CC BY
16
УДК 539.3
РЕКОНСТРУКЦИЯ НАКЛОННЫХ ТРЕЩИН В СЛОЕ
© 2005 г. А.О. Ватульян, О.В. Явруян
The steadied plane and antiplane oscillations of orthotropic layer with an internal crack of the arbitrary configuration are considered. The analysis of displacement fields on upper bound of a layer is conducted depending on length and angle of lean of a rectilinear crack. The inverse problem of crack identification by the fields of displacement, measured on a part of upper bound of a layer is resolved.
Введение
Проблема прочности конструкций из анизотропных материалов - весьма важный аспект современной механики. При этом трещины являются типичными дефектами, которые существенно ослабляют прочность конструкции и инициируют разрушение. Своевременное выявление трещиноподобных дефектов в конструкциях позволяет предотвратить их дальнейшее развитие и избежать разрушения. Обратные задачи идентификации трещин уже давно являются предметом исследования в механике. К настоящему моменту довольно подробно изучены обратные задачи идентификации плоских трещин в ограниченных и неограниченных изотропных телах в различных постановках, подробный обзор работ в данной предметной области дан в [1]. Ряд из них посвящен определению плоскостных приповерхностных дефектов [2-4]. Обратные задачи для тела с внутренней трещиной, расположенной на границе раздела сред, рассмотрены в [5, 6]. Отметим, что задачи идентификации внутренних трещин произвольной конфигурации исследованы мало, хотя прямые задачи изучены достаточно подробно [7, 8]. Это связано с тем, что для таких трещин количество ее определяющих параметров увеличивается и соответственно усложняются схемы их определения.
Настоящая работа посвящена разработке методов идентификации трещины в слое по измеренному на границе среды полю перемещений.
Постановка задачи
Рассмотрим плоские и антиплоские колебания однородного ортотропного слоя толщины h, ослабленного внутренней туннельной трещиной с сечением 1 произвольной конфигурации. Нижняя грань слоя = (х1, x3 = 0} жестко защемлена. На части верхней границы слоя 520 = {х1 е [а, Ъ], х3 = И} приложена нагрузка pi (х1, . Будем предполагать, что берега трещины в процессе колебаний не взаимодействуют и свободны от напряжений (рис. 1).
Хз
S20 S21
г
//////////// Si
Рис. 1
■ Xi
Рассмотрим далее установившийся режим колебаний р^ (х1, /) = р^ (х1)е, где с- частота колебаний, что позволяет отделить временной множитель и представить компоненты вектора перемещений в виде
-1сЯ
и}- = и}- (х) е .
При антиплоских колебаниях (задача 1) ненулевой компонентой вектора перемещений является и 2 = и 2(х1, х3). В этом случае проблема описывается краевой задачей:
С66и2,ц + С44и233 + ртги2 = 0 ,
и 2 I= 0 , С44и 2,3 1я20 = р2 , С44и 2,3 I х«Я20 = 0 , (1)
( = 0, ] = 1,3. (2)
В случае плоских колебаний (задача 2) отличны от нуля компоненты и1 = и1(х1,х3),и3 = и3(х1,х3). Уравнения движения и граничные условия имеют вид
С11и1,11 +С55и1,33 +(С13 + С55)и3,13 +рсо2и1 = 0 ;
С55 и 3,п +С 33 и 3,33 +(С13 + С55)и1И3 +рс2 и 3 = 0;
(Гц = С11и1д + С13и3,3 ; (33 = С13и1д + С33и3 3 ;
(13 = С55(и1,3 + и 3,1 ) ;
иг 15 = 0 , (3 1 520 = Рг ; (3 = 0 , х « 520 ; (3)
1 = 0, г, ] = 1,3. (4)
Здесь р - плотность среды; Сг]- - компоненты тензора упругих постоянных материала, удовлетворяющие обычным соотношениям симметрии и положительной определенности; п± - компоненты единичных векторов нормали к берегам трещины.
Задача идентификации трещины решается на основе информации о поле перемещений на части верхней границы слоя 521 = {х1 е [с, ё], х3 = И},
UAsn = g* (X1 6 S2
(5)
Замыкают постановку задачи условия излучения волн на бесконечности. При их формулировке использован принцип предельного поглощения [9].
