CC BY
28
УДК 521.9
РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА В ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ МЕТРИКЕ КЕРРА
Александр Викторович Елагин
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры космической и физической геодезии, тел. (383)243-29-11, е-шаИ: [email protected]
Инна Евгеньевна Дорогова
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры космической и физической геодезии, тел. (383)243-29-11, е-шаИ: [email protected]
В работе представлен вывод релятивистского уравнения Лапласа для возмущающего гравитационного потенциала в пространственно-временной метрике Керра. Возмущающим потенциалом является разность между действительным гравитационным потенциалом силы тяжести Земли и нормальным гравитационным потенциалом, созданным осесимметричной моделью Земли. Во вращающейся вместе с Землей системе отсчета форма и размеры осе-симметричной модели Земли зависят от массы Земли, угловой скорости вращения Земли и от нормированного на скорость света удельного момента количества движения.
Для вывода уравнения Лапласа исходным является выражение интервала в пространственно-временной метрике Керра для случая поля тяготения осесимметричного вращающегося тела в неподвижной относительно звезд системе отсчета, найденное Р. Керром в 1963 г. В работе определены ковариантный и контравариантый метрические тензоры. С использованием этих тензоров и выражения для лапласиана, записанного в общем виде, получено уравнение Лапласа в пространственно-временной метрике Керра во вращающейся вместе с Землей системе отсчета. Посредством разложения коэффициентов уравнения в ряд, уравнение Лапласа представлено в виде суммы классического ньютоновского уравнения Лапласа и релятивистских поправок к нему.
Ключевые слова: уравнение Лапласа, гравитационный потенциал силы тяжести, пространственно-временная метрика Керра, гравитационный радиус Земли, релятивистская геодезия, общая теория относительности.
Введение
В нерелятивистской физической геодезии уравнение Лапласа имеет важное значение, так как из его решения с учетом граничных условий на земной поверхности определяется внешнее гравитационное поле Земли.
Ньютоновское уравнение Лапласа, записанное для возмущающего потенциала Ты, имеет вид:
д ( 2 дТ Л
дг
1ы дг у
+
1
sin 0 де
д( . 0дТ Sin 0
л
N
де у
+
1
д 2Т
N
^п20 дА,2
= 0,
(1)
где г - геоцентрическое расстояние; X- долгота; 0 - приведенная коширота, отсчитываемая от Северного полюса.
В связи с повышением уровня точности измерений трансформант гравитационного поля и требований к точности определения параметров гравитационного поля [1-6] возникает необходимость решения не ньютоновского, а релятивистского уравнения Лапласа [7-22]. В нашей статье представлен вывод релятивистского уравнения Лапласа в пространственно-временной метрике Керра.
Преобразование выражения для интервала в метрике Керра в систему отсчета, вращающуюся вместе с Землей
Для вывода релятивистского уравнения Лапласа исходным уравнением является выражение для интервала в метрике Керра. В невращающейся системе отсчета оно представлено в работах [7, 8] и имеет вид:
/
ds2 =
-1 +
ТпТ
V
2гпаг
р 2,
с2dt2 + + o2d 02 + А
-^^т2 0 d X dt, Р2
\
2 2 а ГдГ . 2
г + а +—Бт 0
бШ2 0 dX2 -
(2)
где
2 2 , 2 2й. р = г + а соб 0;
(3)
= 2/М,
2 2 А = г - г'?г + а .
В формулах (2), (3) введены следующие обозначения: / - гравитационная постоянная; t - время, которое показывают часы неподвижного относительно звезд наблюдателя, расположенного в центре масс модели Земли; М - масса тела; а - нормированный на скорость света удельный момент количества движения; г^ - гравитационный радиус Земли.
Преобразуем выражение для интервала в систему отсчета, вращающуюся вместе с Землей. Долготы ф , X и дифференциалы долгот dф, dX в неподвижной и подвижной системах отсчета связаны соотношениями [9]:
Ф = X + ю-1;
dф = dX + ю dt
(4)
г
8
2
С
2 2 2 2 = dk + 2 ю & + ю Ж ,
(5)
где ю - угловая скорость вращения Земли.
