CC BY
8
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
НАУКА. ИННОВАЦИИ ТЕХНОЛОГИИ, №2, 2016
УДК 51 -73 Тарасенко Е.О. [Taraseriko Е.О.] Гладков А.В. [Gladkov A.V.]
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСПЕРСИИ КООРДИНАТ АТОМОВ ПЛЕНКИ, ОБРАЗУЮЩЕЙСЯ НА ПОДЛОЖКЕ
Solution of boundary value problems of determining the coordinates of the atoms of the dispersion envelope formed on the substrate
Статья посвящена математическому моделированию образования тонких пленок на подложках, которое в настоящее время является малоизученным как теоретически, так и практически. При проведении моделирования физического процесса актуально решение прямых и обратных задач, возникающих в процессе роста тонкопленочных структур. В качестве математического описания рассматриваемого процесса предлагается использовать полуэмпирическое уравнение диффузии в частных производных с заданными начальными и граничным условиями. Обратные задачи, возникающие при математическом моделировании роста тонкопленочных структур, имеют немалое практическое и теоретическое значение в современном научном мире. Особое внимание в данной работе уделено решению краевых задач определения дисперсии координат атомов пленки на подстилающей поверхности. Получены аналитические и численные решения указанных задач, основанные на методе простой итерации. Проведен численный эксперимент и оценка найденных решений на адекватность экспериментальным данным.
Ключевые слова: математическое моделирование, тонкая пленка, подложка, подстилающая поверхность, тонкопленочная структура, уравнение диффузии, решение обратных задач, дисперсия.
This paper is devoted to mathematical modeling of the formation of thin films on substrates, which at present is poorly known both theoretically and practically. When modeling the physical process relevant to the solution of direct and inverse problems arising in the growth process of thin-film structures. As a mathematical description of the considered process it is proposed to use semi-empirical diffusion equation in partial derivatives with given initial and boundary conditions. Inverse problems arising in the mathematical modeling of the growth of thin-film structures are of considerable practical and theoretical importance in the modern scientific world. Special attention in this work paid to the solution of boundary value problems determining the variance of the coordinates of the atoms of the film to the underlying surface. The obtained analytical and numerical solutions of these problems based on the method of simple iteration. Numerical experiment and evaluation of solutions adequacy to the experimental data.
Keywords: mathematical modeling, thin film, substrate, underlying surface, thin-film structure, the diffusion equation, the solution of inverse problems, the variance.
Введение
В статье представлены математические методы построения решений (приближенных и в явном аналитическом виде) некоторых
краевых задач, описывающих образование (формирование) тонких пленок на подложках. Построены решения обратных задач, поставленных в рамках изучаемой математической модели диффузионного роста тонких пленок на подложках, основанные на методе простой итерации.
Разработан и протестирован программный продукт для определения значений гт'(г) - дисперсии координат атомов пленки вдоль оси ()г в момент времени ¡. Проведена оценка полученных численных решений обратных задач на адекватность экспериментальным данным.
Постановка задачи
По известным средним значениям концентрации (/.(1.х.у.г) атомов пленки на подложке от мгновенного точечного источника при условии их полного отражения от подложки, или по известным средним значениям концентрации д^(1,х,у,г) атомов пленки на подложке от мгновенного точечного источника при условии полного поглощения атомов пленки подложкой, а также по заданной высоте источника атомов пленки Н и известным значениям мощности источника О атомов пленки, гг (/). ггД/) - дисперсиям координат атомов пленки, соответственно вдоль осей Ох, Оу, определить неизвестные значения г>_2(1) - дисперсии координат атомов пленки вдоль оси Ог в момент времени /.
Методология и методы исследования
Методами решения трансцендентных уравнений, например, методом простой итерации [1, 2], построим решение поставленной задачи.
А) Приближенный способ решения задачи (в случае полного отражения атомов пленки подложкой) основан на использовании метода простой итерации. Предполагаем, что известен интервал |а, Ь \ (а и Ь находим, например, методом подбора), в котором находится требуемый корень ст. уравнения
q2(t,x,y,z)-
Q
(2я)ъпахаа/
ехр
^ {x-Utf
+ ■
exPl_
2 ait
+ exp -i - -
2 a2J
lait lait
X У y
= 0.
