CC BY
50
зующей а01 и соответствующей ей бинормалью ЛП. Анализ приведенных уравнений показывает, что при п=3 соприкасающиеся плоскости стрикций и и и в их общей точке М совмещены. Таким образом, доказано предложение 6: при п=3 стрикции соприкасающихся ЛП в центральной точке образующей соприкосновения имеют касания второго порядка.
Поскольку порядок соприкосновения нор-малий соприкасающихся ЛП на единицу меньше порядка соприкосновения самих ЛП, а стрикция ЛП есть ортогональная траектория ее нормалии, то из предыдущего следует предложение 7: при п=2 ортогональные траектории соприкасающихся ЛП имеют касание второго порядка.
В заключение отметим, что представленные в статье результаты теоретических исследований соприкосновения ЛП могут быть использованы в практике конструирования технических линейчатых поверхностей на основе “сшивания” линейчатых сегментов по их общей прямолинейной образующей с необходимым порядком гладкости в этой образующей.
Библиографический список
1. Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. В 2-х т. Т.1. Элементарная дифференциальная геометрия [Текст] / В. Бляшке. - М.; Л.: Объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1935. -
330с.
2. Зейлигер Д. Н., Комплексная линейчатая геометрия [Текст] / Д. Н. Зейлигер. - М.; Л.: Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. - 196с.
3. Рашевский П. К. ,Курс дифференциальной геометрии [Текст] / П. К. Рашевский. - М.: Гос. изд-во техн.-теор. литер., 1956. - 420 с.
ELEMENTS OF THE THEORY OF RULED SURFACES IN CONTACT
K. L. Panchuk, A. S. Niteisky
The problems of contact of ruled surfaces along their common generator. The concepts of dual discrepancy vector contact and order ruled surfaces. The properties of ruled surfaces in contact and their striction for the initial order of contact. The obtained results can be used as a basis for designing complex technical ruled surfaces, consisting of segments of line, docked on the conditions of contact.
Панчук Константин Леонидович - доктор технических наук, профессор кафедры, зав. кафедрой “ Инженерная геометрия и САПР ”ОмГТУ. E-mail: Panchuk_KL@mail.ru
Нитейский Антон Сергеевич - аспирант кафедры “Инженерная геометрия и САПР” ОмГТУ. Основное направление научных исследований: конструирование линейчатых поверхностей. Общее количество публикаций 4. E-mail: an-
tongth@gmail. com
УДК 51-7: 621.43
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВАЛА С ОДНОЙ МАССОЙ
Т. А. Полякова
Аннотация. В статье рассмотрены процессы свободных и вынужденных крутильных колебаний вала с одной массой, даны основные определения. Произведен вывод дифференциальных уравнений свободных и вынужденных крутильных колебаний вала с одной массой и приведено их решение.
Ключевые слова: вал, крутильные колебания, свободные колебания, вынужденные колебания, дифференциальное уравнение.
Введение
При эксплуатации двигателей внутреннего сгорания, даже полностью уравновешенных, на определенных скоростных режимах появляются вибрации и стуки, приводящие иногда к разрушению коленчатого вала. Причиной этого являются крутильные колебания вала, которые возникают вследствие недостаточной жестокости коленчатого вала под действием переменных по величине и направлению крутящих моментов двигателя [1, 2]. Крутильные колебания могут быть собственными (свободными) и вынужденными. Рассмотрим задачу о свободных и вынужденных крутильных колебаний вала с одной массой и приведем ее решение используя дифференциальные уравнения. Отметим, что дифференциальные уравнения представляют собой основной аппарат естествоиспытателя и инженера, а потому именно они широко задействованы в процессе решения ряда технических задач.
Основная часть
Собственные колебания коленчатый вал совершает выведенный из состояния покоя под действием только момента сил упругости вала Муп и момента сил инерции Мин от вращающихся масс. Вынужденные колебания коленчатого вала возникают в процессе работы двигателя вследствие действия периодически изменяющихся крутящих моментов, которые вызывают упругие деформации скручивания коренных шеек.
