РЕГУЛЯРНОСТЬ И АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ОДНОСТОРОННЕЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА БАРЕНБЛАТТА - ЖЕЛТОВА -КОЧИНОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2022. Том 29, № 1

УДК 517.972.5

РЕГУЛЯРНОСТЬ И АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ОДНОСТОРОННЕЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА БАРЕНБЛАТТА- ЖЕЛТОВА- КОЧИНОЙ

Т. В. Саженкова, С. А. Саженков, Е. В. Саженкова

Аннотация. Рассматривается односторонняя задача для псевдопараболического оператора Баренблатта — Желтова — Кочиной в одномерном случае, снабженная гладкими начальными данными и однородными граничными условиями. Эта задача формулируется в виде вариационного неравенства и с физической точки зрения моделирует нестационарный процесс фильтрации вязкой жидкости в трещиновато-пористой галерее с ограничением на модуль скорости фильтрации по трещинам. Теорема существования слабого обобщенного решения этой задачи известна в литературе как в одномерном, так и многомерном случаях, и следует из результатов, полученных М. Пташник (Nonlinear Analysis, 2007, vol. 66, P. 2653—2675) с применением метода штрафа. При этом оператор штрафа выбирался в стандартном виде, следуя изложению в монографии Ж.-Л. Лионса «Некоторые методы решения нелинейных краевых задач», М.: Мир, 1972 (теорема 5.1 в гл. 3). В настоящей статье рассматривается приближенная начально-краевая задача с оператором штрафа А. А. Каплана и изучается семейство ее решений. Благодаря специфической структуре оператора А. А. Каплана, удается получить повышенную регулярность слабого обобщенного решения исходной задачи по отношению к ранее известным свойствам регулярности, а также найти усиленное свойство аппроксимации этого решения последовательностью решений приближенной задачи с оператором А. А. Каплана. Кроме этого установлено, что наложенное в исходной задаче одностороннее условие с уменьшением малого параметра аппроксимации выполняется для приближенного решения на все более широком множестве пространственной переменной, причем рост множества происходит монотонно по включению.

DOI: 10.25587/SVFU.2022.56.36.006

Ключевые слова: вариационное неравенство, псевдопараболический оператор, обобщенное решение, метод штрафа, фильтрация.

1. Введение

Псевдопараболические уравнения возникают при моделировании ряда природных и индустриальных процессов, например, таких, как фильтрация жидкости в трещиновато-пористых галереях, транспорт тепла в двухтемпературных термомеханических системах, возникновение, распространение и разрушение электрических доменов в кристаллических полупроводниках и поглощение растворителя твердыми полимерами. Достаточно обширный обзор современной

© 2022 Саженкова Т. В., Саженков С. А., Саженкова Е. В.

теории псевдопараболических уравнений можно найти в монографии [1] и статьях [2, 3]. Вместе с этим, вариационные неравенства для псевдопараболических операторов моделируют указанные и ряд других процессов при наличии односторонних ограничений, свободных границ и явлений гистерезиса. Исследования псевдопараболических вариационных неравенств имеют солидную историю, см., например, монографию [4], статьи [3,5-8] и приведенные в них ссылки.

Настоящая работа посвящена исследованию вопросов о повышении регулярности и построении усиленной аппроксимации решения следующей задачи.

Положим

К := {ф € Я01>2(0,1) : |дхф(х)| < 1 при п.в. х € (0,1)}. (1)

Заметим, что К — выпуклое замкнутое множество в НО'2(0, 1).

Пусть и0 = и0(х) и / = /(х,Ь) — функции, заданные на отрезке [0,1] и в прямоугольнике £2т '■= [0,1] х [0, Т] соответственно, причем ио (Е К, / € С(£2т), а Т > 0 — произвольно фиксированный момент времени. Пусть х и V — два заданных положительных постоянных коэффициента. Пусть От := (0,1) х (0,Т).

Задача А. В От требуется найти функцию и = и(х, Ь), удовлетворяющую условиям регулярности

и € Ь2(0,Т; Н0,2(0,1)), и(-,Ь) € К при п.в. Ь € (0,Т), (2а)

вариационному неравенству в 1

(с^г>(г> — и) + хдtдxvдx(v — и) + vдxuдx(v — и)) <1х<И

00

>11 /(г> — и) с!,хс1,1 + — J(\у(х, в) — и(х, в)]2 + х\дх1>(х, в) — дхи(х, з)\2) с1,х

0 0 0

1

1(Нх,0)-ио(х)\2+х\дху(х,0)-дхио(х)\2)в,х Уя€(0,Г], (2Ь)

в котором V € Ь2(0, Т; НО'2(0, 1)) — произвольная пробная функция такая, что д^ € Ь2(0, Т; Н0'2(0,1)) и v(^,t) € К при п.в. Ь € (0, Т), и начальному условию

и(х, 0) = и0(х) (2с)

в смысле сильного следа в Ь2(0,1).

Определение 1. Решение задачи А называется слабым обобщенным 'решением вариационного неравенства (2Ь), снабженного начальными данными (2с).

Имеет место следующее утверждение о корректности задачи А.