(1)
В случае анизотропной среды (при условии полного отражения атомов пленки от подложки) равенство (1) перепишем в виде
о, =
Q
q2(t,x,y,z\27i)V2 стха/
ехр
\x~Utf
Г (z-Я)2] Г (z + H)2
ехрГ^Г РехрГ&Г
+
У
2 аЧ 2а\
v у У
х
Последовательные приближения к искомому корню будем находить по итерационной формуле:
ГА/ —
=
q2(t,x,y,zp.nf2 ахауГ
-ехр
(х-Ut}
+
У
2 ait lait
\ х у Л
1 (г~яЛ J +
ехР1 ~~ / 7^2 Г + ехР 1 ~~ -
(2)
В случае изотропной среды (при условии полного отражения атомов пленки от подложки) полагают о_ = оу = ах, тогда из (1) получим:
(У, =3|
Q
q2(t,x,y,zX2^f2t:" \
ехр
^(х-ш)2
2
2att lait
X3i
j (z-Я)2 J (■z + Hf
ехр- - A-> + exp< - л-'
. 1 J 1
2cA
Последовательные приближения к искомому корню в этом случае будем находить вместо (2) по следующей итерационной формуле:
Q
q2(t,x,y,zp7rf^t3А
ехр
%ï-Utf
У
>х
хз
ехр
(z -Hf
+ ехр
(z + ff)2
(3)
В качестве первого приближения СТ:^ к искомому корню (первая итерация) можно принять любое значение <Х_ из отрезка изоляции корня [а, 6].
Критерий окончания процесса вычислений - выполнение неравенства
(4)
где s -
желаемая погрешность.
Б) Приближенный способ решения поставленной задачи (в случае полного поглощения атомов пленки подложкой) основан на использовании метода простой итерации. Предполагаем, что известен интервал \а,Ъ] (а и Ъ находим, например, методом подбора), в котором находится требуемый корень (X, уравнения
q3(t,x,y,z)~
Q
{27rf2axaazt
-ехр
(x-UtJ
2<j2J
+
У
2(T?j
ехр] - — ^> 1 - ехр] - ^ ' —
2 ait
2 ait
(5)
= 0.
В случае анизотропной среды (при условии полного поглощения атомов пленки подложкой), воспользовавшись соотношением (5), находим:
а, =
Q
q^t,x,y,z\2n)vz axayt
-ехр
'{x-Utf lait
+ -
expi~
(z-Hf
2 ait
•-expf-
2 ait
Последовательные приближения к искомому корню будем находить по итерационной формуле
ГМ.
ехр
Q
ехр
r(x-UtJ 2ait
q3(t,x,y,zX2xf'2axavt
' (z + Hj
У 2 a)tj
fX
-exp<
2 (opft
(6)
В случае изотропной среды (при условии полного поглощения атомов пленки подложкой) полагают п, = щ = сгг, тогда из (5) получим
О- =31
Q
q^t,x,y,z\2n)3'2f \
ехр
'\x-Utf
\Л
2 ait 2 ait
> х
хз
ехр^
(z-Hf 2alt
ехР1
(z + H]_ 2a2zt J
V
Последовательные приближения к искомому корню будем находить вместо (6) по следующей итерационной формуле
<х!"+1)=з|
Q
q3(t,x,y,z\27r)V2i3 ^
ехр-
(x-Utf у2
хз
expi
(z-Hf
2 (4п)Ь
"exPl
{z+Hf
2 fp?H
(7)
В качестве первого приближения гт'^' к искомому корню (первая итерация) можно принять любое значение из отрезка изоляции корня [а, 6].
Критерий окончания процесса вычислений - выполнение неравенства
а!"'-а!"-' <*.
где е -
желаемая погрешность.
Обсуиедение результатов исследования
Изменения значений средней концентрации q атомов пленки в заданном пространстве от мгновенного точечного источника можно описать (при условии, что фоновая концентрация атомов пленки не учитывается) уравнением диффузии вида [4]
8t дх дх х дх ду у ду dz ~ dz с начальным условием
q(0,x,y,z) = 0s{x)s(y)s{z - Н). (9)
где О = const > 0, - д -функция Дирака.
Будем предполагать, что Щ Кх, Kv, К: являются непрерывными функциями аргумента
z: U = U(z\ Кх = ШМ КУ = *,(4 К-- =
Кроме уравнения (9) для описания изменений значений средней концентрации атомов пленки на подложке от мгновенного источника можно использовать функцию из [3]
qx(t,x,y,z)--
Q
(2, гыы*т
ехр
(x-Utf 2аЦ$) ' 2а'(i) ' 2a]{t)
, г
(10)
называемую гауссовой функцией распределения концентрации атомов пленки, где <7,. (/). cr;(i), a:(t) - дисперсии координат атомов пленки соответственно вдоль осей Ox, Ov, Oz в момент времени /. £У - средняя по высоте скорость переноса атомов вдоль оси Ох (ах (/), с (/). <т;(/) - непрерывные функции аргумента t,t>0, U = const). Известно из [4], что при I > /
о\2(г) , <г;(0 „ <т;(0 , "г ' "7--> г <Т;'
где а > 0, <7^ >0, ст; >0 - некоторые постоянные. Поэтому будем считать, что при достаточно больших / справедливы приближенные равенства:
Концентрация атомов пленки
задаваемая выражением (10), при выполнении условий (11) удовлетворяет уравнению
д1х г7 дд1 1 _2 д\ 1 2 д2д1 1 2 д2дх йх 2 '&2 2 * ф2 2 2 &2
и начальному условию (9). Перепишем уравнение (8) в виде
Ы Эх 2 *сЬс2 2 'ду 2 & -
дх
(12)
Эх
2 )дх ду
2 У)ду дг
дг
Ясно, что чем меньше
коо-к2
л с
У V
У V
отклоняются от 0, тем меньше ц задаваемая выражением (10), будет отклоняться от точного решения д (если только д непрерывно зависит от коэффициентов уравнения [9]). Для того, чтобы С/, сг'. ст2, сг; наименее уклонялись на интервале [0,й] соответственно от £/(г), А' Дг). А" (г). К, (2), где /? - высота (толщина) пленки, достаточно, чтобы выполнялись условия:
| (¡У(г) - £/) йЬ пцп,
л2
-<т2х 2 %
(¡2 —> ГШП,
О 7
г-
V
У
сЬ —» тт,
-ст.
