CC BY
91
ВЕСТНИК 2/2Q16
проектирование и конструирование
строительных систем. проблемы механики в строительстве
удк 624.04
А.в. Игнатьев, в.А. Игнатьев, Е.в. онищенко
ВолгГАСУ
решение геометрически нелинейных задач статики шарнирно-стержневых систем на основе метода конечных элементов в форме классического смешанного метода
Решена геометрически нелинейная задача о статическом деформировании плоской шарнирно-стержневой системы, состоящей из пяти линейно-упругих стержней, испытывающих большие деформации растяжения — сжатия.
Получено решение на основе разрабатываемого ими метода конечных элементов (МКЭ) в форме классического смешанного метода.
Найдено все множество равновесных состояний системы как устойчивых, так и неустойчивых, а также все предельные точки. Достоверность решения подтверждена совпадением их с результатами, полученными другими авторами на основе традиционного МКЭ в перемещениях.
Ключевые слова: геометрическая нелинейность, большие перемещения, шарнирно-стерневая система, метод конечных элементов, классический смешанный метод
целью данной работы является иллюстрация возможностей и особенностей разрабатываемого авторами метода конечных элементов (мкЭ) в форме классического смешанного метода.
Самым распространенным и универсальным численным методом, применяемым при нелинейном расчете строительных конструкций, является сегодня мкЭ в традиционной форме метода перемещений [1—12]. на его основе разработаны пакеты компьютерных программ конечно-элементного анализа, используемые в современных мощных программных комплексах.
однако достоверность этих численных решений, в особенности нелинейных задач деформирования инженерных конструкций и строительных сооружений, может быть подтверждена надежно лишь совпадением результатов, полученных двумя различными методами.
одним из таких альтернативных по отношению к традиционному мкЭ в перемещениях является мкЭ в смешанной форме [13], в т.ч. в форме классического смешанного метода [14—17].
При решении геометрически нелинейных задач необходимо детальное исследование траектории деформирования конструкции в связи с тем, что возможна неоднозначность решения, когда одному уровню внешних силовых или кинематических воздействий могут соответствовать различные конфигурации деформированной конструкции. Поэтому необходимо выяснить, какие из равновесных конфигураций являются устойчивыми, а какие нет.
Рис. 1
«Дерево» нелинейных решений может быть очень сложным и содержать особые точки (предельные, бифуркационные), которые необходимо обнаружить.
Для иллюстрации рассмотрим решение геометрически нелинейной задачи о деформировании простой шар-нирно-стержневой системы из пяти линейно-упругих стержней (рис. 1), вызвавшей дискуссию в ряде публикаций [18—21].
Кинематический анализ конструкции как системы из жестких стержней показывает, что она в исходном состоянии является геометрически неизменяемой и статически определимой, поэтому усилия в ней в недеформированном состоянии могут быть найдены из условий равновесия. Из них следует, что стержни АВ и ВС сжаты, стержень АС растянут, в стержнях АО и ВС усилия отсутствуют.
Выполним расчет на основе алгоритма численного решения геометрически нелинейных задач деформирования шар-нирно-стержневых систем, изложенного авторами в [22], с использованием процедуры пошагового догружения системы [23, 24], т.е. в режиме так называемого «мягкого» нагружения, когда вектор внешних сил известен. Основная система и система в деформированном состоянии показаны на рис. 2.
Система канонических уравнений смешанного метода при линейном поведении системы на каждом малом шаге нагружения АР имеет вид:
Рис. 2
1) (1)r = 2%(1)q4+(V = 0;
2)(1)R2=2(1)+(1)r,«q +(1)^ -
= 0;
3) (1)R3 = 2« r,6(1)4 = 0;
4) (4 =(1)54,i(1)4
5) (1)A5 = (1)5«q2 +
-(%,2(1) 42
-(Ч,4(1) 44 = 0;
(1)
-чл = 0;
6)
(1)A6 =(1)
S6,2(1)42 ■
_(1)
^6,з(1) 4з
.(1)х (1)4 =
= 0.