Моделирование задачи идентификации осуществляется в два этапа. На первом строится решение прямой задачи об определении поля перемещений в слое, ослабленном трещиной заданной конфигурации. На втором на основе решения прямой задачи и дополнительного граничного условия (5) решается обратная геометрическая задача идентификации трещины -определяется ее конфигурация и положение в слое.
Для решения прямой задачи в рамках теории дислокаций [10] действие трещины заменялось действием фиктивных массовых сил /1, которые выражаются через скачки вектора перемещений на трещине
Xm (um um)
. При этом задача 1 примет вид
l
С66 « 2,11 + С44и 2,33
+ РЮ «2 + ¡2 = О, /2 = -[с6612д(С)]>1с граничными условиями (1). Задача 2 примет вид
С11и1,11 +С55«1,33 +(С13 + С55)и3,13 +Р®2«1 + ¡1 = 0,
С55Мз,11 +С33«3,33 +(С13 + С55 )«,13 +рю2иъ + /3 = О,
где ¡1 =-(с11Х1$Ю),1 -(с55 %3^(0),3 ,
/3 = -(с55^3^(С)),1 -(СвХ^Ов с граничными ус" ловиями (3).
На основе функций Грина для слоя и\т> [11], используя теорему взаимности [10], получаем представление поля перемещений в слое.
В случае антиплоских колебаний (задача 1) имеем следующее представление поля в слое
u2(#) = uГ(#) + |ст(22)(х,#)«гхdlx , i = 1,3
(6)
1
Для плоской деформации (задача 2) компоненты поля перемещений определяются представлениями
эт г 1 Г ~(т) I
u
(#) = иэТ (#) + \vj)(. x,£)nt Xjdlx
l
(7)
], т = 1,3, ^ е £ .
Здесь ст(т) - компоненты тензора напряжений
(сингулярные решения). Они находятся на основе представлений для функций Грина и закона Гука. В случае области типа слоя аналогично [8] функции Грина представлены в виде интегралов Фурье по контуру в комплексной плоскости, который выбирается в соответствии с принципом предельного поглощения и обходит особенности подынтегральных функций определенным образом, описанным в [11].
Представления (6),(7) позволяют определить смещения в любой точке слоя при известных значениях функций раскрытия. При этом в этих выражениях первое слагаемое - эталонное поле, представляющее собой поле смещений в среде без дефекта, второе обусловлено наличием трещины в слое.
Одним из наиболее эффективных методов определения скачков перемещений на трещине является построение систем граничных интегральных уравнений (ГИУ) [12]. Они формулируются на основе представлений (6),(7) с учетом граничных условий на трещине (2),(4).
Полученные системы ГИУ эффективнее всего решать при помощи метода граничных элементов [5,13], в результате применения которого системы интегральных уравнений сводятся к линейным системам относительно неизвестных узловых значений % ¡.
В случае задачи 1 имеем одно ГИУ. Главная часть соответствующего интегрального оператора выделяется способом, описанным в [11].
В случае задачи 2 получаем систему двух ГИУ
J j х, y)Xi (x)dlx = Fj (y):
д
Kji(x y) = C]rms — cr^(x y)nk (x)nr (y),
(8)
F (У) = -C
д
<m (y)ni (У)
ums ~ m /i x
dys
y e l, j, i, k, m, s = 1,3 . Исследуем структуру ядер
К(х, у) = | к1 (а, х, у)е'а1(х1 у1) йах интегральных
а
операторов в (8). Поскольку главные члены асимптотических представлений подынтегральных функций при | а1 ж имеют вид
к (а!, х, у) = ¥}1 а, х, у)(1 + 0(\аг\-1)),
¥п (а1, х, у) = 2 [М1} (Ут, х, у)е^х3-у3'а |а | +
+ М<]2)(гт, х, у)е~"т1 а1], 1 = 1,3 и оказываются растущими по а1 при х = у , то интегральные представления ядер приводят к расходящимся интегралам и понимаются в смысле конечного значения по Адамару [14] (определяются упругими константами материала, рассмотрен случай = 0). Преобразуем ядра, выделив главные части, и представим их в виде
К ц (х, у) = К (0)( х, у) + К1}(х, у), К«(х,у) = $е'"а!(х1-у1)(куг (а,х,у) -¥]1 (а,х,у))йах ,
1 а
К (0)( х, у) = $ х - (а1, х, у)а =