Предложение 1. Для любых заданных ио € К и / £ С(Пт) задача А имеет единственное решение. При этом решение обладает свойствами регулярности

и е Ьж(0,Т; Я01'2(0,1)), Зги е Ь2(0,Т; Я01'2(0,1)). (3)

Доказательство. Существование решения и выполнение включений (3) сразу следуют из рассуждений в доказательстве теоремы 11 в [8]. Пусть и1 и и2 — два решения, соответствующие одним и тем же заданным функциям и0 и /. Положим V = (и1 + и2)/2 в вариационных неравенствах (2Ь) для и1 и и2 и сложим результаты. После учета начальных данных получаем неравенство

1

/(Ы^ - и1М|2 + х^М - дхи1(х,.)|2) ¿х

в 1

+ У J 4v|дxu2 - дхи112 ¿х<И < 0 V в е (0, Т], 00

откуда и1 = и2, что доказывает утверждение единственности. □

Замечание 1. Вследствие включений (3) вариационное неравенство (2Ь) выполняется также в эквивалентной «сильной» версии

в 1

(дги^ — и) + хдгдхидх(V — и) + Vдхuдx(v — и)) 00

в 1

>У У/(V - и) ¿.х<И V в е (0, Т], (4) 00

поскольку производные дги, дгдхи и вместе с ними первые два слагаемых в левой (большей) части корректно определены и имеет место формула интегрирования по частям в 1

У У ((д^ - дги)(V - и) + x(дtдxV - д4дхи))дх^ - и) ¿х^ 00

1

= — У(|г>(ж, в) — и(ж, в)|2 + х\дху(х, в) — дхи(х, в)|2) (¿ж

0 1

Замечание 2. Введем два зависящих от решения множества в От: О- := {(х,г) е От : |дхи(х,£)| < 1}, О1 := {(х,£) е От : |дхи(х,£)| = 1}.

В смысле теории распределений вариационное неравенство (4) эквивалентно в О_ одномерному уравнению Баренблатта — Желтова — Кочиной

дги — Хд1д1хи — vдXxu = /. (5)

В О1 уравнение (5) из (4), вообще говоря, не следует.

Напомним, что уравнение (5) описывает динамику неустановившейся фильтрации однородной жидкости в трещиновато-пористой среде [9, уравнение (10); 10, гл. 11, § 2, уравнение (11.2.10)]. При этом роль искомой функции и выполняет давление в трещинах, / — это внешняя заданная распределенная нагрузка, V — коэффициент пьезопроводности среды, х — коэффициент, сложным образом характеризующий геометрические и упругие свойства среды. В этих рамках ограничение |дхи| < 1 является ограничением на скорость фильтрации по трещинам, поскольку в силу закона Дарси скорость фильтрации пропорциональна сумме градиента давления и распределенной массовой силы.

Еще отметим, что вопросы корректности начально-краевых задач для уравнений типа (5) достаточно подробно изучены в нецилиндрических областях [11,12]. Такой областью в принципе может оказаться множество О_, определенное в замечании 2.

2. Задача со штрафом: базовые положения

Обратим внимание на то, что утверждение существования решения задачи А в [8]1' проводилось методом штрафа, причем оператор штрафа в : Н0,2(0,1) ы И—1,2(0,1), следуя [13, гл. 3, §5.2, теорема 5.1], выбирался в виде

в (и) = 3 (и — Рк и), (6)

где Рк : И0,2(0,1) ы К — проектор2' на множество К, а 3: Н)'2(0,1) ы И-1'2(0,1) — оператор двойственности, определенный по формуле

1

(3(и)^) = J(uv + дхид^) ¿х Vи^ € И0'2(0, 1). 0

Здесь и далее через И—1,2(0,1) обозначается сопряженное к Н0'2(0,1) пространство линейных непрерывных функционалов, а через (■, ■) — скобка двойственности между И-1'2(0,1) и И01,2(0,1). Именно такой выбор оператора штрафа в сочетании с применением метода Ротэ — Галеркина позволил в [8] установить не только разрешимость задачи А, но и дополнительные свойства регулярности (3).

1)1 Следует уточнить, что в [8] рассмотрено вариационное неравенство более общего вида, чем (2Ь), причем постановка задачи была многомерной, а от множества К требовались только выпуклость, замкнутость и принадлежность ему нулевого элемента.

2) Рк и для и € Я01,2(0, 1) есть единственный элемент из К, для которого [13, гл. 3, § 5.2]

IIй - РкиУно1-2(0,1) < IIй - ^^(од) 7" € К

Мы изучаем приближенную постановку для задачи А с другим оператором штрафа, а именно, с интегральной версией оператора штрафа А. А. Ка-плана [14] с внутренней регуляризацией, ранее успешно примененной для получения результатов о равномерном приближении решений многомерных р-эллиптических и р(ж)-эллиптических задач с односторонними ограничениями [15-17]. Целями рассмотрений в настоящей статье являются нахождение новых повышенных свойств регулярности решения задачи А в дополнение к (3) и построение семейства приближенных решений, обладающего свойством усиленной аппроксимации. Постановка задачи с оператором штрафа А. А. Каплана состоит в следующем.

Задача В. При каждом фиксированном е € (0,1] в области требуется найти решение ие квазилинейного псевдопараболического уравнения

дгие - хдгд2ххие - ¡уд2хие - -дх

1 +

|дх«е|2 - 1

у/Ш

,е 12

- I)2 + е2+в

= /, (7а)

удовлетворяющее однородному граничному условию

ие(0,г) = ие(1,г) = 0, г € (0,1], (7Ь)

и начальным данным (2с). Значение в > 0 постоянно.

(0)

Уравнение (7а) содержит оператор штрафа А. А. Каплана ве ), действующий из Н0' (0,1) в Н-1'2(0,1) (при п.в. г € (0,Т)) и заданный формулой

в!е) : Ф ы -д*

1 +

|дхф|2 - 1

\/{\дхф\2 — I)2 + е2+в

дхф

(8)

или, эквивалентно,

(вее)(Ф),^> =

1+

|дхф|2 - 1

\/{\дхФ\2 — I)2 + е2+в

дхфдх^¿ж Vф,ф € Н1,2(0,1). (9)

Этот оператор является ограниченным и монотонным [16]. В силу этого имеет место следующее утверждение о корректности задачи В.

Предложение 2 [18, теоремы 3.2, 4.1]. Пусть / £ С(£1т), ио £ К. Пусть дополнительно и0 € Н2'2(0,1). Тогда для каждого фиксированного е € (0,1] задача В имеет единственное сильное обобщенное решение ие = ие(ж, г).

