Исследование динамики процессов методом вычисления мер количественного рекуррентного анализа в окне, смещаемом вдоль главной диагонали рекуррентной диаграммы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прохожев Николай Николаевич

Михайличенко Ольга Викторовна

Коробейников Анатолий Григорьевич

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, karaja2@yandex.ru

— Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, ст. преподаватель, 19791109@list.ru

— Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова, зам. директора, доктор технических наук, профессор, Korobeynikov_A_G@mail.ru

УДК 004.932

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ ВЫЧИСЛЕНИЯ МЕР КОЛИЧЕСТВЕННОГО РЕКУРРЕНТНОГО АНАЛИЗА В ОКНЕ, СМЕЩАЕМОМ ВДОЛЬ ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ РЕКУРРЕНТНОЙ ДИАГРАММЫ В.Б. Киселев, Б.А. Крылов

Рассматривается вычисление мер количественного анализа рекуррентной диаграммы в окне, смещаемом вдоль главной диагонали. Приводятся примеры применения методики к модельным и природным данным. Дается оценка результатов и возможностей применения. Ключевые слова: рекуррентный анализ, рекуррентные диаграммы, размер окна.

Введение

Исследования сложных систем, как природных, так и искусственных, показали, что в их основе лежат нелинейные процессы, тщательное изучение которых необходимо для понимания и моделирования сложных систем.

Рекуррентный анализ [1,2,3] — достаточно молодой и динамично развивающийся подход к анализу сложных систем, не требующий длинных или стационарных временных рядов. Рекуррентные диаграммы позволяют судить о характере протекающих в системе процессов, наличии и влиянии шума, дрейфа, наличии состояний повторения и замирания (ламинарность), совершении экстремальных событий, наличии скрытой периодичности и цикличности. Количественный анализ рекуррентных диаграмм позволяет сопоставить диаграмме некоторые численные меры, основанные на плотности рекуррентных точек, распределениях длин диагональных и горизонтальных (вертикальных) линий. Следует отметить, что пока не создано удовлетворительной теории применения рекуррентных диаграмм и их количественных мер; этот метод сам по себе представляет собой поле для исследований.

Вычисление мер в окне, смещаемом вдоль главной диагонали рекуррентной диаграммы, позволит рассмотреть эволюцию изучаемого процесса через эволюцию изменения выбранных мер рекуррентной диаграммы, и таким образом сделать основанные на количественных показателях выводы об изменениях в динамике исследуемой систе-мы.Приведены примеры вычисления оконных мер для диаграмм, построенных по модельным и реальным системам, дана оценка возможностей использования.

Рекуррентные диаграммы

Рекуррентные диаграммы были предложены для отображения траектории X е Шт ( = 1...N) в т -мерном фазовом пространстве на двумерную двоичную матрицу размером N х N. Единица в ячейке матрицы соответствует повторению состояния

R j = ©( -

(проход траектории через одну и ту же точку фазового пространства) при некотором времени i в некоторое другое время j, а обе координатные оси диаграммы являются осями времени. Математически это выражается следующим образом:

©((-k - xj) x , i, j = 1k N, (1)

где N - количество рассматриваемых состояний Xi, s;- - размер окрестности точки x в момент i, 11 • || - норма (расстояние) и ©( • ) - функция Хэвисайда.

Графически рекуррентная диаграмма может быть представлена монохромным изображением, где единице соответствует черная точка. При наличии только одномерного ряда щ эквивалентная траектория в m -мерном фазовом пространстве может быть

восстановлена по методу временных задержек Такенса [4], X(t)= (u;-, Ui+т,..., Ui+(m-i)),

где m - размерность вложения, т - временная задержка (реальная временная задержка определяется как т-At ). Топологические структуры восстановленной траектории сохраняются, если m < 2d +1, где d - размерность аттрактора. На практике оказывается, что в большинстве случаев аттрактор может быть восстановлен и при m < 2d [5]. Задержка т, как правило, выбирается априорно.

Размер окрестности s; определяет радиус окрестности в фазовом пространстве с центром в точке Xi. Если точка Xj попадает внутрь данной окрестности, то такое состояние считается подобным состоянию xi , и, таким образом, на диаграмме устанавливается R; j = 1. Радиус s;- может быть постоянным для всех Xi либо определяться для

каждой точки индивидуально, чтобы в получаемую окрестность всегда попадало определенное количество подобных состояний. В этой работе используется постоянное значение 8г-, что приводит к получению симметричной рекуррентной диаграммы относительно линии Ri j = 1 (i = j). Для вычисления расстояний между точками фазового

пространства используется максимальная норма Lœ = sup|vk\.

