Решение геометрических задач с нестандартными формулировками вопросов Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

References

1. Ivanova A.V. Information technologies in professional work: study guide. Program 44.04.01 "Teacher education: master's degree". BU IN Khanty-Mans. ed. district - Yugra "Surgut. GOS. PED. Univ". Surgut: RIO Surgpu, 2017. P. 78. [in Russian].

2. The main provisions of the concept of educational electronic editions and resources / Giglavy A.V., Morozov M.N., Osin A.V., Rudenko-Morgun O.I., Taraskin Y.M. et al. Ed. A.V. Osin. M.: Respublikanskiy media tsentr, 2003. P. 108. [in Russian].

3. Professional standard "Teacher (teaching activities in pre-school, primary general, basic general, secondary general education) (educator, teacher)". Approved by the Order of the Ministry of Labor and Social Protection of the Russian Federation of October 18, 2014 No. 544n.

4. Federal state educational standard for higher education, program 44.04.01 Pedagogical education: (master's degree). Approved by the Order of the Ministry of education and science of the Russian Federation of 19 December 2014 No. 35263.

5. Federal law of 29December 2012 № 273-FZ "On education in Russian Federation".

Сведения об авторе: Иванова Ангелина Валерьевна,

кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики и информатики, Сургутский государственный педагогический университет, г. Сургут, Российская Федерация. E-mail: [email protected]

Information about the authors: Ivanova Angelina Valer'evna,

Candidate of Sciences (Education), Associate Professor, Department of Mathematics and Computer Science, Surgut State Pedagogical University, Surgut, Russia.

E-mail: [email protected]

УДК 513 ББК 22.151

М.М. Исакова, Р.Г. Тлупова, А.С. Ибрагим

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С НЕСТАНДАРТНЫМИ ФОРМУЛИРОВКАМИ ВОПРОСОВ

Рассмотрены задания с нестандартными формулировками вопросов по геометрии и их решения, соответствующие профессиональному уровню заданий ЕГЭ. Показана целесообразность использования теорем Менелая и Чевы при решении некоторых геометрических заданий профессионального уровня.

Ключевые слова: геометрия, теорема, треугольник, секущая, нестандартные вопросы.

M.M. Isakova, R..G. Tlupova, A.S. Ibragim

SOLUTION OF GEOMETRIC PROBLEMS WITH NON-STANDARD FORMULATIONS OF QUESTIONS

Problems with non-standard formulations of questions on geometry and their solutions, corresponding to the professional level of the EGE tasks, are considered. The expediency of using the Menelaus and Chevas theorems for solving certain geometric tasks of the professional level is shown.

Key words: geometry, theorem, triangle, secant, non-standard questions.

У студентов вузов и колледжей, изучающих математику, наибольшие затруднения вызывают геометрические задачи, построения в декартовой системе координат, изображение рисунка, соответствующего данным геометрической задачи. Д. Пойа относил к искусству различные умения, в том числе умение решать задачи. Считая при этом, что как плаванью и бегу, решению задач, можно научиться, оттачивая неоднократными повторениями полученные навыки [4, с. 15].

В принятой Правительством РФ Концепции развития математического образования в РФ отмечается основополагающая роль математики. На современном этапе развития каждому необходимо получение качественного математического образования [3, с. 3]. Геометрии, как науке, наиболее эффективно развивающей логическое мышление, необходимо определить особое место в повышении всеобщей математической грамотности.

Результаты проведения ЕГЭ показывают, что многие выпускники - будущие студенты, не имея достаточных навыков применения теоретических основ геометрии к решению задач, находятся в стрессовом состоянии. Некоторые из них вовсе не приступают к выполнению задач по геометрии. К недостаткам общего математического обучения в школах, колледжах следует отнести: формализацию теоретического содержания предмета «геометрия», отсутствие навыков применения полученных знаний на практике, при решении задач, неуверенность в знаниях основ геометрии, неумение применять имеющийся багаж геометрических знаний в нестандартной экзаменационной ситуации. Необходимы более эффективные методики обучения геометрии; применение доступных восприятию способов получения ответа на нестандартно сформулированный в задаче вопрос; повышение логического мышления. Следует отметить, что намечена позитивная тенденция корректировки по профильному обучению. Учебные программы среднего и среднего профессионального образования стали более нацелены на повышение практических навыков, на укрепление цепочки теория-

практика решения задач. В целом, в обучении в школах, колледжах отмечается углубление геометрической подготовки абитуриентов при чтении элективных курсов. Необходимо повышение развития аналитического мышления будущих студентов вузов [1, с. 45]. Нужно сломать систему натаскивания на экзамен, придав импульс эффективному развитию пространственного мышления, обновлению содержания математических дисциплин на всех уровнях образовательного процесса школа-колледж-вуз [3, с. 3].

