Об одном алгоритме решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы с учетом запаздывания управляющего воздействия Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 2

УДК 517.977 А. Н. Квитко

ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

1. Введение. При проектировании систем управления различными подвижными объектами (летательными аппаратами, роботами-манипуляторами, гироскопическими системами и т. п.) в реальном времени и их моделировании приходится учитывать тот факт, что управляющее воздействие на объект управления происходит с некоторым запаздыванием по отношению к тому моменту времени, когда был сформирован управляющий сигнал. Это происходит из-за инерционности исполнительных органов систем управления. Указанное обстоятельство диктует необходимость в уравнениях, описывающих движение объектов управления, вводить управляющие функции с запаздывающей независимой переменной.

Одним из важных и сложных аспектов проблемы математической теории управления являются вопросы, связанные с поиском конструктивных методов построения управляющих функций с запаздывающим аргументом, при которых решения различных классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений соединяют заданные точки в фазовом пространстве. Отдельный интерес представляют вопросы, связанные с нахождением конструктивных критериев, гарантирующих существование указанных управлений. В работах [1-6] предложены методы построения программных и синтезирующих управляющих функций с запаздывающим аргументом, осуществляющих перевод линейных и квазилинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений из начального состояния в заданное конечное. В частности, в [4] учитывается ограниченность управляющего воздействия.

Задачам, связанным с поиском критериев существования управляющих функций, гарантирующих перевод нелинейных систем в начало координат из некоторой его окрестности с учетом наличия запаздывания, как в управлениях, так и в функциях фазовых координат, посвящены работы [6-11].

Несомненный практический интерес представляет нахождение конструктивных критериев, гарантирующих перевод нелинейных стационарных управляемых систем с учетом различных типов запаздывания управляющего сигнала из начального состояния в начало координат. При этом при отсутствии управляющего воздействия система может покидать состояние равновесия (см. [12-15]). В работах [16-20] исследуются вопросы существования управляющих функций с учетом постоянных, переменных

Квитко Александр Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры информационных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 70. Научные направления: краевые задачи для управляемых систем, стабилизация, методы оптимизации программных движений, управление движением аэрокосмических комплексов и других технических объектов, разработка алгоритмов автоматизированного проектирования интеллектуальных систем управления. E-mail: [email protected].

© А. Н. Квитко, 2009

и распределенных запаздываний аргумента, при которых возможен перевод нелинейных систем специального вида в конечное состояние при заданных начальных функциях управления и фазовых координат.

Вместе с тем теория решения граничных задач для нелинейных систем с учетом запаздывания управления общего вида находится в стадии своего развития и трудности по ее созданию велики.

Основное внимание было уделено разработке достаточно простых, с точки зрения численной реализации, алгоритмов нахождения решений указанных задач для широкого класса нелинейных управляемых систем с учетом ограничений на управление и фазовые координаты. Поставленная цель достигнута посредством сведения исходной задачи к задаче непрерывной стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Объектом исследования является управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений

Задача 1. Найти управление п(Ь) € С 1[0,1] так, чтобы для решения системы (1) х(Ь] были выполнены условия

Задача 2. Найти управление п(£) € С 1[0,1] так, чтобы для решения системы (1) х(£) были выполнены условия

Здесь є і > 0,£2 > 0 - произвольные фиксированные числа, 0 < < 1 - некоторый

момент времени.

х = /(х,и (і — Н),і), 0 < Н < 1, где х = (х1,..., хп)*, х Є Д”; и = (и1,..., ит)*, и Є Дт, г ^ п, і Є [0,1];

(1)

/ Є с3(дп X дт X Д1; Д”), / = (/1,...,/п)*,

/ (0, 0,і) = 0, гапк(В, АВ,..., А”-1 В) = п,

(2)

(3)

(4)

А

В

І = 1,...,п;

з = 1,...,г;

(5)

х(0) = 0, и (і) = 0, Уі Є —Н, 0], х(1) = х1, х1 = (х1,...,х”)*, ||х1|| < С1, 0 < Н < 1.