При совпадении частот собственных крутильных колебаний с вынужденными колебаниями возникает резонанс. Создаются большие дополнительные напряжения кручения, приводящие к поломке вала.
1. Свободные крутильные колебания вала с одной массой
Рассмотрим колебания вала с маховиком, предназначеннго для обеспечения равномерного вращения коленчатого вала двигателя и создания необходимых условий для плавного движения машины с места. Вал жестко закреплен на свободном конце (рис. 1). Крутильная система имеет маховик массой т и моментом инерции Jм, вал длиной L с наружным диаметром d.
/ У У / / ' / / / / .
Рис. 1. Гармонические колебания системы вала с одной массой
Колебание - движение, повторяемое во времени. Период - время в секундах одного полного колебания.
Приложим к маховику крутящий момент Мкр и закрутим вал на угол фс (например, 100). Мгновенно устраним действие Мкр. Под действием момента сил упругости Муп закрученный вал вернется в первоначальное положение. Далее, под действием момента сил
инерции маховика Мин, вал закрутится в противоположную сторону на угол фс. Предположим, что сопротивления колебаниям отсутствуют, а инерцией вала пренебрегаем. Тогда:
Мин _ Муп , .. —Мин + Муп _ 0 ■ (1)
Предположим, что одно полное колебание произошло за 2 с.
Период колебания Т равен 2 с. Амплитуда колебания равняется значению фс или максимальному углу поворота от своего
нейтрального положения.
Частотой колебаний (кол/с) называют число колебаний за единицу времени
М = Т . (2)
Таким образом, в нашем примере у = 0,5 кол/с.
Круговая частота (рад/с) шс - число полных колебаний, которые совершаются за 2п единиц времени.
(3)
d 2р dt2
(4)
где
d 2р dt2
- угловое ускорение маховика 1/с
d 2р dw
dt2 dt
ч /
Момент упругости вала Муп, согласно закону Гука, равен
GJ,„
L
~Р-
(5)
где G
модуль упругости материала при
п ■d4
2
сдвиге (кручении), Н/м ; Jp = ^
mó¡ = N Р-
(6)
GJp
где N = -
L
жесткость вала, представля-
ющая собой крутящий момент, Н м, необходимый для закручивания вала на 10.
Используя выражение (1), запишем
J;
d 2р GJd
dt2
L
р = 0 .
(7)
Разделим обе части выражения (7) на величину Jм, получим
d2p GJÓ
dt
LJ;
р = 0 .
(8)
Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами [3, 4]. Введем обозначение
\GJ,„
В нашем примере угловая скорость шс = п = 3,14 рад/с.
2п
Из формулы (3) находим период Т = —.
При частоте вращения 1 об/с (за 1 с совершается оборот) система проходит 3600, или 6,28 радиан (2п рад). Один радиан приближенно равен 57,30.
Момент касательных сил инерции Мин определяется выражением
Окончательно получим
d2 р dt2
+ а\р = 0,
(9)
(10)
где шс - круговая, циклическая частота собственных крутильных колебаний, 1/с.
Уравнение (10) является дифференциальным уравнением свободных колебаний вала с одной массой. Найдем его решение. Так как соответствующее характеристическое
уравнение k2 +югс = 0 имеет два комплексных сопряженных корня ±асх, следовательно, решение уравнения (10) будет иметь вид [4]
р
= еы (A ■ sin coct + B ■ cos a>ct) = A ■ sin a>ct + B ■ cos a>ct .(11)
- момент
I 4
инерции сечения вала диаметром б, в м ; ф -угол закручивания вала при деформации; L -длина вала, в м.
Уравнение (5) можно представить в виде
Постоянные величины А и В находят из начальных условий.
Начало движения - момент максимального угла закручивания вала при
t =0; p = pc; d-=0 ■ dt
Из уравнения(11) получим
Р t=o = Pc = A ■ sin0 + B ■ cos0 = B ^ B = pc.
