CC BY
15Регуляторы с псевдо-локальными обратными связями
В.А. Жмудь ФГБОУ ВПО НГТУ, Новосибирск, Россия
Аннотация: Описан метод
проектирования регуляторов для
неустойчивых проблемных объектов. Метод состоит в ведении компенсационных локальных обратных связей непосредственно в модель объекта, после чего осуществляется преобразование полученной структуры с целью получения одноконтурных регуляторов. Метод исследован моделированием в программе VisSim, показана его эффективность. Эффективность регуляторов для некоторых видов объектов, например, для объектов с глубокой нелинейной положительной обратной связью, зависит от точности реализации компенсационных элементов.
Ключевые слова: Автоматика,
управление, численная оптимизация, нелинейные объекты, робастные регуляторы.
ВВЕДЕНИЕ
Расчет регуляторов для объектов, содержащих проблемные контуры, представляет трудную задачу, особенно при наличии нелинейных элементов и в случае положительной обратной связи в отдельных элементах структуры объекта с коэффициентом больше единицы.
Для решения этой задачи предлагается и исследуется моделированием способ, который состоит в двух стадиях.
На первой стадии в модель объекта вводятся компенсирующие обратные связи. Эти связи позволяют преобразовать нелинейный элемент в линейный, или приблизить его модель к линейной. Также эти связи позволяют преобразовать интегратор в апериодическое звено. Полученный видоизмененный объект не является проблемным, поэтому синтез регулятора для него осуществляется достаточно просто, основываясь на азах теории автоматического управления.
На второй стадии производится пересчет вносимых обратных связей к структуре, соответствующей одному контуру, то есть к последовательному регулятору. При этом контуры собственно в регуляторе не являются проблемой и могут сохраняться в модели регулятора.
Несмотря на то, что данный метод
интуитивно прост и понятен, при моделировании не всегда достигается желаемый положительный эффект. Моделирование в программе УгяЗгт имеет то преимущество, что вычисление производных и интегралов при этом осуществляется по тем же или по аналогичным алгоритмам, по которым оно должно осуществляться в цифровом регуляторе. Это позволяет выявить возможные проблемы реализации и найти эффективное решение для их преодоления.
1. УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ С ДВУМЯ ИНТЕГРАТОРАМИ
Теоретически управление объектом, представляющим собой два последовательно включенных интегратора, не представляет большой сложности [1-2]. Но на этом примере можно продемонстрировать суть метода и его эффективность.
Пусть модель объекта задается следующей передаточной функцией:
. (1)
и (5) 5
Этот объект можно представить как два последовательно соединенных интегратора первого порядка:
Ж(з) = - ■ - (2)
Если один из интеграторов охватить отрицательной обратной связью, например, с коэффициентом, равным двум, он будет преобразован в апериодическое звено. Оставшийся интегратор может играть роль интегрального регулятора для обеспечения астатического управления, то есть для снижения статической ошибки до нуля.
Таким образом, для управления рассматриваемым объектом достаточно было бы использовать указанную локальную
отрицательную обратную связь,
последовательный регулятор в виде единичного коэффициента и глобальную отрицательную единичную обратную связь, как показано на Рис. 1. На этом рисунке использованы традиционные обозначения для входных, выходных и управляющих сигналов. Все, что не относится к объекту, является регулятором.
В реализации этой структуры возникнет проблема: сигнал 2(1), необходимый для
замыкания локальной обратной связи, недоступен для измерения. Моделирование части объекта, а именно - регулятора, позволяет получить модель этого сигнала в виде сигнала г'((), как показано на Рис. 2.
На Рис. 3 показана структура для моделирования системы по Рис. 2 в программе Км&'т, где также показан получаемый график переходного процесса в ответ на единичный ступенчатый скачок задания у^).
+
2
Коэффициент К! = 1
Объект
Интегратор
Коэффициент К2 = 2
Интегратор
-►
Рис. 1. Структурная схема для управления объектом с помощью локального контура
у(() в(1) ^г?