(6)

х(0) = 0, х(і) ^ х1 при і ^ 1.

(7)

||х(і1) — х1І| < Є1, 1 — і1 < Є2.

(8)

1. Решение задач.

Теорема. Пусть выполнены условия (2)-(4). Тогда существуют е0 > 0, 1 > Н0 > 0 такие, что для любых х!, Н : ||х!\| < £о, 0 < Н < Н0, существуют решения поставленных выше задач 1, 2.

Доказательство. Покажем, что решение этих задач с помощью подходящих замен фазовых координат и независимой переменной может быть сведено к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы с экспоненциальными коэффициентами и последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Используя свойства (2), правую часть системы (1) можно записать в виде

Э = !

(9)

+ 0? 1)^ + (ж, ад, £) + Ж(^1, 0, £), I = 1, . .., п;

ди

3 = !

3=!к = !

Л п г

дхкди>

д 2/ *

(Х,и,1)(хк — хк )и +

к=!з=!

сН2 дх>

д 3/*

(х, и, ^(х3 — х! )(£ — 1) +

(х, и, t)uj (4 — 1) +

(х, и, 1)(х5 — х!)(4 — 1)2 +

д/ 1 д 2 / *

Щ. = /*(жь 0> 1) + 0> — 1) + 2~1Й?~^Х1' — ^2’

(10)

х = х! + в*(х — х{), и = в*и, * = 1 + в*(Ь — 1), в* € (0,1), х = х! + в*(х — х!), и = в*и, в* € (0, 1), г = 1,..., п,

уху < С!, \\и\\ < С2, уху < С!, ||и|| < С2, 0 < * < 1.

Замечание 1. Два последних слагаемых в К\ и последнее слагаемое появились в результате представления

Используя теорему о среднем, искомую функцию и (4 — Н) ,Ь € [0,1], можно представить следующим образом:

После подстановки (12), (13) в систему (1) с учетом (9), (10) получим систему, которую запишем в векторной форме

рицы соответствующих размерностей с элементами, определяемыми коэффициентами квадратичных форм, представляющих первое, второе и третье слагаемые в равенстве

(10) для Н\, Ь5 Щ(а,и(Ь — Н),£); ] = 1, 2, 3, 4 - вектора с компонентами, являющимися коэффициентами линейных форм, соответствующих четвертому, пятому, шестому и седьмому слагаемым в этом же равенстве. Символ (.,.) означает скалярное произведение векторов.

Условия (5), (6), (12) дают

3 = 1 3=1

Ищем решение поставленной задачи в виде

Xі (і) = аг(і)+х\, і = 1,...,п.

(12)

иі (і — Н) = иі (і) — Нііі(ві), ві Є [і — Н,і], і = 1,...,г.

(13)

а = Ра + Qu + Иі(а, и(і),и(і — Н) ,і) + Й2(хі, 0, і),

(14)

а = (а1,..., ап)*,

і?1_ = а*Б\а + и*(і)Б2 и(і) — Ни*(і)Б2 і(в) —

— Н 'і*(в)Б2и(і) + Н2і*(в)БІ,й(в) +

+ а*Б3и(і) — На*Б3и(в) + (і — 1)(Ь*, а) +

+ (і — 1)(Ь2 , и(і)) — Н(і — 1)(ь2 , ^(в)) +

+ (і — 1)2(6‘*, а) + (і — 1)2(6‘*,и(і)) — (і — 1)2(6‘*,й(в)) — НQй(в),

(15)

||а + хі|| < Сі, ||и|| < С2,

а(0) = —х1, и(і) = 0, Уі Є [—Н, 0].