Рисунок рекуррентной диаграммы отображает поведение процесса во времени и позволяет сделать выводы о его характере по ее топологии и текстуре.

Количественный анализ рекуррентных диаграмм

Збилут (Zbilut) и Вебер (Webber) разработали количественный анализ рекуррентных диаграмм (recurrence quantification analysis, RQA) [6] для определения численных показателей рекуррентной диаграммы. Они предложили меры, использующие плотность рекуррентных точек и диагональные структуры диаграммы: показатель подобия (RR), детерминизм (DET), максимальная длина диагональных линий (L), энтропия (ENTR), тренд (TREND). Несколько позже Марван (Marwan) предложил [7] меры, основанные на горизонтальных (вертикальных) структурах рекуррентных диаграмм - замирание (LAM) и показатель задержки (TT).

Как правило, для вычисления мер используются рекуррентные диаграммы с постоянным значением порога s . Мера рекуррентности (recurrence rate, RR), 1 N

яя=А I Rj, (2)

N 2 i, j=1

показывает плотность рекуррентных точек, просто подсчитывая их, включая линию идентичности. В пределе,

1 N

P-= ZRj ,

N i,j =1

данная мера показывает вероятность нахождения рекуррентной точки в рекуррентной диаграмме (вероятность повторения состояния).

Следующая мера рассматривает диагональные линии. Частотное распределение

длин l диагональных линий рекуррентной диаграммы Pe(l) = P (l), где N - абсолютное количество диагональных линий (каждая линия считается только один раз). Процессы со стохастическим поведением могут порождать очень короткие диагонали либо вообще не порождать их, в то время как детерминистские процессы дают длинные диагонали и малое количество отдельных рекуррентных точек. Таким образом, отношение рекуррентных точек, составляющих диагональные структуры, к общему количеству рекуррентных точек,

Z N Pl)

DET ==l min-—, (3)

ZN rM,& v 7

i, j i, J

называется мерой детерминизма (determinism, DET), или предсказуемости, системы. Следует отметить, что эта мера не имеет значения реального детерминизма процесса. Пороговое значение минимальной длины lm|n исключает диагональные линии, образованные тангенциальным движением траектории в фазовом пространстве. Очевидно, что lmin = 1 ^ DET = 1. Диагональные структуры показывают время, в течение которого участок траектории подходит достаточно близко к другому участку траектории. Таким образом, эти линии позволяют судить о расхождении элементов траектории. Средняя длина диагональных линий

Z N1 ip&()

L = \ Vn--(4)

Zh l pe(()

' 'min

- это среднее время, в течение которого два участка траектории проходят близко один к другому, и может рассматриваться как среднее время предсказуемости. Находят применение максимальная длина диагональных структур, а также ее инверсия - дивергенция (divergence, DIV):

Lmax = max(; i = 1...Ni}), DIV = -L- . (5)

Lmax

Установлено, что длины диагональных линий соотносятся с наибольшим положительным показателем Ляпунова, если он существует для рассматриваемой системы [1]. Разными авторами были предложены методы оценки максимального положительного показателя Ляпунова с использованием длин диагональных линий. Мера энтропии (entropy, ENTR) соотносится с энтропией Шеннона (Shannon) частотного распределения длин диагональных линий

N P г(1)

ENTR = - Z P(l)n p(l), где p(l) = / ^ , (6)

l=lmin Zl=lmin P (l)

и отражает сложность детерминистской составляющей в системе. Следующая мера представляет собой, по сути, отношение между DET и RR и может быть вычислена из частотного распределения длин диагональных линий:

XL,p5(( )

RATIO = N2 , l lmin-2. (7)

p (I

Эвристическое изучение физиологических систем показало [8], что эта мера может быть использована для распознавания фазовых переходов в случаях, когда RR уменьшается, а DET остается постоянной.

