Решение динамических задач для плоских стержневых систем без использования аппарата дифференциальных уравнений при помощи подхода Ньютона Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1:534.232

Д-р физ.-мат. наук А. Д. Шамровский, А. С. Безнос Государственная инженерная академия, г. Запорожье

РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АППАРАТА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ

ПОДХОДА НЬЮТОНА

Предложен метод решения динамических задач для стержневых систем, при этом стержни считаются упругими и такими, что подвергаются деформациям сжатия-растяжения, но не имеют веса, а масса системы сосредоточена в узловых точках. Этот подход ориентирован для использования в ЭВМ.

Вступление

Теория и анализ полученных результатов

Существует достаточно много аналитических и численных методов решения динамических задач механики, но сложность этих задач такова, что приходится разрабатывать все новые подходы. В данной работе делается попытка разработать такой метод, который обладал бы значительной простотой и возможностью применения к системам с большим числом степеней свободы.

В работе рассматриваются задачи о колебаниях механических систем. Вначале решается задача об одномерных гармонических колебаниях, Далее решаются задачи о колебаниях стержневой системы.

Материалы и методика исследований

Стержневые системы широко распространены на практике (фермы и другие конструкции) и, кроме того, используются в теоретических исследованиях для построения моделей механических систем [1]. В работе [2] изложен метод последовательных приближений для расчета статических стержневых систем, отличие которого от известных методов заключается в том, что при его использовании не требуется составлять и решать связанные системы уравнений (равновесия и совместности деформаций) и в силу этого не накапливаются погрешности, неизбежные при решении систем уравнений. В данной работе аналогичный метод используется для решения динамических задач.

Предполагается, что такой метод будет достаточно эффективным при решении динамических задач, в которых рассматриваются системы с большим числом степеней свободы. При этом за основу был взят подход, примененный Ньютоном [3]. Показано применение такого подхода для решения задач стержневых систем, в которых упругие характеристики сосредоточены в стержнях, а массовые - в узлах. В дальнейшем предполагается переход к решению задач теории упругости с использованием дискретных моделей.

Изложим предлагаемый метод на примерах. Пример 1.

Рассмотрим, в качестве тестового примера, движение одномерного осциллятора (рис. 1).

Рис. 1. Одномерный осциллятор

Здесь С - жесткость невесомой пружины; т - масса груза; х - смещение груза из положения, отвечающего недеформированной пружине; Р - постоянная сила, действующая на груз. Движение груза описывается дифференциальным уравнением:

тх = -Сх + Р. Его решение хорошо известно

Р

х = —+1 хп -

С

Р

С

соб ш + —бш ш, ш

(1)

(2)

где х0, У0 - начальное положение и начальная скорость груза. Соответствующий график (сплошная линия) при нулевых начальных условиях и значениях параметров:

С = 1, т = 1, Р = 1

(3)

изображен на рис. 2.

Решим ту же задачу методом последовательных приближений. В начальный момент времени при нулевых значениях х0, У0 пружина недеформирована; следовательно на груз действует только сила Р. Будем считать, что на протяжении некоторого небольшого промежутка времени 0 < t < At на груз не действу-

© А. Д. Шамровский, А. С. Безнос, 2009

124

Рис. 2. График зависимости координаты от времени

ют больше никакие силы и он движется, в соответствии с этим, равноускоренно т. е.

Р , ч2 x = x0 + v0(t — t0) + —(t - t0) ,

2m

Р

v = v0 + — ( —10 ).

(4)

m

На первом шаге имеем: t0 = 0, x0 = 0, у0 = 0. В момент времени Дt будем иметь

Р 2 Р

= Х0 + У0 Дt +-Дt , V! = У0 + — Дt. (5)

2т т

При этом упругая сила достигнет значения

¥ л = -СХ 1 упр.1 •

(6)

Ранее мы считали, что упругая сила отсутствует

F = 0 гупр.0 ~

Найдем приращение упругой силы

д F = F — F

_ гупр. 1 гупр.0 ■

(7)

(8)

Для компенсации того, что на предыдущем шаге это приращение не учитывалось, изменим упругую силу на удвоенную величину приращения

F — Fynp.0 + 2ДР.

(9)

Теперь на груз действуют уже две силы: Р и Р; в соответствии с этим движение на следующем шаге на промежутке времени ^ = t0 + Дt < t < t0 + 2Дt = t2 рассматривается как происходящее под действием суммы двух постоянных сил

/ \ Р + Fi Y2 x = x1 + v1(t -11 )+-( -11 ) ,

2m

Р + F i \

v = v1 + — {t— *1 ).

(10)

Л Р + F A 2

X2 = X1 + VlДt +--Дt ,

2m

Р + F t

V2 = V1 +--Дt.

m

Теперь упругая сила будет равна

Fynp.2 — —Cx2 .