Для нахождения коэффициента А воспользуемся вторым начальным условием, а
dp п dp
именно -*- = 0 . Для этого найдем выра-
dt dt
жения (11) функции ф.
= (A ■ sin wct + B ■ cos wct) t = A ■ (Dc ■ cos ú)ct + B ■ юс ■ (- sin ú)ct) =
dt
= A ■ cosact -B ■ac ■ sinact.
Тогда
-dp| = Arnc cos0 -Bac sin0 = 0 ^ A = 0 .
dt Jt=0
Таким образом, подставив в выражение (11) значения А = 0, В = фс, получим
Р=Рс •Cos®ct .
(12)
Уравнение (12) выражает гармоническое колебательное движение, в котором фс является амплитудой или максимальным углом поворота маховика от своего нейтрального положения.
2. Вынужденные крутильные колебания вала с одной массой
Если к маховику приложить возмущающий момент МВ, изменяющийся по гармоническому закону
MB - M0 • cos a>Bt,
(13)
где М0 - амплитуда гармонически возмущающего момента (зависит от значения крутящего момента двигателя); шВ - круговая частота возмущающего момента, то уравнение (7) примет вид
d2р G'Jд^ .4
JІ + Р =1 осо®, (14)
или
d 2р GJs I 0 ,-ч
—2- +-------р-—-cos®At. (15)
dt2 LJ, J, A
Учитывая содержание уравнения (10) и вводя обозначения q = , получим уравне-
ние
dp 2
-г + апр- qто® = 0 , dt
(16)
которое представляет собой уравнение вынужденных колебаний вала с одной массой.
Данное уравнение - неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами [4]. Перепи-
d2 р 2
шем его в виде —^+®пР = qсоб®/ и найдем dt
его решение, удовлетворяющее начальным
dт
-^- 0 . dt
условиям р t=0 =pc
Решение уравнения (16) находим в виде
[4]:
Рассмотрим правую часть уравнения
d V 2
—рг + Щф = q cos®/, а именно, функцию
f (t) = q-cos®/. Заметим, что корень Á = ±aB -не является корнем характеристического уравнения k2 +т2с = 0 , соответствующего однородному уравнению (10), следовательно, ф2 ищем в виде
V = Ñcos®Bt + Dsin®Bt.
Для нахождения коэффициентов С и D воспользуемся методом «неопределенных коэффициентов». Для этого найдем V и подставим его и ф в исходное уравнение (16).
V =(Ñcos®Bt + Dsin®Bt) = -ÑmB sin®Bt + DmB cos®Bt;
Ví = (-ÑmB sin ®Bt + DwB cos®Bt) = -Ñ®B cos®Bt -D®B sin®Bt.
При подстановке найденных выражений ф2 и Ví в уравнение (16), получим
-Ñ®B cos ®Bt - D®B sin ®Bt + ®C (Ñ cos (UBt + D sin 0)Bt)- q cos (üÄt = 0 ;
-Ñ®B cos coBt - D®B sin coBt + Ñ® cos coBt + D® sin coBt = qcos ®Ät;
ÑÍa2c -®B)cos®Bt + D®2 -®B)sin®Bt = qcosaÄt.
Приравняв коэффициенты при cos®Bt и sin®Bt в левой и правой частях полученного равенства, составим и решим систему уравнений:
[ñ(®2-®B)-q ^ Id(®2 -®B)-0
с -
2 2 ®-®B
D - 0.
При решении системы мы воспользова-ь тем, что выражение а]-®В ф 0.
Таким образом, мы получим
Р-Р1+Р2,
р2 -Ñcos®Bt + Dsin®Bt--
q
2 2 •cos®^.
где ф1 - решение соответствующего однородного уравнения (10); ф2 - частное решение неоднородного уравнения (16).
