В. ФУРМАН, Г. Ф. ШИЛИН

(Представлена проф. Г. И. Фуксом)

В работе [1J изложен приближенный способ расчета нестационарного температурного поля в твердых телах, когда коэффициент теплопроводности X и теплоемкость с связаны с температурой линейными зависимостями, а р= const. В настоящей статье метод обобщается на случай более общих связей X и с с температурой при р = р(Т).

Задача нахождения нестационарного поля температур в теле в случае, когда теплофизические параметры зависят от температуры, сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения теплопроводности:

R (Т) С (Т) = a0div [L (Т) grad Т], (1)

от

с соответствующими краевыми условиями,

Функции температуры /?, С и L в (1) предполагаются известными" Обращая функцию L (Т), чтобы получить Т (¿), и принимая затем L за независимую переменную, представим уравнение (1) в следующем виде:

dT

dL di

L (Т)— grad L dL

(2)

В уравнении (2) полагаем

L (Т)— = — = const, dL M

/?(T)C(T)^=i = const, dL N

что соответствует замене истинных связей 1(Т) и С(Т) экспоненциальными функциями вида:

£(Т)^Лехр[МТ], (3)

Таким образом, аппроксимация уравнений состояния L=L (Т) и С — С(Т) в заданном интервале изменения температуры Т или, если

107

(4)

этот интервал достаточно велик, то на его отдельных участках, экспоненциальными графиками (3) и (4) соответственно позволяет приближенно линеаризовать уравнение (1):

М dL

— . — = a^L ,, N дх

При этом краевые условия к уравнению (1)

Тт=-.0 — Тнач, >

Тпов. = /(*)

ИЛИ

-MMT)(gradT)]„oB. для новой переменной L запишутся следующим образом:

L-z =0 == Ьнач.)

¿пов. =

м

I,

или

(grad L)

пов.

(5)

(6) (7)

(В) (9)

Решение нолученной линейной системы (5), (8), (9) — задача менее сложная, чем исходной нелинейной (1), (6), (7). Для многих конкретных случаев эти решения известны [2].

Линейная система может быть получена и для граничного условия третьего рода, если безразмерная теплопроводность линейно зависит от температуры

I (Т) = 1 + тТ.

При любом ином виде функции £(Т) граничное условие останется нелинейным. Однако, если обнаружена линейная зависимость от температуры для безразмерных или плотности, или же теплоемкости

Я(Т) = 1 + еТ, С(Т) +/гТ,

то, используя или же С в качестве переменной, можно привести систему к линейной.

Так, через переменную Я уравнение (1) перепишется:

Я(Т)С(Т)

Полагая

dT dR dR * dt

dT

a0 div

L (T) Q grad R dR

L( T)

1

dR M'

dR

const. ~ E

const,

(10)

(П)

получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Условия (10) и (И) соответствуют аппроксимации действительных уравнений состояния Ь (Т) и Я(Т) экспоненциальными графиками следующего вида:

¿(Т)^Л'ехр[ж' [ОЖ .¿Т

к I 3 йЩйТ

R (Т) ^ Dexp \E¡C(T)dT].

Нелинейное граничное условие третьего рода к уравнению (1) - Ч [1 (Т) (ёга<1 Т)]пов. = « (Т„ов. - Тс)

для новой переменной Я запишется линейно

(&гас! Я),

1- тс

е

Аналогичным путем линеаризуется система, если в качестве переменной использована С. Для этого необходимы аппроксимации вида

1(Т)^Л"ехр

J ас/ат

С (Т) ж В' ехр [ЛГ | /? (Т) ОТ].

В качестве примера рассматривался ковективный нагрев пластины (Тнач. = 273° К, Тс = 833° К), выполненной из аустенитной стали типа ЭЯ1Т. Зависимости безразмерных термических параметров от температуры приняты по данным [3]:

£(Т)= 1 + 0,1271 • 10~2 Т,

С(Т)= 1 + 0,6978- 10~3'Т — 0,2108* 10~~6- Т2,

7? (Т) = 1 — 0,0056-10"2-Т.

Результаты расчетов, проведенных на ЭВМ, представлены в табл. 1

а/

для двух значений комплекса = — :0,5 и 5,0. Там же приводятся

Хо

Таблица 1

Сравнение данных аналитического расчета конвективного нагрева пластины из аустенитной стали с численными, полученными на электронно-вычислительной машине

0,5 - 1 В1—5,0

поверхность средняя плоскость поверхность средняя плоскость

данные ! ЭВМ 1 аналитич. расчет * <Г данные ЭВМ аналитич. расчет <Г /7> данные ЭВМ аналитич. расчет -.о <3 данные ЭВМ аналитич. расчет. <Г

1,0 417 414 0,7 428 436 1,9 0,25 682 680 0,3 415 426 2,7

2,0 589 599 1,7 552 564 2,2 0,50 735 741 0,8 577 589 2,0

3,0 661 674 2,0 636 650 2.2 1,00 795 800 0,6 737 745 1,1

4,0 711 725 2,0 694 709 2,2 1,50 819 821 0,3 797 801 0,5

5,0 746 760 1,9 735 749 1,9 2,00 828 829 0,1 820 822 0,2

6,0 772 783 1,4 763 776 1,7 2,50 83! 831 0,0 828 829 0,1

результаты, полученные приближенно методом аппроксимации истинных графиков состояния ¿(Т) и С(Т) в интервале изменения Тот 273 до 833° К экспоненциальными функциями вида;

ЦТ) « А ехр \МТ] = 1,11190 ехр [0,74991 • 10~3-Т],

J ацат

С(Т)жЯехр

1,00510ехр [0,10882Х

X Ю-2 (0,54901 Т — 0,18123-10~2 Т2 + 0,61919-10"8 Т3)].

Из сравнения видно, что максимальная погрешность приближенного расчета на данном интервале изменения Т не превышает 3%. С ростом В1 точность расчета повышается.

Обозначения:

Я = — , С — — , £ = — и —— соответственно безразмер-Ро С0 Хо - /2

«ые плотность, теплоемкость, теплопроводность и время;

Ро, с0. Х0, а0 — характерные значения соответствующих величин;

21— толщина пластины;

т, /г, г —константы, зависящие от природы вещества.

ЛИТЕРАТУРА

1. В. В. Иванов, А. В. Фурман. ИЖФ, том IX, 1965.

2. А. В. Лыков. Теория теплопроводности. ГИТТЛ, 1952.

3. Справочник под редакцией проф. Н. Б. Варгафтика. Теплофизические свойства веществ. ГЭИ, 1956.