Регуляризация в обратных динамических задачах для уравнения $sh$ волн в пористой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 2, С. 46-58

УДК 550.348

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ В ОБРАТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЫ ВОЛН В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Х. Х. Имомназаров, Ш. Х. Имомназаров, Т. Т. Рахмонов, З. Ш. Янгибоев

Построены регуляризирующие алгоритмы для динамических обратных задач для одномерного уравнения ЯП волн в насыщенных жидкостью пористых сред, в которых происходит потеря энергии при межкомпонентном трении.

Ключевые слова: обратная задача, регуляризация, коэффициент трения.

1. Введение

Многие инженерные проблемы сводятся к решению чисто математических задач. Переход от инженерных задач к чисто математическим нередко представляет большие трудности, поэтому создание математических моделей физических процессов — важнейшее направление современной науки. Широкое распространение в задачах механики жидкости и газа получили краевые задачи, т. е. задачи, в которых либо форма объекта (подземного контура плотины, водонефтяного контакта, контура профиля крыла самолета и т. д.) находится по заданным характеристикам, либо характеристики рассчитываются при заданной его форме. Первые задачи получили название прямых краевых задач, а вторые — обратных [1]. В частности, эти задачи возникают в разведочной геофизике при поиске нефтяных слоев и при выборе параметров волнового воздействия на месторождения нефти и газа с целью интенсификации добычи. Развитие моделей фильтрации в пористых средах, являющихся определяющими в решении геофизических задач, началось во второй половине XIX столетия. В основу научной разработки большинства вопросов фильтрации был положен закон сопротивления при фильтрации жидкости, установленный экспериментальным путем в 1856 г. французским инженером А. Дарси. Закон выражает пропорциональность скорости фильтрации флюида градиенту напора. Коэффициент фильтрации характеризует среду и жидкость одновременно, т. е. зависит от размера частиц, их формы и шероховатости, пористости среды, ее проницаемости, вязкости жидкости. Первые теоретические исследования фильтрации, основанные на этом законе, были начаты Ж. Дюпюи и продолжены Ф. Форхгеймером. Первые двух-скоростные математические модели для описания распространения сейсмических волн в насыщенных жидкостью пористых средах были разработаны в работах Я. И. Френкеля, М. Био [2, 3]. Неизотермическая модель фильтрации в предположении аддитивности энтропии компонент пористой среды была получена методом законов сохранения в работе П. Робертса, Д. Лопе [4]. Континуальная теория фильтрации, не ограниченная предположением такого рода, была построена в работах В. Н. Доровского [5, 6] также в рамках

© 2013 Имомназаров Х. Х., Имомназаров Ш. Х., Рахмонов Т. Т., Янгибоев З. Ш.

метода законов сохранения. Закон Дарси получается в качестве следствия уравнений упомянутых теорий в одном из предельных случаев.

Последние десятилетия внимание математиков направлено на так называемые некорректные задачи, т. е. задачи, у которых решение может не существовать или быть неединственным, неустойчивым. К числу таких задач относятся и многие обратные начально-краевые задачи математической физики. Ряд математических постановок обратных задач теории распространения волн для модели упругих сред впервые был рассмотрен А. С. Алексеевым [7, 8]. Обнаружилась их связь с одномерными обратными спектральными задачами, рассмотренными И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [9], а также М. Г. Крейном [10, 11]. В работе [12] установлена связь метода Баранова — Кюнетца с дискретным аналогом метода Гельфанда — Левитана. При этом условия разрешимости уравнений Гельфанда — Левитана фактически приводили к возможности коррекции неточно заданных сейсмограмм. Достаточно полную библиографию по теории обратных задач для уравнений гиперболического типа можно найти в [13-23].

В данной работе, используя идеи работы [23], строятся регуляризирующие алгоритмы для динамических обратных задач для одномерного уравнения волн в насыщенных жидкостью пористых средах, в которых происходит потеря энергии при межкомпонентном трении.

2. Постановка задачи

Пусть полупространство г > 0 заполнено неоднородной пористой средой. Уравнения распространения сейсмических волн с учетом поглощения энергии, обусловленной коэффициентом межкомпонентного трения Ь(г), имеют вид [24, 25]

р5(г)пй = (^(г)п^). - Р1 (г)Ь(г)(и - ш), (1)

Р1 = р I(г)6(г)(и - ш). (2)

Здесь и и V — компоненты векторов скоростей смещений частиц упругого пористого тела и жидкости с парциальными плотностями р5(г) и р I (г) соответственно. Предположим, что пористая среда покоится при Ь < 0:

«к=о = и |г=о = 0, (3)

v|t=о = V* к=о = 0. (4)

Пусть на границе г = 0 приложена сила:

^и. |.=о = ОД- (5)

Здесь ¿(¿) — функция Дирака.

Требуется по информации (5) и по заданным один раз непрерывно дифференцируемым положительным функциям р5(г), ^(г), непрерывным положительным функциям Р1 (г), Ь(г) определить дважды непрерывно дифференцируемые функции и(Ь,г), v(t,z) из (1)-(4). Такую задачу будем называть прямой динамической задачей для уравнений волн в пористой среде.