(16)

Сделаем преобразование переменной 4 по формуле

1 — 4 = е-ат, т € [0, +го),

где а > 0 - некоторое фиксированное число. Тогда система (14) и условия (16) примут вид

Ис ~ _

-атр, I —ат/ОЛ I А А(п

— = ае атРс + ае ^С^іІ+аІіЛс, сі, <1(т),т)е ат + аі?2(хі, 0, т)е ат

с(т) = а(і(т)), і(т) = и(і(т)), а(т) = и(і(т) — Н), т Є [0, +го),

1

----1п(1 + К), 0

а

(19)

(20)

с(0) = —хі, а(т) = 0,т Є

|с(т)+хі| < Сі, ||1(т)|| < С2. (21)

Введем новую управляющую функцию и>(т), связанную с і(т) уравнениями

аа(т)

— ат { 1

= ае аі и, и — 'п'

, и = (и1,...,ит)*, и Є Ет,

ат

іи — ат /1 т ^ т~>г

— = ае и>, ги = (ги , . .. ,и> ) ,и> Є Е ат

и(0) = 0,

М < Сз.

(22)

Рассмотрим систему іс

ат

Р

= ае -ат Рс + ае

Р Q 01 '

02 0з Етхт

04 05 06

(23)

(24)

, Q

07

08

Ет

с = (с, і, и)*,

п+2тхп+2т \ ^тХт / п+2тхт

где О1,1 = 1,..., 8, - матрицы с нулевыми элементами соответственно размерностей [п х г], [г х п], [г х г], [г х п], [г х г], [г х г], [п х г], [г х г]; Етхт - единичная матрица размерности [г х г]; = (Ё*1,0,. ..,0)П+2гх1; Е2 = (Щ,0,. ..,0)П+2тХ1.

Система (24) получена в результате присоединения системы (22) к системе (18). Ограничения (21), (23) будут выполнены при

||с|| + ||со|| < С4, С4 = шш(С1, С2, Сз), со = с(0). Наряду с (24) рассмотрим систему

Ис — —

— = ае-атРс+ае-атС}и). ат

(25)

(26)

Будем искать непрерывную функцию и>(т) так, чтобы обеспечить экспоненциальную устойчивость системе (26). Пусть </*,* = 1,...,г, - г-й столбец матрицы Q. Построим матрицу

5 = {ц1,...,1}к1-1С1,...,Сг ,...,Ркг-1с }.

(27)

ат

ат

ат

Здесь кі, і = 1,...,г, - максимальное количество столбцов вида Сі, Р Сі,..., Ркі-1Сі, і = 1,...,г, таких, что векторы С1, РС1,..., Ркі-1С1,. ..,Ст,..., Ркг-1Ст линейно независимы.

Нетрудно видеть, что из условия (4) следует существование є > 0, є < С1, при котором для всех х1 , удовлетворяющих неравенству

1Ы < є,

ранг матрицы (27) равен п + 2г. Преобразование

с = Бу (28)

приводит систему (26) к виду

^ = аЗ~1РЗе~ату + аБ-^е-^ъи. (29)

Согласно [21], матрицы 5-1Р5 и 5-1Q имеют вид

т

5 РБ {с2,...,скі, Скі,..., С^-і+2, ..., , Скг },кт У ^ кі,

і=1

Сі = (0,...,1,...,0) *п+2тх1, где 1 стоит на і-м месте,

— / 0 кі — 1 0 кі — 1а \*

Які ( Які,..., Які ,..., Які,..., Які , 0,..., 0)п+2тх 1;

кі -1 кі-1

РкіСі = — ЯкіР3С1-------^2 ЯкіР3Сі, і =1,...,г. (30)

3=0 3=0

В (30) ЯІі, 3 = 0,...,к1 — 1,...,Я3кі ,3 = 0,...,кі — 1, являются коэффициентами разложения вектора Ркі Сі по векторам

Р3 С1; з =0,...,к1 — 1,...,Р3 Сі; з = 0,...,к — 1,

5 Q {С1, ..., Скі+1, ..., С7 +1},

т-1

7 = $3 кі.

і=1

Рассмотрим задачу стабилизации системы вида

Укі (-к. ={е> '

= {4і ,...,Ск, Які }ае ат укі + е'їі ае ат и>г, і =1,...,г,

Укі = (уіі ,...,у’кі Укіх^ (31)

Скі = (0,...,1,...,0)кіх1,

где единица стоит на і-м месте; Які = (—Я0і,..., —Як.-1)кіХ 1; ™ = (м1,..., мт)*.