Определение 2. Говорим, что функция ие: ы М — это сильное обобщенное 'решение задачи В, если она удовлетворяет уравнению (7а) п.в. в , начальному условию (2с) всюду на (0,1) и условиям регулярности

"2/п пт1?2^ 1 \ г-^ 7:г2,2/

€ Ь2(0,Т; Н0'2(0,1) П Н2'2(0,1)).

(10)

(0)

Как показано в [16, замечание 4], оператор штрафа ве ) сам по себе не связан с множеством К, но для него имеет место предельное соотношение

Г-ТЛ ПТ-Т^ГП тз Н-1?2(0 1) Vф € Н 1?2(0 1) (11)

ве0)(ф) —►в(0)(ф) сильно в Н-1'2(0,1) Vф € Н0'2(0,1),

1

где оператор в(0) определяется формулой

(в(в)(Ф),Ф) = J дхфдх^йх + у 2дхфдх^йх vф,ф е яо1'2(0,1).

(x:|9x0| = 1> {x:|9x0|>1}

(12)

Следовательно, в(0) связан с int K = {ф е K : |дхф| < 1 п.в. на (0,1)} — внутренностью множества K, т. е. {ф е я0'2(0,1) : в(в)(Ф) = 0} = int K.

Поскольку оператор ве0) не обладает стандартным свойством связанности с множеством K, применение метода штрафа с его использованием является несколько более тонким, чем применение хорошо известных процедур, таких, например, как в [13, гл. 3, § 5, 6]. В связи с этим первым основным результатом статьи является следующая теорема о сходимости последовательности решений задачи B к решению задачи А.

Теорема 1. Пусть и0 G К П Я2'2(0,1) и / G С(ПТ)- Пусть {ие}ее(0д] — семейство сильных обобщенных решений задачи B, u — решение задачи A, соответствующее заданным u0 и f. Тогда имеет место предельное соотношение

слабо* в Ьж(0,Т; Я01>2(0,1)). (13)

—> u

е-»■ 0

Доказательство теоремы 1 проведем в виде обоснования следующей последовательности лемм.

Лемма 1. В предположениях предложения 2 семейство сильных обобщенных решений задачи В удовлетворяет первому энергетическому неравенству

в 1

+ -[[(1+ „..У2"1 у,е(0 ,т], (14)

f я I | ,_ I I L

eJJ\ \/№xUe\2 -l)2 +е2+е J 00

в котором положительная постоянная Сi зависит от ||ио||я1,2^0 ||/||с(пт) и ^ и не зависит от е и s. В частности,

I ue

I(o,T;Hq'2(o,i)) < V(l + l/x)Ci Ve 6(0,1]. (15)

Доказательство. Вывод неравенства (14) совершенно стандартный. Сна-| чала домножаем обе части (7a) на 2ue, интегрируем по х и t на (0,1) х (0,s) (s е (0, Т] произвольно) и интегрируем по частям по х один раз во всех слагаемых, содержащих дх. Таким образом получаем первое энергетическое тождество. Затем из этого тождества выводим (14) с помощью неравенства Коши — Буняковского и леммы Беллмана — Гронуолла. □

Введем в рассмотрение множество

Ks := {ф е K : |дхф|2 < 1 - S п.в. на (0,1)} (с int K С K). (16)

Лемма 2. При каждом фиксированном S Е (0, ¿о] (0 < ¿о ^ 1) имеет место следующее асимптотическое равенство:

-(ßif)(v),v-ue) = o(e1+e-K) прие^О Vk G (0,1), Vv Е Ks. (17) £

Доказательство. При v Е K имеем следующую оценку (см. [16, формула (3.10)]):

|Я v |2 _ 1 £2+е

0<1+ , ' ,; ' п.в.в(0,1). (18)

V(|dxv|2 - 1)2 + £2+е 2S2

Используя эту оценку, оценку |Vxv|2 < 1 — S, первое энергетическое неравенство (14) и неравенство Коши — Буняковского, выводим

1

I f(i + l^l2 1-)axvdx(v - us) dx

ej\ \/{\dxv\2 — l)2 + e2+e 1 X[ J

(18) £1+0 1 / 1 < -^2" / \9*(V ~ И£)1 dx ^ 1 + / \9xUe\ ^ о V о У

ri+e ( ( )■ \ / \ (i4) ,_ ri+e

[J \d^e\2dxj j +

откуда сразу следует утверждение леммы 2. □

В силу оценки (15) найдутся подпоследовательность {uek}k=i,2,... из {ие}е^о| и предельная функция u Е Ьж (0,T; H01,2(0,1)) такие, что

uEk —> u слабо* в LTO(0,T; H01,2(0,1)). (19)

к—ж

Покажем, что u = w- lim uEfc удовлетворяет вариационному неравенству

к—ж

(2b).

Лемма 3. При каждом фиксированном S Е (0, S0] (0 < S0 ^ 1) неравенство (2b) имеет место для предельной функции u = w- lim uEfc и для любой пробной

к—ж

функции v Е L2(0, T; H01,2(0,1)) такой, что dtv Е L2(0, T; H01,2(0,1)) и v(-, t) Е K при п.в. t Е [0,T].

Доказательство. Умножаем уравнение (7b) (с £ = £к) на v — uEfc, где v — произвольная пробная функция, удовлетворяющая условиям регулярности из формулировки леммы, интегрируем по x и t на (0,1) х (0, s), в левой части получающегося равенства интегрируем один раз по частям по x в обоих интегралах, содержащих и, наконец, в левой части добавляем и вычитаем интегралы

s 1 s 1 s

J j dtv(v-ue" )dxdt, j J Xdtdxvdx(v-ue" )dxdt, у J(ßi£>(v),v-uek)dt.