ВЕСТНИК 2/2016
На первом шаге нагружения в деформированном состоянии:
% =-(1)54Д =-sin V % =-(1)54,2 = cos(1)a, (1)r2,5 = _(1)5„ = 1; (1) = -(1)56,2 = cos «a 2, (1)r3,6 = -(1)56,з = - sin (1)a 2; (2)
(1)^ =-(1)P = -(1)ЛР, (1)54,4 = ' = W2' (1)5- = Щ
В недеформированном состоянии
a1 = a(0), a2 = a(20), l1 = /1(0) = aV2, l2 = l(0) = 2a, l3 = /3°) = Va2 + b2. (3) Подставляя (2) и (3) в систему (1), находим:
л(0) = _ (1)Л^ q(0) = 0- (4)
q4 2 sin a(°), q5 tga(°), q 0; (4)
q(°) (1)л^/20) q(0)=(1)DF f /20) , /1(0)
q2 = EF2tga{0), q1 = ^
EF2 tg2a(0) 2EF1 sin2 a(0)
q(0) = (1)ЛР/1(0) EF2 tga{0) tga(20)
(5)
Используя результаты (4) и (5), перейдем к построению решения в геометрически нелинейной постановке для первого шага итерационного процесса. На этом этапе имеем следующие исходные данные:
/1(1)= ^ (EF1 + q40)), sin a1(1)= ^, cos a« = ^; /« = EFt (EF2 + #), sin a« = , cos a« = ^; (6)
/«= f( EF1 + q60)).
2 l3 l3
После подстановки этих данных в систему уравнений (1) получим новую систему разрешающих уравнений:
-2sin af-1 (1)q4 - АР(1) = 0, 2cos a((1) (1)q4 +(1) q5 + cos a(21)(1)q6 = 0;
-2sin a(1)(1)i%6 = 0, sin a11)(1)q1 - cos a{1)(1)q2 + —— (1)q4 = 0; (7)
EF1
1(1) 1(1)
-(1) q( + (1),%5 = 0, - cos a(1)(1)q2 + sin a(1)(1)q3 + (1)q6 = 0. EF( EF1
XX (1) (1) (1) ~(1) ~(1) ~(1)
Из нее находим q\ >, qy2', q\ >, q\ >, q\ >, q\ >.
Для перехода к следующему (второму) шагу итерации находим новые исходные данные на основе выражения (6):
f = EF + 4<"), sina(2>= izf, cosaf>=
Л2> = EFt (ER + q("), sin a221 = bjjf, cos a?1 = ^; (8)
'32 >= EF1 + 46").
При подстановке этих данных в систему уравнений (7) верхние индексы (1) должны быть заменены на (2), а нагрузка P(1) = AP(1) заменена на P(2) = = AP(1) = AP(2). Итерационные циклы повторяются до тех пор, пока не будет достигнута требуемая степень точности решения.
По изложенному алгоритму выполнен расчет в режиме «мягкого» нагру-жения, т.е. на воздействие заданной величины нагрузки P.
При исследовании поведения системы на всей траектории процесса на-гружения до заданного уровня нагрузки используется, как и в [22], процедура пошагового догружения по изложенному выше алгоритму.
Решая данную систему разрешающих уравнений относительно неизвест-
(1) (1) (1) ~(1) ~(1) ~(1) ных 41', 42 , 4з , 4а , 4s , 46 , найдем их величины в первой итерации.
Погрешность этого решения оценим, подставив его в систему разрешающих уравнений (2), в которой вместо '1(1), '21), '3(1), определяемых с учетом (6), используем вытекающие из текущей конфигурации системы их точные аналитические выражения:
a - 4р))2 + (a + 421))2, ^ = '2°)+ 24!
/(1)^(a - 4(1))2 + (a + 421))2.
(1) 2
(9)
(10)
Уточнение решения выполняем итерационно, записав во второй итерации новые значения неизвестных:
4р = 4:(1)1 + А4«2, 421)2 = 4«1 + А421)2, 4^ = 4«1 + А4«2;
441)2 = 441)1 + А441)2, 451)2 = 4Р + А451)2, 4б1)2 = 4б1)1 + А461)2,
о - (1)1 (1)1 (1)1 ~(1)1 ~(1)1
где верхний индекс 2 относится ко второй итерации; 4\' , 42 , 43 , 44 , 45 , 4б1)1 — значения неизвестных, найденные в первой итерации, индекс в скобках — номер шага нагружения.