Систему (З1) в скалярной форме можно записать так: dVh = -agle-aTykk‘.+ae-aTwi,

dт dy2

ki ат 1 1 ат ki

- ae Укг ~ Укг

(1т

........................................... (32)

y ki_i

yki ат ki—2 ki—2 ат ki

- ae y£ - ag£ e yfc;

(1т

dyki

ki ат ki 1 ki 1 ат ki

= ae ykl — agk e yk\

Ит

Пусть ук = ак*ф. Используя последнее уравнение системы (32) и индуктивный переход, будем иметь

k

Ук,

к

y

к

y

= аki ф,

— 1 = aki—1ёат ф(1) + g^a^ ф,

—2 = aki—2е2ат ф(2) + (aki—1е2ат + а^—1еат g^^^ + g^a^ ф, (33)

у\. = ае(к* 1)атф(к* 1) + гк*—2(т)ф(к* 2) + ••• + г1 (т)ф(1) + ак*д\,ф.

Если продифференцировать последнее равенство (33), то из первого уравнения системы (32) получим

ф(к*) + £к.-1(т )ф(к*-1) +---+ £о(т )ф = е—к*ат тг, г = 1,...,г. (34)

В (33) гк*—2(т),..., г1(т) являются линейными комбинациями экспонент с показателями не больше (к — 1)ат. В (34) £к€—1(т),... ,£о(т) - линейные комбинации экспонент с показателями не больше нуля. Пусть

= е—ак*т шг, г =1,...,г. (35)

Положим

ki

w% = ^2(l^ki—j(т) — Yki—j)ф(ki—j), i = 1,...,r. (36)

j=1

Здесь Yki -j , j = 1,...,ki, выбраны так, чтобы корни A^,..., Afc* уравнения

Aki + Jki-iAki 1 + ••• + Yo = °j * =l,...,r, удовлетворяли условиям

Aki = j , * = j> j < -(2ki - 1)a - 1, j = l,...,ki, * = l,...,r. (37)

Используя (28), (33), (35), (36), получим

wi = ekaT 6кг T- 1S-1c, * = 1,...,r, (38)

где 5к*_ = (£к*—1(т) — 7к*—1,...,£о(т) — 7о); Тк. - матрица равенства (33), т. е. ук* = Тк*ф; ф = (ф(к* —1),...,ф)2; й—1 - матрица, состоящая из соответствующих кг-строк матрицы 51—1. Если подставить (38) в правую часть системы (26), то для ее решения с(т) с начальными данными

со = с(0) = ( —Ж1, 0, 0 )2, (39)

согласно (37), имеет место оценка

||с(т )|| < Мо ||со|| е—Лт, Л> 1. (40)

Рассмотрим систему (24), замкнутую управлением (38). Ее можно записать в виде

Здесь

d с

— = A{r)c + gi{c, т) +д2(х1,0,т). (41)

А(т) = ae-aT P + ae-aT QekaT hT-1S-1,

ekaTSkT-1S-1 = (ekiaTSklT-S-,..., ekraTSkrT-S-)*, gi(c, т) = ae-aTR1(c, d, d, т), g2(x1, 0, t) = ae-aTR2(x1, 0, t). (42)

Условия (1)-(3), (10), (11), (15), (21)-(23), (42) гарантируют существование в области (25) констант L > 0, K1 > 0, T(x1) > 0 таких, что

Ыс0,т)|| <T(x1)e-aT, ||g1 (с ,т)|| < Le-aT ус|| + K1he-aT, (43)

где

T(x1) — 0 при ||x11 > 0. (44)

Пусть Ф(т), Ф(0) = E - фундаментальная матрица системы (29), замкнутой управлением (38). На основании (40)

||Ф(т)У < Ke-XT, A> 0, т £ [0, +го). (45)

Решение системы (41) с начальными данными (39) и принадлежащее области (25) имеет вид

T

с(т) = Ф(т )Ф-1(т1)с(т1) +У Ф(т )Ф-1 (t)(g1 (с, t)dt + g2(co t))dt,T £ [т1, <х>), (46)