Таким образом, приходим к интегральному равенству

s 1

хх

О О

s

£к j о

У У (dtv(v - uEk) + xdtdxvdx(v - uEk) + vdxuEkdx(v - uEk)) dxdt

(ß(sej (v) - eek) (uek ),v - uek > dt

i J(\v(x, s) — uek(x, s)|2 + x\dxv{x, s) — dxuek(x, s)|2) dx о

1

+ \ J~uo(x)\2 +x\dxv(x,0) - dxu0(x)\2)dx

о

s s 1

+ J(ßi£>(v),v-uek)dt = J J f(v-ue")dxdt Vse(0,T]. (20)

Ek

О 0 0

Здесь замечаем, что

s

1

^ /</№ - u°-)dt > 0 (21)

0

o(0)

вследствие монотонности оператора Pek,

s 1 s 1

liminf У J vduEk |2 dxdt >J У v|dxu|2 dxdt (22)

0 0 0 0

и

liminf [ i [(\v(x, s) — uek(x, s)|2 + x\dxv{x, s) — dxuek(x, s)|2) dx к^ж \ 2 J

V 0

1

>— J(\v(x, s) — u(x, s)\2 + x\dxv(x, s) — dxu(x, s)\2) dx (23) о

вследствие хорошо известного свойства полунепрерывности снизу выпуклых функционалов [19, гл. 1, § 1.1.3; гл.2, §2.3, утверждение 2.3.2].

Переходя к пределу вдоль подпоследовательности {uEk }k=1,2,... и учитывая (17) и (21)-(23), из интегрального равенства (20) в точности выводим (2b) с пробной функцией, определенной в формулировке леммы. □

Лемма 4. Предельная функция u = w- lim uEk удовлетворяет вариацион-

к^ж

ному неравенству (2b) для любой функции v е L2(0,Т; Я<1'2(0,1)) такой, что dtv е L2(0, Т; Я01,2(0,1)) и v(^, t) е K при п.в. t е [0, Т], т. е. для любой пробной функции из постановки задачи А.

Доказательство. Утверждение леммы 4 сразу следует из леммы 3 в силу плотности множества U Ks в K. □

S>0

Лемма 5. Предельная функция u = w- lim uEfc принадлежит множеству K при п.в. t е (0,T).

Доказательство. Обозначим

^k(t) := meas{x : |дяиЕк (x,t)| > 1}. (24)

В (24) и далее через meas Q обозначается мера Лебега какого-либо измеримого по Лебегу множества Q.

В силу (14) и того, что ^k (t) < (t) < 1 Vt е [0,T], справедлива цепочка неравенств

T T T

,£fc |2 .

^k(í) dt <j ^fc (t) dt У |2 dxdt

0 0 (x,t)|>1}

T 1

< / / 1 + —' ' |dattgfc|2 tfatfe < —!-£fc, -JJ\ ^/{\dxue"\2 -1)2 +efe2+V ' " 2

0 0 v

из которой следует, что ^к —^ 0 сильно в L2(0,T). В свою очередь, это влечет

к—ж

<^(i) —> 0 при п.в. t G (0,T). (25)

к—ж

На основании (25) приходим к утверждению леммы методом от противного. Предположим, что утверждение леммы не выполняется, т. е. найдется множество ненулевой меры Лебега I С (0, T) такое, что meas{x : |dxu(x, t)| > 1} > 0 при t G I. Возьмем t* G I такое, что ^k(t*) —> 0. Заметим, что в силу (25)

к—ж

такие значения t* составляют множество полной меры в I. Введем в рассмотрение множество O (t*) := {x : |dxu(x, t* )| > 1} ив силу (14) заметим, что

(-,t*) —> u(-,t*) слабо в Н01,2(0,1). (26)

к—ж 0

Рассмотрим определенный на НО'2 (0, 1) выпуклый дифференцируемый по Гато функционал

Ф ^ У (|дхф|2 - 1)+ dx,

O(t.)

где через (...)+ обозначена срезка снизу: ф+ = тах{ф, 0} (Vф G R), а t* является параметром. В силу хорошо известных положений выпуклого анализа [20, гл. 1, разд. 2.2] этот функционал является слабо полунепрерывным снизу. Отсюда и из (25), (26) выводим, что

(25) [ , о s (26) Г о (строго!)

0 (= lirninf / (|dxUEfe(x, t*)|2 - 1) + dx > / (|dxu(x,t*)|2 - 1)+ dx > 0.

O(t.) O(t.)

Итак, получили строгое неравенство 0 > 0 и тем самым пришли к противоречию. Лемма 5 доказана. □

Из лемм 4 и 5 и включения u G (ü,T; H0'2(ü, 1)) сразу следует, что функция u = w- lim uEfc — это решение задачи А. Остается заметить, что в

к^ж

силу единственности решения задачи А выбирать подпоследовательность из {ue}e^o+ нет необходимости и вся эта последовательность сходится к u, т. е. выполняется соотношение (13). Теорема 1 полностью доказана.

3. О регулярности и повышенной аппроксимации решения задачи А

Из теории нелинейных краевых задач с односторонними ограничениями известно (см., например, [13, гл. 3, § 5.5]), что с помощью уравнений со штрафом, в принципе, можно устанавливать не только разрешимость вариационных неравенств, но и дополнительную регулярность их решений. В этом разделе покажем, что таким замечательным свойством обладает уравнение (7a), систематический анализ которого позволяет найти повышенную регулярность решения u задачи A благодаря специфической структуре оператора ве ;. Одновременно получим свойство усиленной аппроксимации в сравнении со свойствами, которые доставляет использование «канонического» оператора (6).

В дополнение к первому энергетическому неравенству (14) построим систему равномерных по е оценок семейства {uE}ee(0j1] сильных обобщенных решений задачи B.

