CC BY
115
УДК 378.147
В. А. Фахретдинова
ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕМЫ «ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ ПРИ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ» В УНИВЕРСИТЕТСКИХ КЛАССАХ
В статье рассматриваются теоремы Чевы и Менелая и возможности их применения при решении геометрических задач. Представлен опыт преподавания данной темы в университетских классах в 2014-2016 годах. Отмечены основные трудности в освоении данной темы. Приведена одна из задач из материалов ЕГЭ-2016, при решении которой используется теорема Менелая, что позволяет сделать решение более простым и коротким.
Ключевые слова: теорема Чевы, чевиана, теорема Менелая.
Теоремы Чевы и Менелая не входят в школьный курс геометрии, так как применяются при решении довольно сложных геометрических задач. Между тем, сами теоремы просты и интересны. Отметим, что решение многих задач с использованием теорем Чевы и Менелая более рационально, чем другими методами, требующими дополнительных построений, которые не всегда очевидны.
Теорема Чевы Если через вершины треугольника ABC проведены прямые ААХ, ВВ1, СС\, пересекающие противоположные стороны (или их продолжения) в точках Ах, Вх, Cj, то для того, чтобы эти прямые пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
АС, ВА, Щ ,
лось условие-----= 1.
СЛВ АХС ВХА
Рис. 1 g Теорема Менелая
А Если на сторонах треугольника
/ \ ABC или их продолжениях отме-
/ \ чены точки Ах, />,, Сх такие, что
\ ("i лежит на А В , А1 на ВС , Вх
Í ^чА Ai на СА, то эти точки будут лежать
/ уЧ,. на одной прямой тогда и только
/ \ ^^^^^ тогда, когда выполнено условие
Z_.
А С СЛВ АС в.А
Рис. 2 Материал данной темы излагался
в 2014, 2015 годах (10 класс ППК), в 2016 году (10-е классы ППК, школы № 10 и № 21).
Тема рассчитана на 4 академических часа. На первом уроке уместно привести некоторые факты биографий математиков, чьи имена носят данные теоремы. Далее учащиеся знакомятся с формулировками и идеями доказательства теорем. После рассмотрения теоремы Чевы дается определение чевианы, как отрезка, соединяющего вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне. Учащиеся с интересом узнают, что они уже знакомы с некоторыми чевианами, например, биссектрисами, медианами и высотами.
На втором уроке предлагается несколько несложных учебных задач, при решении которых используются теоремы Чевы или Менелая. Преподаватель показывает на примерах, как проводятся рассуждения. В частности, с использованием теоремы Чевы устанавливаются факты, что медианы, высоты и биссектрисы пересекаются в треугольнике в одной точке. Доказательство этих теорем с использованием теоремы Чевы более короткое и рациональное.
Третий и четвертый уроки — это уроки решения задач. Причем, по мере того, как учащиеся все увереннее овладевают приемами решения задач с использованием теорем Чевы и Менелая, задачи усложняются. Наибольшую трудность у учащихся вызывают задачи, при решении которых необходимо воспользоваться теоремой Менелая: нередко учащиеся затрудняются с выделением того треугольника и прямой, пересекающей данный треугольник, к которым надо применить данную теорему. Тут может помочь работа по готовому чертежу, где необходимый треугольник и прямая уже выделены. В дальнейшем учащиеся смогут самостоятельно находить необходимые для решения элементы.
В завершение предлагаются некоторые задачи из материалов ЕГЭ, при решении которых целесообразно использовать данные теоремы. Приведем пример одной из таких задач.
Задача. На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что cosZABC = В каком отношении прямая DL делит сторо-
ну АВ?
Решение: а) Треугольник BLD равнобедренный, пусть ZLBD = ZLDB = a. BL — биссектриса, значит ZABC = 2а. Треугольник ABC равнобедренный, следовательно ZABC = ZACB = 2а. ZLCB внешний в треугольнике LCD, следовательно ZÍJ)C + ZCLD = 2а . Таким образом zCCLD = а , а треугольник DCL равнобедренный, Рис. 3 ч. т. д.
б) Проведем высоту в треугольнике ABC и продлим прямую DL до пересечения со стороной АВ, обозначим точку пересечения этих прямых К. Известно, что
cosZABC = ^, следовательно
ВС = 2а, ВА =5а . BL — биссектриса, следовательно, по свойству биссектрисы
AL АВ 5а 5 „ .
-=-= — = —. Пусть АС со-
LC ВС 2а 2
к/
5а /
2а\ 1
ставляет 7 частей, тогда AL =
5а ■ 5 25а
LC =
5а -2
Рис. 4
10а 7
BD = ВС + CD = 2а -
10 а 1
24 а
ВК AL CD л
Воспользуемся теоремой Менелая-----= 1.
KA LC DB
„ _ ВК 25 а 7 10а
1аким образом,-.-------
KA 7 10а 7
24а
= 1, т. е. -= —
ВК КА
24 25'
ВК 24 Ответ: -= —.
КА 25
На последнем уроке учащимся предлагаются задачи для самостоятельно решения. Проведенная работа на уроках и представленные учащимися выполненные домашние задания показали, что для мотивированных и интеллектуально подготовленных учащихся данная тема является доступной и предложенная методика работы с задачами позволяет освоить данные теоремы и приемы применения их к решению геометрических задач.
Литература
1. Атанасян JT. С. Геометрия. Дополнительные главы к школьным учебникам 8, 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики / В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. 12-е издание. М.: Просвещение, 2002.
2. ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень / Под ред. И. В. Ященко. М.: ACT: Астрель, 2016.
3. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Ч. I. М.: МЦНМО, 2001.
Об авторе
Фахретдииова Виктория Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике, физико-математический факультет, Псковский государственный университет, Россия E-mail: [email protected]
V. Fahretdinova
EXPERIENCE OF TEACHING THE TOPIC "APPLICATION OF CHEVA'S AND MENELAUS' THEOREMS IN SOLVING GEOMETRIC PROBLEMS" IN UNIVERSITY CLASSES
Abstract: In this paper the Cheva's and Menelaus' theorems are considered. The experience of teaching this topic in university classes in 2014-2016 is presented. One of the problems is given, in the solution of which the Menelaus theorem is used. Key words: Cheva's theorem, Cheviana, Menelaus' theorem.
About the author
Dr. Victoriya Fahretdinova, Associate Professor, Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Pskov State University, Russia. E-mail: [email protected]
