Решение компромиссных задач схемотехнического проектирования методом варьирования весовыми коэффициентами в критериальных свертках Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 53.072:681.3

РЕШЕНИЕ КОМПРОМИССНЫХ ЗАДАЧ СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ МЕТОДОМ ВАРЬИРОВАНИЯ ВЕСОВЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В КРИТЕРИАЛЬНЫХ СВЕРТКАХ

КУНИК Е.Г., СЕМЕНЕЦ В.В., ДОВНАРЬ А.И., ПРАСОЛИ.В, ПУЩИН Р.В, КОСТЮК Н.Н.

Излагается подход и общий алгоритм варьирования весовыми коэффициентами в аддитивных свертках частных критериев для определения компромиссных решений, удовлетворяющих требованиям минимакса.

Процесс проектирования схем электронной медицинской аппаратуры носит итерационный характер и заключается в выборе такой структуры, которая позволяет путем целенаправленного изменения параметров ее элементов достичь оговоренных в техническом задании свойств и характеристик всей схемы в целом. Такая задача обычно решается в рамках автоматизации параметрической оптимизации. Как правило, при решении оптимизационных задач в электронике сталкиваются с проблемой многокригериальности. Наиболее распространенным подходом к решению этих задач остается минимаксный [1], при котором решением считается точка:

(

\

X* = f -1

min maxf j(x}j=1,m

l.XeQ j

(1)

Здесь f 1 — символ обратного преобразования f (X) в X ; fj(X) — нормированная каким-либо образом

непрерывная функция, определяющая j -й критерий качества;

0 = S1 n S2, (2)

где S1 = < X

gk ^gk^gk,k=1,H;

S2\X

Xi <Xi <Xi,i = 1,n

gk(x),k = 1,l — в общем случае нелинейные функции ограничений.

В работе [2] поиск решения (1) предлагается следующим образом.

Пусть

f(a,x) = Е X jfjX j=1

(3)

где

Xj є Е,

m

E = AeRm 0<A, j<1, Е ^ j=1 J=1

(4)

Тогда

% 1 X = f -1

ґ

max min

AeEXeQ

in f(A,x)

(5)

Очевидно, что процесс получения решения (5) представляет собой двухуровневую оптимизацию.

На нижнем уровне при заданных Xj,J - 1,m,

используется один из известных методов нелинейного программирования в целях поиска вектора

г*

X , минимизирующего свертку (3) на г -м шаге,

при этом решение будет принадлежать нижней левой границе (НЛГ) [3]. На верхнем уровне работает алгоритм направленного изменения

X • j = 1m который, основываясь на информации j

о состоянии оптимизируемой системы в точке г*

X , стремится достичь максимума функции

min f(A,x).

XeQ

При построении эффективного алгоритма оптимизации верхнего уровня возникает необходимость в

определении вектора градиента

'(У( A,x)' а і

V J J

,j = 1,m.

На первый взгляд численно эту операцию можно было бы осуществить путем попеременного изме-

нения Xj при неизменных Xk,k = 1,m,k Ф j, и проведения соответствующих процедур минимизации f(A,x) по X. Однако здесь следует учитывать два важных обстоятельства:

а) для получения вектора градиента

rdF(A,x) ^

^j

J - l,m потребуется

минимум

(m+1)

этапа минимизации сверки (3);

б) возникает проблема получения надежного решения, так как при выполнении действия

^ j - X j + АХ j, X k = const, k = 1,m, k ^ J,

могут быть нарушены условия (4), что приведет к

г*

выходу квазиоптимальной точки X за область компромиссов НЛГ. Это недопустимо.

РИ, 2000, № 4

В связи с этим для определения вектора частных

производных

Pf( Л,х) "

за.

V J J

,j = 1,m,

предлагается сле-

дующий подход.

Запишем задачу оптимизации (3),(4) в таком виде:

+ Е дЛ,jfmin(л° +дл) = j=i

= m А°дП™п ґл° j=ij v

+

F»= max EXjfmin(л),

X j=i

(6)

где fjm (л) — значение j -й функции в точке Xr ,

полученной при минимизации свертки (3) на Г -м этапе.

Определим вектор

5f(A,x)

дА

j

, j -1,m, в некоторой

точке

Л°.:

Р|Л° 1= SA°>fmin (л° j;

j=1

F| Л° +ДЛ| =

+ Е ДАjfJmin(л° +дл). j=i

Вычислим теперь частную производную по одной из координат:

FЛ°+aa)-f(л°) _

ДА k

j=i

m °fJmin[л° +дл]-Т^п[л°

ДА k

+ E ^fmin Гл° +ДЛІ

jti k j ^ J •

(7)

Переходя к предельно малым величинам, получаем:

= z(x°+A^)fT1” (л°+ал);

j = 1

cF(л) дХ k

^ j

j=i

j (л)

+

F|A° +ДЛІ- f[a° 1 =

m

= Е^° +дА j j [Л° +дл]-j=i

Е А°Т™пГл°']= Е A°jfjminГл° +ДЛІ +

j=i

j=i

m

+ Е ДАjfjmin ІЛ° +дЛ j=i

- Е (л° j=i V

j=i і < + V V

■min( \°

m дХ j

+ z —j jti^ k

dX j

Наличие сомножителя свидетельствует о том,

dX k

что множество переменных Л является внутренне зависимым, т.е. весовые коэффициенты зависят от

своих же значений внутри компакта E •

Раскроем этот сомножитель следующим образом.