Лемма 6. В предположениях предложения 2 семейство сильных обобщенных решений задачи B удовлетворяет второй энергетической оценке

т i

2 [ Г(Л , |dxue|2 - 1

Ь~(0,Т;Я1,2(0,1)) ^ £ _/ _/ V ^(|ЭяМе|2_1)2+£2+е

v I2 - D2

oo

T 1

\\дхие\\1^(0т.Н1,2(0Д)) + ^ / / ( 1+ ,, 'ЗГ ' ,3. „1 )\d'Lue\2dxdt

+ 4е1+б / / -^^-^7?|д2Х|2 dxdt < С2, (27)

0 0 - 1)2 + е2+«]3/2

в которой положительная постоянная зависит от ||9жио||я1.2(о,1); Н/Нс(пт)' % и Т и не зависит от е.

Доказательство. Вывод оценки (27) аналогичен выводу оценки (14): обе части (7а) умножаем на 2дХхие, интегрируем по х и Ь на (0,1) х (0,в), где в € (0, Т], интегрируем по частям по х один раз в слагаемом, содержащем выражение с^и^Хз;ие. Таким образом получаем второе энергетическое тождество, из которого затем выводим (27) с помощью неравенства Коши — Буняковского и леммы Беллмана — Гронуолла. □

Лемма 7. Имеют место оценки

1ке|и~(о,т;я2.2(о,1)) < ^(1 + 1/х)С1 + С2 Уе е (0,1], (28)

1Ии~(0,т;Я1.»(0,1)) < Сз Vе € (0,1], (29)

где положительная постоянная С3 не зависит от е. Иными словами, семейство К}ее(0Д] равномерно ограничено в Т; Н2'2(0,1)) ив Т; Н 1)).

Доказательство. Оценка (28) сразу следует из (14) и (27). Оценка (29) вытекает из (14), (27) и теоремы вложения Соболева [21, гл. I, § 8, теорема 1]. При этом постоянная Сз имеет вид Сз = {у/С1 + у/Съ)Своъ, где Своь — это положительная постоянная из теоремы вложения Соболева, более точно, это — норма линейного оператора естественного вложения Н 1,2(0,1) в С[0,1], которая, очевидно, не зависит от е. □

Лемма 8. Предположим дополнительно, что выполняется условие

и0 е К7 (К7 определяется по формуле (16) с 6 = 7) (30)

с некоторой постоянной 7 е (0,1). Тогда имеет место оценка

11й«1ь2(о1Т(0,1)) < С4 Vе е (0,1], (31)

в которой С4 — положительная постоянная, не зависящая от е.

Доказательство. Умножим обе части уравнения (7а) на проинтегрируем получающееся равенство по х и Ь на (0,1) х (0, в), где в е (0,Т], а затем проинтегрируем по частям по х в интегралах, содержащих производные д^дХжИ®, и оператор штрафа. В результате приходим к интегральному

равенству

в 1

«-т + х^яТ + ^ «е

1(Л , |д*«е|2 - 1

+ - 1 + ' ' дхи' „х

Л \/{\дхие\2 — I)2 + е2+в 1

В этом интегральном равенстве замечаем, что

в 1 1 1

,ея Я „,е Л„,Л± _ 1 / „ \|2 • 1

¿х^Ь = J J ^'¿х^Ь. (32)

J У 1Удхиедгдхие ¿хМ =J и\дхие(х, в)|2 Ах — — J и\дхио(х)\2 йх, (33) 0 0 0 0

в 1

,е 12

1 + , 1 ) дхиедхдгие ¿хм

¿V 1 л/(1^ие|2 — I)2 + е2+в) х х

00

в 1

= / ¿^ / (|9яие|2"1 + 7(|^ие|2"1)2+е2+е) 00 1

= ^ I(|дхие(х, 5)|2 - 1 + ^(\дхие(х, в)|2 — I)2 + е2+е)

в 1

i

¿ J(\дхи0(х)\2 — 1 + ^1 (\дхи0(х)\2 — I)2 + е2+е) dx. (34)

о

Подставляя (33) и (34) в (32), получаем интегральное равенство

s 1 1

J J(\dtue\2+X\dxdtue\2)dxdt + ^ J is\dxue(x,s)\2dx

о о о

i

1

+ / (1^е(ж,з)|2 " 1 + ^{\dxut{x,s)\z - iy+e2+e) dx

о

si 1

1

J j fdtuedxdt + — j v\dxuo(x)\2 dx

lililí —t—

2

о о о

i

+ ¿y[\дхи0{х)\2 - 1 + ^{\dxu0{x)\i - lf + e2+e) dx. (35) о

Здесь замечаем в левой части, что i

^ У (\дхие(х, s)|2 - 1 + yj(\dxue(x,a)\2 - l)2 +e2+e) dx > 0, (36) о

а в правой части оцениваем

s 1

fdtU dxdt

оо

s 1 s 1

<UI /2 dxdt + ^ У y \dtue\2dxdt (37)

о о о о

и

1

1 У (Idxu0(x)\2 - 1 + ^(|a^o(x)|2-l)2+e2+e) dx

1

1

2e , v v (1^ио(ж)|2 — l)2 + e2+e — (1 — |9жио(ж)|2)) da;

о

1 1 1 e2+e (30) e1+e f dx

dx <

2^(1^о(ж)|2 - l)2 + e2+e + (1 - \dxu0(x)\2) " 2 7 27

e1+e (e<1) i = < (38)

4y 4Y

Комбинируя (35), (37) и (38), выводим неравенство

s 1 1

,еI2 \ i

У У + x\dxdtue\2^j dxdt + I У И&^М!2^

0 0 о

1

1

+ ^ ¡(\дхиЧх «м2 0

У (\дхие(х,з)\2 - 1 + у/(\дхие(х,з)\2 - I)2 + е2+в) Ах

я 1 1

< ^Уу1/21у\дхи0+ (39)

откуда с учетом (36) при в = Т сразу следует (31) с постоянной

С4 = ||/||Ь2((0,1)х(0,Т)) + ^ ||джи0||ь2(0,1) +

1

1/2

1ь2((0,1)х(0,Т)) 11 х 0||-Е<2(0,1) , . Лемма 8 доказана. □

Теперь на основании лемм 7 и 8 устанавливаем следующую теорему, которая является вторым основным результатом статьи.