Подставим соотношения (4) и (5) в формулу (2) и, приведя подобные члены, получим выражение для интервала во вращающейся системе отсчета
2 =
/
ГрГ 2
-1 + ю2
Л
2 2 а грг , 2 г2 + а2 +—smz 0
у
2 гста г 2
sin2 0- 0
Р2
с 2 +
р2
+£- &г2 +р2&02 + А
г
\
2 2 а г„г 2 г + а +—I— sm 0
sin2 0 2 +
+
/
2ю
л
2 2 а гстг . 2 ^
г2 + а2 +—smz 0
л 2 га а г л sinz 0--^^т2 0
Р2
& Х .
(6)
_ ю где ю = — .
с
Введем новые обозначения:
2 гдг N = 1-я •
Р
2
2 а 2 гаа2 2 В2 = 1 + а- + sin2 0 г гр
Л2=Р-
А
Н2 = N2 - ю 2В2г2 sin2 0 + 2ю sin2 0
Р2
Функция Н (г, 0) связана с потенциалом вращающегося осесимметричного тела соотношением [10]
и (г, 0)= с 2[1 - Н (г, 0)].
С учетом этих обозначений выражение для интервала (6) запишется следующим образом:
ds 2 =- Н 2С 2 dt2 + 2
юВ 2 г 2 б1п2 0- ^ б1п2 0
V
р
cdtdX + Л2 dг 2 + Л2 Аd02 +
у
+ В 2 г 2б1п2 0. (7)
Ковариантный и контрвариантный метрические тензоры примут вид
8/7 =
Н 2
0 0
ю В 2 г 2 б1п2 0- ^^ б1п2 0 Р 2
00
Л2 0
0
0
Л2 А 0
ю В 2 г 2 б1п2 0
г8га , 2
8 Б1П2 0
Р
2
0 0
В 2 г 2 б1п2 0
; (8)
Г
1
N 2 (1 + е) 0
ю -
0
г8а р 2 В 2 г
N 2 (1 + е)
где в =
2 2 2 гяа Б1П 0
р4 В 2 N 2
0
Л2 0
0
0
0 1
Л2 А
0
ю
р 2 В 2 г
N 2 (1 + е) 0
0
Н'
N 2 В 2 г 2 б1п2 0(1 + е)_
(9)
Релятивистское уравнение Лапласа для возмущающего потенциала
В работах [10-15] возмущающим потенциалом т(г, 0, X) является разность действительного потенциала силы тяжести ж ( г , 0, X) Земли и потенциала силы тяжести и (г, 0) осесимметричной модели Земли
Т(г, 0, X) Ж (г, 0, X)- и (Г, 0)
(10)
Релятивистское уравнение Лапласа для возмущающего потенциала получим, используя формулу [10]
AT = -j= di (j—gg^ д T ) = 0. (11)
Из определителя g ковариантного метрического тензора (8) следует
Vrg = Va(1 + б) a2 BNr sin 0. (12)
С использованием контравариантного тензора (9) получаем выражения для составляющих формулы (11)
V—ggrr =VA(TTi] BNr Sin 0; (13)
4—gg00 BNr sin 0; (14)
^ggU=Jr- BNNH-* . (15)
V1 + б BNr Sin 0
Подставляя формулы (12)-(15) в выражение (11), после некоторых преобразований получаем релятивистское уравнение Лапласа для возмущающего потенциала
_д_ д r
va(1 + s) rBN
дГ
dr
+
1 д
sin 0д0
' ÍT+"s . дГл
J-r Sin 0BN—
J A д0у
+
A A 2H2 д 2T
+ л—-- 2 2 = 0. (16)
V1 + s rBN sin2 0дГ
Поскольку переменная s является малой величиной порядка 10 , в дальнейших преобразованиях ею можно пренебречь. Выделим из уравнения (16) ньютоновское уравнение Лапласа. Для этого компоненты формулы (16) преобразуем к следующему виду:
л/д =д/ r 2 + a2 — rgr = r (1 + v)2; (17)
B = (1 + p)2;
1
N = (1 — a)2;
A2 =(1 + y)(1 + v)—1;
Н 2 = 1 -а-ю2 (1 + р)г2 бш2 0 + 2ю -^ бш2 0,
р2
где
а2 г
V =---— •
2
г2 г
(18)
а2 гста2 2
Р = а2 Вт2 0:
г
гр
2
(19)
а =
г г
V
Р
(20)
а2 2 0 у = —2 сов 0.
