CC BY
375
РЕКУРРЕНТНЫЙ АНАЛИЗ - ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
В.Б. Киселев
Научный руководитель - кандидат технических наук, доцент Б.А. Крылов
Кратко рассмотрен перспективный метод анализа характера процессов - (кросс)-рекуррентный анализ. Уделено внимание вопросам реконструкции фазового пространства из одномерного временного ряда. Проведен обзор возможных областей применения метода. Предложены информационные модели систем с использованием (кросс)-рекуррентного анализа.
Введение
Развитие науки и техники ставит перед человечеством все увеличивающееся число вопросов для всестороннего изучения, хотя большинство из уже стоящих перед современной наукой проблем требуют более глубокого понимания Природы. Исследования сложных систем, как природных, так и искусственных, показали, что в их основе лежат нелинейные процессы, тщательное изучение которых необходимо для понимания и моделирования сложных систем.
В последние десятилетия набор традиционных (линейных) методик исследования был существенно расширен нелинейными методами, полученными из теории нелинейной динамики и хаоса; многие исследования были посвящены оценке нелинейных характеристик и свойств (скейлинг, фрактальная размерность) процессов, протекающих в Природе. Однако большинство методов нелинейного анализа требуют либо достаточно длинных, либо стационарных рядов данных, которые довольно трудно получить из Природы. Более того, было показано, что данные методы дают удовлетворительные результаты для идеализированных моделей реальных систем [1]. Эти факторы потребовали разработки новых методик нелинейного анализа данных.
Состояние природных или искусственных систем, как правило, изменяется во времени. Изучение этих, зачастую сложных, процессов - важная задача во многих дисциплинах, позволяющая понять и описать их сущность, например, для прогнозирования состояния на некоторое время в будущее. Целью таких исследований является нахождение математических моделей, которые бы достаточно соответствовали реальным процессам и могли бы быть использованы для решения поставленных задач.
В данной статье будет вкратце рассмотрена идея и теория рекуррентного анализа, приведены некоторые примеры, рассмотрены его возможные области применения, предложены возможные модели информационных систем с его использованием.
Фазовое пространство, его реконструкция
Состояние системы описывается ее переменными состояния
где верхний индекс - номер переменной. Набор из ё переменных состояния во время ^ составляет вектор состояния х(/) в с! -мерном фазовом пространстве. Данный вектор перемещается во времени в направлении, определяемом его вектором скорости:
в (1)
Последовательность векторов х(/) образует траекторию в фазовом пространстве, причем поле скорости ^(х) касательно к этой траектории. Эволюция траектории описывает динамику системы и ее аттрактор. Зная ^(х), можно получить информацию о состоянии системы в момент / путем интегрирования выражения (1). Так как форма траектории позволяет судить о характере процесса (периодические или хаотические процессы имеют характерные фазовые портреты), то для определения состояния систе-
мы не обязательно проводить интегрирование, достаточно построить графическое изображение траектории [2, 3].
При исследовании сложных систем зачастую нет информации обо всех переменных состояния, либо не все из них возможно измерить. Как правило, имеется единственное наблюдение и(/), проведенное через дискретный временной интервал At. Таким образом, измерения записываются в виде ряда и, (/), где / = / • А/.
Интервал At может быть постоянным, однако это не всегда возможно и создает проблемы для применения стандартных методов анализа данных, требующих равномерной шкалы наблюдений.
Взаимодействия и их количество в сложных системах таковы, что даже по одной переменной состояния можно судить о динамике всей системы в целом (данный факт был установлен группой американских ученых при изучении турбулентности). Таким образом, эквивалентная фазовая траектория, сохраняющая структуры оригинальной фазовой траектории, может быть восстановлена из одного наблюдения или временного ряда по теореме Такенса (Такепэ) методом временных задержек:
*(') = ("/'' "/'+т > * > ";'+(»;- 1)-т )> где т - размерность вложения, т - временная задержка (реальная временная задержка определяется как т • А^). Топологические структуры восстановленной траектории сохраняются, если т > 2 • +1, где - размерность аттрактора [4]. На практике оказывается, что в большинстве случаев аттрактор может быть восстановлен и при т < 2с/ [5] (см. рис. 1). Задержка т, как правило, выбираются априорно.