Теорема 2. Пусть / € С(£1т) ии0 £ К7Г)Н2'2(0,1), 7 > 0. Тогда семейство |ие}ее(01] сильных обобщенных решений задачи В и решение и задачи А в дополнение к (13) связаны следующими предельными соотношениями:

е—0

сильно в С(|0,Т|; Н01,2(0,1)), слабо* в £ТО(0,Т; Н2'2(0,1)), (40) ^ие —> с^и слабо в Ь2(0,Т; Н01,2(0,1)). (41)

Соответственно решение и задачи А в дополнение к (2а) и (3) обладает повышенным свойством регулярности

и е £ТО(0,Т; Н2'2(0,1)). (42)

Доказательство. В силу лемм 7 и 8 по теореме Алаоглу замечаем, что существует подпоследовательность из |е ^ 0} такая, что ие сходится к некоторой функции и1 слабо* в Ьж (0,Т; Н2,2(0, 1)) и с^ие сходится к д^ слабо в Ь2(0,Т; Н0'2(0,1)). Далее замечаем, что по теореме компактности Обена — Лионса — Симона [22] также в силу лемм 7 и 8 существует еще одна подпоследовательность такая, что ие сходится к и1 сильно в С([0,Т]; Н^'2(0,1)).

После этого вспомним, что по теореме 1 вся последовательность {ие}е—0 сходится к решению и задачи А. В силу единственности сильного и слабого пределов на основании этого заключаем, что и1 = и и предельные соотношения (40), (41) выполняются для всей последовательности {ие}е—0. Теорема 2 доказана. □

Замечание 3. В случае выпуклого замкнутого множества К достаточно общего вида и начальных данных и0 е К конструкция штрафа (6) в [8] позволила автору установить аппроксимацию решения задачи А с помощью семейства приближенных решений {иа}а>0 в виде предельных соотношений

иа —> и

а—оо

слабо* в £ТО(0,Т; Н01,2(0,1)), сильно в Ь2(От), (43)

ие

и

д4иа —> д4и слабо в Ь2(0,Т; Н01,2(0,1)). (44)

а—ж 4 /

Обратим внимание на то, что усиление свойств аппроксимации решения задачи А с повышением регулярности и0 и конкретизацией множества К в виде (1) не очевидно в рамках исследований, проведенных в [8].

Сравнивая предельные соотношения (43), (44) с (40), (41), замечаем, что (40) являются более сильными (регулярными). Это усиление свойств аппроксимации, как видно из проведенных выше рассуждений, оказалось возможным в силу структуры оператора штрафа А. А. Каплана в! ;.

4. Одно структурное свойство приближенных решений

Завершая статью, заметим, что семейство |ие}ее(о,1] решений задачи В благодаря конструкции оператора штрафа А. А. Каплана обладает одним интересным структурным свойством, которое заключается в том, что при почти всех Ь € (0,Т) при подходящем выборе подпоследовательности (е; ^ 0} ограничение |дхи! | < 1 выполняется на монотонно возрастающем по включению (при 61 ^ 0) множестве значений переменной ж. Впервые свойство такого рода было обнаружено в [16] при рассмотрении односторонней задачи для р-лапласиана. В настоящей статье для псевдопараболического оператора Баренблатта — Жел-това — Кочиной устанавливаем следующее.

Теорема 3. Пусть выполнены предположения теоремы 1. Тогда существует возрастающая по включению последовательность3) замкнутых множеств (Е! (¿)}г=1,2,... С [0,1], Ь € (0,Т), е; —> 0, таких, что

(1) Е! (Ь) С О! (Ь) =(ж € [0,1] : |джиег (ж, Ь)|2 < 1} при п.в. Ь € (0,Т),

(И) теав([0,1] \ Е! (Ь)) < ег -1 при п.в. Ь € (0, Т).

В частности, теа^ [0,1] \ У Е! (Ь) ) = 0 при п.в. Ь € (0,Т).

\ г=1 / Доказательство. Обозначим 0+" (Ь) := (ж : |дхие"(ж,Ь)| > 1},

Фе" (ж,Ь) := |

+

1 при ж € 0+" (Ь), 0 при ж € 0+ (Ь),

е , ч е , ч 1 при ж € О!" (Ь),

У 7 У 7 (0 при ж € О!"(Ь).

Иными словами, ж ы- Фе" (ж,Ь) и ж ы- Ф(ж, Ь) — это характеристические функции множеств 0+" (Ь) и О!" (Ь) соответственно при всех Ь € [0, Т].

Вспомним функцию рк, определенную формулой (24), и заметим, что

1 1 И«> = /*»(..»)* = /*•■(ж,(>|2* V, € (45)

3) Возрастание по включению означает, что ЕЕп (Ь) С ЕЕт (Ь) при т > п для п.в. ь е (о,т).

В силу (25) имеем ФЕк(-,t) —0 в L2(0,1) и п.в. на сегменте {0 < x < 1} при

к^ж

п.в. t G (0,T). В свою очередь, это означает, что

Ф—> 1 п.в. на {0 < x < 1} при п.в. t G (0,T). (46)

к^ж

Завершаем доказательство точно так же, как доказательство теоремы 2 в работе [16]. А именно, замечаем, что по теореме Егорова [23, гл. IV, §3, теорема 5] при п.в. t G (0,T) для любого ц > 0 существует такое измеримое множество (t) С {0 < x < 1}, что

meas([0,1] \ (t)) < ФЕк(-,t) —> 1 равномерно на JM(t). (47)

к^ж

Возьмем какое-либо ^ = ekl G {ek}k=i,2,... и /Efci (t) согласно теореме Егорова. В силу (47) и того, что ФEfc принимает только значения 0 и 1 существует номер K1G N такой, что

Ф(x, t) = 1 Vx G /Efci (t) V k > K1, при всех t G [0,T]. (48)