После подстановки (10) в систему разрешающих уравнений (7) и приведения каждого из уравнений к общему знаменателю получим систему нелинейных уравнений относительно приращений неизвестных А41(1)2, А421)2, А431)2,
А441)2, А451)2, А461)2.
Линеаризация этих уравнений выполняется отбрасыванием в них всех членов второго и выше порядков малости. В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений неизвестных. Подставив результат решения в (2), находим степень невязки и переходим к следующей итерации. итерационные циклы повторяются до тех пор, пока не будет достигнута заданная степень точности решения.
При этом в процессе «мягкого» нагружения конструкции дважды происходит смена ее конфигурации.
Первая смена происходит при переходе к предельной конфигурации, в которой перемещение нижнего шарнира О достигло величины Ь, но усилие Ы3 = 0 (рис. 3).
Для данной предельной конфигурации возможно получение аналитического решения, с которым может быть сравнено полученное по МКЭ численное решение.
Рассмотрим равновесие системы в этой конфигурации.
Исходя из условия N = 0, определяем величину горизонтального смещения опор:
21(0)- 2а
Рис. 3
4 =-
= 40)- а.
По найденной величине горизонтального смещения опор находим длину затяжки и усилие в ней:
lf>= 40)+ 2q2 = 2а + 2 (lf - а ) = 2/f; I -1(°) l(0)- а
N = ¿2 l2 ef = __ EF
JV2 _ ,(0) ^г2~ ^2-1У2> а
Рассматривая равновесие опорного узла, получаем
Njcosaj + N2 + N3 = 0,
(а + q2) (а + q2)
N1 cos a1 + N2 + N3 = N^ + N, + N = N —^—+ N + N = 0.
l(1)
1 ( 7(0)
1 + N . EFi
\
Отсюда следует:
N2l1(0) EF1
N =__J'2'1 _ l = l(0)
(
N
EF
1 /
Вертикальное смещение верхнего узла:
* = а Г)2-(130))2.
Внешняя нагрузка, соответствующая этой конфигурации:
P = —2 N sinaj = -2 N1
a — q1 —'
Вторая смена конфигурации и переход ко второй предельной конфигурации произойдет, когда перемещение верхнего шарнира В достигло величины а, а шарнира О — величины Ь. При этом усилие Ы3 Ф 0 (рис. 4).
Из условия равновесия данной системы следует, что внешняя нагрузка принимает значение Р = 0.
Длина затяжки в данном положении
/« = 2/« = 2/1(0).
Усилия в стержнях:
l -1(0) n = о, n2 =l2 l2
Рис. 4
j (о) 2
EF =
2j(02a 2a
j(0)- a
EF2 = n
EF2;
N3 =
3-J
(0)
EF1=
2j(0) - j(0)
th_EF
li°) 1
Рассмотрим численный пример [18—21] анализа геометрически нелинейного поведения рассматриваемой шарнирно-стержневой системы из пяти линейно-упругих стержней. Параметры системы: проекции стержней на оси а = 10 м, Ь = 9,5 м, жесткости стержней = 1000000 Н, Е¥2 = 1000 Н.
Используя вышеизложенный алгоритм, проведем численный анализ поведения системы под действием нагрузки.
На рис. 5 приведен график зависимости вертикального перемещения q1 верхней опоры А стержневой системы (см. рис. 1) от величины нагрузки Р (на рис. 5 для наглядности траектория деформирования показана для всех этапов нагружения). Заявленному уровню нагрузки 300 Н соответствуют три возможных конфигурации, каждая из которых является равновесной.
Первая и вторая конфигурации — усилие Ы3 Ф 0, перемещение верхнего узла не достигло величины а; третья конфигурация — усилие Ы3 = 0, перемещение верхнего узла превысило величину а.
Из графика зависимости вертикального перемещения от величины нагрузки (рис. 5) видно, что смена конфигураций шарнирно-стержневой системы без «прощелкиваний» возможна только при приложении компенсирующей (отрицательной по направлению) нагрузки, обеспечивающей разгружение системы. Это полностью опровергает утверждение в [19] о том, что для данной конструкции «уникальность примера именно в отсутствии "прощелкивания"...».