Объект
Интегратор
Интегратор
т К2 = 2
Рис. 2. Структурная схема для управления объектом с помощью псевдо-локального контура
Рис. 3. Стабилизация объекта, состоящего из двух последовательно включенных интеграторов: первый интегратор стабилизирован псевдо-локальным контуром, второй интегратор объекта не стабилизирован и выполняет функции интегрального регулятора; переходный процесс демонстрирует отсутствие перерегулирования, статическая ошибка равна нулю вследствие наличия интегратора в контуре
В приведенном примере достигается робастное управление, поскольку объект линеен, точные значения коэффициентов регулятора не имеют большого значения. Предложенный метод эффективен, интуитивно понятен и прост в реализации для случая
линейного объекта с не слишком большим количеством последовательно включенных интеграторов без обратной связи (в нашем примере - с двумя).
2. УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ С ДВУМЯ ИНТЕГРАТОРАМИ И НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Усложним задачу введением положительной обратной связи, в которой содержится нелинейное звено в виде элемента, возводящего сигнал в третью степень. Структура такого объекта показана на Рис. 4. Требуется отыскать эффективный регулятор. Введенная положительная обратная связь разрушает устойчивость объекта в большой степени. Если выходной сигнал объекта больше единицы, в локальном контуре объекта возникает положительная обратная связь больше единицы, возведение в куб усугубляет эту проблему. Методами численной оптимизации ПИД-регуляторов [1-6] не удается рассчитать регулятор для такого объекта.
Если виртуально ввести в объект отрицательную обратную связь, повторяющую имеющуюся нелинейную связь, но имеющую
противоположный знак, то эти две связи должны компенсировать друг друга. В итоге получаем объект, который был рассмотрен в предыдущем разделе. Управление этим полученным объектом может быть осуществлено ранее продемонстрированным путем. Соответстующая структурная схема показана на Рис. 5.
Далее остается локальный нелинейный контур также преобразовать в псевдолокальный контур, чтобы обеспечить такую структуру регулятора, которая не использует недоступных сигналов изнутри объекта и не использует несуществующих входов внутри объекта. Структурная схема, которая получается с помощью необходимых эквивалентных преобразований, показана на Рис. 6. Моделирование полностью подтверждает эффективность предложенного метода для рассматриваемого объекта. Схема
моделирования и результаты при различных значениях задания у^) показана на Рис. 7.
Рис. 4. Задача управления объектом с внутренним нелинейным неустойчивым контуром
е®
Рис. 5. Структурная схема для управления объектом с помощью одного локального и одного псевдо-локального контура
Полученную структуру регулятора можно также упростить с помощью эквивалентных преобразований. При использовании цифрового регулятора это не требуется, поскольку данную структуру можно заложить программно. Получаемая система в меру робастна, то есть
небольшие изменения коэффициентов не приводят к нарушению устойчивости. Также устойчивость системы не нарушается при изменении метода интегрирования (то есть метода вычисления интегралов и производных от используемых сигналов).
Рис. 6. Структурная схема для управления объектом с помощью двух псевдо-локальных контуров
Рис. 7. Результат моделирования системы с объектом: объект полностью стабилизирован псевдо-локальными обратными связями; показаны переходные процессы при различных значениях задания (от 2 до 0,5)
3. УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ С ТРЕМЯ ИНТЕГРАТОРАМИ И НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Усложним задачу введением в объект еще одного последовательно включенного интегратора.
Могут быть предложены два варианта использования предложенного метода.
Первый вариант предполагает более глубокую отрицательную обратную связь, чем в объекте. Это делает проблемный контур охваченным в совокупности не положительной, а отрицательной обратной связью, как показано на Рис. 8. При моделировании системы обеспечена устойчивость при значении входного скачка около единицы. Отметим, что нелинейная система может обладать различными показателями качества переходных процессов в зависимости от величины входного сигнала, например, может быть устойчивой при малых входных сигналах и неустойчивой при больших входных сигналах.
Моделирование по структуре Рис. 8 вскрывает ряд проблем. В частности, мы рекомендуем избрать среди возможных методов интегрирования простой метод Эйлера. Этот
метод предполагает вычисление интеграла от функции через сумму значений этой функции на интервале интегрирования, взятых через равные промежутки, умноженную на длительность такого промежутка. Указанным промежутком является величина шага интегрирования. Другие методы интегрирования не дают желаемого эффекта.