T1

T

с(т) = Ф(т)со + J Ф(т^-1(t)(g1(o, t)dt + g2(oo,t))dt, т £ [0,т^. (47)

o

Из (43), (45)-(47) следует

T

||с(т)|| < Ke-X(T-Tl) Цс(т1 )|| +J e-X(T-t)K(Le-at ||o(t)| + K1he-at +

+ Т(х1)е аі)іі, т Є [т1, те), (48)

т

||С (т)|| < Ке-Хт ІІС0І +1 е-Х(т-)К(Ье-аі ||С(і)| + К1Не-ат + (49)

0

+ Т(х1)е-ат)іі, т Є [0,т1].

Введем обозначение

Ь^п) = Ье-аті, т1 Є [0, +те). (50)

Используя известный результат [22], можно значительно упростить неравенства (48), (49). В результате получим

т

||с (т)|| < К(е-»(т-ті) ||С(т1)| + е-»т I е*е-аг(Кф + Т(х1))іі), т Є [т1, те), (51)

ті

т

||с(т)|| < К(е-»іт |С0|| + е-»іт І е^е-аі(К1Н + Т(х1))іі), т Є [0,П], (52)

0

Л = Л — КЬ1(т1), Ц1 = А — КЬ. (53)

На основании (50) при фиксированном а > 0 можно подобрать т1 > 0 так, чтобы

в (53) было выполнено

ц = А — КЬ1(т1) > 0. (54)

Оценки (51), (52) с учетом (54) примут вид

IIс(т)|| < Ке-»(т-ті) ||с(т1)| + К2е-ат(К1Н + Т(х1)),т Є [т1, те), (55)

||с(т)|| < Кз ||С01 + К4(Н + Т(х1)),т Є [0,т1], (56)

где Кі > 0, і = 1, 2, 3, 4, - постоянные величины.

Воспользовавшись условиями (44), (54)-(56), можно найти єз > 0:0 < єз < є, Н0 : 1 > Н0 > 0 такие, что для всех С0, Н > 0, удовлетворяющих неравенствам

||с0|| < єз, 0 < Н < Н0, (57)

будут справедливы оценки

||с(т) + С0| < ||с(т)|| + ||С0| < (58)

< К ||с(т1 )|| + К2(К1Н + Т(х1)) + ||С0|| < С4, т > т1;

Ус(т) + с0^ < Ус(т)| + УС0|| < (59)

< Кз ||С0|| + К4(Н + Т(х1)) + ||С0| <С4, т Є [0,т1].

Очевидно, что (58) будет выполнено для всех С0, Н > 0, таких что

К (Кз || С0|| + К4(Н + Т (х1))) + К2К1Н + Т (х1)) + || С0|| < С4. (60)

Положим є0 = єз. Рассмотрим первые две компоненты решения задачи Коши с(т) для системы (41) с начальными данными (39), начальной функцией (20) и запаздыванием Н > 0 в правой части, для которых имеют место неравенства (59), (60). Тогда,

если их подставить в (19), (17), (12), получим решение задач 1, 2 и соответствующие им функции фазовых координат х(*), удовлетворяющих (7), (8). При этом момент €[0,1),

фигурирующий в условии (8) задачи 2, определяется формулой

г1 = 1 - е-аТ1, где Т1 € (0, те) удовлетворяет условиям

У С(Т1)|| < £1, \в-аТ1\<£2.

Теорема доказана.

3. Заключение.

Замечание 2. Условия (58), (59) можно записать в более компактной форме. Для этого выберем £4 > 0, ко > 0 так, чтобы выполнились соотношения

Кз£4 + К4£4 + К4ко + £4 < С4, (61)

ККз£4 + КК4£4 + КК4ко + К2К^1ко + К2£4 + £4 < С4. (62)

Неравенства (61), (62) будут выполнены для всех £4 > 0, ко > 0 таких, что

£4 < К5, ко < Кб, (63)

к = ■ [ С.4_________________С4___________

5 Ш1П \ 2(К3 + КА + 1У 2(К(К3 + К4) +К2 + 1))

~ _ • $Са_ _______^4

6 Шт{ 2КЛ’ 2{КК4 +

По £4 > 0, используя (44), можно подобрать £5 > 0:0 < £5 < £4 так, чтобы выполнилось условие

Т(Х1) < £4, 4x1 : ||х1|| < £5. (64)

Таким образом справедливо

Следствие. Вторая компонента решения задачи Коши для системы (41) с начальными данными и запаздыванием из области (57), где £3 > 0,1 > ко > 0,£з < £ выбраны из условий (61)—(64), после перехода к исходным переменным дает решение задач 1, 2.