По предложенному алгоритму найдены все возможные равновесные состояния системы.
На рис. 6 приведен график зависимости горизонтального смещения q2 опор А и С стержневой системы от величины нагрузки Р. На рис. 7 приведен график зависимости вертикального смещения q3 шарнира О стержневой системы от величины нагрузки Р.
В"
1
1
/
- вш В" /
1йп 1'Г 5__— ) 2
-Первый этап
-Четвертый этап
Рис. 5
Вертикальное перемещение, м
- Второй этап - Третий этап
— Пятый этап
—3406—
1500
Р00
Р с
300 ли?
А^—
2 зоо л IV /-IV А", С" ,
-600 Аш, С™
-900
-120п
1^00
1800
-210"
2400
-2200
Горизонтальное перемещение, м
-Первый этап -Второй этап - Третий этап
-Четвертый этап -Пятый этап
Рис. 6
2400 2100 1800 1500 1200 900 600 300
; 0 -300 -600 -900 -1200 -1500 -1800 -2100 -2400 -2700
D"
Dv
/
/
/
Dl /
— У
1 ) 1 5 2 1 25
Dm
- Первый этап
- Четвертый этап
Вертикальное перемещение нижнего узла, м
- Третий этап
-Второй этап
Пятый этап
Рис. 7
Рассмотрим далее для сравнения работу конструкции в процессе «жесткого» нагружения.
На первом этапе «жесткого» нагружения (рис. 8), при котором задаются приращениями смещений некоторых узлов и находятся соответствующие получаемой таким образом конфигурации системы значения внешней нагрузки. Наличие малого числа степеней свободы рассматриваемой системы позволяет записать для нее аналитическое
Рис. 8
решение и построить все ветви равновесных состояний конфигурации. На первом этапе «жесткого» загружения усилия возникают только в стержнях АВ, ВС, АС.
Усилия в стержнях АС и ВС не возникают. Длина этих стержней
AD = CD = 4оТ+Ь.
Изменение расчетной схемы произойдет тогда, когда величина (АС + 2д2) станет равной сумме длин стержней АВ и ВС, т.е.
AC + 2q2 = AD + DC, 2a + 2q2 = 2л[с
(11)
При 2а + 2q2 > 2Vа2 + Ь2 стержни AD и DC включаются в процесс деформирования. Предельные значения величины нагрузки Р и величины q соответствующие конфигурации (11), являются особыми точками на траектории нагружения.
второй этап «жесткого» нагру-жения начинается от предельного значения q1 первого этапа нагруже-ния и заканчивается достижением стержнями АВ и ВС горизонтального положения (рис. 9).
После этого снова произойдет изменение расчетной схемы, так как система становится мгновенно изменяемой.
Этому предельному случаю соответствует конфигурация, при которой ^ + = а.
в этой (второй) предельной конфигурации длины стержней В11А11 и В11С11 определяются выражением:
12 г- . „-,2
рис. 9
^ = [ь - (q3 + qq3)] + [а+q2+]2=1вс ■
По ним могут быть найдены удлинения стержней и усилия в них и сравнены с полученными результатами расчета системы по мкЭ в форме классического смешанного метода.
д2 = /(")- а = д/102 + 9,52 -10 = 3,793 м,
/« = 2/3(0) = 2у]102 + 9,52 = 27,586 м,
/(0) - а з 793
N = Ь-е.ЕЪ = 3-7931000 = 379,3 Н,
#1 =-
/1 = /Г
д1 = а-
а 10
N4,(0)ЕК
_= - 379,3 -1072 -1000000
#2/10) + /3(0)ЕЪ1 " 379,3 - 10л/2 +13,793 -1000000
= -388,75 Н,
1 +
N.
ЕК
= 10л/2 [ 1 +
1 /
-388,75 1000000
= 14,137 м,
= 10-^(10^2) -(102 + 9,52) = 6,878
м,
Р = -2к0-^ = 2-388,75^^ = 171,7 Н.