г
(21)
Тогда уравнение (16) примет вид
дг
111 дТ
(1 + V)) (1 + р)) (1 -а)) г 2 —
дг
+ ■
1д
вШ 0д0
(1 + V) 2 (1 + р) (1 - а) Бт 0
дТ д0
+ (1 + V) 2(1 + р) 2(1 -а) 2(1 + у)1 -а-ю2(1 + р)г2Бт20 + 2юааБт20
х
+
д 2Т
бШ2 0 дХ2
= 0.
(22)
Оценим порядок величин, входящих в уравнение. Для этого, используя параметры модели нормальной Земли ОЯБ-80, вычислим гравитационный радиус Земли - г^, а удельный момент количества движения а подберем таким образом, чтобы экваториальная и полярная оси осесимметричной модели Земли совпали с большой и малой полуосью эллипсоида системы координат ОЯБ-80. В результате выполненных расчетов гё = 0,008 87 м, а = 256 477,262 м.
Разложим степенные компоненты в формуле (22) в ряды, ограничиваясь членами четвертого порядка малости
/1 \— 1 1 1 2 1 3 54
(1 + V )2 = 1 + —V—V +—V--V +...;
4 ' 2 8 16 128
1
х
/1 ч— 1 1 3 2 5 з 35 4
(1 + у) 2 = 1--у + -у--V +-V -...;
4 ' 2 8 16 128
/1 ч1 1 1 1 2 1 3 54
(1 -а)2 =1 —а—а--а--а +...;
у ' 2 8 16 128
/ \-1 1 3 2 5 з 35 4 (1 -а) 2 = 1 + -а + -а2 +—а3 +-а4 + ...
+1
Аналогично разлагаются компоненты (1 + р)+ 2 .
Порядок компонент формулы (22), вычисленный с использованием этих разложений и расчетных значений т^ и а, представлен в таблице.
Порядок компонент релятивистского уравнения Лапласа
Компонента Значение Компонента Значение
1 — V 2 8,1 • 10-4 1 р 2 8,1 • 10-4
3 2 -V 8 9,9 • 10-7 3 Р2 8 9,9 • 10-7
5 3 —V3 16 1,3 • 10-9 ^ р3 16 1,3 • 10-9
35 4 -V 128 1,9 • 10-12 35 р4 128 1,9 • 10-12
У 1,6 • 10-3 ю 2 (1 + р)т2 бш2 0 2,4 • 10-12
1 —а 2 7,0 • 10-10 2юааБт 0 1,7 • 10-17
3 2 -а 8 7,3 • 10-19
Ограничимся четвертой степенью разложения и отбросим все члены, вели-
—12
чина которых не превышает 1-10 . После преобразований уравнение Лапласа (22) может быть записано в следующем виде:
А ыТ + 5 тТ + 5 ттТ + 5 тттТ + 5 УТ = 0
'и
ЧУ1
(23)
где
А ыТ =
А
д т
Т
д т
+ -
1 д
бш 0д0
БШ 0
дТ_ д0
+ ■
1
д 2Т
БШ2 0дГ
(24)
2
т
- ньютоновское уравнение Лапласа;
=А
дг
1
дг_
д г
+ •
1 д
б1П 0д0
1 (Р-У)вШ 0—
2У 7 д0
+
+
у-2 (Р + У)
1 _д2Г
б1п2 0дX2
(25)
3
- члены с коэффициентами первого порядка малости - 10- ;
5 щГ = —
д г
2 РУ-8 (Р+У)2
дT 1
2 д± | 1 д г — ^ + -
д г ] б1п 0д0
1 2 1 /о \2 2у - 8(Р+у)
• 0 дT|
Б1П 0-}> +
д0 ]
+
3 (р+У)2 - 2 РУ-2 (Р+У)У
1 _д2Г
