Метод устранения дублирования критериев при параметрическом синтезе электронных схем Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.863:621.382 И.В. ПРАСОЛ

МЕТОД УСТРАНЕНИЯ ДУБЛИРОВАНИЯ КРИТЕРИЕВ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ СИНТЕЗЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ

Рассматривается метод, позволяющий устранить дублирующиеся критерии при параметрическом синтезе аналоговых электронных схем. Он основан на применении двухуровневой оптимизации, когда на нижнем уровне используются известные методы нелинейного программирования, а на верхнем - метод направленного изменения весовых коэффициентов функции-свертки. Получены соответствующие теоретические соотношения и алгоритм определения частных производных. Это позволяет уменьшить число рассматриваемых критериев, редуцировать математическую модель схемы и в конечном счете значительно снизить вычислительные затраты на этапе многокритериальной оптимизации в САПР.

1. Введение

При параметрическом синтезе электронных схем часто приходится сталкиваться с многокритериальностью задачи. Поиск решения в этом случае довольно трудоемкий и временные затраты напрямую зависят от количества критериев [1,2]. Зачастую увеличение этого количества не оправдано, так как с точки зрения качества решения одни критерии могут дублировать другие. Распознать такую ситуацию и избавиться от дублирования довольно сложно, однако если проделать такую работу и отсеять «лишние» критерии, задача получения наилучшего решения значительно упростится [3,4]. Особенно актуальным становится такая задача в случае использования агрегированных математических моделей, когда их размерность связана с числом критериев [5] и уменьшение их числа позволяет в ряде случаев значительно снизить количество уравнений модели схемы. Таким образом, целью данного исследования является разработка метода для уменьшения числа критериев качества схемы за счет устранения их дублирования.

2. Метод устранения дублирования критериев

Для поиска и удаления дублирующих критериев предлагается следующее.

Представим задачу как минимаксную, при которой решением считается точка:

X* = Г-1(штшах^(Х)^ = 1т). (1)

ХеО j

Здесь Г-1 - символ обратного преобразования Г(Х) в X; ^(Х) - нормированная каким-либо образом непрерывная функция, определяющая j -й критерий качества; область определения

П = ^ П 82, (2)

где = {Х| (х)< ёк,к = 1,1} ; 82{х| х; < х; < х;Д = 1,п}; ёк(Х),к = 1,1 - в общем случае

нелинейные функции ограничений; X - вектор управляемых (варьируемых) схемных параметров размерностью ш .

Предлагается искать решение (1) следующим образом. Пусть

ш

Г(Л,х) =1(3) j=l

ш

где к. е Е, Е = {Ле Яш 0 <кj < 1, 2кj = 1}. (4)

-1 j=l

Тогда

X = Г ЧшахштГ(Л,Х)) (5)

ЛеЕХеО ' 4 '

Очевидно, что процесс получения решения (5) представляет собой двухуровневую

оптимизацию: на нижнем уровне при заданных X= 1,т используется один из известных

Л г*

методов нелинейного программирования в целях поиска вектора X , минимизирующего свертку (3) на г-м шаге. При этом решение будет принадлежать нижней левой границе (НЛГ) ; на верхнем уровне работает алгоритм направленного изменения X] = 1,т, который, основываясь на информации о состоянии оптимизируемой системы в точке Хг ,

стремится достичь максимума функции тт —(Л, X) .

ХеО

Для построения алгоритма оптимизации верхнего уровня следует определить вектор

,аР(Л,ХК • 1— и „ * *

градиента (-),] = 1,т. На первый взгляд численно эту операцию можно было бы

^ _

сделать путем попеременного изменения Xj при неизменных X= 1,т,к ^ ], и проведения соответствующих процедур минимизации Б(Л, X) по X. Однако здесь необходимо обратить внимание на два момента:

а) для получения вектора градиента —= 1,т потребуется минимум (т+1)

этапа минимизации сверки (3);

б) точность полученного решения нельзя гарантировать, так как при выполнении действия X] = Xj +ДХ j, Хк = соИБ^к = 1,т,к ^ ] будут нарушены условия (4), что может

привести к выходу квазиоптимальной точки X1" за область компромиссов НЛГ.

„ , д—(Л, XX • ;—

Поэтому для определения вектора частных производных (-),] = 1,т, предлагает-

^ ]

ся следующее.

Запишем задачу оптимизации (3),(4) в таком виде:

* т

- (Л) = тах Е]]^—) (6)

X ]=1

где f]nln(Л) - значение ] -й функции в точке X" , полученной при минимизации свертки (3) на г -м этапе.

Определим вектор (——] = 1,т, в некоторой точке Л0:

^ ]

т

—(Л0) = ^^(Л0).

