Решение граничной задачи для нелинейной управляемой стационарной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.

Сер. 10.

Вып. 1

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977

А. Н. Квитко, Е. В. Пятибратов

РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ

В [1, 2] предложен метод построения синтезирующей управляющей функции, при которой решение нелинейной стационарной системы переходит из фиксированного начального состояния в заданное множество фазового пространства. В данной статье разработан алгоритм решения более общей граничной задачи перевода нелинейной стационарной системы из начального состояния в заданную точку фазового пространства. Впервые полное исследование граничных задач для линейных управляемых систем выполнено Р. Калманом [3]. В последние десятилетия появились работы [3-9], направленные на решение различных типов граничных задач, для нелинейных систем специального вида. Однако теория решения граничных задач для нелинейных управляемых систем общего вида разработана слабо и трудности на пути ее создания достаточно велики. Главное отличие результатов настоящей статьи от известных ранее состоит в том, что для более широкого класса нелинейных стационарных управляемых систем получен достаточно простой для численной реализации алгоритм построений синтезирующего решения поставленной задачи. Указанный алгоритм обладает устойчивостью к погрешностям вычислений и случайным возмущениям. Объектом исследования является система

х = /(х,и), (1)

где

х = (х1,...,хпУ, хеЯ'1-, и = (и\...,иг)*, и£Лг, г^п,

4 6 [0,1]; /еС3(Я"хД'';Я"), / = (Д,..., /„)*, ^

/(0,0) = 0, (3)

ЫКСь (4)

гапк{В, АВ,..., АП~1В} = п, А = 0), В = 0). (5)

Дополнительно предположим, что частные производные второго порядка от правой части системы (1) по всем компонентам управления и фазовых координат ограничены во всем пространстве.

Пусть заданы состояния

х(0) = 0, х{\) = х\; х1={х\,...,хп1)\ ||а;||<С1. (6)

© А. Н. Квитко, Е. В. Пятибратов, 2008

Задача. Найти функции ж(£) € С^О, 1), и(Ь) 6 С1 [0,1), удовлетворяющие системе (1) и условию (4) так, чтобы были выполнены соотношения

Указанную пару и{Ь) будем называть программным движением.

Теорема. Пусть выполнены условия (3) и (5). Тогда 3 Во > 0 такое, что для всех XI, удовлетворяющих: ||а;1|| <£о, существует решение поставленной задачи, которое сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и решению задачи Коши вспомогательной нелинейной системы, замкнутой управлением, полученным в ходе решения задачи стабилизации.

Доказательство. Выберем некоторый вектор их € Яг их = ... ,и[)*. Используя (2), систему (1) можно записать следующим образом:

ж(0) = 0; хЦ) ->■ хх при £ 1.

х■' — X

j=X к=1

к=1 3=1

Щ =Г(хх,их).

Здесь

X — Хх + 9{{х — Хх), й = их + @ г {и + их), в{ е (0,1), * = 1.....П,

\\х\\<С1.

Будем искать решение поставленной задачи:

Хг({) = аг(4) + х\ , г = 1,п, а = Ра + С}Ъ + 111{а,Ь) + Д2(а, 6),

(7)

(8) (9)

где

Р={Р'}, их), г,; = 1,гг;

0/' _ _

<5 = {<9}}. <5} = о-?^!' г = 1,гг, 7 = 1,г;

-Й1 = , ■ • •, -Й")

д2 — ■ ■ ■ ,Щ)*;

а=(а\...,ап), Ъ=(Ъ\...,ЪГУ-

Условия (4), (6)-(8) дают

||а(«)+®1|| <Си 4 6 [0,1], ж(0)=0 => а(0) = -Ж1.