1 /(1)
14,137
Эти результаты удовлетворяют условиям равновесия системы, что подтверждает правильность выполненных расчетов.
третий этап нагружения начинается от предельной конфигурации А^Б^СВ11 и заканчивается достижением стержнями А^В^ и В11С11 горизонтального положения (рис. 10).
Рис. 10
В этой предельной конфигурации
АШСш = AC
+ (q2 + q2 + 4П) 2 = 2 (а + q2 + q2 + qf),
DAC = 2( q2 + q2 + qf ).
По приращению длины ААС может быть найдено усилие в стержне АС и выполнено сравнение с усилием, найденным в конце третьего этапа нагру-жения.
/« = 2/1(0} = 2 • 1 0^2 = 28,284 м, N = 0, Р = 0,
N2 =
I(0)_ а
-EF2 =-
1 4, 1 42 -1 0
N3 =
j(0) _ j(0) j(0) EF =
10
14,142 _ 13,793 13,793
1000 = 414,2 H,
1000000=25303 H.
Полученные данные удовлетворяют условиям равновесия системы, что подтверждает правильность выполненных расчетов.
Четвертый этап нагружения начинается от достигнутой предельной конфигурации третьего этапа. При этом происходит прощелкивание шарнира вниз под действием силы Рш. Данная конфигурация системы также отвечает условиям равновесия.
Шарнир О111 может смещаться как вниз, так и вверх (ветвление траектории нагружения).
Величина q2 при этом уменьшается. При q2V - (q2 + q2I + q2П ) = 0 шарниры А111 и С111 возвращаются в исходное нагруженное состояние со сменой знака усилия. Стержни А1ПОши ОшС11- принимают также прежние размеры, а усилия в них снова равны нулю. Это положение является предельным для четвертого этапа нагружения (рис. 11).
На пятом этапе нагружения происходит дальнейшее сближение концов стержня АС и растяжение стержней АВ и ВС.
Стержни АО и ОС при этом сохраняют свою длину и отсутствие усилий в любой конфигурации на этом этапе нагружения.
Соответствие результатов решения с помощью МКЭ в форме классического смешанного метода с результатами аналитического решения показывают эффективность смешанной формы МКЭ.
Рис. 11
ВЕСТНИК 2/2Q16
Согласно проведенному анализу нагрузке 300 Н соответствует четыре равновесных состояния. Обозначенное Д.И. Назаровым «правильное» решение является лишь первой равновесной формой системы при заданной нагрузке.
Правильность полученного решения можно проверить, используя вместо силового «мягкого» воздействия «жесткое» кинематическое воздействие в виде управляемого перемещения узла. Алгоритм расчета по МКЭ в форме классического смешанного метода позволяет делать это на любом шаге нагружения изменением вида параметра нагружения (силового на кинематический или наоборот).
В связи с этим решения, получаемые на основе МКЭ в форме классического смешанного метода, могут быть использованы при тестировании других численных алгоритмов решения геометрически нелинейных задач.
Библиографический список
1. Belytscko T., Liu W., Moron B. Nonlinear finite elements for continua and structures. J Wiley & Sons, 2000. 300 р.
2. Bonet J., Wood R. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis. Cambridge University Press, 1997. 248 р.
3. Crisfield M.A. Non-linear finite element analysis of solids and structures. J. Wiley & Sons, 1997. Vol. 1. 362 р.
4. Kyther P., Wie D. An introduction to linear and nonlinear finite element analysis. Birkhauer Verlag, 2004. 445 р.
5. Reddy J.N. An introduction to nonlinear finite element analysis. Oxford University Press, 2004. 488 р.
6. Данилин А.Н., Зуев Н.Н., Снеговский Д.В., Шалашилин В.И. Об использовании метода конечных элементов при решении геометрически нелинейных задач // САПР и графика. 2000. № 4. С. 26—31.
7. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. М. : СКАД СОФТ, 2007. Т. 1. 653 с.
8. Gnlishnikovn V.V. Stability Analysis of Space Trusses // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2009. Т. 5. № 1—2. С. 35—44.
9. Галишникова В.В. Численный анализ устойчивости равновесия пространственных ферм в геометрически нелинейной постановке // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2010. № 1. С. 42а—50.
10. Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. К. : Факт, 2007. 394 с.
11. Кургузов В.Д. О численном решении геометрически нелинейных задач строительной механики // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2009. № 3—4. С. 14—22.
12. Евзеров И.Д., Гераймович Ю.Д., Лазнюк М.В., Марченко Д.В. Численное решение задач сильного изгиба // Сайт поддержки пользователей САПР. Режим доступа: http://www.cad.dp.ua/obzors/lira.php/. Дата обращения: 30.10.2015.
13. Poceski A. Mixed finite element method. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992. 356 p.
14. Покровский А.А., Хечумов Р.А. Смешанная форма МКЭ в расчетах стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейностей // Строительная механика и расчет сооружений. 1991. № 2. С. 5—11.
15. Покровский А.А., Хечумов Р.А. Предельное и запредельное состояние стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений. 1991. № 4. С. 18—21.
16. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В., Жиделёв А.В. Смешанная форма метода конечных элементов в строительной механике. Волгоград : ВолгГАСУ 2006. 172 с.
17. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В., Галишникова В.В., Онищенко Е.В. Нелинейная строительная механика стержневых систем. Основы теории. Примеры расчета. Волгоград : ВолгГАСУ, 2014. 84 с.
18. Назаров Д.И. Геометрически нелинейный анализ в метод конечных элементов, реальности и мифы // Проблемы динамики, прочности и износостойкости машин. 2000. № 6.
19. Назаров Д.И. Обзор современных программ конечно-элементного анализа // САПР и графика. 2000. № 2. С. 52—55.
20. Левяков С.В. О численном решении геометрически нелинейных задач статики упругих конструкций // Сайт поддержки пользователей САПР. Режим доступа: http:// www.cad.dp.ua/obzors/fem3.php. Дата обращения: 30.10.2015.
21. Торопцев А.В. Решение четырех тестовых задач для Назарова Д.И. // Сайт поддержки пользователей САПР. Режим доступа: http://www.cad.dp.ua/obzors/paper1.php/. Дата обращения: 30.10.2015.
22. Игнатьев А.В., Игнатьев В.А., Онищенко Е.В. Возможность использования метода конечных элементов в форме классического смешанного метода для геометрически нелинейного анализа шарнирно-стержневых систем // Вестник МГСУ 2015. № 12. С. 47—58.
23. Петров В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика. М. : Инфра — Инженерия, 2014. 480 с.
24. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов : Изд-во СГУ им. Н.Г. Чернышевского, 1975. 119 с.
Поступил в редакцию в январе 2016 г.
Об авторах: Игнатьев Александр Владимирович — кандидат технических наук, доцент кафедры строительной механики, Волгоградский архитектурно-строительный университет (ВолгГАСУ), 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, alignat70@yandex.ru;
Игнатьев Владимир Александрович — доктор технических наук, заведующий кафедрой строительной механики, Волгоградский архитектурно-строительный университет (ВолгГАСУ), 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, alignat70@ yandex.ru;
Онищенко Екатерина Валерьевна — соискатель кафедры строительной механики, Волгоградский архитектурно-строительный университет (ВолгГАСУ),
400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, onischenko.e@mail.ru.
Для цитирования: Игнатьев А.В., Игнатьев В.А., Онищенко Е.В. Решение геометрически нелинейных задач статики шарнирно-стержневых систем на основе метода конечных элементов в форме классического смешанного метода // Вестник МГСУ 2016. № 2. С. 20—33.
A.V. Ignat'ev, V.A. Ignat'ev, E.V. Onishchenko
SOLVING GEOMETRICALLY NONLINEAR TASKS OF THE STATICS OF HINGED-ROD SYSTEMS BASING ON FINITE ELEMENT METHOD IN THE FORM OF CLASSICAL MIXED METHOD
The most widely used numerical method used in linear calculation of building structures is finite element method in traditional form of displacements. Different software is developed on its basis.
ВЕСТНИК 2/2016
Though it is only possible to check the certainty of these numerical solutions, especially of non-linear tasks of engineering structures' deformation by the coincidence of the results obtained by two different methods.