Ее приращение

дF — F — F '-ir _ г упр.2 г упр.1 ■

(11)

(12)

(13)

Вновь рассматриваем новое значение упругой силы как результат скачка на двойной шаг приращения

F = Fynp.1 + 2AF.

(14)

Повторяя подобные шаги, получаем движение груза как состоящее из ряда равноускоренных движений. Соответствующий результат приведен совместно с точным решением на рис. 2 (кружки). Мы видим хорошее совпадение с точным решением.

Пример 2.

Рассмотрим статически определенную стержневую систему, изображенную на рис. 3. Жесткости невесомых стержней равны С1, С2, масса узловой точки равна т.

Рис. 3. Система из двух стержней

Вместо того, чтобы составлять и решать дифференциальные уравнения движения узла, поступим таким же образом, как в примере 1. Пусть в начальный момент времени t0 = 0 узел О находится в покое в положении, отвечающем недеформированным стержням

х0 = 0 ^0 = 0 У0 = 0 ^0 = (15)

Следовательно, в этом случае имеем для сил, действующих на узел

m

XX0 — 0, XÎ0 — — Р.

(16)

В момент времени t2 имеем

Будем считать, что на протяжении малого проме-

жутка времени t0 < t < t0 + At никакие другие силы на узел не действуют; следовательно, он движется по закону

У х

x = x0 + vx0 (( - to ((- to )2,

2m

vx = vx0 +

У Xo ((- to);

m

У = Уо + vyo ((- to (t - to )2,

vy = vyo +

m

2m o (t - to).

На первом шаге имеем

Р í \2

x = vx = ° У = -^((-to) , 2m

vy=- £(t - to*

В момент времени t1 = to + At получаем

/ Xo 2 x1 = xo + vxoAt + ———At2 = o, 2m

У x o

vxi = xxo +-At =o;

m

vy1 = vyo +

Sit At = - Р At.

m m

Находим приращения координат узла

Ax = x - xo, Ay = yi - yo, и деформации стержней

Aj = A x cos aj + A y sin aj,

A2 = A x cos a 2 + A y sin a 2 . Далее находим усилия в стержнях

(17)

У Yo 2 Р 2 yi = yo + vy o At + At2 = -—At2, 2m 2m

(18)

(19)

(2o)

(21)

(

T1 = C1A1, T2 = C2A2

ОД

C = 1 1 C = C1 =—,-, C =

h

EFl

и

\

(22)

Ч L2 у

Теперь на узел действуют суммы сил с проекциями

У X1 = -T cos a1 - T2 cos a 2; У Y1 = -Р - T sin a1 - T2 sin a 2.

Знаки «минус» объясняются тем, что усилия (22) действуют на стержни, а в (23) рассматриваются противоположные силы, действующие на узел. Находим приращения сил

АХ = УX -УX0, А7 = У71 -У70. (24)

Изменяем суммарные силы на величины двойных приращений

УX0 =УХ1 + 2АХ, У70 =У71 + 2А7. (25)

Здесь выполнено рекурсивное возвращение к началу процедуры. Ту же рекурсию выполняем и для координат и времени

xo = x1 yo = y1, to = t1.

(26)

Далее выполняются те же шаги, начиная с (17) вплоть до исчерпания заданного промежутка времени. На рис. 4 приведен результат применения метода Ньютона для системы, состоящей из 2 стержней.

Пример 3.

Данную задачу также решим аналитически с целью тестирования предлагаемого метода. Запишем дифференциальные уравнения движения узла

mx = У X, my = У Y.

(27)

Рис. 4. Система из 2 стержней. Непрерывной линией представлено аналитическое решение, точками - предложенным методом. Видно хорошее совпадение результатов

Здесь

^ X = -Tj cos aj - T2 cos a 2, ^ 7 = -P - Tj sin aj - T2 sin a2. (28)

Если узел в процессе перемещения приобретает координаты х и у, то деформации стержней будут

Aj = х cos aj + y sin aj, A 2 = х cos a 2 + y sin a 2 .

(29)

Здесь учтено, что начало координат выбрано в точке, отвечающей недеформированным стержням. Усилия в стержнях при этом будут

Tj = CjAj = Cj(x cos aj + у sin aj), T2 = C2 A2 = C2 (x cos a2 + у sin a2 ). (30) Подставляя (30) в (i8) получаем

^ X = - ax - by, ^ Y = - P - cx - dy;

a = Cj cos2 a j + C2 cos2 a2, b = Cj sin aj cos aj + C2 sin a2 cos a2 ;

с = Cj sin ai cos ai + C2 sin a2 cos a

2

2

l2,

d = C sin2 aj + C2 sin2 a2 .

(3!)