Успешному выполнению решений заданий по геометрии способствует знание основных определений, теорем; отточенность навыков по применению теории к практике решения заданий по геометрии. Главенствующую роль в развитии логического мышления, геометрического восприятия имеет основной раздел планиметрии - треугольники и их свойства. Пожалуй, треугольник из классических геометрических объектов, изучаемых в курсе геометрии, является простейшим в виде формы, многообразным в виде свойств, чаще других используемым в практике решения задач. Наличие множества существенных свойств у треугольника позволяет занять этой фигуре приоритетное место при изучении различных видов фигур и их свойств как в школе, так и в вузовских геометрических дисциплинах. Нестандартная постановка вопроса в геометрических задачах, как правило, допускает применение нескольких способов решения. Мы остановимся на применении двух классических теорем, позволяющих существенно расширить границы применения теорем планиметрии при решении геометрических задач. Они способствуют развитию мышления, изящному получению искомого результата по множеству геометрических заданий, включённых в базу ЕГЭ. Многочисленность доступных приложений указанных теорем поможет получать учащимся и студентам правильные результаты, корректно и логически понятно делать выводы. К нашему сожалению, некоторые классические теоремы отсутствуют в современных учебниках геометрии, не обоснованно преданы забве-

ш

о о

о ^

с

о ей

го ¡£ ей

о &

^ о

.0 X

I-^

го ч

X

го

I-

о ф

X

т го ч го

со X

о ф

т ^

Й о

X

ф

3

ф

о.

го

Ю

О <

ГО со о

с

^

с

ОС

со в

о ^

го о

нию, авторы теорем остались в тени математической, геометрической истории. Многочисленные практические использования теорем Д. Чевы и Менелая должны быть учтены на современном этапе математического образования. Методы решений, основанные на указанных теоремах, окажут влияние на развитие пространственного видения, внесут вклад в поиск оптимальных оригинальных размышлений в использовании теорем в пространстве и плоскости [2, с. 23].

Факт существования точек пересечения биссектрис, высот, медиан в любом треугольнике известен всем. В семнадцатом веке Д. Чева, продолжая исследования, проведённые учёным Древней Греции - Менелая, обосновал факт пересечения или параллельности лучей, выходящих из вершин треугольника.

Теорема I (Менелая). Пусть на двух сторонах РО, (¿Я на продолжении третьей стороны РЯ, или на продолжениях всех трёх сторон РО, (¿Я и РЯ А PQR, отмечены точки , Р1, Q1, не совпадающие с вершинами А PQR . Необходимым и достаточным условием принадлежности точек R1, P1, QJ одной прямой является выполнение равенства

(1)

Теорема II (Чевы). Пусть на всех трёх сторонахРО, ОЯ и РЯ или на их продолжениях АPQR отмечены, соответственно, точки R1, Р1, Q1, не совпадающие с вершинами А PQR . Прямые линии РР1, ЯЯр (¿¿¡и пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство

(2)

Доказательства в полном объёме изложены в учебнике И.Ф. Шарыгина [5, с. 24]. Равенства (1) и (2), соответственно, называются равенствами Менелая и Чевы. Являясь прямым следствием теоремы I, теорема II также часто используется при решениях задач с нестандартно поставленными формулировками

вопросов. Применение теоремы I основано на выделении цепочки Менелая «треугольник-секущая». Учёный Древней Греции Менелая предложил использовать цепочку треугольник-секущая, определив секущую любого треугольника таким образом: прямая линия, пересекающая любые две и продолжение третьей стороны, называется секущей этого треугольника.

Покажем целесообразность применений сформулированных теорем в планиметрических и стереометрических задачах с нестандартными формулировками вопросов, предполагающими применение различных методов получения искомого результата. Нами рассматриваются только способы, базирующиеся на изложенных выше, не заслуженно обиженных вниманием, теоремах. Задачи, к решению которых, наряду с другими способами, можно применить предлагаемые нами, получают оптимальные способы решений благодаря равенствам (1) и (2).