Замечание 3. Условие (3) не является обременительным, поскольку оно будет выполнено автоматически, если рассматривать систему (1) как систему в отклонениях относительно некоторого установившегося программного движения, которое всегда имеет место до начала решения поставленной задачи.

Замечание 4. Полученные алгоритмы решения задач 1, 2 легко обобщить на случай, когда правая часть системы (1) имеет вид

Х = ](х(Ь — к), п(Ь — к),Ь — к).

Описание алгоритма решения задачи.

1. Построение матриц Р, Q.

2. Нахождение управлений, стабилизирующих системы (26) по формуле (38).

3. Решение задачи Коши для вспомогательных систем (41) с начальными данными соответственно (20).

4. Переход к исходным переменным по формулам (19), (17), (12).

К1К2)

4. Пример. В качестве иллюстрации предложенного метода приведем решение задачи перевода материальной точки, движущейся по круговой орбите с постоянной скоростью в центральном поле тяготения в заданную точку, лежащую в плоскости этой орбиты с помощью реактивных двигателей.

Согласно [23], система уравнений в отклонениях относительно указанного движения по круговой орбите имеет вид

Х1 = Х2,

Х2 = г>1(хь Х4) + п\,

Хз = Х4,

X 4 = г>2(х!,Х2,Х4) +^з(х1)м2-

Здесь Х1 = г — го; Х2 = г; Хз = ф — аоЬ, Х4 = ф — ао, и = апт/т;и>2 = афт/т; го - радиус круговой орбиты, Г - радиальная скорость; ф - полярный угол; ф - скорость изменения полярного угла; аг,аф - проекции вектора относительной скорости отделяющейся частицы на направление радиуса и поперечного направления соответственно; т,т -соответственно масса и скорость изменения массы; ао - угловая скорость движения по заданной круговой орбите,

VI =

(х1 + го)2

V2 = —2

+ (х1 + го)(Х4 + ао)2

х2(х4 + ао)

Х1 + го ’

1

vз =

Х1 + го '

где V = V0М; Vе1 - постоянная всемирного тяготения; М - масса Земли;

Х = (Х1, ..., Х4)*, и = (и1, и2)*, Х1 = (х|;, Х12 ,х3 ,Х^)*, V = (и1, У2)* .

Матрицы Р, Q, стоящие в правой части системы (26), запишутся так:

а21

0 1 0 0 0 0

Р= а21 0 0 0 0 0 4 21 а1 , Q = 1 0 0 0

0 а42 0 0 0 во

дх

дх0

дг/1{ и дг/1{ и дг/2{ 1, п (

— (а^), а24 = —{х1), а42 = —{х1), [Зо=Щ[х1)

с=( С1,..., е4)*, d = (^ ^2)*

гапк(Б,ЛБ,Л2Б,Л3Б) = гапк

0 1 0 0

1 0 723 0

0 0 а42 0

0 а42 0 во

723 = а21 + а24а42.

= 4,

V

Отсюда следует стабилизируемость системы (26) независимо от выбора конечных состояний. После решения задачи стабилизации системы (26) найдем функции V ,и>2, которые обеспечивают экспоненциальную устойчивость замкнутой ими системы (26) с показателем — А(а) < 0. На заключительном этапе решаем задачу Коши для системы

—— = ае aT[vi(xi + х\, х4) + u\(t — h)\,

—— = ае aT[v2(x1 + х\,х2,х4) + г/3(ж! + x\)u2{t - h)];

dxi dr dx2 dr dx^ dr dx4 dr du\ dr du2 dr dvi dr dv 2 dr

— ат

ae ат x2,

— ат

ae ат x4,

ат

ae ат vi,

ат

ae ат U2,

ат

= ae wi,

ат

= ae W2,

замкнутой стабилизирующим управлением, в которой ао = л/-^-, с начальными дан-

V Г0

ными xi(0) = —xj;; x2(0) = — x^; x3(0) = —x^; x4(0) = — x^; u^(r) = 0; т G [—(1/a) ln(1 + h), 0], i =1, 2.