Сделаем преобразование переменной I по формуле

(Ю)

« = т б [0, +оо) а > 0. (11)

Тогда система (9) и условие (10) примут вид

(1с а а а са

~г~ = 7--^(¿Л + 7-К] (с, с/) + --— Л2(хь«1), (12)

с1т (г + а)2 (т + а)2 (т + а)2 у ' {т + а)2 4 у v ;

с(т) = а(<(т)), «*(т) = Ь(*(т)), т 6 [0, +оо),

||с(г)+:п|| <СЬ 0(0) = -®!. (13)

Наряду с (11) рассмотрим систему

с1с а а

= -МО,+00). (14)

Будем искать функцию <1(т) так, чтобы обеспечить экспоненциальную устойчивость системе (14). Пусть г — 1,г, - г-й столбец матрицы С). Построим матрицу

5= (15)

Здесь кг, г = 1,... ,г, — максимальное количество столбцов вида Р(¡¡,..., г =

1,..., г, таких, что векторы

91

линейно независимы. Согласно (5), Э £1 > 0,0 < £1 < СьО < Е\ < С2 такое, что V XI, и1 :

1Ы1 <£ь|М1 <£1. (16)

ранг матрицы (15) равен п. Пусть 2:1,1*1 удовлетворяют условию (16), тогда преобразование

с = 5у (17)

приводит систему (14) к

Т = + т-^5"1^- (18)

ат (т + а)2 (т + а)2

В (18)

5 1РБ = (е2,е3, ■ ■ ■ ,ек,дк{,... ,ёк{_1+2,... ,ек{,дк,) , ëi = (0,..., 1,..., 0)* х1, где 1 стоит на г-м месте,

9к. = -,-9*1 \0,...,о)* , X = 1.....г,

V / пх 1

- 1 к; - 1 РН = - Е 9к,Р*Ч 1 - ■ • • - Е З^Р^и 1 = 1,...,Г.

3=0 3=0

В (14) д3к., ] = 0,..., к\ — 1, ... ,дк.\ ] = О,..., к^ — 1, являются коэффициентами разложения вектора по векторам ; ] = 0,..., к\ — 1,... ] = 0,..., /с, — 1:

г — 1

5_1<5 = (ёь ... .. ■,ё7+1), 7 =

г=1

Рассмотрим задачу стабилизации системы вида

= '• • } + **(ГГ^' г = ■ • 'г' (19)

,• = ' = (0, - -.,0,1,0,...,0)^^где 1 стоит на г-м месте;

< = (-яй......

\ / X 1

9к( =

Запишем систему (19) в скалярной форме

а п ... а

ат ~ (т + а)2 ' 1 (т + а)2 '

_ а 1 _ а 1 *4

йт ~ (т + а)*Ук< (т + а)*9к<Ук*'

^Г1 = а _ а пк;-2.к,

йт (т + а)2 к{ (т + а)2 ' Ук<' (1Ук\ _ а к._1 а к._ 1 к.

(20)

йт (■т + а)2'Ук< (т + а)2°к- Ук-

ф. Исп

ход, будем иметь

Пусть ук' = ф. Используя последнее уравнение системы (20) и индуктивный пере-

У к, =

у^-^а-^т + аГ^+д^ф, укк\~2 = а"2 (г + а)4^(2) + (2 а"2(т + а)3 +

+ а-1(т + а)2дкк'-1)ф^+дк'-2ф, (21)

Ук, = а~к'-1(г + а)2*'"1^*'-0 + п^2{тЖкг - 2) + ... ... + П (г)^ + д\.ф.

Продифференцировав последнее равенство (21), из первого уравнения системы (20) получим

+ек^1(тЩк1-1) + ... + е0(т)гР = ак'(т + а)-2к<с1\ (22)

(т + а)2

В (21) г^_2(т),..., 7*1 (т) являются линейными комбинациями дробей вида - со

а

степенями не выше 2— 1) — 1. В (22) £д.;_1(т),... ,£о(т) — линейные комбинации вида _

а-^-^т + а)2**«-1)

и* =ак'{т + а)-2к'<Г, ¿ = 1,..., г. (23)

Положим

= г = 1,...,г, (24)

з=\

где 7] = 1,... ,кг, выбраны так, чтобы корни уравнения

Ал,"+7^_1Л*:;-1+...+7о = 0, 1 = 1,..., Г, Л^.,..., А* удовлетворяли условиям

К Ф ¡¿3, А1, <0,

] = 1,..., кг; г = 1,... ,г. Используя (17), (20), (23), (24), находим

= + г=1,...,г, (25)

где ¿а- = (ек,._1(т) - ... ,е0(т) -70); Тк{- матрица равенства (21), т. е. ук, =

Тк{ф; ф = (фС"-1),... ; матрица, состоящая из соответствующих/г^-строк

матрицы 5-1. Если подставить (25) в правую часть системы (14), то для ее решения с(т) с начальными данными