б1п0 дX2
(26)
- члены с коэффициентами второго порядка малости - 10- ;
5 = ~ д г
—(Р + У)3 -1 (Р + У)РУ- 1 а 16^ 7 44 ^ 2
дT 1
г — !> +
д г ]
+
1__д_
б1П 0д0
1 (р + у)3 -1 (р2 + 3у2 )у-1а 16^ ' 8Г ' 2
• 0дT 1
Б1П 0-}> +
д0]
+
5 3 3 1 1
--(р + У)3 + -(Р + У)2у + -(Р + У)РУ —руу +—а
164 7 84 ' 4У 7 2 2
1 д^
б1п2 0дX2
(27)
- члены с коэффициентами третьего порядка малости - 10-9;
5 ^ =
_д_ дг
5
31
(р + у)4 +— (р + у)2 Ру —(р + у)а + Р 128 7 164 7 4У 7
22 2 у 2
дГ_ дг
+
+ ■
1__д_
б1П 0д0
'-А. (р + у)4 - (р 4 - 9у 4)-1 ру3 -1 (р-у)
128 7 32у ' 8 4У 7
а
• 0дT 1
Б1П 0-^ +
д0]
+
(р + у)4-I5(р + у)3у-!5(р + у)2Ру + 3(Р + у)Руу+ 3Р2у2 -5(р + у)а 128 ' 16ч ' 16ч ' 4У ' 8 4У '
1
—уа 2
1
б1п2 0дX2
д2T _2(л „ч 2 д^ ----ю 2 (1 + Р) г -Т
д^
- члены с коэффициентами четвертого порядка малости - 10
12
2
г
В таблице компоненты с V и р одинаковых степеней совпали не случайно. Это связано с тем, что в формулах (18), (19) первые слагаемые совпадают, а вторые слагаемые на несколько порядков меньше первых. Оценим величину вторых слагаемых, получим
т
«1,4-10
т
-9 .
т„а
тр
-бШ2 0« 2,2 -10
-12
Если в уравнении (22) считать, что
а
V « р « —-
(29)
и пренебречь всеми величинами порядка 10- , то уравнение (22) запишется в виде
_д_ дт
(1 + у)
дТ_ дт
+
1д
бШ 0д0
бШ 0
дТ_ д0
+
+ [1 + (1 -у)(у-уД
1 д 2Т бш2 0 дХ2
= 0.
Выделяя ньютоновскую составляющую релятивистского уравнения Лапласа, запишем
А ыТ +
_д_ дт
с
V т
дТ дт
+ (1 -у)(у-у)-^ ддХ = 0.
бШ2 0дХ2
(30)
То же самое уравнение получим, если сформируем уравнение Лапласа из слагаемых (24), (25), (26) с учетом соотношения (29).
Подставляя в формулу (30) выражения (21) и (29), окончательно находим
релятивистское уравнение Лапласа, ограничиваясь коэффициентами, порядок
8
которых не превосходит величины 10
?\2гр
А ыТ + а 2 д-2 д т
2
а
а
Л\
д2Т
дХ2
= 0.
(31)
т
+
2
4
т
т
Заключение
В представленной статье получено релятивистское уравнение Лапласа в пространственно-временной метрике Керра во вращающейся вместе с Землей
системе отсчета. Уравнение преобразовано к удобному для решения виду: отдельно выделены ньютоновское уравнение Лапласа и релятивистские поправки к
_о
уравнению. Если пренебречь коэффициентами, порядок которых меньше 10 , то уравнение принимает простой вид (31).