Рис. 1. Аттрактор системы Лоренца в трехмерном фазовом пространстве (проекция подобрана так, чтобы было возможно оценить подобие топологий двух фазовых портретов, длина временного ряда 2000 отсчетов): а - построен из трех компонент; б - построен из реконструкции х-компоненты в трехмерное фазовое пространство (т = 3)
Существует несколько подходов к выбору минимально достаточной размерности т, помимо аналитического. Высокую эффективность показали методы, основанные на концепции ложных ближайших точек (false nearest neighbours, FNN). Суть ее заключается в том, что при уменьшении размерности вложения происходит увеличение количества ложных точек, попадающих в окрестность любой точки фазового пространства. Вытекающий отсюда простейший метод - определение количества FNN как функции от размерности, в пределе равной 0. Существуют и другие методы, основанные на этой концепции - например, определение отношений расстояний между одними и теми же соседними точками при разных т [6, 7]. Размерность аттрактора также может быть определена при помощи кросс-корреляционных сумм [8].
Так как низкая точность измерений и случайные ошибки могут привести к появлению линейной зависимости между последовательными векторами х(^), то задержку т следует выбирать так, чтобы минимизировать эту зависимость.
Рекуррентный анализ
Процессы в Природе обладают ярко выраженным рекуррентным поведением, таким, как периодичность или иррегулярная цикличность. Более того, рекуррентность (повторяемость) состояний в смысле прохождения последующей траектории достаточно близко к предыдущей является фундаментальным свойством диссипативных динамических систем. Это свойство было отмечено еще в 80-х гг. XIX века французским математиком Пуанкаре (Poincare) и впоследствии сформулировано в виде «теоремы рекуррентности», опубликованной в 1890 г.:
Если система сводит свою динамику к ограниченному подмножеству фазового пространства, то система почти наверняка, те. с вероятностью, практически равной 1, сколь угодно близко возвращается к какому-либо изначально заданному режиму.
Суть этого фундаментального свойства в том, что, несмотря на то, что даже самое малое возмущение в сложной динамической системе может привести систему к экспоненциальному отклонению от ее состояния, через некоторое время система стремится вернуться к состоянию, некоторым образом близкому к предыдущему, и проходит при этом подобные этапы эволюции.
Убедиться в этом можно при помощи графического изображения траектории системы в фазовом пространстве. Однако возможности такого анализа сильно ограничены. Как правило, размерность фазового пространства сложной динамической системы более 3, что делает практически неудобным его рассмотрение напрямую; единственная возможность - проекции в двух- и трехмерные пространства, что зачастую не дает верного представления о фазовом портрете.
В 1987 г. Экман (Eckmann) и соавторы [9] предложили способ отображения т-мерной фазовой траектории состояний системы х(/) длиной N на двумерную квадратную двоичную матрицу размером N х N, в которой 1 (черная точка) соответствует повторению состояния при некотором времени i в некоторое другое время j, а обе координатные оси являются осями времени. Такое представление было названо рекуррентной диаграммой (recurrence plot, RP), так как оно фиксирует информацию о рекуррентном поведении системы.
Математически вышесказанное описывается как
где N - количество рассматриваемых состояний хг-, вг- - размер окрестности точки х
Непрактично и, как правило, невозможно обнаружить полную рекуррентность в смысле Xj = Xj (состояние динамической, а особенно - хаотической системы не повторяется полностью эквивалентно начальному состоянию, а подходит к нему сколь угодно близко). Таким образом, рекуррентность определяется как достаточная близость состояния Xj состоянию Xj. Иными словами, рекуррентными являются состояния Xj,
попадающие в т -мерную окрестность с радиусом вг и центром в хг-. Эти точки Xj называются рекуррентными точками (recurrence points).
(2)
в момент i,
норма и ©( • ) - функция Хэвисайда.
Поскольку R,, = 1 (/ = 1 • Л') по определению, то рекуррентная диаграмма всегда содержит черную диагональную линию - линию идентичности (line of identity, LOI), под углом 7г/4 к осям координат. Произвольно взятая рекуррентная точка (/, j) не несет какой-либо полезной информации о состояниях во времена / и j . Только вся совокупность рекуррентных точек позволяет восстановить свойства системы.
Внешний вид рекуррентной диаграммы позволяет судить о характере протекающих в системе процессов, наличии и влиянии шума, наличии состояний повторения и замирания (ламинарность), совершении в ходе эволюции системы резких изменений состояния (экстремальных событий) - см. примеры диаграмм на рис. 2.
