CC BY
74
Вестник СГУГиТ, вып. 3 (31), 2015
УДК 521.9
ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭФФЕКТОВ НА ТРАЕКТОРИЮ ДВИЖЕНИЯ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ
Александр Викторович Елагин
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (383)343-29-11, е-mail: [email protected]
Инна Евгеньевна Дорогова
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (383)343-29-11, е-mail: [email protected]
Выполнена оценка влияния релятивистских эффектов на траектории движения спутников GOCE и ГЛОНАСС на суточном интервале времени. Величина эффектов оценивалась путем сравнения двух траекторий, построенных методом численного интегрирования Эверхарта. Для построения одной траектории (кеплеровой орбиты) использовались ньютоновские уравнения движения, для построения другой - релятивистские уравнения движения. На суточном интервале расхождения орбит для спутника GOCE составили 2,82 метра, для спутника ГЛОНАСС - 0,35 метра. Эксперименты показали, что релятивистские эффекты оказали влияние только на аргументы перигея и средние аномалии. Сделан вывод о том, что на суточном интервале периодические изменения элементов орбиты больше, чем вековые смещения, и учет релятивистских эффектов необходим на современном уровне точности вычислений орбит.
Ключевые слова: релятивистские уравнения движения, кеплерова орбита, пространственно-временная метрика Шварцшильда, начальные условия движения, численное интегрирование, шварцшильдовское смещение перигея.
INFLUENCE OF THE RELATIVISTIC EFFECTS
ON THE TRAJECTORY OF ARTIFICIAL EARTH SATELLITES
Aleksandr V. Elagin
Siberian State University of Gesystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Assoc. Prof., Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, tel. (383)343-29-11, e-mail: [email protected]
Inna E. Dorogova
Siberian State University of Gesy stems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., senior Lecturer, Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, tel. (383)343-29-11, e-mail: [email protected]
The influence of relativistic effects on the trajectory of the satellites GOCE and GLONASS was estimated on the daily time interval. The size of relativistic effect was estimated by comparing of two trajectories. The trajectories were constructed by numerical integration of Everhart. To construct a first trajectory (orbit of Kepler) was used Newtonian equations of motions, to construct of second trajectory was used relativistic equations of motions. Differences orbits for the satellite
32
Геодезия и маркшейдерия
GOCE was totaled 2.82 meters on the daily time interval, and differences for GLONASS satellite was totaled 0.35 meters. Experiments showed that relativistic effects have influenced only argument of perigee and mean anomaly. It is concluded that the periodic changes of orbital elements is greater than the secular changes. The inclusion of relativistic effects is needed at the present level of the accurate orbital calculations.
Key words: relativistic equations of motions, orbit of Kepler, space-time Schwarzschild metric, the initial conditions of motion, numerical integration, the Schwarzschild offset of the perigee.
В настоящее время для решения многих научных и практических задач требуется сантиметровый уровень точности вычисления траекторий движения искусственных спутников Земли (ИСЗ) [1-4]. Однако многие алгоритмы вычисления траекторий движения ИСЗ не учитывают релятивистские эффекты, так как предполагается, что по малости влияния ими можно пренебречь [5-10]. В работе исследовано влияние релятивистских эффектов на траекторию движения двух спутников: GOCE и ГЛОНАСС на суточном интервале движения.
Релятивистские уравнения движения в прямоугольной системе координат в пространственно-временной метрике Шварцшильда могут быть представлены в следующем виде [11-17]:
д д
x = —з x+—
r c r
д д
у = -—у + —
r c r
д
4 2
r j
+ 4 (xx + у у + zz
1 A
д
4 2
V r J
+ 4 (xx + у у + zZ )y
• >
(1)
д д
z = —— z +--—
3 2 3
r c r
f д 2Л
4— -v
V r J
+ 4 (xX + у у + zz )z
J
где д - гравитационный параметр Земли; v - модуль вектора скорости ИСЗ; r - модуль радиуса-вектора ИСЗ.
Если вторые члены (релятивистское влияние) в правых частях дифференциальных уравнений (1) не учитывать, то эти уравнения преобразуются в ньютоновские уравнения движения задачи двух тел:
x =
У-
x =
-4 x •
3 5
r
л
д v
■—у; г
д
-з x •
r3 J
(2)
33
Вестник СГУГиТ, вып. 3 (31), 2015
В этом случае ИСЗ будет двигаться по кеплеровой орбите. Параметрами кеплеровой орбиты являются шесть кеплеровых элементов: а - большая полуось; e - эксцентриситет; i - угол наклона; Q - долгота узла; ю - аргумент перигея; M - средняя аномалия. При таком движении с течением времени изменяется только средняя аномалия
M = M 0 + n ■ t
(3)
где M0 - средняя аномалия в момент задания начальных условий движения;
n = Ц3 - среднее движение; t - моменты времени, на которые вычисляются
\ а3
векторы положения и скорости ИСЗ и кеплеровы элементы орбиты; t = 0 - момент задания начальных условий движения. Элементы орбит спутников GOCE и ГЛОНАСС в момент задания начальных условий движения представлены в табл.1.