Вопрос о том, каким способом может быть решено уравнение (31), требует отдельных исследований. В работе [10], где также предлагается представить возмущающий потенциал в виде
T = TN + TpN ,
c
где TN - ньютоновский возмущающий потенциал, удовлетворяющий уравнению (1); tpn - постньютоновская поправка, аналогичное уравнение предлагается решать методом итераций.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Елагин А. В., Дорогова И. Е. Определение формы уровенной поверхности вращающейся осесимметричной модели Земли в неподвижной пространственно-временной метрике Керра // Вестник СГУГиТ. - 2016. - Вып. 2 (34) . - С. 47-54.
2. Проблемы обеспечения точности координатно-временных определений на основе применения ГЛОНАСС технологий / А. С. Толстиков, Ю. В. Сурнин, К. М. Антонович,
B. А. Ащеулов // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 2 (18). - С. 3-11.
3. Антонович К. М. Пути развития ГНСС технологий в геодезии // Вестник СГГА. -2006. - Вып. 11. - С. 52-57.
4. Елагин А. В., Дорогова И. Е. Оценка влияния релятивистских эффектов на траекторию движения искусственных спутников Земли // Вестник СГУГиТ. - 2015. - Вып. 3 (31). -
C. 32-39.
5. Елагин А. В., Дорогова И. Е., Мареев А. В. Исследование взаимосвязи смешанных и чистых аномалий силы тяжести // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 3 (27). - С. 70-83.
6. Определение разности потенциалов силы тяжести и высот в геодезии посредством гравиметрических и спутниковых измерений / В. Ф. Канушин, А. П. Карпик, Д. Н. Голдобин, И. Г. Ганагина, Е. Г. Гиенко, Н. С. Косарев // Вестник СГУГиТ. - 2015. - Вып. 3 (31). - С. 53-69.
7. Kerr R. P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metric. // Phys. Rev. Letters. - 1963. - Vol. 11. - P. 237-238.
8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. - 7-е изд. - М. : Наука, 1988. - 512 с.
9. Bjerhammar A. On a relativistic geodesy // Bull.Geod. - 1985. - Vol. 59, Issue 3. -P.207-220.
10. Kopeikin S., Efroimsky M., Kaplan G. Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System. - Berlin : Wiley-VCH, 2011. - 860 p.
11. Kopeikin S. M., Petrov A. N. Post-Newtonian celestial dynamics in cosmology: Field equations // Phys. Rev. - 2013. - D87 (4). - arXiv:1301.5706, doi:10.1103/PhysRevD.87.044029.
12. Kopeikin S. M., Petrov A. N. Dynamic field theory and equations of motion in cosmology // Annals of Physics. - 2014. - 350. - P. 379-440. - arXiv: 1407.3846, doi:10.1016/j.aop.2014.07.029.
13. Kopejkin S. M. Relativistic Manifestations of gravitational fields in gravimetry and geodesy // Manuscripta Geodaetica. - 1991. - 16. - P. 301-312.
14. Kopeikin S. M., Han W.-B., Mazurova E. M. Post-Newtonian theory of Earth's reference-ellipsoid // Geophys. J. Int. - 2015. - Vol. XX. - Р. 1-19.
15. Kopeikin S. M., Mazurova E. M., Karpik A. P. Towards an exact relativistic theory of Earth's geoid undulation // Physics Letters A. - 2015. - 379. - P. 1555-1562.
16. Müller J., So_el M., Klioner S.A. Geodesy and relativity // Journal of Geodesy. - 2008. -82. - P. 133-145, doi:10.1007/s00190-007-0168-7.
17. Mai E. Time, atomic clocks, and relativistic geodesy [Электронный ресурс] // Deutsche Geodatische Kommission der Bayerischen Akademie der Wissenschaften (DGK). - 2014. - 128 pp. -Report No. 124. - Режим доступа: http://dgk.badw.de/fileadmin/docs/a-124.pdf.