Рассмотрим точку траектории Xi и множество ассоциированных с ней рекуррентных точек R = {¡С/ : R- j = 1; j g[1kN]}. Определим подмножество точек

ri = {xk е Ri : (Ri,k • Ri,k+1 MRi,k • Ri,k-1 )> 0; l e [1...N] Ri,o = R¿,N+1 = o} которое содержит рекуррентные точки, формирующие горизонтальные линии в строке i. Определим теперь длины v всех соединенных в Si подмножеств {¡j £ si; X/+1,к,X/ +v e si; x/+v+1 £ si}. Обозначим Pi(v)= {vk; k = 1,2,...,K} - множество

длин присутствующих в Si подмножеств; таким образом, выражение Ps(v)= Ц=1 P (v)

дает нам распределение длин горизонтальных линий Ps (v) для всей рекуррентной диаграммы. Мера замирания (laminarity, LAM)

VN=v • vPE(v)

LAM = (8)

определяется отношением количества рекуррентных точек, образующих горизонтальные линии, к общему количеству рекуррентных точек. LAM характеризует наличие состояний замирания системы (т.е. когда движение системы по фазовой траектории останавливается или продвигается очень медленно). Средняя длина горизонтальных структур

У N vPe(v )

TT = Vmin--(9)

yN=v. ps(V) ('

min

называется показателем задержки (trapping time, TT) и характеризует среднее время, которое система может провести в более-менее неизменном состоянии.

Мера чистоты сигнала

Влияние стохастической составляющей процесса приводит к появлению на диаграмме отдельно стоящих точек и очень коротких диагональных линий. В основном стохастические процессы (например, обобщенное броуновское движение), как уже упоминалось выше, вообще могут не порождать длинных диагоналей, а если таковые и обнаруживаются, то их появление носит случайный характер. Сказанное позволяет ввести меру отношения количества точек, формирующих диагональные линии длиной l < lmm, к количеству точек, формирующих диагональные линии l > lmm,

У/"7 -1/pB(7)

CLEAN = -—, (10)

VN=/ ■ /Pe(() ( )

' 'min

которое называется мерой чистоты (cleanness, CLEAN) и показывает влияние стохастической составляющей процесса. Очевидно, что преобладание последней приведет к росту значения CLEAN.

Использование окна для вычисления мер

При изучении реальных систем зачастую требуется обнаружить фазовые переходы между режимами системы. Как правило, их можно определять непосредственно по рекуррентной диаграмме. Однако, если стоит задача сравнения нескольких измерений, классификации и т.п., становится необходимым иметь некоторые количественные по-

казатели. В качестве примера можно привести изучение различий в динамике солнечной и геомагнитной активностей. В работах [9, 10] рассматривался фазовый переход в районе 1934-37-го гг. от периода умеренной солнечной активности к более высокой. Вычисление некоторых количественных мер диаграмм, построенных для диапазонов до и после упомянутого рубежа, показало существенное различие полученных значений.

Последовательное вычисление количественных мер фрагмента диаграммы, ограниченного окном некоторого размера S < N, перемещаемого вдоль главной диагонали диаграммы R;=j = 1, позволит получить динамику изменения значений вычисленных

мер. Экстремумы на графиках изменения мер будут свидетельствовать о точках фазовых переходов. Вычисления мер в окне

WWjS = Ri+w, j+w, i, j e [1k S], w e [1k n = N - S]

ничем не отличаются от вычисления мер для всей рекуррентной диаграммы. Частотные распределения длин диагональных и горизонтальных линий принимают вид

PW'S (() = U?=1 P (() и PW'S (v) = Uf=iP (v) соответственно.

1 S S

Выражения для мер, вычисляемых в окне: RRw =—— У W;wj - для рекуррентности

S i,j =1

yS lPw^S /) У?, IPW,S (()

T>T> ТЛГ-Т ^l=lmm w \Ч т-1т-1ф J ¿->l =lmin w v '

RR; DETw = —' ' ----для детерминизма DET; Lw = —ir-m!S-jt— - для сред-

ySj wj yS=i. pwS (/)

1>J >J 1 »min

ней длины диагональных линии L; Lmax = max({/;; i = 1k ?/ -1}), DIVW = —1--для

Lmax w

дивергенции DIV; ENTRw =- УpW(()lnpW(/), где pW(/) =—S W Е?Лч " для энтро-

S..... PWfd

l=lmin PW' (()