№ 1. В А PQR точки К и ^ выбираются на сторонах РЯ и (¿Я и, деля их РК: КЯ = 7 : 3; ¿8 : 8Я =7 : 5 . Укажите соотношение, в котором делится отрезок (¿К отрезком Р8.

Достаточно простые рассуждения, основанные на теореме I для А KQR, приведут к искомому результату. Точку пересечения отрезков (¿К и РЯ обозначим О. Секущей, в данном случае, будет РЯ. На КЯ, ¿К , ¿Я , соответственно, находятся точки Р, О, 8. Как видно, точки Р, О , 8 принадлежат одной прямой линии Р8, то есть выполнено условие теоремы I. Воспользуемся равенством (1):

Ответ: _ 2.

Примечание: объяснение изложенного способа требует акцентировать внимание на цепочке Менелая: треугольник-секущая.

№ 2. В А PQR вершины соединены с точками Р1, Q1, R1, на противоположных сторонах, причём выполняются отношения: РЯ. : РЦ = 5 : 3; ЦР.: Р1Я = 3 : 4. Укажите соотношение деления отрезка ЯР точкой Q1.

Приступая к решению, проверим выполнение условий теоремы II. Составляем равенство (2):

Щ щ ад ца

=1

=1.

ние

дв 2 5

~<эк'1>м' ~ ' вк 1 2

1;

вЯ 5

Заменив первые два отношения на заданные отношения, получаем равенство

5 3 Щ

з'4'

Отсюда получаем искомое отноше-

Ответ: 0,8.

№ 3. На медиане ЦМ А PQR отмечена точка £, делящая её от вершины, в отношении 2 : 5. Укажите соотношение деления стороны ЦЯ лучом РБ.

Начнём решение с проверки условий теоремы I. Установим цепочку Менелая: А Qш - секущая PG . Точки Р, S, в расположены, соответственно, на прямых линиях МЯ, МЦ ЦЯ

Проверяем условия теоремы I - они выполнены. Запишем равенство (1):

Ответ: 0,2.

№ 4. В тетраэдре PQRS на стороне Ж отмечена точка F так, что SF = FR Точка Е отмечена на продолжении стороны РЯ тетраэдра PQRS, причем РЯ разделена в отношении РЕ : ЕЯ = 2 : 3. Рассматривая от вершины £ , установите отношение деления объёма тетраэдра PQRS плоскостью QEF.

Оптимальность нахождения искомого результата в стереометрии во многом зависит от правильного построения. Строим пирамиду PQRS и плоскость QEF. Построенные отрезки РБ и пересекутся в некоторой точке, принадлежащей ребру РБ , обозначаем её М; ЦН - высота пирамид PQRS и QMFS. Треугольник MFQ - сечение пирамиды PQRS. Обозначив за V - объём пирамиды PQRS, V1 - объём пирамиды QMFS, отсечённой плоскостью QEF , V2 - объём той части пирамиды PQRS, которая заключена между плоскостями QEF и PQR . Требуется вычислить отношение объёмов V1 : V2.

Объёмы пирамид PQRS и QMFS определяются так:

рдкя

-(Ж

Составим искомое отношение объё-

мов:

Точки M, E, F расположены соответственно на рёбрах пирамиды РБ, РЯ, ЯБ и одновременно на одной прямой, что видно из построения. Условия теоремы I выполнены. Составим равенство (1):

ш

о о о с^ с о ш

га

^

ш

о >

ш

О

.0 I

н с^ га ч

I

га

ф

I

о т га ч га со

х ^

О Ф т

¡5 ш

о ф

I

ф

3 ф о.

PM SF RE PM_ 1 3=1. PM = MS= 2 ~MS'~FR'~EP~ ' MS1 lV 'MS 2' PS 5 '

■V

Отношение объёмов К и К будет равно

а отношение К2 и К будет определяться

так:

Таким образом,

Ответ: 0,25.

Рассмотренные способы решений, основанные на вновь вспомненных утверждениях, ярко показывают полезность и целесообразность их использования. Решения задачи просты, красивы, доступны и понятны. Абитуриенты, приступая к подготовке поступления в вузы, должны научиться преодолевать психологический барьер; снимать эмоциональное напряжение. Знание и умение применять теоремы при решении задач придадут им уверенность в своих знаниях, что в конечном итоге положительно отразится на результатах. Изложенный материал рекомендуется при подготовке и чтении специальных геометрических курсов в вузах, колледжах, будет полезен учителями и абитуриентам, готовящимся к ЕГЭ на профессиональном уровне.