йЬ —> пип,
о '
(13)
II, ох, <ту, <т2. удовлетворяющие условиям (13), имеют вид:
и = \\и{2)ск,
1 а
о
п 0
К
Таблица 1. КОЛИЧЕСТВО АТОМОВ ВИСМУТА НА АЛЮМИНИЕВОЙ
ПОДЛОЖКЕ И МОЩНОСТИ ИСТОЧНИКА АТОМОВ ПЛЕНКИ В ТОЧКЕ (2,2,3) В МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ {е [0,60] С
и С q, 1/см3 О(Г), 1/(см3х с)
0 0 0
5 0,186978 х 104 0,788888
10 0,850842 х 106 0,901052
15 0,252913 х 10 0,925270
20 0,453681 х 10е 0,933428
25 0,622814 х 10э 0,948164
30 0,753651 х 1010 0,950087
35 0,158437 х 1011 0,959165
40 0,579420 х 1012 0,962743
45 0,768428 х 1013 0,975482
50 0,778513 х 1014 0,980274
55 0,548329 х 1015 0,986513
60 0,845235 х 1016 0,990021
Следовательно, функцию с/ {1.х,у,:). задаваемую выражением (10), где (тх(0, т,(/). гт.{1). определяются из соотношений (11), (14), можно принять за приближенное решение задачи (8), (9).
Пример. Экспериментальные данные, взятые из отчетов ООО НПФ «Микротехнология» [5] и содержащие информацию о росте пленки висмута на алюминиевой подложке и мощности источника атомов пленки в точке (2,2,3) в моменты времени t е [0,60]с приведены в таблице 1.
Табл. 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ И ВЫЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ог
В МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ Г е [0,60] С
С С аэкспериментальная а2, вычисленная
0 2,658234846 2,731651481
5 2,658234846 2,651906245
10 2,658234846 2,661282457
15 2,658234846 2,655416482
20 2,658234846 2,659323547
25 2,658234846 2,660548722
30 2,658234846 2,662432145
35 2,658234846 2,659124231
40 2,658234846 2,655512649
45 2,658234846 2,661292135
50 2,658234846 2,672181462
55 2,658234846 2,645452579
60 2,658234846 2,693487454
Средняя скорость вектора горизонтального переноса //(/) = 0,5 м/с, высота источника атомов пленки Н = 0,3 см, среда изотропна, атомы пленки полностью поглощаются подложкой (образуется пленки висмута на алюминиевой подложке). Вычислить значения дисперсии координат атомов пленки п_ вдоль оси Ог в указанные в таблице 1 моменты времени.
Расчетные определенные согласно (6) (полученные с помощью программы 03_ММ_Г) и экспериментальные значения о_ приведены в таблице 2.
2,62 - Экспериментальные значения
- Расчетные значения
2,60
2,56 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 6 0 35
Рис. 1. Экспериментальные (прямая) и вычисленные (кривая)
значения а1 в моменты времени t е [0,60] с.
Графическая реализация экспериментальных и вычисленных значений а. представлена на рисунке 1.
Анализируя полученные результаты, можно сделать следующий вывод: вычисленные значения о_ в моменты времени t е [0,60] с отклоняются от экспериментальных больше всего на концах расчетного интервала, но не более чем на 3 %.
Выводы
Таким образом, в статье проведено математическое моделирование решения краевых зацач, возникающих в задачах роста тонких
пленок на подложках. Представлено аналитическое и численное решение задачи определения дисперсии координат атомов пленки. На примере (образование пленки висмута на алюминиевой подложке) продемонстрирована адекватность полученных результатов расчетов экспериментальным данным.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. 614с.
2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: Физматгиз, 1962. 472 с.
3. Тарасенко Е.О., Гладков A.B. Восстановление высоты расположения источника в математической модели роста тонких пленок на подложках // Инфокоммуникацион-ные технологии. Т. 13. № 1. 2015. С. 7-12.
4. Семенчин Е.А. Аналитические решения краевых задач в математической модели атмосферной диффузии; под редакцией И.Э. Наац. Ставрополь: Издательство Ставропольского Краевого института усовершенствования учителей, 1993. 141 с.
5. http://microtechnologia.ru. Официальный сайт ООО НПФ «Микротехнология».