The authors solved geometrically nonlinear task of the static deformation of a flat hinged-rod system consisting of Ave linear elastic rods undergoing great tension-compression strains. The solution was obtained basing on the finite element method in the form of classical mixed method developed by the authors.
The set of all equilibrium states of the system, both stable and unstable, and all the limit points were found. The certainty of the solution was approved by the coincidence of the results obtained by other authors basing on traditional finite element method in displacements.
Key words: geometrical nonlinearity, large displacements, hinged-rod system, finite element method, classical mixed method
References
1. Belytschko T., Liu W., Moran B. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. J Wiley & Sons, 2000, 300 p.
2. Bonet J., Wood R. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. Cambridge University Press, 1997, 248 p.
3. Crisfield M.A. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. J. Wiley & Sons, 1996, vol. 1, 362 p.
4. Kyther P., Wie D. An Introduction to Linear and Nonlinear Finite Element Analysis. Birkhauer Verlag, 2004, 445 p. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-8160-9.
5. Reddy J.N. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. Oxford University Press, 2004, 488 p.
6. Danilin A.N., Zuev N.N., Snegovskiy D.V., Shalashilin V.I. Ob ispol'zovanii metoda konechnykh elementov pri reshenii geometricheski nelineynykh zadach [On the Use of Finite Element Method when Solving Geometry Nonlinear Tasks]. SAPR i grafika [CAD and Graphics]. 2000, no. 4, pp. 26—31. (In Russian)
7. Perel'muter A.V., Slivker V.I. Ustoychivost' ravnovesiya konstruktsiy i rodstvennye problemy [Equilibrium Stability of Structures and Related Problems]. Moscow, SKAD SOFT Publ., 2007, vol. 1, 653 p. (In Russian).
8. Galishnikova V.V. Stability Analysis of Space Trusses. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2009, vol. 5, no. 1—2, pp. 35—44.
9. Galishnikova V.V. Chislennyy analiz ustoychivosti ravnovesiya prostranstvennykh ferm v geometricheski nelineynoy postanovke [Numerical Analysis of the Stability of Space Trusses in Geometrical Nonlinear Statement]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Structures and Constructions]. 2010, no. 1, pp. 42a—50. (In Russian)
10. Gorodetskiy A.S., Evzerov I.D. Komp'yuternye modeli konstruktsiy [Computer Models and Structures]. Kiev, «Fakt» Publ., 2007, 394 p. (In Russian)
11. Kurguzov V.D. O chislennom reshenii geometricheski nelineynykh zadach stroitel'noy mekhaniki [On Numerical Solution of Geometric Nonlinear Tasks of Structural Mechanics]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo [News of Higher Educational Institutions. Construction]. 2009, no. 3—4, pp. 14—22. (In Russian)
12. Evzerov I.D., Geraymovich Yu.D., Laznyuk M.V., Marchenko D.V. Chislennoe resh-enie zadach sil'nogo izgiba [Numerical Solution of Strong Bend Tasks]. Sayt podderzhki pol'zovateley SAPR [Site of CAD User Support]. Available at: http://www.cad.dp.ua/obzors/ lira.php/. Date of access: 30.10.2015. (In Russian)
13. Poceski A. Mixed Finite Element Method. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992, 356 p. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-84676-2.