Возьмем k2 := maxjiii, fci + 1}, £?Efe2 (t) := (t). По построению имеем i?efe2 (£) c| O-k2 (t) и meas([0,1] \ EEfc2 (t)) < ekl при п.в. t G (0, T). Далее возьмем ^ = ek2 и повторим процедуру, т. е. построим Eefcs (t) С Olfc3 (t), EEfc2 (t) С Eefcs (t) (в силу (48)), meas([0,1] \ Eefcs (t)) < ek2. Продолжая процесс, сконструируем последовательность

Eek (t) С 0lh (t), Eefci-i (t) С Eek (t), meas([0,1] \ Eek (t)) < £кг-1,

£кг 0 при t G (0,T). (49)

Соотношения (49) — это утверждения (i) и (ii) теоремы с £г := £кг. Теорема 3 доказана. □

ЛИТЕРАТУРА

1. Al'shin A. B., Korpusov M. O., Sveshnikov A. G. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations. Berlin: Walter De Gruyter, 2011. (Nonlinear Anal. Appl.; V. 15).

2. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 763-774.

3. Seam N., Vallet G. Existence results for nonlinear pseudoparabolic problems // Nonlinear Anal. Real World Appl. 2011. V. 12. P. 2625-2639.

4. Showalter R. E. Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1996. (Math. Surv. Monogr.; V. 49).

5. DiBenedetto E., Showalter R. E. A pseudo-parabolic variational inequality and Stefan problem // Nonlinear Anal. 1982. V. 6, N 3. P. 279-291.

6. Lavrenyuk S. P., Ptashnyk M. B. Pseudoparabolic variational inequalities without initial conditions // Ukr. Math. J. 1998. V. 50, N 7. P. 1045-1057.

7. Ptashnyk M. Nonlinear pseudoparabolic equations and variational inequalities. PhD Thes. Ruprecht-Karls-Universitat, Heidelberg, 2004.

8. Ptashnyk M. Degenerate quasilinear pseudoparabolic equations with memory terms and vari-ational inequalities // Nonlinear Anal. 2007. V. 66. P. 2653-2675.

9. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П. Об основных уравнениях фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Докл. АН СССР. 1960. Т. 132, № 3. С. 545-548.

10. Полубаринова-Кочина П. Я. и др. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967) М.: Наука, 1969.

11. Иванова М. В., Ушаков В. И. Вторая краевая задача для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области // Мат. заметки. 2002. Т. 72, вып. 1. С. 48-53.

12. Кожанов А. И., Лукина Г. А. Псевдопараболические и псевдогиперболические уравнения в нецилиндрических по временной переменной областях // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 3. С. 15-30.

13. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

14. Гроссман К., Каплан А. А. Нелинейное программирование на основе безусловной оптимизации. Новосибирск: Наука, 1981.

15. Саженкова Т. В., Саженков С. А. Аппроксимация решения односторонней задачи анизотропной диффузии-абсорбции // Тр. семинара по геометрии и математическому моделированию: сб. ст. Вып. 4. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2018. С. 15-24.

16. Sazhenkova T. V., Sazhenkov S. A. Kaplan's penalty operator in approximation of a diffusionabsorption problem with a one-sided constraint // Sib. Electron. Mat. Izv. 2019. V. 16. P. 236248.

17. Саженкова Т. В., Саженкова Е. В., Саженков С. А. Аппроксимация решения односторонней задачи для р(ж)-эллиптического уравнения // Тр. семинара по геометрии и математическому моделированию: сб. ст. Вып. 6. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2020. С. 82-92.

18. Ptashnyk M. Nonlinear pseudoparabolic equations as singular limit of reaction-diffusion equations // Appl. Anal. 2006. V. 85, N 10. P. 1285-1299.

19. Adams D. R., Hedberg L. I. Function spaces and potential theory. New York: Springer-Verl., 1996 (Comprehensive Stud. Math.; V. 314).

20. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

21. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

22. Simon J. Compact sets in the space Lp(0,T; B) // Ann. Mat. Pura Appl. 1987. V. 146. P. 65-96.

23. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

Поступила в редакцию 29 ноября 2021 г. После доработки 6 января 2022 г. Принята к публикации 28 февраля 2022 г.

Саженкова Татьяна Владимировна Алтайский государственный университет, пр. Ленина, 61, Барнаул 656049 t.sazhenkova@gmail.com

Саженков Сергей Александрович

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, пр. Академика М. А. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090; Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090 sazhenkovs@yandex.ru

Саженкова Елена Владимировна

Новосибирский государственный университет экономики и управления, ул. Каменская, 56, Новосибирск 630099 elsazh1977@gmail.com

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2022. Том 29, № 1

UDC 517.972.5

REGULARITY AND APPROXIMATION OF THE SOLUTION OF A ONE-SIDED PROBLEM FOR THE BARENBLATT—ZHELTOV—KOCHINA PSEUDOPARABOLIC OPERATOR

T. V. Sazhenkova, S. A. Sazhenkov, and E. V. Sazhenkova

Abstract: We consider a one-sided problem for the Barenblatt-Zheltov-Kochina pseu-doparabolic operator in the one-dimensional case, supplemented with smooth initial data and homogeneous boundary conditions. This problem is formulated in the form of a variational inequality. From the physical point of view, it models a non-stationary process of filtration of a viscous fluid in a cracky-porous gallery with a restriction on the modulus of the velocity of filtration through the cracks. The existence theorem for a weak solution of this problem is known in the literature in both one-dimensional and multidimensional cases and follows from the results obtained by M. Ptashnyk (Nonlinear Anal., 2007, vol. 66, pp. 2653-2675) using the penalty method. In M. Ptashnyk's research, the penalty operator was chosen in a standard form, following the presentation in the monograph by J.-L. Lions "Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires," Paris: Dunod Gauthier-Villars, 1969 (Theorem 5.1 in Chapter 3). In this article, we consider an approximate initial-boundary value problem for the pseudoparabolic equation incorporating Kaplan's penalty operator and study the family of its solutions. Due to the specific structure of Kaplan's operator, we obtain higher regularity of the weak solution of the original problem as compared to the previously known regularity properties, and also we find a strengthened property of approximating this solution by a sequence of solutions to the problem with Kaplan's operator. In addition, we establish that the one-sided condition imposed in the original problem is satisfied by the approximate solution on a set of the spatial variable which monotone grows with decrease of the small approximation parameter.