]=1

т

Б(Л0 + ДЛ) = Е (X((+ДX ]Г]шп(—0 +ДЛ); ]=1

Б(л0 +ДЛ)-—(Л0) = Е^О+ДX рГ^Л0 +ДЛ)-]=1

тт

- ЕX(jfjnln(Л0)= ^^(Л0 +ДЛ) + ]=1 ]=1 тт

+ еД]]^—0 +ДЛ) - ЕX(jfjnln(Л0) = ]=1 ]=1

ш ш п

= Хк<°(Г]п1п(Л0 +ДЛ)-Гш1п(Л0))+ ЕД^Г^Л0 +АЛ) = j=l j=1 шш

= Е^Т^Н ЕДк^^(Л0 +ДЛ). j=l j=l Определим теперь частную производную по одной из координат:

^(д0+Ад) р(д0) ш 0Г,ш1П(Л0 +дЛ)-Г,ш1п(Л0) ш дк, ш1п 0

Р(Л +ДЛ)-Р(Л ) = е к0 ^—Ь-^—^ + Е —1 ГГп(Л° +ДЛ) (7)

дкк Дк к j=lДк к . (7)

Переходя к предельно малым величинам, получаем:

^ =ш кJ +Е ^ГГ(Л)

дк к дк к ^=1дк к .

дк |

Наличие сомножителя -— говорит о том, что множество переменных Л является

дк к

внутренне зависимым, т.е. весовые коэффициенты зависят от своих же значений внутри компакта Е .

Раскроем этот сомножитель следующим образом. Пусть

к1 = ■ к1 =к°+Акí !*к

J 1+ДкРк ' кк 1+ДкР •j *к '

где Дкрк - некоторое текущее приращение к-го весового коэффициента. Это предполагает наличие подвижной связи между всеми весовыми коэффициентами. Тогда

Дк ■ =-?!— к(J= -

J 1+ДкРк 1+ДкРк

Л к0к +Дкрк л0 ДкРк(1-к0к) Дк; к| .

Дк к = -к- кк =-^-—, и = для J * к,

к 1+ДкРк к 1+ДкРк Дкк 1 -к к

а для к к это частное будет равно, естественно, единице. Формула (7) запишется в следующем виде:

ЙР(Л) _ m k df'nin(A) m кj

_ mkj •' v 7- mHj)+fk(л).

dkk j_l j ÖK j_lT -kk j

(8)

k j^k

Выражение (8) дает возможность предложить такую последовательность действий по

численному дифференцированию функции min Е k ;f; (X) :

XeQ j J J

1. Исходная точка, в которой необходимо определить вектор-градиент, задается некоторыми значениями k0 е E .

2. Определяется точка, доставляющая минимум свертке (3).

3. Определяются fjnin(A0),j _ 1,m .

4. Задается некоторое Ak.

5. Вычисляются Л,1 = —; Л1 = ^ +ДЛ , 1 < Б < т, ] ^ Б .

-1 1+дЛ 8 1+дЛ

6. Выполняются последовательно п.2 и 3 для Л1.

др(л X) —

7. По формуле (8) вычисляются составляющие вектора производных (——-—),] = 1,т.

дЛ 1

3. Пример

Пусть нормированные критерии качества описываются системой функций:

Г = (Х1 -1)2 + х2 , Г2 = (Х1 - 2)2 + (Х2 - 2)2 ,

Гз = х2 + (Х2 -3)2,

= (Х1 -1)2 + (Х2 -1)2,

Г5 = (Х1 -1)2 + (Х2 - 2)2 , 0 = Я2. В данной постановке критерии 3-5 дублируют качество остальных критериев, так как их значение будет заведомо лучше или равно критериям 1 и 2. Определим чувствительности (8).

Продифференцировав свертку по X и приравняв частные производные нулю, получим значения вектора X, в которых достигается ее минимум при некоторых заданных Л ^ ] = 1,5. Это будут соответственно

Х1 = Л1 + 2Л 2 +Л4 +Л5;Х2 = 2Л 2 + ЗЛ3. + Л 4 + 2Л5. (9)

Подставив в исходную систему значения (9), получим:

Г = (Л1 + 2А2 + А4 + А5 -1)2 + (2А2 + 3А3. + А4 + 2А5)2 , Г2 = (А1 + 2А2 + А4 +А5 - 2)2 + (2А2 + 3А3. + А4 + 2А5 - 2)2 ,

Г3 = (А1 + 2А2 + А4 +А5)2 + (2А2 + 3А3. + А4 + 2А5 -3)2, Г4 = (А1 + 2А2 + А4 +А5 -1)2 + (2А2 + 3А3. +А4 + 2А5 -1)2, Г5 = (А1 + 2А2 + А4 +А5 -1)2 + (2А2 + 3А3. + А4 + 2А5 - 2)2.