¿г, (Х3 -y3)2 -(xi -yi)2
= У [2 ' тК''3——-———-М(1V ,х, у) +
т=1 - у3)2 + (х, - у1)2)2
+ 4' (2; "|х3-)-у3|((х' - -42 М , х, у)]. (уЦх3 - у3)2 + (х1 - у1)2 )2
Пусть параметрическое представление гладкой кривой I имеет вид
х ^ = qj (?), п1Лх = д3 (/)Ж , щЛх = -q1 (/)Ж ,
у}- = q 1 (т), ?,те [-1,1],
q1(í), qз(t) е С '[-1,1], q1,2(í) + qз2(t) Ф 0. Несмотря на отсутствие явного представления фундаментальных и сингулярных решений, в этом случае оказывается возможным выделить особенности подынтегральных вьгражений в К (0)( х, у) в явном
виде. В результате получим, что система интегральных уравнений (8) представляется в виде
1 Ка (?,т) 1 (1)
-- X] (0^ + $ К1 > (?, т)Х] )Л = ¥1 (т), (9)
-1- т) -1
те [-1,1],
2 ^m Чз2(т) - ?12(т)
Rß С Т) =U2v-2a''2r:+ ^2 M i "(Vm , t,T) + m=1 (Vm ЪТ) + ?! (T))
+ 4i vm
(t)?3 (T)
M f(Vm , t,T)].
m Vm ?32(T) + q!2(T))2
В силу того, что Я]7 е С([-1,1] х [-1,1]), ядра
К (0)(х,у) имеют гиперсингулярную особенность при
А
? = т . Исследование операторов такого типа и квадратурные формулы для их вычисления приведены в [14], а развитие техники обращения таких операторов вида (9) на основании граничноэлементных аппрок-
СГ
симаций осуществлено в [8,11,15]. В результате аппроксимации интегральных операторов (9) соответствующими квадратурными формулами и удовлетворения интегральных уравнений в некотором наборе точек в соответствии с методом коллокаций получаем СЛАУ для определения узловых значений компонент функции раскрытия трещины.
Анализ полей смещений (6),(7) на верхней границе слоя может ответить на ряд вопросов и позволяет сформулировать ряд практических рекомендаций, связанных с исследованием обратной задачи, поскольку успех при ее решении во многом зависит от расположения области съема информации 521. Было проведено исследование влияния частоты колебаний, расположения трещины и ее длины на поле смещений на верхней грани слоя. На рис. 2,3 приведены графики вещественных частей поля перемещения для прямолинейных трещин разных длин (рис. 2) и углов наклона (рис. 3) в случае задачи 1 для изотропного материала при И=1 (к -
, 2 Р® волновое число; к =-
C 4
Re(u)
tn>№(p« 00040
а = 120
Рис. 2
Обратная задача
Обратная задача состоит в определении размеров и местоположения внутренней трещины по дополнительной информации о поле смещений или амплитуды поля смещений, измеренных на части верхней границы слоя вида (5). Существуют несколько подходов к решению обратных задач идентификации трещин, причем одним из эффективных является способ, предложенный в [16] на основе формулировки системы нелинейных интегральных операторных уравнений относительно неизвестных функций, описывающих конфигурацию трещины ,, и компонент функций раскрытия. Для задачи 2 соответствующая система имеет вид
I
x^)nlX]dix=g*m (xi) - uтт (xi, h)
|К}1 (х, у) XI (х)й1х = Е} (у)
I
и решается на основе метода линеаризации в окрестности некоторого начального положения трещины. Построенные линеаризованные интегральные уравнения, позволяющие осуществлять процедуру уточнения, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма первого рода с гладкими ядрами. Решение такой системы в силу некорректности требует применения регуляризующих алгоритмов. Однако при таком подходе к решению задачи идентификации особое внимание следует уделить выбору начального приближения трещины ,0 . Начальное приближение предлагается разыскивать, исходя из некоторых априорных соображений, в классе трещин простейшей конфигурации (прямолинейных трещин, дуг окружностей). При этом ,0 параметризуется при помощи конечного числа инвариантных характеристик ск , определение которых и составляет суть задачи нахождения начального приближения.