DOI: 10.25587/SVFU.2022.56.36.006

Keywords: variational inequality, pseudoparabolic operator, weak solution, penalty method, filtration.

REFERENCES

1. Al'shin A. B., Korpusov M. O., and Sveshnikov A. G. Blow-up in Nonlinear Sobolev Type Equations, Walter De Gruyter, Berlin (2011) (Ser. Nonlinear Anal. Appl., vol. 15).

2. Kozhanov A. I., "On a nonlocal boundary value problem with variable coefficients for the heat equation and the Aller equation," Differ. Equ., 40, No. 6, 815-826 (2004).

3. Seam N. and Vallet G., "Existence results for nonlinear pseudoparabolic problems," Nonlinear Anal. Real World Appl., 12, 2625-2639 (2011).

4. Showalter R. E., Monotone Operators in Banach Spaces and Nonlinear Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1996) (Math. Surv. Monogr.; vol. 49).

© 2022 T. V. Sazhenkova, S. A. Sazhenkov, E. V. Sazhenkova

5. DiBenedetto E. and Showalter R. E., "A pseudo-parabolic variational inequality and Stefan problem," Nonlinear Anal., 6, No. 3, 279-291 (1982).

6. Lavrenyuk S. P. and Ptashnyk M. B., "Pseudoparabolic variational inequalities without initial conditions," Ukrain. Math. J., 50, No. 7, 1045-1057 (1998).

7. Ptashnyk M., Nonlinear Pseudoparabolic Equations and Variational Inequalities, PhD Thes., Ruprecht-Karls-Universitat, Heidelberg (2004).

8. Ptashnyk M., "Degenerate quasilinear pseudoparabolic equations with memory terms and variational inequalities," Nonlinear Anal., 66, 2653-2675 (2007).

9. Barenblatt G. I. and Zheltov Yu. P., "Fundamental equations of filtration of homogeneous liquids in fissured rocks," Sov. Phys., Dokl., 5, 522-525 (1960).

10. Polubarinova-Kochina P. Ya., Numerov S. N., Charnyi I. A., and Entov V. M. (Eds.) Development of Studies on Filtration Theory in the URSS (1917-1967) [in Russian], Nauka, Moscow (1969).

11. Ivanova M. V. and Ushakov V. I., "The second boundary-value problem for pseudoparabolic equations in noncylindrical domains," Math. Notes, 72, No. 1-2, 43-47 (2002).

12. Kozhanov A. I. and Lukina G. A., "Pseudoparabolic and pseudohyperbolic equations in non-cylindrical time domains [in Russian]," Mat. Zametki SVFU, 26, No. 3, 15-30 (2019).

13. Lions J.-L., Quelques Methodes de Resolution des Problemes aux Limites Non Lineaires [in French], Dunod Gauthier-Villars, Paris (1969).

14. Grossman C. and Kaplan A. A., Strafmethoden und Modifizierte Lagrangefunktionen in der Nichtlinearen Optimierung [in German], Teubner Verl., Leipzig (1979).

15. Sazhenkova T. V. and Sazhenkov S. A., "Approximation of the solution of a one-sided problem of anisotropic diffusion-absorption [in Russian]," Tr. Semin. Geom. Mat. Modelir., Sb. Rabot, No. 4, pp. 15-24, Izdat. Altaysk. Gos. Univ., Barnaul (2018).

16. Sazhenkova T. V. and Sazhenkov S. A., "Kaplan's penalty operator in approximation of a diffusion-absorption problem with a one-sided constraint," Sib. Electron. Mat. Izv., 16, 236-248 (2019).

17. Sazhenkova T. V., Sazhenkova E. V., and Sazhenkov S. A., "Approximation of the solution of a one-sided problem for the p(x)-elliptic equation [in Russian]," Tr. Semin. Geom. Mat. Modelir., Sb. Rabot, No. 6, pp. 82-92, Izdat. Altaysk. Gos. Univ., Barnaul (2020).

18. Ptashnyk M., "Nonlinear pseudoparabolic equations as singular limit of reaction-diffusion equations," Appl. Anal., 85, No. 10, 1285-1299 (2006).

19. Adams D. R. and Hedberg L. I., Function Spaces and Potential Theory, Springer, New York; Berlin (1996) (Comprehensive Stud. Math.; vol. 314).

20. Ekeland I. and Temam R., Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland, Amsterdam (1976).

21. Sobolev S. L., Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1991) (Transl. Math. Monogr.; vol. 90).

22. Simon J., "Compact sets in the space Lp(0, T; B)," Ann. Mat. Pura Appl., 146, 65-96 (1987).

23. Natanson I. P., Theory of Functions of a Real Variable, Frederick Ungar Publ. Co., New York

(1961).

Submitted November 29, 2021 Revised January 6, 2022 Accepted February 28, 2022

Tatiana V. Sazhenkova

Altai State University,

61 Lenin Avenue, Barnaul 656049, Russia

t.sazhenkova@gmail.com

Sergey A. Sazhenkov

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics,

15 Lavrentiev Avenue, Novosibirsk 630090, Russia;

Novosibirsk State University, 1 Pirogova Street, Novosibirsk 630090, Russia sazhenkovs@yandex.ru

Elena V. Sazhenkova

Novosibirsk State University of Economics and Management, 56 Kamenskaya Street, Novosibirsk 630099, Russia elsazh1977@gmail.com