Библиографический список

1. Исакова, М.М. Роль текстовых задач в развитии аналитического мышления учащихся старших классов [Текст] / М.М. Исакова, С.Х. Канкулова, Ф.А. Эржибова, Р.Г. Тлупова // Вестник Челябинского государственного педагогического университета. - 2017. - № 4. - С. 45-51.

2. Качалкина, Е. Применение теорем Чевы и Менелая [Текст] / Е. Качалкина // Математика. 2004. - № 13. - С. 23 -26.

3. Концепция развития математического образования в Российской Федерации. Распоряжение Правительства РФ от 24.12.2013 г. № 2506.

4. Пойа, Д. Как решать задачу [Текст] / Д. Пойа. - М.: Госучпедгиз, 1959. - 208 с.

5. Шарыгин, И.Ф. Теоремы Чевы и Менелая [Текст] / И.Ф. Шарыгин. - Квант. - 1976. - № 11. -С. 22-30.

Referencеs

1. Isakova M.M., Kankulova S.H., Erzhibova F.A., Tlupova R.G. The role of text tasks in development analytical thinking of schoolchildrens of senior classes. Herald of Chelyabinsk State Pedagogical University 2017. № 4. P. 45-51. [in Russian].

2. Kachalkina E. Application of the theorems of Cheva and Menelaus. Mathematics. Izdatlkii dom Pervoie Sentyabria, 2004. № 13. P. 23-26. [in Russian].

3. The concept of the development of mathematical education in Russian Federation. Order of the Govergment of the Russian Federation of December 24, 2013. № 2506. [in Russian].

4. Poya D. How to solve the problem. M.: Gosuchpedgiz, 1959. P. 208. [in Russian].

5. Sharygin I.F. Theorems ofCheva and Menelaus. M.: Kvant. 1976. № 11. P. 22-30. [in Russian].

Сведения об авторах: Исакова Мариана Малиловна,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и дифференциальных уравнений, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик, Российская Федерация. &mail: [email protected]

Тлупова Римма Гумаровна,

старший преподаватель кафедры алгебры и дифференциальных уравнений, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик, Российская Федерация. &mail: [email protected]

Ибрагим Анзор Субхи,

магистр,

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик, Российская Федерация. &mail: [email protected]

Information about the authors: Isakova Mariana Malilovna,

Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Associate Professor,

Department of Geometry and Higher Algebra, H.M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University, Nalchik, Russia. E-mail: [email protected]

Tlupova Rimma Gumarovna,

Senior Lecturer, Department of Algebra

and Differential Equations,

H.M. Berbekov Kabardino-Balkarian State

University,

Nalchik, Russia.

E-mail: [email protected]

Ibragim Anzor Subkhi,

Master,

H.M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University, Nalchik, Russia. E-mail: [email protected]

УДК 42(07) <¡3

ББК 74.268.13 Англ S

Е.В. Калугина, Е.В. Челпанова |

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕСУРСОВ СЕТИ ИНТЕРНЕТ ДЛЯ РАЗВИТИЯ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОй КОМПЕТЕНЦИИ ПРИ ОБУЧЕНИИ АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ

В данной статье анализируется использование Интернет-ресурсов при обучении английскому языку как один из путей развития учебно-познавательной компетенции. Интернет-ресурсы выделены с точки зрения их эффективности при обучении разным видам речевой деятельности, таким как аудирование, чтение, письмо и говорение.

Ключевые слова: интернет-ресурсы, обучение английскому языку, познавательная компетенция, речевая деятельность.

E.V. Kalugina, E.V. Chelpanova

THE USE OF THE INTERNET RESOURCES FOR COGNITIVE COMPETENCE DEVELOPING IN ENGLISH LANGUAGE TEACHING

In the given article the use of the Internet resources in English language teaching is analyzed as one of the ways of developing cognitive competence. Internet resources are determined and

с

о

X

ю ф

т >

к

£ ^ о. ^

к -Û

с «

I- ^ ф s

X о

ф О H'S X s

s ЕЕ

S X

Ü3

о s a 1 8®

>ЧЬ

° о ф °

. с

ф

X s

го s

я ^

S 1

2 £

с; Ф

о П.

S ^