18. Mai E., Muller J. General remarks on the potential use of atomic clocks in relativistic geodesy // ZFV - Zeitschrift fur Geodasie, Geoinformation und Landmanagement. - 2013. - Vol. 138 (4). -P.257-266.
19. Petit G., Wolf P., Delva P. Atomic time, clocks, and clock comparisons in relativistic spacetime: a review // Frontiers in Relativistic Celestial Mechanics. Vol. 2. Applications and Experiments / Ed. S. Kopeikin, De Gruyter. - Berlin, 2014. - P. 249-279, doi:10.1515/9783110345667.249.
20. Ashby N. Relativity in the global positioning system [Электронный ресурс] // Living Rev. Relativity. - 2003. - Vol. 6. - 42 р. - Режим доступа : http://www.livingreviews.org/lrr-2003-1. -doi: 10.12942/lrr-2003-1.
21. Klioner S. Angular velocity of rotation of extended bodies in general relativity //. Proceedings of the 172nd Symposium of the IAU Kluwer «Dynamics, ephemerides, and astrometry of the solar system». - Dordrecht, 1995. - P. 309-320.
22. Earth's rotation in the framework of general relativity: rigid multipole moments / S. Klioner, M. Soffel, Ch. Xu, X. Wu // Proc of Les Journées. Session V «Ephemeris and dynamical reference systems». - Paris, 2001. - arXiv:astro-ph/0303377.
Получено 31.08.2017
© А. В. Елагин, И. Е. Дорогова, 2017
THE RELATIVISTIC LAPLACE EQUATION FOR THE PERTURBATION OF THE GRAVITATIONAL POTENTIAL IN THE SPACE-TIME METRIC OF KERR
Aleksandr V. Elagin
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Associate Professor, Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, phone: (383)243-29-11, е-mail: [email protected]
Inna E. Dorogova
Siberian State University of Geosy stems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Associate Professor, Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, phone: (383)243-29-11, е-mail: [email protected]
The work represents the conclusion of relativistic equation of Laplace for perturbation potential in the space-time Kerr metric. The perturbing potential is the difference between the actual gravitational potential of the Earth's gravity and the normal gravitational potential created by the axisymmetric model of the Earth. In the reference frame rotating with the Earth, the shape and dimensions of the axisymmetric model of the Earth depend on the mass of the Earth, the angular velocity of the Earth's rotation, and the specific angular momentum, normalized to the light speed.
For the derivation of the Laplace equation, the initial expression is the expression for the interval in the Kerr space-time metric for the case of the gravitational field of an axisymmetric rotat-
ing body in a reference frame fixed relative to the stars found by R. Kerr in 1963. The covariant and contravariant metric tensors are determined in the work. Using these tensors and the expression for the Laplacian, written in general form, we obtained the Laplace equation in the Kerr space-time metric in the reference frame rotating with the Earth. By expanding the coefficients of the equation in a series, the Laplace equation is represented as the sum of the classical Newtonian Laplace equation and the relativistic corrections to it.
Key words: Laplace equation, gravity potential, Kerr space-time metric, gravitational radius of the Earth, relativistic geodesy, general theory of relativity.
REFERENCES
1. Elagin, A. V., & Dorogova, I. E. (2016). Determination of initial level form of rotating axe symmetrical earth model in motionless spatio-temporal Kerr metric. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 2(34), 47-54 [in Russian].
2. Tolstikov, A. S., Surnin, Yu.V., Antonovich, K. M., & Ashcheulov, V. A. (2012). Accuracy guarantee for coordinate-time determinations using GLONASS techniques. Vestnik SGGA [VestnikSSGA], 2(18), 3-11 [in Russian].
3. Antonovich, K. M. (2006). Ways of GNSS technology's development in geodesy. Vestnik SGGA [Vestnik SSGA], 11, 52-57 [in Russian].
4. Elagin, A. V., & Dorogova, I. E. (2015). Influence of the relativistic effects on the trajectory of artificial Earth satellites. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 3(31), 32-39 [in Russian].