с(0) = -XI (26)

имеет место оценка

||с(т)|| ^ МоЫе'Хх, Л > 1. (27)

Положим а = 1 и замкнем нижеследующую систему управлением (25), предположив дополнительно, что ее решения удовлетворяют начальным данным (26) и ограничениям (13). Систему можно представить в виде

йс

— = А{т)с + д1(с,т)+д2(с,т), (28)

здесь

(т+1)2

92 (с, т) = -—-Ц--Я2(х1,и1). (г + I)2

Условия (2), (13), (21), (25) и гарантируют существование констант Ь > О, М > О таких, что

1Ыс,г)|| ^Х(г + 1)2М||с||2, |Ь(с,г

1

(т+1)2

/(Ж1,«1)-4 0 при ||а:11| —> 0, ||м11| —» О,

М > 2кг, г = 1,... ,г. Введем в рассмотрение систему

е?с

2Н/(®1.«1)11.

(1Т

Из (27) следует, что система

= А{т)с+ </1 (с, г).

л/ \ ^ = Л(Г)С

экспоненциально устойчива. Сделаем в (31) замену

с(т) = г (г) 1

(г+1)

2 Л/ '

В переменных 2 система (31) примет вид

¿г

— = В{т)г + д 1(г,т), г(0) = -XI,

В(т) = А(т) + 2М (т + 1)~1Е,

д1(г,т) = (т+1)™д1[г

1

(г+1)2 М

где — единичная матрица. Используя (29), (33), имеем

^(с.г)!!^«2.

,Т

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

Из (33) видно, что из экспоненциальной устойчивости системы (32) следует экспо-га(ненциальная устойчивость системы

Лг тз / ^ Тт = В{т)г

(37)

с показателем устойчивости —¡3 = — (А — ё), где А - показатель устойчивости системы (32), а ё > 0 - достаточно малое число.

Пусть Ф(т), Ф(0) = Е — фундаментальная матрица системы (37). Решение системы (34) с начальными данными (35), принадлежащее области

г{т)

1

0- + 1)

2 М

+ XI

< С\, т € [0, +оо),

(38)

примет вид

г(т) = -Ф(т)ц + [ Ф(т)Ф(39) На основании (27), (33)

||Ф(г)|| ^ Ке-Р*, (40)

ЫтШ^МгЫе-"*, (41)

где К — постоянная величина, вообще говоря, зависящая от /3. Ограничим область изменения г (г) неравенством

|Ит)||<Сз, 0 < С3 <С\. (42)

Из (33), (41) следует, что неравенства (38), (42) будут выполнены при условии

(М + 1)Ы|<Сз. (43)

Из (36), (39), (40), (42) вытекает

||г(г)|| ^ Ке'вт||х!|| + Г е-^-^КЬС3ЫсИ. (44)

Уо

Согласно [10], (44) примет вид

|Ит)|| < Ке-ИЫ, (45)

ц = 0 - КЬС3.

Выберем Сз так, чтобы

ц = /3 - КЬСз > 0. (46)

Пусть е2 > 0, 0 < £2 < £\ такое, что для V Х\, и\, удовлетворяющих неравенствам

|Ы<е2, М|<е2> (47)

будет выполнено неравенство (43).

Условия (45), (46) обеспечивают экспоненциальную устойчивость системе (34) в области (47), которая, в свою очередь, согласно (33), гарантирует экспоненциальную устойчивость системы (31).

Из экспоненциальной устойчивости системы (31), согласно [11], следует существование положительно-определенной функции У (с, г) в области (47) такой, что

71||с||2 <У(с,т) ^72||с||2,

* -7з|И|2' (48)

||5га^||<74||с||.

Здесь 71,72,73,74 ~ известные положительные постоянные. Производная функции У(с,т), в силу системы (28), имеет вид

= +7—ГТТг^^сКД хищ)). (49)

ат (34) ат (37) (г + I)2

Выберем Ез > О, О < £3 < £■> так, чтобы шар радиуса £3 с центром в начале координат содержался в области (47). Фиксируем числа А,<5:

A = 7i|N|2, 6=.[^\\£З\\.