На Рис. 9 показан результат моделирования преобразованной системы, в которой структура регулятора преобразована к структуре с единственным главным контуром (локальные контуры внутри самого регулятора в расчет не принимаются). В этой структуре, естественно, коэффициент к в регуляторе после блока возведения в третью степень не может быть равным единице или меньше. В случае единичного значения к происходит почти полная компенсация нелинейности, но в контуре остается два интегратора, что делает его неустойчивым. Поэтому использованы различные коэффициенты к больше единицы. При коэффициенте, равном двум, переходный процесс в ответ на единичный ступенчатый скачок имеет наилучшую форму, как видно из графиков на Рис. 9. Если значение этого скачка уменьшить, в системе возникает
перерегулирование. В частности, при скачке на величину 0,6 перерегулирование составляет 30 %. В случае увеличения значения этого скачка системе возникает обратный процесс, который можно назвать условно «недоре-гулирование». В частности, при входном сигнале, равном 1,2 выходной сигнал сначала
достаточно быстро приближается к значению 1, после чего медленно движется к требуемому установившемуся значению, равному 1,2. На Рис. 10 показана зависимость переходных процессов от величины коэффициента отрицательной обратной связи к.
Рис. 8. Обеспечение устойчивости управления за счет введения локальных контуров после преобразования первого контура: первый интегратор стабилизирован псевдо-локальным контуром, второй блок из двух интеграторов, последний из которых охвачен нелинейной положительной обратной связью, стабилизирован локальным контуром
ЕЬ—^ p^jgi-КИЮ-K3ZU-*
derivative
'—I derivatively
-ф*—EcZH
L-<D<-
я Plot Ш 5
1.4 1.2 1.0 .8 .6 .4 .2 0 (
- —
1, -
¥
4 1
/
) 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 1 Time (sec)
Рис. 9. Результат преобразования предыдущей структуры в структуру с одним главным контуром и графики переходных процессов при входном скачке, равном 1,2; 1,0; 0,8 и 0,6
Рис. 10. Переходные процессы в системе при разных коэффициентах после блока возведения в куб: верхний график к = 1,5, далее - 2; 2,5; 3 и 3,5
Как видим, если входной скачок равен
единице, то при к = 1,5 перерегулирование превышает 20%, при к = 2 перерегулирование отсутствует, при к = 2,5 имеется «недорегу-лирование» около 20 %, при дальнейшем увеличении этого коэффициента
«недорегулирование» медленно возрастает.
При уменьшении величины входного сигнала до величины 0,5 указанная зависимость изменяется. Соответствующие переходные процессы показаны на Рис. 11. При к = 1,5 перерегулирование превышает 80%, при к = 2 перерегулирование равно 50 %, при к = 2,5 оно составляет 30 %, и далее с ростом к оно уменьшается.
При увеличении величины входного сигнала до величины 1,2 эта зависимость также изменяется. Соответствующие переходные процессы показаны на Рис. 12. При к = 1,4
перерегулирование близко к 20%, при к = 1,6 перерегулирование пренебрежимо мало, при к = 1,8 и более возникает «недорегулирование». Если же к < 1,2, система неустойчива.
1.0 9 .8 .7 .5 .5 А .3 2 1 0
2 4- 6 8 10 12 14 1Б 18 20 Time (sec^
Рис. 11. То же при входном скачке равном 0,5; коэффициент равен, от верхнего графика к нижнему, соответственно: 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5 и 4
1.6 1.4 1.2 1.0 .8 .6 .4 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (sec)
Рис. 12. То же при входном скачке равном 1,2; коэффициент равен, от верхнего графика к нижнему, соответственно: 1,4; 1,6; 1,8; 2 и 2,2
Второй вариант управления предполагает попытку полной компенсации нелинейности. В этом случае обсуждаемый выше коэффициент должен быть равен единице: к = 1.
КЗМ]-1/s |
-1 FQ'-v |4-
5
derivative
чжь-1 _I
—Ui^^af^Di—I
—| рс,у
¿Plot Ш> [1
2.2 2.0 1.8 1.8 1.4 1.2 1.0 .8 .8 .4 .2 0 ( 1
^— ~~ ~
____ r_
/
7/ ____j
1/
___ —
-j
) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 Time (sec)
Рис. 13. Результат моделирования системы с почти полной компенсацией нелинейности: переходные процессы при небольших значениях скачка входного сигнала соответствуют линейной системе с высоким качеством управления, проблемы возникают лишь при входном скачке на величину 1,8
Но в этом случае два последовательно включенных интегратора оказываются не охваченными стабилизирующими обратными связями. Поэтому необходима дополнительная пропорциональная обратная связь, охватывающая один из интеграторов.
