CC BY
296 Секция 1
Применение метода коллокации и наименьших квадратов к решению задач механики деформируемого твердого тела
В. А. Беляев1, Л. С. Брындин1,2 С. К. Голушко2,3 В. П. Шапеев1,2
1Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН
2Новосибирский государственный университет
3Институт вычислительных технологий СО РАН
Email: [email protected]
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10004
Разработаны новые h-, p- и hp-варианты метода коллокации и наименьших квадратов, позволяющие находить высокоточные приближенные решения различных краевых задач для дифференциальных уравнений в канонических и нерегулярных областях [1, 2]. Для их реализации в нерегулярных областях применены два вида сеток с треугольными [2] и прямоугольными ячейками [1] с использованием их нерегулярных частей, которые, будучи рассеченными криволинейной границей области, образуют нерегулярные граничные ячейки. В докладе приведены результаты моделирования и анализа напряженно-деформированного состояния пластин, нелинейного деформирования композитных балок, разносопро-тивляющихся растяжению и сжатию [3].
Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013-2020 годы (проекты АААА-А17-117030610136-3 и АААА-А19-119051590004-5), при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 18-29-18029) и Российского научного фонда (код проекта 18-13-00392).
Список литературы
1. Shapeev V P., Golushko S. K., Bryndin L. S., Belyaev V. A. The least squares collocation method for the biharmonic equation in irregular and multiply-connected domains // J. of Physics: Conf. Ser. 2019. V 1268. P. 012076-1-012076-7.
2. Шапеев В. П., Брындин Л. С., Беляев В. А. Решение эллиптических уравнений в полигональных областях методом коллокации и наименьших квадратов // Вестник ЮУрГУ Серия: Математическое моделирование и программирование. 2019. Т. 12, № 3. С. 140-152.
3. Buznik V M., Golushko S. K., Amelina E. V., Belyaev V. A., Bryndin L. S., Gorynin A. G., Shapeev V P. Determining the law of ice deformation // J. of Physics: Conf. Ser. 2019. V 1404. P. 012010-1-012010-7.
Решение дифференциальных и интегральных уравнений методом коллокации и наименьших квадратов
В. А. Беляев1, Л. С. Брындин1,2, В. П. Шапеев1,2, С. К. Голушко2,3
1Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН
2Новосибирский государственный университет
3Институт вычислительных технологий СО РАН
Email: [email protected]
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10005
Простой в применении и реализации проекционно-сеточный метод коллокации в сочетании с методом наименьших квадратов и различными способами ускорения итерационного процесса [1] существенно увеличивает свои возможности при решении дифференциальных и интегральных уравнений. В докладе приведены результаты численного решения краевых задач для эллиптических уравнений в канонических и нерегулярных областях [2], а также интегральных уравнений Фредгольма второго рода [3]. Рассмотрены примеры решения задач с разными особенностями.
Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013-2020 годы (проекты АААА-А17-117030610136-3 и АААА-А19-119051590004-5), при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 18-29-18029) и Российского научного фонда (код проекта 18-13-00392).
Список литературы
1. Vorozhtsov E. V., Shapeev V P. On the efficiency of combining different methods for acceleration of iterations at the solution of PDEs by the method of collocations and least residuals // Appl. Math. Comput. 2019. V. 363, № 124644. P. 1-19.
Методы решения дифференциальных и интегральных уравнений 7
2. Shapeev V P., Golushko S. K., Bryndin L. S., Belyaev V. A. The least squares collocation method for the biharmonic equation in irregular and multiply-connected domains // J. of Physics: Conf. Ser. 2019. V 1268. P. 012076-1-012076-7.
3. Шапеев В. П., Ворожцов Е. В. P-версия метода коллокации решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода в среде Mathematica // Вычислит. методы и программирование. 2019. Т. 20, № 1. С. 1-11.
Решение краевой задачи со смешанными условиями для уравнения Геллерстедта
А. С. Бердышев, А. Р. Рыскан
Казахский национальный педагогический университет им. Абая
Email: [email protected]
DOl: 10.24411/9999-017A-2020-10007
Стационарные процессы различной физической природы описываются вырождающимися уравнениями эллиптического типа. Необходимость изучения таких уравнений обусловлена многочисленными их приложениями в газовой динамике, теории суперструн, теории упругости, космологии и т. д. [1-2].
Целью настоящей работы является исследование корректной разрешимости задачи со смешанными условиями Неймана - Дирихле для четырехмерного вырождающегося эллиптического уравнения Геллерстедта. При решении краевой задачи используется фундаментальное решение, построенное авторами в работе [3], выражающееся через многомерные гипергеометрические функции Лауричелла [4].
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта КазНПУ им. Абая. Список литературы
1. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973.
2. Candelas P., de la Ossa X., Greene P. and Parkes L. A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble super conformal theory. Nucl. Phys. 1991. V. B539. P. 21-74.
3. Hasanov A., Berdyshev A. S., Ryskan A. Fundamental solutions for a class of four-dimensional degenerate elliptic equation/ Complex Variables and Elliptic Equations (GCOV). DOl: https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1606803.
4. Appell P., Kampe de Feriet J. Fonctions Hypergeometriques et Hyperspheriques; Polynomes d'Hermite. P. : Gauthier-Villars, 1926.
Численный анализ стационарных течений полимерной жидкости
А. М. Блохин1,2, Б. В. Семисалов1 1Новосибирский государственный университет, 2Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Email: [email protected] DOl: 10.24411/9999-017A-2020-10349
Исследуются стационарные течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости пуазейлев-ского типа с применением нелинейных реологических соотношений из [1]. Показано, что разработанная модель допускает три различных решения. С применением методов аппроксимации из [2,3] численно смоделирован процесс установления течения полимерной жидкости при скачкообразном изменении градиента давления в канале. Полученные результаты показывают, какое из трёх решений стационарной задачи реализуется на практике. При проведении расчётов в широком диапазоне значений физических параметров модели обнаружен эффект "переключения" предельного решения нестационарной задачи с одного решения стационарного уравнения на другое.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №20-71-00071) Список литературы
1. Алтухов Ю. А., Гусев А. С., Пышнограй Г. В. Введение в мезоскопическую теорию текучести полимерных систем. Барнаул: Изд-во АлтГПА, 2012.
2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.
3. Семисалов Б. В. Быстрый нелокальный алгоритм решения краевых задач Неймана - Дирихле с контролем погрешности // Выч. мет. программирование. 2016. Т. 17, №4. С. 500-522.