-j sin mj -i- ^2 sm ut2 В итоге уравнения (!5) приобретают вид

т х = - ах - Ьу , ту = - Р - сх - dy . (32) Для решения этих уравнений найдем вначале положение равновесия узла (х*, у *) под действием силы Р. Подставляя постоянные значения х* и у* в (32) получаем уравнения равновесия

ах * + by * = 0, сх * + dy * = -P .

Отсюда:

bP

х* =

ad - bc

, y* =

aP

ad - bc

Выполняем замену

х = х * +£, y = y * +n .

(33)

(34)

(35)

Подставляя (35) в (32), получаем однородные дифференциальные уравнения

+ a 5 + b n = 0, m rj + с 5 + d n = 0. (36) Разыскиваем решение этих уравнений в виде

5 = A sin(ю t + a), n= B sin (ю t + a). (37)

Подстановка (23) в (22) дает алгебраические уравнения

(а - тю 2 ]л + ЬВ = 0, сА + (^ - тю 2 )= 0. (38)

Приравнивая к нулю определитель этой системы, получаем

т 2 ю 4 -(а + d )т ю 2 + ad - Ьс = 0. (39)

Отсюда находим квадраты двух собственных частоты колебаний

JU

1

d ±-\j(a + d )2 - 4 (ad - bc )

а + d ±

2 да

(40)

Подставляя эти частоты по очереди в первое из уравнений (38), находим связи между соответствующими амплитудами

Bj = Pj Aj, Pj =

rnraj2 - a

B2 =P 2 A2, P2 =

mra>2 - a b

(4j)

В соответствии с этими результатами и (23) получаем

^ = А1 sin(юlt + а1)+А2 sin((B2t + а2); (42)

П = Р1А1 sin(юlt + а1 )+Р2 А2 sin(ю2t + а2).

Перепишем это решение в более удобной для решаемой задачи форме

£ = Dj sinrajt + Ej cosrajt + + D2 sin ra2Í + E2 cosЮ2?;

П = Pj(Dj sinrajt + Ej cosrajt) + + Pj ((2 sin ra2t + E2 cos ra2t). Из (2jj) получаем

х = х * + Dj sin rajt + Ej cos rajt + + D2 sin ra2t + E2 cosra2t;

y = y * +Pj(Dj sin ra jt + Ej cos ra jt) + + P2 ( sin ra 2t + E2 cos ra 2t).

(43)

(44)

а также

ух = Djraj cos rajt - Ejraj sin rajt + + D2ra2 cos ra2t - E2ra2 sin ra2t;

vy =Pj(Djraj cos rajt - Ejraj sin rajt)+ + P2 ((ra 2 cos ra 2t - E2ra 2 sin ra 2t).

(45)

b

Подставим сюда начальные условия

;0 = х0 = >-0 = 0, Ух0 = У>0 = (46)

получая

Е1 + Е2 = PE + Р2Е2 =-У*;

aiDi +га2D2 = 0, P^D + P2га2D2 = 0. (47) Отсюда

Ei =

X * P 2 - У'

Pi -в2

Е2 =

X * Pi - y'

P2-Pi

(48)

D1 = 0, D2 = 0.

Решение окончательно получено

x = x * + Ei cos&it + Е2 cos&2t, y = y * +PiEiCOS a it + P2E2COS a^t. (49)

Пример 4.

Рассмотрим стержневую систему, изображенную на рис. 5. Жесткости невесомых стержней равны С1, С2, С3, С4, С5, С6, масса узловой точки равна т. Получить аналитическое решение для такой системы достаточно сложно, поэтому такая система решена только с использованием подхода Ньютона.

На рис. 6 приведено решение такой системы.

Рис. 5. Двухъярусная система из 2 стержней

Пример 5.

Рассмотрим двухъярусную стержневую систему, состоящую из 12 стержней. Результат применения метода Ньютона для такой системы показан на рис. 7.

Рис. 6. Двухъярусная система из 6 стержней в раз-

IllUllkli1 \in\liMI I KI RHiniiMm

Рис. 7. Система из 12 стержней Выводы

1. Предложен метод для численного решения динамических задач, который легко реализуется при помощи ЭВМ и является достаточно точным, простым и эффективным.

2. Для тестирования решен ряд задач.

3. В дальнейшем предполагается применение предложенного метода для решения задач вибродиагностики.

Перечень ссылок

1. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела : учеб. пособие для вузов / Ю. Н. Работнов. - М. : «Наука», 1979. - 744 с.

2. Кривуляк В. В. Метод последовательных приближений для расчета стержневых систем / В. В. Кривуляк // Новi матерiали та технологи в металургп та машинобуду-ванш. - 2008. - № 2. - С. 110-118.