5. Elagin, A. V., Dorogova, I. E., & Mareev, A. V. (2014). Research of relationship gravity disturbance and gravity anomaly. Vestnik SGGA [Vestnik SSGA], 3(27), 70-83 [in Russian].
6. Kanushin, V. F., Karpik, A. P., Goldobin, D. N., Ganagina, I. G., Gienko, E. G., & Kosarev, N. S. (2015). The definition of gravity potential and heights differences in geodesy by gravimetric and satellite measurements. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 3(31), 53-69 [in Russian].
7. Kerr, R. P. (1963). Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metric. Phys. Rev. Letters, 11, 237-238.
8. Landau, L. D., & Lifshits, E. M. (1988). Teoriyapolya [Field theory] (7nd ed.). Moscow: Nauka [in Russian].
9. Bjerhammar A. (1985). On a relativistic geodesy. Bull. Geod., 59(3), 207-220.
10. Kopeikin, S., Efroimsky, M., & Kaplan, G. (2011). Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System. Berlin: Wiley-VCH.
11. Kopeikin, S. M., & Petrov, A. N. (2013). Post-Newtonian celestial dynamics in cosmology: Field equations. Phys. Rev, D87 (4). arXiv:1301.5706. doi:10.1103/PhysRevD.87.044029.
12. Kopeikin, S. M., & Petrov, A. N. (2014). Dynamic field theory and equations of motion in cosmology. Annals of Physics, 350, 379-440. arXiv:1407.3846, doi:10.1016/j.aop.2014.07.029.
13. Kopejkin, S. M. (1991). Relativistic Manifestations of gravitational fields in gravimetry and geodesy. Manuscripta Geodaetica, 16, 301-312.
14. Kopeikin, S. M., Han, W.-B., & Mazurova, E. M. (2015). Post-Newtonian theory of Earth's reference-ellipsoid. Geophys. J. Int., XX, 1-19.
15. Kopeikin, S. M., Mazurova, E. M., & Karpik, A. P. (2015). Towards an exact relativistic theory of Earth's geoid undulation. Physics Letters A, 379, 1555-1562.
16. Müller, J., So_el, M., & Klioner, S. A. (2008). Geodesy and relativity. Journal of Geodesy, 82, 133-145. doi:10.1007/s00190-007-0168-7.
17. Mai, E. (2014). Time, atomic clocks, and relativistic geodesy. Deutsche Geodatische Kommission der Bayerischen Akademie der Wissenschaften (DGK). Report No 124. Retrived from http://dgk.badw.de/fileadmin/docs/a-124.pdf.
18. Mai, E., & Muller, J. (2013). General remarks on the potential use of atomic clocks in relativistic geodesy. ZFV - Zeitschriftfur Geodasie, Geoinformation undLandmanagement, 138(4), 257-266.
19. Petit, G., Wolf, P., & Delva, P. (2014). Atomic time, clocks, and clock comparisons in relativistic spacetime: a review. In Frontiers in Relativistic Celestial Mechanics: Vol. 2, Applications and Experiments (pp. 249-279). doi:10.1515/9783110345667.249.
20. Ashby, N. (2003). Relativity in the global positioning system. Living Rev. Relativity, 6. Retrived from http://www.livingreviews.org/lrr-2003-1. doi: 10.12942/lrr-2003-1.
21. Klioner, S. (1995). Angular velocity of rotation of extended bodies in general relativity.. Proceedings of the 172nd Symposium of the IAU: Dynamics, Ephemerides, and Astrometry of the Solar System (pp. 309-320). Kluwer, Dordrecht.
22. Klioner, S., Soffel, M., Xu, Ch., & Wu, X. (2001). Earth's rotation in the framework of general relativity: rigid multipole moments. Proc of Les Journées. Session V: Ephemeris and Dynamical Reference Systems. Paris. arXiv:astro-ph/0303377.
Received 31.08.2017
© A. V. Elagin, I. E. Dorogova, 2017