V 72

Очевидно, что

V(c,r) < A,Ve: ||c||<¿. Используя (29), (30), (48) и (49), найдем е4 > 0, 0 < £4 < е3 так, чтобы

Т < -^IHI2 + 7TT-l2^llcllll^®b«i)ll < о, (50)

ат (8) (1 + t)¿

Ve, г : ó ^ ||с|| ^ £3, т ^ 0, при

№i,ui)|| <е4. (51)

73

Для этого достаточно положить 0 < £4 < —<5. Из условия (3) и непрерывности f(x\,u\)

74

можно найти е5 > 0, 0 < £5 < е4 такое, что Vxi,Ui : ||®i|| < £5, ||ui|| < £5, и имело место неравенство (51). Положим £о = £5.

Из неравенства (51) и условий выбора \,5 следует, что все траектории с(т) с начальными данными в области ||a:i|| < £б, где £q = min(<5,£5), не покинут области ||с|| < £3. Из (50) получаем

V(c(r),r) —> 0 при г оо. В свою очередь, выражения (48) гарантируют

с(г) —» 0 при т —> оо.

Из вышеизложенного можно заключить, что если в решение системы (28) с начальными данными (13) из области ¡|a:i|| < £б подставить формулы (7), (8), (25), то, согласно выводу уравнений (12), правомерность которого гарантируется условиями (4), (10), (13), (38), (45), (47), получим решение поставленной задачи. Теорема доказана. Описание алгоритма:

1. Построение матрицы 5' = {В, АВ,... ,Ап~1В}, фигурирующей в условии (5).

2. Выбор векторов xi,u\ так, чтобы rank S' = п.

3. Построение матриц Р, Q:

Р={Р;}, р;=^(х1,щ), г, j = T~ñ;

di1 _ _

Q = {<?}}. Q) = q—«1). i = i,n,j = i,r.

4. Построение стабилизирующего управления системы (14) по формуле (25).

5. Переход в полученном стабилизирующем управлении к исходной независимой переменной t по формуле (11).

6. Решение задачи Коши на промежутке [0,1) для системы

х = f(x + xi,u(x, t) + Ui),

замкнутой управлением u(x,t), полученным в п. 5 с начальным условием ж(0) = —х\. Остановка счета определяется условиями

||®||<е, 1 -t<e,

где е > 0 — заранее выбранное число, которое характеризует точность поставленной задачи.

Summary

Kvitko A. N., Pyatibratov Е. V. The solution of the boundary problem for nonlinear controlable stationary systems.

An algorithm for constructing the control functions for which the solution of a nonlinear system of differential equations goes from its initial state to a given final one is proposed.

Литература

1. Квитко A. H. Об одном методе построения программных движений // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, вып. 3. С. 392-399.

2. Shimemura Е., Kobayachi Н. A feedback control of nonlinear systems on equilibratable set // Ger-Jap Semin Nonlinear Probl. Dyn. Syst.-Theory and appl. Stutgard Sept. 1984. P. 1-33.

3. Калман P., Фалб П., Арбиб M. Очерки по математической теории систем / Пер. с англ. Э. JI. Напельбаума; Под ред. Я. 3. Цыпкина. М.: Мир, 1971. 400 с.

4. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 495 с.

5. Комаров В. А. Синтез ограниченных управлений для нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1993. № 2. С. 76-82.

6. Гусар В. В. Об одной задаче сплайн-управления // Дифф. уравнения. 1998. № 9. С. 1475-1481.

7. Черноусъко Ф. JI. Декомпозиция и синтез управления в нелинейных динамических системах // Труды Матем. ин-та РАН. М., 1995. Т. 211. С. 457-472.

8. Черноусъко Ф. Л. Управление системой с одной степенью свободы при ограничениях на управляющую силу и скорость ее изменения // Докл. РАН. 1999. № 4. С. 464-472.

9. Коврижкин О. Г., Крамаренко Е. JI. Встречный метод решения задачи управления конечным состоянием // Автоматика и телемеханика. 1994. № 3. С. 37-42.

10. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Мир, 1967. 223 с.

11. Красовский Н. Я. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

Статья рекомендована к печати проф. А. М. Камачкиным.

Статья принята к печати 11 ноября 2007 г.