Так, например, при восстановлении прямолинейной наклонной трещины достаточно определить ее 4 инвариантные характеристики: длину трещины ,, угол ее наклона а, расстояние средней точки трещины до нижней границы слоя х3с и до источника нагружения х1с, которые определяются из условия минимума неквадратичного функционала невязки, зависящего от неизвестных параметров
N * 2
Ф(Ск ) = X I ит (Х|к , И) - Я т (Х!к )|2 . к=1
Отметим, что схемы практической дефектоскопии позволяют получить информацию о трещине в слое, например, найти координаты точки, принадлежащей трещине. При этом определение длины и угла наклона представляют особый интерес при решении задач дефектометрии трещин.
На основе предложенного алгоритма был проделан вычислительный эксперимент определения длины , и угла наклоны а(а>5°) трещины для задач 1,2 с прямолинейной трещиной (или криволинейной - ду-
гой окружности, которая аппроксимировалась прямой, соединяющей вершины криволинейной трещины). В качестве дополнительной информации о поле перемещений задавались амплитудные значения распространяющихся мод на верхней грани слоя. Использовалось частотное зондирование, при этом на верхней грани при т значениях частоты измерялись амплитудные значения А* (к=1...т) поля перемещений на верхней грани в дальней зоне.
В расчетах принято у = С66 / С44=1. Заметим, что низкочастотное зондирование является неэффективным при решении обратной задачи, а приемлемыми с точки зрения идентификации являются частоты, на которых имеются две и более бегущих волн в слое. На рис. 4,5 представлены графики погрешностей (%) восстановления длины е1 =| I -10 | /10 и угла наклона е2 =| а - а0 | / а0 трещины в случае антиплоских колебаний в зависимости от погрешности входных данных е (%), 10,а0 - длина и угол наклона модельной
Рис. 5
трещины (рис. 4 соответствует случаю одной распространяющейся волны в слое, рис. 5 - 2 волн). Заметно, что информация о двух амплитудах волн позволяет определять характеристики трещины более точно, чем при распространении одной волны, причем реконструкция длины трещины менее чувствительна к погрешностям входных данных, чем угол наклона, и не превышает 8 % при погрешности входных данных порядка 30 %.
Полученные результаты показывают, что предложенная процедура идентификации достаточно устойчива к определению l и а , которые восстанавливаются с погрешностью менее 1 % при точных входных данных, что свидетельствует о достаточной эффективности рассмотренного подхода.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, код проекта 05-01-00734 и гранта Президента Российской Федерации по поддержке ведущей научной школы НШ - 2113. 2003.1.
Литература
1. Ватульян А. О., Соловьев А.Н. // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвып.: Математика и механика сплошной среды. 2004. С.74-80.
2. Alves C.J.S, Ha Duong T. // Inverse Problems. 1999. Vol. 15. № 1. P. 91-97.
3. Alves C.S., Ha Duong T. // Inverse Problems. 1997. Vol. 13. № 5. P. 1161-1176.
4. Ватульян А.О., Баранов И.В., Гусева И.А. // Дефектоскопия. 2001. № 10. C. 48.
5. Weikl W, Andra H, Schnack E. // Inverse Problems. 2001. Vol. 17. № 6. P. 1957-1975.
6. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. //Дефектоскопия. 2004. № 5. С. 15-23.
7. Y.Z.Chen, Y.Hasebe, K.Y.Lee // Advances in damage Mechanics. 2003. Vol. 4. P. 356.
8. Ватульян А.О., Красников В.В. // Изв. РАН МТТ. 2002. № 5. C. 82-90.
9. Ворович И.И., Бабешко В.В. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М., 1979.
10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М., 1987.
11. Баранов И.В., Булгурян О.В., Ватульян А.О. // Вестн. ДГТУ. 2004. Т. 4. № 3. C. 257-269.
12. Menon G., Paulino G.H., Mukherjee S. // Comp. Methods Appl.Mech.Eng. 1999. № 173. P. 449-473.
13. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках: Пер. с англ. М., 1984.
14. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М., 1985.
15. Iovane G, Lifanov I.K., SumbatyanM.A. // Acta Mechanica. 2003. № 162. P. 99-110.
16. Ватульян А.О. // ПММ. 2004. № 1. С. 192-200.
Ростовский государственный университет_3 ноября 2005 г.