2 Z?=/. /PW'S (/)

m

пии ENTR; RATIOW = ?z , min-2 - для соотношения RATIO;

(S?=i/PW'? (/ ))

S?=V . vPW'? (v) Z?=v . vp>? (v)

LAMW =-m2-0--для замирания LAM; TTW = —тт-^-^--для показателя

У ? WW'.? W У? W? (v)

Li, j WJ yv=vminPw V

У/т ~l/PWß (/)

задержки TT; CLEAN = —/=-0--для показателя чистоты CLEAN. Таким образом,

У?=. /W (()

' 'min

в результате вычислений набора мер в смещаемом вдоль главной диагонали окне мы получаем набор векторов мер Qn , где n = N - ? - количество выполненных вычислений.

Выбор размера окна априорен. Больший размер дает более гладкие графики мер за счет невысокого влияния малозаметных событий во всем объеме данных. Меньший размер дает более четкие графики, которые, однако, могут быть отягощены излишним влиянием шумов и флуктуаций. Экспериментально удалось установить, что хорошие результаты дает применение окна размером ? « N/5 , при этом он не должен быть кратен основному периоду сигнала.

Применение к модельным данным

В качестве примера анализа модельных данных рассмотрим рекуррентную диаграмму для системы Лоренца (рис. 1).

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900

Рис. 1. Рекуррентная диаграмма трех компонент системы Лоренца. Длина ряда

N = 2000 точек, в = 0,2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200С

о; о;

к Щ

о

¡3

£

г щ

о Р ч о;

к к

10-05

10-09 10-0 002

10-0.006 1013

10"

10-22

10-25

-100 52

-100 59 ь.

105 100 10-5

10-0 0

10-0 0 102 101 100

_1_

0-400 200-600 400-800 600-1000 800-1200 1000-1400 1200-1600 1400-1800 1600-2000

Рис. 2. Графики эволюции мер относительно Х-компоненты системы Лоренца

0

По диаграмме проведем расчет мер в окне размером S = 400, после чего построим графики эволюции мер, расположенные относительно Х-компоненты системы Лоренца (рис. 2). Меру CLEAN не будем включать в данный расчет по причине гладкости траектории модельного ряда. По оси Y графики мер изобразим в логарифмическом масштабе. Подписи оси Х для графиков мер изобразим в виде диапазонов. Левое число диапазона обозначает отступ от левого нижнего угла диаграммы, правое - верхнюю правую точку, охваченную окном.

Очевидна реакция мер на изменения структуры диаграммы. Действительно, например в районе линий с координатами 195 и 890 на диаграмме можно видеть достаточно резкое изменение ее структуры, что свидетельствует о смене режима. Меры RR, L, ENTR обнаружили этот факт локальными экстремумами. Можно обнаружить и другие события, которые будут сопоставимы со структурой рассматриваемой рекуррентной диаграммы.

Применение к рядам чисел Вольфа, аа-индекса

Рассмотрим рекуррентные диаграммы и графики рассчитанных по ним мер для чисел Вольфа (солнечная активность) - рис. 3, 4, аа-индекса (геомагнитная активность) -рис. 5, 6, индекса осадков в Индии - рис. 7, 8. Диапазон исследуемых данных - с января 1871 г. по декабрь 1994 г. Все диаграммы были построены с параметрами m = 3, т = 1, 8 = 0,1. Для вычисления мер использовалось окно шириной S = 312 точек, что соответствует 26 годам. Для упрощения визуального анализа временные ряды мер предварительно подвергались аппроксимации сплайнами с высоким коэффициентом точности.

На графиках для диаграммы чисел Вольфа нас интересует фазовый переход в районе 1934-37 гг. Действительно, графики мер RR, DET, ENTR, RATIO и LAM обнаруживают экстремум в конце 1935 г. (на графиках отмечен пунктирной линией). Более того, поведение этих мер до и после рубежа различно, что отчетливо видно на графиках. Можно обнаружить и другие экстремумы - например, в конце 1899 г. (на графиках линия малым пунктиром). Это событие также видно и на диаграмме, пусть не настолько отчетливо, как предыдущее.