Рис. 2. Примеры рекуррентных диаграмм: а - три компонента системы Лоренца при в = 0,1; б - множество Мандельброта при в = 0,2; в - числа Вольфа с 01.1880 года по 12.2000 года (отчетливо виден ~11-ти летний цикл солнечных пятен) при в = 0,1; г-смоделированный из 12 главных частот временной ряд геомагнитных пульсаций типа
Рс-1 при в =0,15
Пороговое расстояние в, может выбираться как непосредственно для каждой точки, исходя из получения в такой окрестности некоторого заранее определенного количества рекуррентных данной точек (при этом мы получаем несимметричную диаграмму
- Я,- j Ф Я у ), так и оставаться все время постоянным, что дает симметричную диаграмму Я,- j = Я у и является наиболее используемым вариантом.
Тип нормы также оказывает влияние на вид диаграммы. Как правило, используются нормы Л|, Л2 (евклидова норма), Лх (максимальная норма). Границы этих норм имеют разные фигуры, что применительно к подходу с постоянным в означает, что норма обеспечивает нахождение наибольшего, ~~ среднего, а Ьу - минимального количества соседних точек (см. рис. 3). Как правило, при построении рекуррентных диаграмм используется норма , так как, во-первых, она независима от размерности фазового пространства, во-вторых, наиболее просто вычисляема и, в-третьих, позволяет изучать диаграммы теоретически, поскольку аналитические выражения для Ь решаются проще, нежели для любой другой нормы [10]. Независимость от размерности находит применение при анализе реконструированных временных рядов с различными размерностями вложения, т.е. рекуррентные диаграммы разных вложений могут сравниваться напрямую, в то время как для остальных норм требуется масштабирование.
Рис. 3. Основные нормы с одинаковым радиусом вокруг точки фазового пространства (черная точка), изображенные для двумерного фазового пространства:
а - , б - Ь2 , в -
Следует упомянуть вариант рекуррентной диаграммы - матрицу, на которой отмечаются непосредственно расстояния между двумя точками фазового пространства:
Xj X j
Данная матрица, будучи отображенной на некоторую цветовую палитру, может служить некоторым аналогом топологической карты - цвет наглядно характеризует расстояние между точками. Такое изображение называется диаграммой расстояний (distance plot) и предложено в [11, 12]. Следует отметить, что такие диаграммы могут служить не только прозаическим инструментом исследователя, но и привлекать внимание получаемым орнаментом так же, как и фрактальные рисунки (рис. 4).
Рис. 4. Примеры диаграмм расстояний (длины временных рядов - тысяча отсчетов): а - уравнение Меки-Гласса; б - три компонента генератора Ван дер Поля; в - геомагнитные пульсации типа Рс-1
Существует еще некоторое количество разновидностей рекуррентных диаграмм, разработанных с целью получения дополнительных сведений об объектах исследования, например [11, 13, 14].
Анализ диаграмм
Очевидно, что процессы различного поведения будут давать рекуррентные диаграммы с различным рисунком. Таким образом, зрительная оценка диаграмм может дать представление об эволюции исследуемой траектории. Выделяют два основных класса структуры изображения: топология (typology) [9], представляемая крупномасштабными структурами, и текстура (texture), формирующаяся мелкомасштабными структурами.
Топология дает общее представление о характере процесса; выделяют четыре различных класса (см. рис. 5):
• однородные рекуррентные диаграммы типичны для стационарных и автономных систем, в которых время релаксации мало по сравнению с длиной ряда;
• периодические повторяющиеся структуры (диагональные линии, узоры в шахматном порядке) соответствуют различным осциллирующим системам с периодичностью в динамике;
• дрейф соответствует системам с медленно изменяющимися параметрами, что делает белыми левый верхний и правый нижний углы рекуррентной диаграммы;
• резкие изменения в динамике системы, равно как и экстремальные ситуации, обусловливают появление белых областей или полос. Рекуррентные диаграммы упрощают выявление экстремальных и редких событий.
Рис. 5. Характерные топологии рекуррентных диаграмм: а - однородная (нормально распределенный шум); б - периодическая (генератор Ван дер Поля); в - дрейф (отображение Икеды с наложенной линейно растущей последовательностью); г - контрастные области или полосы (обобщенное броуновское движение)
Подробное рассмотрение рекуррентных диаграмм позволяет выявить мелкомасштабные структуры - текстуру, которая составляется из простых точек, диагональных, горизонтальных и вертикальных линий. Комбинации вертикальных и горизонтальных линий формируют прямоугольные кластеры точек.