дГт1П(Л)

Значения производных —^- , необходимые для расчета (8) сведены в таблицу.

ЗА. .1

А1 А 2 А3 А 4 А5

Г1 2(Х1 -1) 4(Х1 -1) + 4Х2 6Х2 2(Х1 -1) + 2Х2 2(Х1 -1) + 4Х2

Г2 2(Х1 - 2) 4(Х1 - 2) + 4(Х2 - 2) 6(Х2 - 2) 2(Х1 - 2) + 2(Х2 - 2) 2(Х1 - 2) + 4(Х2 - 2)

Г3 2Х1 4Х1 + 4(Х2 - 3) 6(Х2 - 3) 2Х1 + 2(Х2 - 3) 2Х1 + 4(Х2 - 3)

Г4 2(Х1 -1) 4(Х1 -1) + 4(Х2 -1) 6(Х2 - 1) 2(Х1 -1) + 2(Х2 -1) 2(Х1 -1) + 4(Х2 -1)

Г5 2(Х1 -1) 4(ХХ-1) + 4(Х2 -2) 6(Х2 - 2) 2(Х1 -1) + 2(Х2 - 2) 2(Х1 -1) + 4(Х2 - 2)

Здесь х1 и х2 необходимо заменить на соответствующие значения из (9). Тогда,

А1 = Л 2 = Л3 = Л 4 = Л5 = 0,2 получим следующий вектор чувствительностей:

сР(Л)

дЛ к

= (1,4;-0,35;1,9;-1,35;-1,б)

Результаты вычислений показывают, что вес критериев необходимо уменьшить, так как они, вероятнее всего, являются избыточными.

ж(Л)

Проверим это для набора к1 = к3 = 0,5; к2 = к4 = к5 = 0 : —-—- = (0;0;0;-2;-2).

дк к

Отрицательные значения производной подтверждают тот факт, что критерии 4 и 5 действительно являются "лишними" в данной постановке, а нулевые - что данное решение является оптимальным с точки зрения минимакса.

Анализ результатов подтверждает, что полученные теоретические соотношения верно определяют частные производные свертки (6) по к, которые позволяют устранить избыточность в задачах параметрического синтеза электронных схем.

4. Выводы

Предложен метод выявления и устранения дублирующих критериев при многокритериальной параметрической оптимизации электронных схем. Он базируется на двухуровневой оптимизации, которая на верхнем уровне использует метод варьирования весовыми коэффициентами для максимизации введенной функции - свертки.

Научная новизна заключается в том, что впервые получены теоретические соотношения для определения составляющих градиента функции, переменные которой представляют компакт, и алгоритм ее численного дифференцирования. Справедливость метода подтверждена на конкретном примере. Данный метод позволяет уменьшать число критериев оптимизации за счет устранения дублирования, что особенно важно при оптимизации схем по агрегированным моделям, размерность которых пропорциональна количеству критериев.

Практическая значимость заключается в возможности повысить точность и значительно снизить вычислительные затраты на этапе параметрического синтеза электронных схем в интегрированной САПР РЭА.

Список литературы: 1. ШеховцовА.В., Крючковский В.В., Мельник А.Н. Решение многокритериальной оптимизации с использованием адаптивных алгоритмов // Автоматика, автоматизация, электротехнические комплексы и системы. Херсон: ХГТУ. 2007. №2 (20). С. 60 - 67. 2. БатищевД.И., Исаев С.А. Оптимизация многоэкстремальных функций с помощью генетических алгоритмов // Межвузовский сборник научных трудов «Высокие технологии в технике, медицине и образовании». Воронеж: ВГТУ. 1997. С. 4-17. 3. АнохинА.М., ГлотовВ.А.,ПавельевВ.В., ЧеркашинА.М. Методы определения коэффициентов важности критериев // Автоматика и телемеханика. 1997. №8. С. 3-35. 4. Анохин А.М., Гусев В.Б., Павельев В.В. Комплексное оценивание и оптимизация на моделях многомерных объектов. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2003. 80 с. 5. ПрасолИ.В. Особенности агрегирования моделей электронных схем при оптимизации их параметров // Технология приборостроения. Харьков: ДП НДТ1П. 2010. № 1. С. 25-29.

Поступила в редколлегию 21.05.2010 Прасол Игорь Викторович, канд. техн. наук, доцент, профессор каф. БМЭ ХНУРЭ. Научные интересы: проектирование и моделирование электронных схем, САПР РЭА, цифровая схемотехника, разработка биомедицинских устройств. Увлечения и хобби: авто, путешествия, фото- и видеосъемка, приусадебное хозяйство. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина,14, тел.: (057) 7021364, е-ша11: 1ур@кШге.кЬагкоу.иа.