Графики для диаграммы аа-индекса более интересны, так как, несмотря на достаточно высокую зашумленность и стохастичность сигнала, меры показывают высокую чувствительность к изменениям в структуре диаграммы, а значит и в поведении исследуемого процесса. Фактически виден диапазон с середины 1934 г. по середину 1938 г., в течение которого происходила перестройка поведения возмущенности геомагнитного поля Земли. Меры DET, L, ENTR, LAM и TT демонстрируют общий экстремум в конце 1936 г. Таким образом, если приведенная выше оценка точки фазового перехода для чисел Вольфа справедлива, можно говорить, что реакция геомагнитного поля Земли на существенную смену режима произошла с задержкой в один год.

Следует также отметить, что замеченный на графиках для диаграммы чисел Вольфа экстремум в конце 1899 г. также проявился и на графиках для диаграммы аа-индекса (отмечен линией с малым пунктиром). Более того, демонстрируют его уже упомянутые меры DET, L, ENTR, LAM и TT. Следует особо отметить, что на рекуррентной диаграмме аа-индекса это событие фактически неразличимо.

В случае графиков для диаграммы среднего индекса осадков в Индии мы сталкиваемся с наличием достаточно большого количества экстремумов, практически не проверяемых по диаграмме. Сам временной ряд осадков представляет собой модулированный пилообразный сигнал с более-менее постоянным и очевидным периодом в 1 год. Однако как продолжительность периода осадков, так и их интенсивность меняются и подвержены более высокой периодичности, выявление которой выходит за рамки данной работы. Для нас в данном случае важно отметить отсутствие совпадений экстремумов с рядами чисел Вольфа и аа-индекса.

Рис. 3. Рекуррентная диаграмма месячных значений чисел Вольфа с 1871/01

по 1994/01 (т = 3 , т = 1, в = 0,1)

1871 1881 1891 1901 1911 1921 1931 1941 1951 1961 1971 1981 1991

1

0.5

о; о;

I-

щ о

3

о; к

85

о

К К

55

о

10-005 Ю-0 09

10-002 10-0 04 102 101 10°

10-17 10-18

-10033

-10046 1009

100.05

10-0 03 10-0.09 102 101

100 100

10-1 Г 10-2

1871-97 1881-07 1891-17 1 901-27 1911-37 1 921-471931-57 1 941-67 1 951-77 1 961-87

Рис. 4. Графики мер для диаграммы чисел Вольфа

¡С~ ! ¡¡ЙгжГ7 |ШрГ

;зг- «да

ПЛ •.*-«! • Я «$'»• '«»!»»»*«ЙйЯ-Й«: • <якяю« ш**ж-..г Е? ...... ' * " . » " >'■_ Л _ * •!

^ - • - : < ••»ч&л ,ьл '

! : • " * ' ;: - Н -

' ' ы » . ■>!* \ к ' ||1ч1 э ¡я к ; 5 '

«V " , »» < й ¿1 £

„к::- пи«; ^ ае 1-: - •

•■иГ'Щк.

т

$ ■ ;;- - ;;;;;

*......

¡¡йг.~ ШЯЩЛЩ-

.....

II ш

АШМ! *

¿^И МУДУ,; ДН^а ».¿г „чД

х ж: 1 • »йч;! ■

и вяг ?! Ш!,'

»фгШ^Г ЩТ$г "Ф 1

. .й. й ?{йШм> ■ ¡¿я- ' 1" я ;. !

* ,-Я, ¡1 |, Ш .8 X \

Ш 1

А': -1 к, 1| 1)

.А, «1 1 щА,

1080 1090 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1900 1970 1900 1990

Рис. 5. Рекуррентная диаграмма месячных значений аа-индекса с 1871/01 по 1994/01

(т = 3 , т = 1, в = 0,1)

1871 1881 1891 1901 1911 1921 1931 1941 1951 1961 1971 1981 1991 1

о; о;

к Щ

О

¡3

К 85

о

к к

55

о

0.5 0

10-006

10-0 09

10-0 04

10-0 12 10° 7 100.5

10-1 1

10-1.8

-100 2 -100 3

10 7 10 5

10-0 1 100 2

100 7 100 5 100 10-1 10-2

- 1 1 1 1 1 . 1 ■ 1 1 1 | — И—1 -

1.1 III 41 II 1|1 , 1 1 1 1 ' ' 1 Ху |

- 1 1 1 —1— 1 1 ■ 1 1 1 ■ -

1 1 -1- 1 -1- 1\ 1 ■ 1 1

- --—г—^-1---- ¿г^ _ 1 1 1 | 1 — 1 1 1 1 -

- 1 1 Ч/^Лг-Г-- 1 УТ" 1 1 —|— Т| Г| 1 1 1 1 1 -

■ . . —1— 1 к. 1 1 1 1 |И| 1 -

г 1 ¡11111111 1 1 1 1 1 1 1 —V 1 | 1 ' 1 1 Г1 . ■ III 1 1

1871-97 1 881-07 1891-17 1901-27 1 911-37 1921-47 1 931-57 1 941-67 1 951-77 1 961-87