Таблица 1
Параметры орбит спутников GOCE и ГЛОНАСС
Параметры орбит Единицы GOCE ГЛОНАСС
а метр 6628 140 25 500 000
e безразм. 0,01 0,01
i градус 96,5 64,8
Q градус 0 0
ю градус 0 0
M0 градус 0 0
Кеплеровы орбиты спутников GOCE и ГЛОНАСС в работе считаются эталонными орбитами, которые можно вычислить точно по формуле (3). Преобразование кеплеровых элементов в прямоугольные координаты и скорости и обратное преобразование выполняются по формулам, представленным в работе [18].
Для исследования влияния релятивистских эффектов на орбиты спутников GOCE и ГЛОНАСС внутри суточного интервала методом Эверхарта выполнялось численное интегрирование релятивистских уравнений движения (1) и ньютоновских уравнений движения (2). Прямоугольные координаты и скорости при этом были преобразованы в кеплеровы элементы [19, 20]. Точность вычисления орбит с помощью метода Эверхарта определялась путем сравнения вычисленной кеплеровой орбиты с эталонной орбитой. Погрешность вычислений численным методом быстроизменяющейся средней аномалии не превысила 3 ■ 10_11 градуса, остальные пять кеплеровых элементов были определены точнее.
34
Геодезия и маркшейдерия
Расхождения траекторий, вычисленных с использованием релятивистских уравнений движения (1) и ньютоновских уравнений движения (2), представлены на рис. 1, 2.
Рис. 1. Влияние релятивистских эффектов на изменение прямоугольных координат и радиуса-вектора спутника GOCE
Рис. 2. Влияние релятивистских эффектов на изменение прямоугольных координат и радиуса-вектора спутника ГЛОНАСС
35
Вестник СГУГиТ, вып. 3 (31), 2015
На рисунках изображены расхождения координат A x, A y, A z и модули
A x +A y +A z . Синусоидальный характер изменения координат объясняется тем, что составляющие вектора скорости по осям координат изменяются по синусоидальному закону, отсюда и синусоидальное влияние релятивистских эффектов. Необходимо отметить, что соотношение амплитуд колебаний зависит от угла наклона орбит.
Выполненные эксперименты показали, что на суточном интервале из всех элементов орбиты релятивистские эффекты оказали влияние только на аргументы перигея и средние аномалии ИСЗ.
На рис. 3 и 4 представлены расхождения аргументов перигея и средних аномалий (в градусах) для спутников GOCE и ГЛОНАСС.
Рис. 3. Влияние релятивистских эффектов на изменение аргумента перигея и средней аномалии спутника GOCE
На рисунках заметно, что кроме периодических изменений аргументов широты и средних аномалий, есть еще вековые изменения этих параметров. Оценка вековых изменений аргументов широты d ю выполнена по следующим формулам:
а = (tT -t j• tT -A®;
d ® = a-t, (4)
где t - вектор интервалов интегрирования.
Аналогичным путем выполнена оценка вековых изменений dM средних аномалий. Наклон линейных функций, их смещения и значения на суточном интервале представлены в табл. 2.
36
Геодезия и маркшейдерия
Рис. 4. Влияние релятивистских эффектов на изменение аргумента перигея и средней аномалии спутника ГЛОНАСС
Таблица 2
Коэффициенты и значения функции линейной регрессии на суточном интервале времени
Тип ИСЗ Изменяемый параметр Наклон линии (градус/час) Значение (градус)
GOCE d т 4,783 х10—7 1,148 х10—5
dM —1,481х10—6 —3,554 х10—5
ГЛОНАСС d т 1,964 х10—8 4,714 х10—7
dM —5,426 х10—8 —1,302 х 10—6
В работе [1] получена формула для шварцшильдовского смещения аргумента перигея за один оборот. Преобразуя эту формулу для вычисления смещения в градусах за сутки, получим
d т =
3ц n
ac2 ^1 - e2 j
180
п
86 400
(5)
Вычисленные по этой формуле смещения dт имеют следующие значения:
- для спутника GOCE 1,163 х 10-5 градуса;
- для спутника ГЛОНАСС 4,005 х 10 градуса.
37
Вестник СГУГиТ, вып. 3 (31), 2015
Порядок вычисленных значений смещений перигея совпадает со значениями в последнем столбце табл. 2. Совпадение указывает на правильность выполненных расчетов.