• одинокие, отдельно стоящие рекуррентные точки появляются в том случае, когда соответствующие состояния редки, либо неустойчивы во времени, либо вызваны сильной флуктуацией. При этом они не являются признаками случайности или шума;
• диагональные линии =1 (при к = ]• /, где 1 - длина диагональной линии) появляются в случае, когда сегмент траектории в фазовом пространстве пролегает параллельно другому сегменту, т.е. траектория повторяет саму себя, возвращаясь в одну и ту же область фазового пространства в разное время. Длина таких линий определяется временем, в течение которого сегменты траектории остаются параллельными; направление (угол наклона) линий характеризует внутренне время подпроцессов, соответствующих данным сегментам траектории. Прохождение линий параллельно линии идентичности (под углом 7г/4 к осям координат) свидетельствует об одинаковом направлении сегментов траектории, перпендикулярно - о противоположном («отраженные» сегменты), что может
также являться признаком реконструкции фазового пространства с несоответствующей размерностью вложения. Нерегулярное появление диагональных линий является признаком хаотического процесса; • вертикальные (горизонтальные) линии Rt j+k =1 (при к = 1* v, где v - длина
вертикальной или горизонтальной линии) выделяют промежутки времени, в которые состояние системы не изменяется или изменяется незначительно (система как бы «заморожена» на это время), что является признаком «ламинарных» состояний.
Перечисленные мелкомасштабные структуры используются для вычисления мер количественного анализа рекуррентных диаграмм (recurrence quantification analysis, RQA). Збилут (Zbilut) и Веббер (Webber) разработали инструмент [15] вычисления ряда мер на основе подсчета плотности рекуррентных точек и построения частотного распределения длин диагональных линий: recurrence rate (RR, коэффициент самоподобия), determinism (DET, предсказуемость), divergence (DIV, обратная величина максимальной длины диагональной линии), entropy (ENTR, энтропия) и trend (TREND, тренд). Вычисление этих мер в подматрицах рекуррентной диаграммы вдоль линии идентичности показывает поведение этих мер во времени. Некоторые исследования данных мер показали, что их применение может содействовать обнаружению точек бифуркации, особенно переходов хаос-порядок [16].
Позднее были предложены меры, использующие плотность вертикальных (или горизонтальных) структур [17]: laminarity (LAM, замирание), trapping time (ТТ, показатель задержки), позволяющие выявлять переходы хаос-хаос. Следует отметить также нечувствительность этих мер к стационарности и длине исследуемых рядов.
Мы не будем в настоящей работе подробно рассматривать эти меры и формулы для их вычисления. При необходимости они могут быть обнаружены в упомянутой литературе.
Кросс-рекуррентные диаграммы
При построении рекуррентной диаграммы мы анализируем взаимную близость точек одной траектории xi длиной Nx. Очевидно, что аналогичное сравнение можно провести для двух временных рядов. Добавим в то же фазовое пространство траекторию yi длиной N. Графическое отображение сравнения близости точек первой траектории с точками второй траектории называется кросс-рекуррентной диаграммой (cross-recurrence plot, CRP):
CRffl = 0(в,- -
Эb-Xj-yj] х,уеШт, / = !• Nx, 7 = 1. Ny.
Это выражение полностью аналогично выражению (2) для рекуррентной диаграммы. Если состояние второй траектории во время j близко состоянию первой траектории во время i, то 1 (черная точка) будет установлена в матрице CR в положении (/, j). Важно, что такая ситуация не означает «повторение» состояния, и таким образом, матрица CR отображает не повторяемость, а соответствие траекторий друг другу. Таким образом, получаемая диаграмма не является «кросс-рекуррентной диаграммой» в буквальном смысле. Однако это название сложилось исторически, используется исследователями и учеными, так как удобно с целью обобщения понятия рекуррентных диаграмм. Аналогичным образом обобщается понятие количественного анализа к cross-recurrence quantification analysis (CRQA).