а. Значение ф1, соответствующее началь-
1 dт „
р t=o =тс; = о, найдено в
dt
ным условиям
предыдущем пункте [п. 1, формула (12)], следовательно, р 1= (Рс соб® .
б. Для нахождения частного решения неоднородного уравнения (16) определим ф2 [4].
Пусть PA -
q
22 Wc-®A
, тогда р2 - pa cos®At.
Следовательно, решение уравнения (16), удовлетворяющее начальным условиям
I dy
4=о = yc ; = 0 имеет вид
dt
р = (р J+ р 2= yc cos COct + (рд cos ®jt , (17)
гДе PA -
22 Ю„ — Юл
q
c B
q
Угол фВ является амплитудой вынужденных колебаний.
При юп = юл =— , где п = -
G-J,
L
- часто-
та собственных колебаний, равная частоте вынужденных, амплитуда колебаний достигает бесконечности
Фл = ю .
(18)
Данное явление называется резонансом и приводит к резкому повышению деформации кручения и возможным поломкам коленчатого вала.
Заключение
Таким образом, крутильные колебания коленчатого вала были оценены с использованием дифференциального исчисления. Что в свою очередь говорит о важности математических методов при решении технических задач. Общая схема расчета коленчатого вала на крутильные колебания включает в себя [5]:
1. Приведение крутильной системы вала.
2. Определение частоты собственных крутильных колебаний приведенной системы.
3. Определение резонансной критической частоты вращения.
4. Выработку рекомендаций, устраняющих крутильные колебания.
Использование подобных задач и примеров в процессе обучения студентов технических специальностей вузов, дает представление о возможностях применения аппарата математики при проведении исследований в области профессиональных интересов студентов, а также способствует воспитанию интереса к математике.
Библиографический список
1. Двигатели внутреннего сгорания: в 3 кн. Кн.
2. Динамика и конструирование: учебник для вузов
/ В. Н. Луканин и др.; под ред. В. Н. Луканина и М. Г. Шатрова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая шк., 2005. - 400 с.
2. Попык К. Г. Динамика автомобильных и тракторных двигателей / К. Г. Попык. - М.: Высшая школа, 1972. -327 с.
3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. -М.: Айрис-пресс, 2007. - 608 с.
4. Жарова Н. Р. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Н. Р. Жарова, А. М. Завьялов, Л. Г.Кузнецова. - Омск: Изд-во СибАДИ, 2002. -164 с.
5. Расчет систем и механизмов двигателей внутреннего сгорания математическими методами: учебное пособие / Ю. П. Макушев, Т. А. Полякова, Л. Ю. Михайлова, А. В. Филатов; под ред. Ю. П. Макушева. - Омск: СибАДИ, 2011. - 284 с.
THE SOLUTION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS OF FREE AND FORCED TORSIONAL VIBRATIONS OF A SHAFT WITH A SINGLE MASS
T. A. Polyakova
It is considered the processes of free and forced torsional vibrations of the shaft with a single mass and given the basic definitions. It is manufactured output differential equations of free and forced torsional vibrations of the shaft with a given mass and their solution.
Полякова Татьяна Анатольевна - канд. пед. наук, доцент кафедры «Высшая математика» ФГБОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)». Основные направления научных исследований - методика преподавания математики в школе и в вузе; методические аспекты преподавания теории вероятностей и математической статистики посредством реализации прикладной направленности. Имеет 20 опубликованных работ. E-mail: ta_polyakova@mail.ru
УДК 004.94: 621.311
АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ ГАРАНТИРОВАННОГО ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ
Л. Г. Рогулина
Аннотация. Разработан алгоритм автоматизированного проектирования систем гарантированного электроснабжения переменного тока для предприятий связи, учитывающий согласование совместной работы резервной электростанции и источника бесперебойного питания. Разработаны имитационные модели системы для переходных режимов при коммутациях на входе и со стороны нагрузки, позволяющие проводить оценку уровней кондуктивных помех. Приведены результаты прак-