Пусть

A j . .! _ +AXpk i+AXPk’ k i+AXPk ’j *k

где дАр. — рабочее приращение k -го весового

коэффициента. Таким образом, предполагается подвижная связь между всеми весовыми коэффициентами. Тогда

РИ, 2000, № 4

143

aX j = ■

А

1+дЛрк

— Л0

j

_4+A^ k лО

AAk - ~ Ak

1+дЯрк

jL

1+дА.р ’

AA’k (l-A° ) 1+ДА.Р ’

A^j . ,

A^k "’ ДЛЯ j * k

а для ^k это частное будет равно, естественно,

единице и формула (7) запишется в следующем виде:

5F(Л)

дк-

k

m af,1™ (л)

j=1 дк

k

.If fk w

j* k

(8)

Выражение (8) дает возможность построить следующий алгоритм численного дифференцирования

функции min .f.

XfO ; J J

1. Исходная точка, в которой необходимо определить вектор — градиент, задается, допустим, значениями »0е Е

2. Определяется точка, доставляющая минимум свертке (3).

3. Определяются fj™”|VJ, j = 1, m.

4. Задается AX.

5. Вычисляется A,j

^ +ДА.

1+ДЛ. 1+ДЛ.

1 < s < m,j Ф s.

6. Выполняется п.2 для Л1.

7. Выполняется п.3 для Л1.

8. По формуле (8) вычисляются составляющие

вектора производных

а^л, X)

дк -

j = 1,m.

Тестовый пример

Пусть нормированные критерии качества описываются следующей системой функций:

f1 = (х1-^ + xL

f2 = ^i-2)2 + (х2 -2)2, fl = (х1-3)2 + х2, Q = R2 .

Необходимо определить точку X*, в которой

min У Xт/X*max.

XeQjt1 J JV ) ХєЕ

Продифференцировав заданную свертку (3) по X и приравняв частные производные нулю, получим значения вектора X, в которых достигается ее

минимум при заданных Xj, j = 1,3. Это будут соответственно

x1 = ^1 + 2Х 2 + 3^;x2 = 2Х 2.

Тогда можно записать, что

ff™ (л) = (^ +2^2 +3^3 -!f + 4А.'2;

тГП (^)=(^1+ 2^ 2 +3^ 3 _ 2У + (2Х 2-2~f; f3m1n (л)=(4 + 2Х 2 +3Л, 3 —1)2 + + 4Х22.;

= 2^1 + 2^2 +3^3 -1;

^^ = 4^1 +4^ 2 +3Х 3-1;

= 6^1+ ГК 2 +3^3 -1; ^ = 2^ +2^ 2+3^3 - 2;

=4Х1+4х 2+3Хэ-4;

=6Х1+2х 2 +3x3 - 2;

*3°У = 2^1+ 2 +3X3-2; ^^24 = 4Х1+ 4Х 2 +3X3-4;

= 6Х1+ 2Х 2 +3X3 -2

1) Допустим ^1 = ^2 = Х3 = ^3. Тогда

*

Xr = (2,0.667)Fm1n (л)= = (1.444,1.778,1.444).

Вектор частных производных, вычисленный по формуле (8), будет следующим:

dF^ = (-0.167,0.333,-0.167). dA V '

2) Теперь в другой точке:

4 = 0.1; X2 = 0.3; 4 = 0.6.,

144

РИ, 2000, № 4

Xr* = (2.5,0.6);Fmin (л)= (2.61;2.21;0.61);

^ = (1.467,1.314,-1.7). dA v ’

Анализ результатов приводит к выводу, что полученные частные производные верно указывают знак и относительную величину приращения весовых коэффициентов на следующем шаге оптимизации.

Изложенное выше позволяет следующее.

1. Для любой точки НЛГ определить вектор частных производных

^(лд) n

дк і

V J У

,j = 1,m.

2. Эта операция проводится с приемлемой точностью (в зависимости от АХj) всего за две минимизации свертки (3).

3. Так как известны граничные значения весовых коэффициентов X j, можно легко определить оптимальную длину вектора приращений.

Практическое применение полученных результатов дает возможность более эффективно реализовать подход к решению общей задачи поиска компромиссных решений методом варьирования весовых коэффициентов в критериальных свертках, рассмотренным в [2].