Траектории xi и yi не обязательно должны быть одинаковой длины - таким образом, кросс-рекуррентная диаграмма может быть произвольной прямоугольной формы. Для упрощения изложения примем, что мы имеем дело с рядами одинакового масштаба
(т.е. одинаковой длины Nx и интервала измерения At), таким образом, кросс-
рекуррентная диаграмма принимает вид массива размера N х N.
Траектории для построения кросс-рекуррентных диаграмм должны отображать значения переменных состояния или компонент подобных динамических систем. Для устранения проблемы единиц измерения и масштаба значений ряды следует нормировать на максимальное по модулю значение. Бессмысленно использовать кросс-рекуррентные диаграммы для анализа данных, полученных от принципиально разных динамических систем, хотя зачастую диаграммы расстояний, получаемые от такого «смешивания», могут быть весьма оригинальны и занимательны.
Так как значения CR, г (/ = 1 • Л') не обязательно отличны от нуля, то, как правило, главная диагональ (LOI) размывается. Сказанное выше относительно толкования топологии рекуррентных диаграмм справедливо и для кросс-рекуррентных диаграмм, причем диагональные линии в данном случае представляют куда больший интерес, так как указывают на проходящие близко участки траекторий двух разных процессов. Частота и длины этих линий очевидным образом указывают на подобие динамики исследуемых систем. Увеличивающееся со временем подобие рассматриваемых траекторий приводит к увеличению плотности рекуррентных точек вдоль главной диагонали CR; i (/ = 1* N) до появления на ней сплошной черной линии (которая, фактически,
является линией идентичности, а кросс-рекуррентная диаграмма в области старших индексов превращается в обычную рекуррентную). Аналогичные рассуждения, только в обратном порядке, справедливы и для двух расходящихся траекторий.
Данное расширение рекуррентного анализа было предложено в работе [18].
Области применения
На первый взгляд применение рекуррентного анализа может показаться ограниченным. Однако это не так. Приведем некоторые возможные области применения рекуррентного анализа.
1. Изучение:
а. самой методики;
б. динамических систем, например, сложных физико-химических процессов, на предмет выявления хаотического поведения, природных явлений, динамики экономических индексов и др.
2. Мониторинг состояния систем, протекания процессов (в том числе в реальном времени после каждого рабочего цикла). В процессе работы системы производятся измерения каких-либо ее параметров, характеризующих протекающий процесс. После окончания каждого рабочего цикла производится построение рекуррентной (или кросс-рекуррентной) диаграммы и вычисление мер. Если меры выходят за определенные пределы, то это может свидетельствовать о какой-либо неисправности.
3. Распознавание (отнесение к определенному классу):
а. определение неисправностей сложных систем (в том числе заболеваний человека и животных). В отличие от мониторинга, данные испытания проводятся в индивидуальном порядке, что позволяет строить вывод о неисправности на основе сопоставления полученного результата с базой данных (см. далее);
б. фильтрация, верификация входных или выходных данных. Предполагает использование методики в составе более сложного комплекса. Задача может состоять в проверке, удовлетворяет ли временной ряд, подаваемый на вход комплекса, некоторым обязательным критериям. Другой ва-
риант задачи - проверка соответствия результата некоторым обязательным критериям (также может являться детектором неисправностей).
Рассмотрим последовательность обработки сигнала рекуррентным анализом (рис. 6). На вход системы анализа подается ёх -мерный временной ряд Х^х длиной
Ых отсчетов. Если ё = 1, то предварительно может быть проведена реконструкция фазового пространства (секция ЯРБ). Затем производится построение рекуррентной диаграммы и вычисление ее мер. Полученные меры в совокупности с самой диаграммой формируют характеристический вектор (СУ) временного ряда, который далее может быть использован не только для вывода о характере процесса, но и сохранен в базу данных для последующего использования.
II реконструкция фазового пространства ((ЧРб), если <4= 1 [ЧР РОА CV
реконструкция фазового пространства (РЧРв), если йг= 1 при тТ = т„ъ = ъ —► СР1Р CRQA CV
вход RPS RA выход
Рис. 6. Последовательность обработки сигнала при рекуррентном анализе
Аналогично строится обработка двух сигналов с использованием кросс-рекуррентных диаграмм. Теперь на входе системы анализа имеется еще один ёУ -мерный временной ряд длиной ЫУ отсчетов (как правило, данный ряд является
эталонным, и стоит задача выявить подобие ему ряда X ). Если применяется реконструкция фазового пространства обоих рядов, то размерности вложения должны совпадать (тх = тУ ). Если реконструируется только один ряд, то его следует приводить к размерности второго. Построенная кросс-рекуррентная диаграмма и вычисленные на ее основе меры формируют характеристический вектор подобия, который также может быть сохранен в базу данных для последующего использования.