Литература

1. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 495 с.

2. Забелло Л. Е. О полной управляемости линейных стационарных систем с запаздыванием // Изв. вузов. Сер. Математика. 1985. № 4. C. 26—34.

3. Galizia A. Minimal controllability for systems with delays // Intern. J. Contr. 1987. Vol. 45, N 4. P. 1255-1264.

4. Chukwan E. N. Function space null controllability of linear delay systems with limited power // J. Math. Anal. and Appl. 1987. Vol. 124, N 2. P. 293-304.

5. Кирьянен А. И., Шаляпина О. В. Поточечная синтез управляемость систем с запаздыванием // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1989. Вып. 2. C. 10-18.

6. Забелло Л. Е. К исследованию приближенной нуль управляемости в линейных нестационарных системах с запаздыванием // Вестн. Белорус. ун-та. Сер. 1: Математика. 1988. Вып. 1. С. 34-38.

7. Sinha A. S. Null-controllability of nonlinear infinite delay systems with restrained controls // Intern. J. Contr. 1985. Vol. 42, N 3. P. 735-741.

8. Onwua J. U. Function-space null-controllability of nonlinear delay systems with contributed delays // Adv. Modell. and Simul. 1987. N 1. P. 11-20.

9. Карпук В. В. К теории нуль управляемости систем с отклоняющимся аргументом // Изв. АН БССР. Сер. физ. мат. Минск, 1989. 12 c. - Деп. в ВИНИТИ 5 июля 1989 г., № 4482-B89.

10. Balachandran K. Null controllability of nonlinear delay systems // Adv. Modell. and Simul. 1989. Vol. 15, N 2. P. 13-18.

11. Onwuatu J. Null controllability of system with delayed state and control // Adv. Modell. and Simul. 1989. Vol. 15, N 2. P. 19-37.

12. Balachandran K., Somsundram D. Relative controllability of nonlinear systems with time varying delays in control // Kibernetika. 1985. Vol. 21. P. 14-17.

13. Balachandran K. Relative controllability of non-linear systems with delays in control // Automatika. 1987. Vol. 28, N 1. P. 25-28.

14. Balachandran K. Global relative controllability of non-linear systems with time-varying multiple

delays in control // Intern. J. Contr. 1987. Vol. 45, N 1. P. 193—200.

15. Balachandran K. Global relative controllability of non-linear systems with distributed delays

in control // Adv. Modell. and Simuul. 1987. Vol. 7, N 1. P. 28—33.

16. Somasudaram D., Balachandran K. Controllability of nonlinear systems consisting of bilinear mode

with distributed delays in control // IEEE Trans. Autom. Contr. 1984. Vol. 29, N 6. P. 573-575.

17. Sinha A. S. Controllability of non-linear delay system // Intern. J. Contr. 1986. Vol. 43, N 4.

P. 1305-1315.

18. Balachandran K. On the controllability of class of nonlinear systems with time-varying multiple delays in control // IEE Proc. 1986. N 6. P. 297-300.

19. Balachandran K., Somasundram D. Controllability of nonlinear delay systems with delay depending on state variable // Kybernetika. 1986. Vol. 22, N 5. P. 439-444.

20. Balachandran K., Daner J. Controllability of pertubet nonlinear delay systems // JEEE Trans. Autom. Conf. 1987. Vol. 32, N 2. P. 172-174.

21. Kaллман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем / пер. с англ.;

под ред. Э. Л. Напельбаума. М.: Мир, 1971. 399 с.

22. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 223 с.

23. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 25 декабря 2008 г.