Численные эксперименты показали (см. рис. 1 и 2), что в результате влияния релятивистских эффектов на суточном интервале времени орбита спутника GOCE сместилась на 2,82 м, орбита спутника ГЛОНАСС - на 0,35 м. Основываясь на результатах экспериментов, можно сделать вывод о том, что вклад в изменение траектории движения ИСЗ периодических колебаний больше, чем вклад вековых смещений, и на современном сантиметровом уровне точности вычисления орбит необходим учет релятивистских эффектов.
Работа выполнена при поддержке гранта 14-27-00068 Российского научного фонда.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Косарев Н. С., Щербаков А. С. Статистический анализ точности определения положений спутников систем ГЛОНАСС и GPS // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 2 (26). - С. 9-18.
2. Проблемы обеспечения точности координатно-временных определений на основе применения ГЛОНАСС технологий / А. С. Толстиков, Ю. В. Сурнин, К. М. Антонович, В. А. Ащеулов // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 2 (18). - С. 3-11.
3. Антонович К. М. Пути развития ГНСС технологий в геодезии // Вестник СГГА. -2006. - Вып. 11. - С. 52-57.
4. Карпик А. П., Липатников Л. А. Проблемы и перспективы точного позиционирования с использованием массовой аппаратуры потребителя ГНСС // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2014. Х Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 8-18 апреля 2014 г.). - Новосибирск: СГГА, 2014. Т. 2. - С. 113-117.
5. Михайлович Е. В. Предварительная обработка спутниковых траекторных измерений // Вестник СГГА. - 2011. - Вып. 1 (14). - С. 7-10.
6. Программный комплекс «ОРБИТА-СГГА» для определения орбитальных, геодезических и геодинамических параметров по результатам наблюдений ИСЗ / Ю. В. Сурнин,
B. А. Ащеулов, Е. В. Михайлович, Н. К. Шендрик // Вестник СГГА. - 2006. - Вып. 11. -
C. 16-21.
7. Стубарев Д. В., Толстиков А. С. Исключение выбросов в результатах траекторных измерений // Вестник СГГА. - 2006. - Вып. 11. - С. 28-32.
8. Восстановление и испытание программного комплекса «ОРБИТА-СГГА-2» для решения задач космической геодезии динамическим методом / Ю. В. Сурнин, В. А. Ащеулов, Е. В. Михайлович, Н. К. Шендрик // ГЕО-Сибирь-2007. III Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 25-27 апреля 2007 г.). - Новосибирск: СГГА, 2007. Т. 1, ч. 2. -С. 52-58.
9. Горохова Т. И. Использование открытых алгоритмов обработки GNSS-измерений в системе геодезического мониторинга GOCA // ГЕО-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 1, ч. 3. - С. 60-63.
10. Михайлович, Е. В. Результаты обработки траекторных измерений с использованием программного комплекса «ОРБИТА-СГГА-2» // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск: СГГА, 2008. Т. 1, ч. 1. - С. 255-258.
38
Геодезия и маркшейдерия
11. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика. - М.: Наука, 1972. - 382 с.
12. Kopeikin S., Efroimsky M., Kaplan G. Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System. - Berlin: Wiley-VCH, 2011. - 860 pp.
13. Kopeikin S. M., Petrov A. N. Post-Newtonian celestial dynamics in cosmology: Field equations // Phys. Rev. - 2013. - D87 (4). arXiv:1301.5706, doi:10.1103/PhysRevD.87.044029.
14. Kopeikin S. M., Petrov A. N. Dynamic field theory and equations of motion in cosmology // Annals of Physics. - 2014. - 350. - P. 379-440. arXiv:1407.3846, doi:10.1016/j.aop.2014.07.029.
15. Kopejkin S. M. Relativistic Manifestations of gravitational fields in gravimetry and geodesy // Manuscripta Geodaetica. - 1991. - 16. - P. 301-312.
16. Landau L. D., Lifshitz E. M. The classical theory of fields, Pergamon Press, Oxford, UK,
1975.
17. Muller J., Soffel M. and Klioner S. A. Geodesy and relativity. Journal of Geodesy. -2008. - 82. - P. 133-145, doi:10.1007/s00190-007-0168-7.
18. Урмаев М. С. Орбитальные методы космической геодезии. - М.: Недра, 1981. -
256 с.
19. Сурнин Ю. В. Адаптивный алгоритм аппроксимации модели вращения Земли // Вестник СГГА. - 2010. - Вып 1 (12). - С. 63-69.
20. Елагин А. В. Методика определения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли по спутниковым и наземным измерениям // Вестник СГГА. - 2006. - Вып. 11. -С. 46-52.
Получено 22.07.2015
© А. В. Елагин, И. Е. Дорогова, 2015
39