Рис. 6. Графики мер для диаграммы аа-индекса

Рис. 7. Рекуррентная диаграмма среднемесячных значений уровня осадков в Индии с 1871/01 по 1994/01 (т = 3 , т = 1, е = 0,1)

1871 1881 1891 1901 1911 1921 1931 1941 1951 1961 1971 1981 1991

1871-97 1 881-07 1891-17 1901-27 1 911-37 1921-47 1 931-57 1 941-67 1 951-77 1 961-87

Рис. 8. Графики мер для диаграммы уровня осадков

Заключение

Рассмотренная в работе методика позволяет облегчить исследователям поиск границ фазовых переходов при изучении сложных природных процессов. Было отмечено повышение чувствительности количественных мер в случае применения к сложным сигналам с высокими шумовой и стохастической составляющими. Методика позволяет обнаруживать сложно различимые на диаграммах границы фазовых переходов.

Применение методики к рядам чисел Вольфа и аа-индекса позволило уточнить границы фазового перехода во второй половине тридцатых годов 20-го века, обнаружить границы других, менее существенных переходов.

Очевидно, что все рассмотренные меры реагируют на различные типы фазовых переходов по-разному. Рассмотрение этого вопроса осталось за рамками данной работы по причине его обширности. По этой же причине не был приведен более подробный анализ поведения мер на рассмотренных природных временных рядах. Была введена мера CLEAN как отношение между количеством рекуррентных точек диаграммы, не участвующих в формировании диагональных линий, и количеством рекуррентных точек диаграммы, участвующих в этом. Мера определена как мера чистоты траектории.

Литература

1. Eckmann J.-P., Kamphorst S. O., Ruelle D. Recurrence Plots of Dynamical Systems // Eu-rophysics Letters. - 1987. - V. 5. - Р. 973-977.

2. Киселев В.Б. Некоторые методы нелинейного анализа // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2005. - Вып. 20. - С. 172-180.

3. Киселев В.Б. Рекуррентный анализ - теория и практика // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2006. - В. 29. - С. 118-127.

4. Takens F. Detecting Strange Attractors in Turbulence. - Berlin, Springer, 1981. - Р. 366381.

5. Киселев Б.В., Волобуев Д.М. Реконструкция аттракторов в трехмерном фазовом пространстве и моделирование геомагнитных пульсаций // Вопросы геофизики. -Изд. СПбГУ. - 1998. - В. 35. - С. 338-348.

6. Zbilut J. P., Webber Jr. C. L. Embeddings and delays as derived from quantification of recurrence plots // Physics Letters A. - 1992. - V.171. - № 3-4. - Р. 199-203.

7. Marwan N., Meinke A. Extended Recurrence Plot Analysis and its Application to ERP Data // International Journal of Bifurcation and Chaos «Cognition and Complex Brain Dynamics». - 2004. - V. 14. - № 2.

8. Webber Jr.C.L., Zbilut J.P. Dynamical assessment of physiological systems and states using recurrence plot strategies // Journal of Applied Physiology. - 1994. - V. 76. - № 2. -Р.965-973.

9. Киселев Б.В., Киселев В.Б. Различия в динамике солнечной и геомагнитной активности // Вопросы геофизики. - Изд. СПбГУ. - 2006. - Вып. 39. - С. 130-139.

10. Киселев В.Б. Определение стабильности траектории процесса в фазовом пространстве при помощи рекуррентного анализа // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2007. - Вып. 40. - С. 121-130.

Киселев Владислав Борисович — Санкт-Петербургский государственный университет ин-

формационных технологий, механики и оптики, аспирант, contact@impsoft.spb.ru

Крылов Борис Алексеевич — Санкт-Петербургский государственный университет ин-

формационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, krylov@mail.ifmo.ru