14. Pokrovskiy A.A., Khechumov R.A. Smeshannaya forma MKE v raschetakh ster-zhnevykh sistem s uchetom fizicheskoy i geometricheskoy nelineynostey [Mixed Form of FEM in Calculation of Truss Systems with Account for Physical and Geometric Nonlinearity]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanic and Calculation of Structures]. 1991, no. 2, pp. 5—11. (In Russian)
15. Pokrovskiy A.A., Khechumov R.A. Predel'noe i zapredel'noe sostoyanie ster-zhnevykh sistem [Limit and Beyond Limit State of Truss Systems]. Stroitel'naya mekhani-ka i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 1991, no. 4, pp. 18—21. (In Russian)
16. Ignat'ev V.A., Ignat'ev A.V., Zhidelev A.V. Smeshannaya forma metoda konechnykh elementov v zadachakh stroitel'noy mekhaniki [Mixed Form of Finite Element Method in Problems of Structural Mechanics]. Volgograd, VolgGASU Publ., 2006, 172 p. (In Russian)
17. Ignat'ev V.A., Ignat'ev A.V., Galishnikova V.V., Onishchenko E.V. Nelineynaya stroitel'naya mekhanika sterzhnevykh sistem. Osnovy teorii. Primery rascheta [Nonlinear Structural Mechanics of Truss Systems. Foundation of the Theory. Calculation Examples]. Volgograd, VolgGASU Publ., 2014, 84 p. (In Russian)
18. Nazarov D.I. Geometricheski nelineynyy analiz v metode konechnykh elementov, real'nosti i mify [Geometric Nonlinear Analysis in Finite Element Method, Reality and Myths]. Problemy dinamiki, prochnosti i iznosostoykosti mashin [Problems of Dynamics, Stability and Durability of Machines]. 2000, no. 6. (In Russian)
19. Nazarov D.I. Obzor sovremennykh programm konechno-elementnogo analiza [Review of the Modern Programs of Finite Element Analysis]. SAPRi grafika [CAD and Graphics]. 2000, no. 2, pp. 52—55. (In Russian)
20. Levyakov S.V. O chislennom reshenii geometricheski nelineynykh zadach statiki up-rugikh konstruktsiy [On Numerical Solution of Geometric Nonlinear Tasks of Elastic Structures]. Statics Sayt podderzhki pol'zovateley SAPR [Site of CAD User Support]. Available at: http://www.cad.dp.ua/obzors/fem3.php/. Date of access: 30.10.2015. (In Russian)
21. Toroptsev A.V. Reshenie chetyrekh testovykh zadach dlya Nazarova D.I. [Solution of Four Test Tasks for Nazarov D.I.]. Sayt podderzhki pol'zovateley SAPR [Site of CAD User Support]. Available at: http:// www.cad.dp.ua/obzors/paper1.php/. Date of access: 30.10.2015. (In Russian)
22. Ignat'ev A.V., Ignat'ev V.A., Onishchenko E.V. Vozmozhnost' ispol'zovaniya metoda konechnykh elementov v forme klassicheskogo smeshannogo metoda dlya geometricheski nelineynogo analiza sharnirno-sterzhnevykh sistem [Possibility of Using Finite Element Method in the Form of Classical Mixed Method for Geometrical Nonlinear Analysis of Hinged-Rod Systems]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 12, pp. 47—58. (In Russian)
23. Petrov V.V. Nelineynaya inkremental'naya stroitel'naya mekhanika [Nonlinear Incremental Structural Mechanics]. Moscow, Infra — Inzheneriya Publ., 2014, 480 p. (In Russian)
24. Petrov V.V. Metod posledovatel'nykh nagruzheniy v nelineynoy teorii plastinok i obolochek [Method of Continuous Loadings in Nonlinear Theory of Plates and Shells]. Saratov, SGU im. N.G. Chernyshevskogo Publ., 1975, 119 p. (In Russian)
About the authors: Ignat'ev Aleksandr Vladimirovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Structural Mechanics, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering (VSUACE), 1 Akademicheskaya str., Volgograd, 400074, Russian Federation; alignat70@yandex.ru;
Ignat'ev Vladimir Aleksandrovich — Doctor of Technical Sciences, head, Department of Structural Mechanics, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering (VSUACE), 1 Akademicheskaya str., Volgograd, 400074, Russian Federation; alignat70@ yandex.ru;
Onishchenko Ekaterina Valer'evna — external student, Department of Structural Mechanics, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering (VSUACE),
1 Akademicheskaya str., Volgograd, 400074, Russian Federation; onischenko.e@mail.ru.
For citation: Ignat'ev A.V., Ignat'ev V.A., Onishchenko E.V. Reshenie geometricheski nelineynykh zadach statiki sharnirno-sterzhnevykh sistem na osnove metoda konechnykh elementov v forme klassicheskogo smeshannogo metoda [Solving Geometrically Nonlinear Tasks of the Statics of Hinged-Rod Systems Basing on Finite Element Method in the Form of Classical Mixed Method]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 2, pp. 20—33. (In Russian)