Литература: 1.Норенков И.П., Мулярчик С.Г., Иванов С.Р. Экстремальные задачи при схемотехническом проектировании в электронике. Минск: Б.И, 1976. 240с. 2. Куник Е.Г., Довнарь А.И Алгоритм варьирования весовых коэффициентов для определения комп-

ромиссных решений при схемотехническом проектировании. Автоматизированные системы управления и приборы автоматики. 1982. Вып. 63. С. 18-23. 3. Гуткин Л.С. Оптимизация радиоэлектронных устройств по совокупности показателей качества. М.: Сов. радио. 1975. 368 с.

Поступила в редколлегию 22.06.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Ягуп В.Г.

Куник Евгений Григорьевич, канд. техн. наук, проф. кафедры БМЭ, декан факультета заочного обучения ХТУРЭ. Научные интересы: автоматизация схемотехнического проектирования, параметрический синтез. Адрес: Украина, 61093, Харьков, ул. Социалистическая, 60а, кв. 156, тел. 72-20-30.

Семенец Валерий Васильевич, д-р техн. наук, проф. кафедры БМЭ, проректор ХТУРЭ. Научные интересы: автоматизация проектирования БИС. Адрес: Украина, 61166, Харьков, ул. Правды, 7, кв. 35, тел. 47-41-54.

Довнарь Александр Иосифович, канд. техн. наук, ст. инженер НПО “Турбоатом”. Научные интересы: решение векторных задач оптимизации. Адрес: Украина, 61184, Харьков, ул. Дружбы народов, 237, кв. 85.

Прасол Игорь Викторович, канд. техн. наук, доцент кафедры БМЭ ХТУРЭ. Научные интересы: макромоделирование в схемотехническом проектировании. Адрес: Украина, 61093, Харьков, ул. Социалистическая, 56, кв. 7, тел. 72-88-66.

Пущин Роман Вячеславович, аспирант ХТУРЭ. Научные интересы: решение многокритериальных задач оптимизации. Адрес: Украина, 61124, Харьков, пр. Гагарина, 176, кв. 52, тел. 16-07-36.

Костюк Николай Николаевич, аспирант ХТУРЭ. Научные интересы: оптимизация сложных электронных систем, макромоделирование. Адрес: Украина, 61005, Харьков, переул. Юрьевский, 1/26, кв. 3.

УДК 681.3 : 622.276

ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРІЇ НЕЧІТКИХ МНОЖИН ДЛЯ ІНФОРМАЦІЙНОГО ОПИСУ НАФТОГАЗОВИХ ОБ’ЄКТІВ

ЮРЧИШИН В.М. * з

Аналізуються підходи до рішення задач в умовах інформаційної невизначеності і класичні методи оптимі-зації стосовно пошуку, розвідки та розробки нафтогазових родовищ. Розглядаються основні положення, що розкривають суть підходу до інформаційних описів

з нечіткою початковою інформацією і нечітким відношенням при прийнятті рішення. Пропонуються математичні описи допустимих альтернатив і відношень нафтогазової предметної області .

Вдосконалення процесів пошуку, розвідки та розробки нафтогазових родовищ, здійснення контролю за зміною параметрів, що описують нафтогазові об’єкти, вимагає рішення різноманітних оптиміза-ційних задач в умовах інформаційної невизначеності.

Для прийняття рішення в конкретній ситуації необхідний формальний опис цілі. Але в нафтогазовій галузі формалізація цілі не завжди можлива.

При цьому труднощі обумовлені відсутністю формалізованих моделей задач, що підлягають рішенню, неможливістю врахування усіх факторів при формалізації недостатньої або недостовірної початкової інформації. Фактично потрібне поєднання математичних методів і частково формальних процедур, що виконуються фахівцем нафтогазової галузі [ 1,2], тобто виникає проблема формалізованого прийняття рішення в умовах невизначеності.

Для розв’язання задач в умовах невизначеності здійснюються різні підходи: розробка спеціальних методів врахування невизначеності інформації, методів багатокритеріальної (або векторної) оптимі-зації, експертної оцінки і т.ін. У всіх цих підходах поряд з математичними методами передбачається безпосереднє використання досвіду, знань і інтуїції фахівців, що беруть участь в управлінні, оптимі-зації і прийнятті рішення. Кожний з вказаних методів описується поняттями нечітких множин і відношень, що введені Л.А. Заде [3,4]. Класичні методи оптимізації вимагають точного задания цілі і обмежень, а інколи й існування оптимуму. Однак в задачах пошуку, розвідки та розробки нафтогазових родовищ рідко точно можна сформулювати цілі і обмеження. Крім того, сприйняття цілі оптимізації фахівцем нафтогазової галузі може не збігатися з простою максимізацією корисності.

РИ, 2000, № 4

145