Заключение
В данной статье был кратко рассмотрен один из перспективных методов анализа динамических систем - метод (кросс-)рекуррентных диаграмм. Были описаны основные критерии визуальной оценки диаграмм. Упомянут вопрос количественного анализа диаграмм, но без конкретных формул вычисления мер (при необходимости их можно найти в упомянутой литературе).
Увеличивающееся количество работ, посвященных практическому применению данного метода, свидетельствует о росте его популярности среди исследователей. Метод применяется в геофизике, палеонтологии, медицине и даже для анализа динамики макроэкономических индексов. Преимущества данного метода - одинаковая работа с данными любой размерности, некритичность к происхождению и качеству данных, маргинальность (метод не вносит дополнительную информацию «от себя»), наглядность результатов - позволяют применять его достаточно широко при анализе и изучении сложных динамических систем совершенно различной природы.
К сожалению, сравнение результатов разных исследований затруднено из-за практически полного отсутствия общих критериев для анализа систем, например, выбора размерности вложения и задержки при реконструкции фазового пространства. Хотя такая несогласованность, как правило, не влияет на результат визуальной (качественной) оценки, она затрудняет систематизацию и обобщение результатов.
Была дана оценка возможных областей применения метода.
Предложенные информационные модели могут найти применение в реальных аналитических и контролирующих системах - как индивидуально, так и в сочетании с другими методами анализа.
Литература
1. Manuca R., Savit R. Stationarity and nonstationarity in time series analysis. // Physica D 1996. 99 (2-3). P. 134-161.
2. Берже П., Помо П., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминированном подходе ктурбулентности. М.: Мир, 1991. 368 с.
3. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. 312 с.
4. Takens F. Detecting Strange Attractors in Turbulence. Berlin, Springer, 1981. P. 366-381.
5. Киселев Б.В., Волобуев Д.М. Реконструкция аттракторов в трехмерном фазовом пространстве и моделирование геомагнитных пульсаций. // Вопросы геофизики. СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1998. Вып. 35. С. 338-348.
6. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. Determining embedding dimension for phasespace reconstruction using a geometrical construction. // Physical Review. 1992. A 45 (6). P. 3403-3411.
7. Cao L. Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time series. // Physica D. 1997. 110 (1-2). P. 43-50.
8. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors. // Physica D. 1983. 9 (1-2). P. 189-208.
9. Eckmann J.-P., Kamphorst S.O., Ruelle D. Recurrence Plots of Dynamical Systems. // Eu-rophysics Letters. 1987. 5. P. 973-977.
10. Thiel M. et all. Influence of observational noise on the recurrence quantification analysis. // Physica D. 2002. 171 (3). P. 138-152.
11. Iwanski J.S., Bradley E. Recurrence plots of experimental data: To embed or not to embed? // Chaos. 1998. 8 (4). P. 861-871.
12. Webber Jr.C.L. Recurrence Quantification Analysis, 2003. homepages.luc.edu/~cwebber
13. Casdagli M.C. Recurrence plots revisited. // Physica D. 1997. 108 (1-2). P. 12-44.
14. Manuca R., Savit R. Stationarity and nonstationarity in time series analysis. // Physica D. 1996. 99(2-3). P. 134-161.
15. Zbilut J.P., Webber Jr.C.L. Embeddings and delays as derived from quantification of recurrence plots. // Physics Letters. 1992 A 171 (3-4). P. 199-203.
16. Trulla L.L., Guiliani A., Zbilut J.P., Webber Jr.C.L.: Recurrence quantification analysis of the logistic equation with transients. // Physics Letters. 1996. A 233 (4). P. 255-260.
17. Marwan N., Wessel N., Meyerfeldt U., Schirdewan A., Kurths J. Recurrence-plot-based measures of complexity and their application to heart-rate-variability data. // Physical Review. 2002. E66. 026702.
18. Zbilut J.P., Giuliani A., Webber Jr.C.L. Detecting deterministic signals in exceptionally noisy environments using cross-recurrence quantification. // Physics Letters. 1998. A 246 (1-2). P. 122-128.