На Рис. 13 показана структура и результат моделирования в программе УгяЗт в соответствии с этим вариантом предлагаемого метода. Если скачок входного сигнала не превышает 1,8 единиц, система близка к линейной. При повышении этого значения система становится неустойчивой. А именно: при достижении выходным сигналом значения 1,9 возникают стремительно нарастающие по амплитуде колебания (см. верхний график на Рис. 13).
На Рис. 14 показаны результаты попыток отыскания более эффективных значений
коэффициента пропорциональной обратной связи (параллельно компенсационному нелинейному контуру). Как увеличение, так и уменьшение этого коэффициента не приводит к повышению устойчивости системы.
На Рис. 15 показан результат снижения шага интегрирования от 0,1 с до 0,01 с. Видно, что устойчивость системы возросла: теперь система стала устойчивой и при величине скачка 2,0 единицы, как и при любой меньшей величине этого скачка. Причина восстановления устойчивости кроется в более точном соответствии модели компенсирующего контура и модели исходного компенсируемого контура. Компенсирующий контур содержит два дополнительных интегратора и два дополнительных дифференцирующих звена. Каждый из интеграторов вносит задержку на величину шага интегрирования.
Рис. 14. Попытки отыскания других коэффициентов обратной связи не приводят к успеху
Рис. 15. Успех возникает при снижении величины шага интегрирования от 0,1 с до 0,01 с - достигается линейность системы при скачке входного сигнала до 2 единиц
Таким образом, в компенсирующем контуре в неявном виде содержится звено запаздывания на величину, равную удвоенному шагу интегрирования.
Указанная закономерность подтверждается дальнейшим моделированием. Действительно, при дальнейшем увеличении величины скачка до 4 единиц, устойчивость в системе опять нарушается, как демонстрируют переходные процессы на Рис. 16. Но достаточно вновь уменьшить шаг интегрирования от 0,01 с до 0,001 с, и устойчивость системы при этих значениях входных сигналов снова восстанавливается, как показывают графики на Рис. 17.
Поэтому и в случае реализации управляющей системы на основе цифровой и цифроаналоговой техники для обеспечения наилучшей устойчивости требуется использовать технику, характеризующуюся по возможности наивысшим быстродействием.
6 5 4 3 2 1 0
10 20 30 40 50 60 70 80 ЭО 100 Игле [зес)
Рис. 16. Нарушение устойчивости при увеличении входного скачка до величины 4 единицы
Тем не менее, и это не решит проблему полностью по следующим причинам:
1. Упомянутые интеграторы входят в модель объекта, и повышение быстро-дейтсвия регулятора не изменит проблему несоответствия быстродейт-
свия проблемного контура и контура для компенсации его влияния.
2 . Модель объекта может быть известна с
недостаточной степенью точности.
3 . Коэффициенты модели объекта могут
изменяться во времени в ходе его функционирования.
4 . Реализация коэффициентов тоже может
быть осуществлена лишь в пределах некоторой заданной, пусть даже достаточно малой, ошибки.
Поэтому при всех видах расчетов целесообразно стремиться обеспечить робастное управление, то есть расчет таких регуляторов, при которых система остается устойчивой даже в случае небольшого отклонения истинных параметров объекта от значений этих параметров, принятых при расчете регулятора.
7 6 5 4 3 2 1 0 ------
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Игле (зес)
Рис. 17. Восстановление устойчивости при изменении шага интегрирования от 0,01 с до 0,001 с
Для рассмотренного в последнем разделе проблемного случая проектирование робастного регулятора может оказаться принципиально невозможным.
Причины этой проблемы можно уяснить, рассмотрев статическое состояние объекта и системы.
Для того чтобы выходной сигнал объекта находился в равновесном состоянии, то есть не изменялся (и при этом был равен входному предписанному значению), на входе третьего (последнего) интегратора сигнал должен быть равен нулю.