3. Ньютон И. Математические начала натуральной философии / И. Ньютон. - М. : «Наука», 1989. - 688 с.

Одержано 27.04.2009

Запропоновано метод розв 'язання dunaMinnux задач для стрижневих систем, при цьому стрижт вважаються пружними й такими, що пiдлягaють деформaцiям розтягнення - стискання, але не мають ваги, а маса системи зосереджена у ii вузлах. Цей mdxid орieнтовaно на активне використання ЕОМ.

The approach for solving dynamic problems for rod systems is proposed. It is assumed that rods are elastic and exposed to tension-pressure deformations. Rods are weightless but all system mass is concentrated in junction points. This approach is orientedfor active implementation using ECM.

УДК 669.017.113:669.13

Канд. техн. наук Б. Ф. Белов1, д-р техн. наук А. И. Троцан1, канд. техн. наук И. Л. Бродецкий1, П. П. Харлашин2, канд. техн. наук И. В. Паренчук3

1 Институт проблем материаловедения им. И. М. Францевича, НАН Украины, г. Киев, 2 Приазовский государственный технический университет, г. Мариуполь,

3 ООО «Уникон», г. Донецк

КЛАССИФИКАЦИЯ И ОПТИМИЗАЦИЯ СПЛАВОВ

ФЕРРОСИЛИЦИЯ

Построена полигональная диаграмма состояния системы Fe-Si. Выполнен анализ структурно-химического состояния твердых и жидких исходных компонентов и промежуточных фаз - силицидов железа, на базе которых оптимизирован марочный состав сплавов ферросилиция для раскисления стали.

Диаграмма состояний Fe-Si относится к эвтектической системе с промежуточными химическими соединениями [1] стехиометрического состава: Fe3Si ^ ^ Fe2Si ^ Fе3Si2 (Fe5Si3) ^ FeSi ^ FeSi2. Однако условия образования интерметаллидов - температуры, область гомогенности и термическая стабильность не известны. Не установлен стехиометрический состав промежуточных фаз Fe3Si2 или Fе5Si3, FeSi2 33-2 44 - «ле-боит», интерметаллид FeSi2 называют «мнимой» фазой, приведенные четыре эвтектические фазы, состав которых находится в широком интервале концетрации (20,0-58,0) % кремния, а плавятся в узком интервале температур 1195-1240 0С (см. вставку на рис. 1).

В связи с этим становится актуальной задачей построение новой диаграммы Fe-Si с помощью разработанного авторами [2] графоаналитического метода (ПДС-метод), позволяющего выполнить анализ структурно-химического состояния (СХС-анализ) исходных компонентов и промежуточных фаз во всем интервале концентраций и температур до точки их кипения. СХС-анализ силицидов железа включает определение химического и фазового состава, температуры образования и плавления, области гомогенности твердых и жидких растворов, что позволяет выполнить оптимизацию марочного состава ферросилиция.

Полигональная диаграмма состояний (ПДС) системы Fe-Si, показанная на рис. 1, представляет собой тетраполигон в координатах состав - температура, на

ординатах которого обозначены фигуративные точки железа и кремния, отвечающие их мезо-изоморфным превращениям под влиянием температуры (1,0С) - термические критические точки или под влиянием исходных и промежуточных фаз - химические критические точки. Для железа - это термические критические точки в твердом состоянии: Ф0(200) ^ Ф1(550) ^ ^ Ф2(900) ^ Ф3(1400) ^ Ф4(1535) и Ф5(1640) ^ ^ Ф6(1800) ^ Ф7(2770) - для жидкого железа. Топологический температурный ряд экспериментально установлен для твердого [3] и жидкого [4] железа. Для кремния последовательный ряд критических точек включает: К0(350) ^ К1(550) ^ К2(700) ^ К3(900) ^ ^ К4(1200) ^ К5(1420) ^ К6(1500) ^ К7(1600) ^ ^ К8(2477), где К0, К2, К4 - термические и К1, К3 -химические точки для твердого кремния; К6, К7 - термические точки для жидкого кремния; К5, К8 - точки плавления и кипения. Критические точки К0, К2, К4 отвечает структурным превращением кремния: 81 (ГЦК) ^ 81 (ромб.), 81 (ромб.) ^ 81 (ОЦК), 81 (ОЦК) ^ 81 (ГПУ) эксперементально установленные в работе [5]. Для жидкого кремния температуры структурных превращений обнаружены в работе [6]. При температурах ниже линии Ф0К0 химические реакции не происходят и исходные компоненты образуют механическую смесь.

На абсциссе диаграммы указаны все промежуточные фазы, которые условно обозначены двухзначны

© Б. Ф. Белов, А. И. Троцан, И. Л. Бродецкий, П. П. Харлашин, И. В. Паренчук, 2009