Но через сумматор и нелинейный элемент на вход этого интегратора поступает сигнал, равный кубу выходной величины объекта. Следовательно, для компенсации этой величины, выходной сигнал второго (предпоследнего) интегратора также должен быть равным кубу выходной величины, но со знаком минус. А чтобы этот интегратор также сохранял свое выходное значение в статическом режиме, выход первого интегратора также должен остаться нулевым в конце переходного процесса. Также по окончании переходного процесса нулевым должен оказаться
управляющий сигнал на выходе регулятора. Это - необходимое, но не достаточное условие. Кроме того, эти сигналы связаны соотношениями, в соответствии с которыми одни из этих сигналов являются интегралами от других или от разностей других сигналов, в соответствии с математической моделью объекта. Соответствующие сигналы показаны на Рис. 18.
1 2 1 0 .8 .6 4 2 0 -2 -4 -.6 -.8 -1 0
1
3 \ 4
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 "Пте [эес)
Рис. 18. Графики переходных процессов, включая внутренние величины объекта: 1 - выходная величина, 2 - выход второго интегратора, 3 - управления, 4 - выход первого интегратора
При этом все перечисленные сигналы формируются только исходя из формы сигнала управления и(/). Из этого видно, насколько сложные требования предъявляются к этому сигналу, и, соответственно, к регулятору, который формирует этот сигнал из задания у(/) и выходной величины у(/).
С целью исследования робастности получаемого регулятора был изменен коэффициент в компенсирующем тракте. Эти изменения не вызвали существенных изменений переходного процесса при задании, равном 12 единиц и менее, система остается устойчивой. При значении более 13 единиц она не устойчива.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложен и исследован метод проектирования регулятора для проблемных объектов, включая объекты со многими интеграторами и объекты с неустойчивыми внутренними контурами. В том числе метод исследован на примере нелинейного объекта с положительной обратной связью, включающей нелинейное звено, возводящее сигнал в куб.
Показана эффективность систем,
спроектированных по этому методу. В случае использования метода, ориентированного на полную компенсацию нелинейности, отличие коэффициента на 10% не вызывает нарушения устойчивости или существенного изменения качества переходного процесса. Это справедливо в рамках ограниченной величины
входных сигналов (до 12 единиц задания, и, соответственно, выходного сигнала, что соответствует 1728 единицам на выходе звена возведения в куб).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Жмудь В. А. Моделирование и оптимизация систем управления лазерным излучением в среде VisSim: учеб. пособие / В. А. Жмудь; Новосиб. гос. техн. ин-т. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2009.
- 116 с.
[2] Жмудь В.А. Динамика мехатронных систем: учеб. пособие / В.А. Жмудь, Г.А. Французова, А.С. Востриков. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2014. -176 с. ISBN 978-5-7782-2415-5
[3] Modern key technologies in automatics: Structures and numerical optimization of regulators Zhmud, V., Yadrishnikov, O., Poloshchuk, A., Zavorin, A. 2012 Proceedings - 2012 7th International Forum on Strategic Technology, IFOST 2012
[4] The design of the feedback systems by means of the modeling and optimization in the program vissim 5.0/6 Zhmud, V., Liapidevskiy, A., Prokhorenko, E. 2010 Proceedings of the IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control
[5] В.А. Жмудь, А.Н. Заворин, О.Д. Ядрышников. Неаналитические методы расчета ПИД-регуляторов. Новосиб. гос. техн. ин-т. -Новосибирск: Изд-во НГУ, 2013. - 40 c.
[6] В.А. Жмудь, А.Н. Заворин, О.Д. Ядрышников. Дробно-степенные ПИД-регуляторы. Новосиб. гос. техн. ин-т. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2013.
- 48 c.
Жмудь Вадим Аркадьевич -заведующий кафедрой Автоматики в НГТУ, профессор, доктор технических наук, автор 200 научных публикаций, включая 15 учебных пособий, 2 монографии, более 30 патентов и зарегистрированных программных продуктов. Область научных интересов и компетенций - теория автоматического управления, электроника, измерительная техника. E-mail: oao [email protected]
Regulators with Pseudo-Local Feedbacks
V.A. ZHMUD
Abstract: The paper proposes the method for designing of regulators for unstable problematic objects. The method basis is in introducing of compensative feedback directly into the model of object. In the result of this the structure should be transformed to get single-loop regulators. The method has been investigated with modeling in the program VisSim, and its effectiveness has been demonstrated. The effectiveness of regulators for some kinds of objects, for example, such as objects with deep non-linear positive feedback, depends on the accuracy of the realization of compensative elements.
Key words: Automatics, control, numerical optimization, non-linear objects, robust regulators.