В приложениях наибольший интерес представляют задачи об определении переменных коэффициентов дифференциального уравнения. Это связано с тем, что дифференциальные уравнения, как правило, описывают физические процессы, а коэффициенты уравнения связаны с физическими характеристиками среды, в которой протекают эти

процессы. Так как непосредственно эти коэффициенты измерить невозможно, то задача об определении свойств вещества является, по существу, обратной.

Используя методику предложенную в [23] для обратной задачи теории упругости, построим регуляризирующий алгоритм следующих обратных задач:

Задача 1. Требуется по информации

«|х=о = (*)

восстановить ^(я) из (1)—(5) (при этом считаются известными остальные функции рз(я), рг (я), Ь(г) = х(я)рг(я)).

Задача 2. Требуется по информации (*) восстановить риз (1)-(5) (при этом считаются известными остальные функции х(я), рг(я), ^(¿)).

Задача 3. Требуется по информации (*) восстановить х(я) из (1)-(5) (при этом считаются известными остальные функции р5(я), рг(я), ^(¿)).

Задача 4. Требуется по информации (*) восстановить рг (я) из (1)-(5) (при этом считаются известными остальные функции р5(я), х(я)).

3. Сведение к канонической форме

Введем вместо я координату ж:

х

Г #

х

ж=

о

cí (О'

где с; (я) = у^есть скорость распространения поперечных сейсмических волн в пористой среде.

После перехода к координате ж скорость распространения сейсмических волн в пористой среде становится равной единице. Так как

=

дя О; дж'

то уравнения (1), (2) имеют канонический вид

«й - «хх = (1па)'пх - Ь(ж)ру-)(«; - V;), ж> 0, (6)

р5 (Ж)

V = 6(ж)(и — V), ж> 0, (7)

«к=о = |;=о = 0, (8)

^=о = 0, (9)

«х |х=0 = ^ . (10)

В формуле (6) а (ж) = л/^(ж)р5 (ж) — акустическая жесткость, а > 0. Далее предположим, что выполнены

0 < роз ^ рДж) ^ роо5 < то, 0 < рог ^ рг(ж) ^ роог < то,

0 < 6о < Ь(ж) < боо < то, ()

где роз, рог, Ьо, рооз, роог, Ьоо — заданные постоянные.

Теперь обратная задача 1 переформулируется следующим образом: пусть на отрезке [0, Т] задана функция

и|х=0 = ф(г), г € [0,Т], (12)

и требуется определить а(х), х € [0,Т/2]. Обозначим через А оператор решения прямой задачи, ф = А 1п а, а € С 1[0,Т/2], и обозначим через Ф образ пространства С:[0,Т/2] при отображении А.

Следуя работам [7, 8, 21-23], можно показать, что Ф — множество в С 1[0,Т], определенное равенством

Ф = {ф € С 1[0,Т] : ф(0) < 0,

Т/2 Т/2

1ЖИ2(0,Т) + / / Ф'(|г - *|ЖгЖ*)^ ^ 0, Vф € Ы0,Т)}, -Т/2 -Т/2

причем оператор А является гомеоморфизмом С 1[0,Т] на Ф.

4. Регуляризирующий алгоритм

Пусть вместо функции ф = А 1п а известно ее приближенное значение ф € С1 [0, Т], Уф — ф|| ^ Если ф € Ф, то в силу непрерывности А-1 на Ф в качестве приближенного значения а можно взять а = ехр[А-1ф]. Будем предполагать, что ф € С 1[0, Т], </»(0) < 0, но, вообще говоря, не принадлежит множеству Ф. Естественный метод нахождения приближения в этом случае состоит в построении отображения Я : Ф ^ С 1[0, Т/2], Ф = {ф € С 1[0, Т] : ф(0) < 0}, аппроксимирующего обратный оператор А-1 на Ф и определенного на всем множестве Ф [7, 8, 21-23].

Как показано в [21, 22], исходная обратная задача сводится к нелинейному уравнению типа Вольтерра. В данной работе, следуя [23], предлагается регуляризирующий алгоритм, сохраняющий его «вольтерровость».

Прежде всего покажем, что оператор А действует из С 1[0, Т/2] в С 1[0,Т], причем (А 1па)(0) = —1/а(0) < 0. Пусть а € С 1[0,Т/2]. Будем искать решение задачи (6)-(10) в классе кусочно-гладких функций вида

и(х, г) = — х)пд(х, г),

^(х, г) = — х)г>д(х, г).

Здесь 0(г) — функция Хевисайда, ид, г>д — сужения и, V на замкнутую область Д = {(х,г) : 0 < х < г}, ид^д € С 1(Д).

Тогда из (6)-(10) вытекает, что при любом Т > 0 сужения и, V на треугольник Д(Т) = {(х,г) : 0 ^ х ^ г ^ Т — х}, которые будем обозначать снова через и, V, должны удовлетворять соотношениям

¿и = иЙ — ихх = (1п а)' иж — Ь(х) ^т-^иг — ví), 0 <х<г<Т — х, (13)

Рз (х)

Ш = Ь(х)(и — V), 0 < х < г < Т — х, (14)

их|х=0 = 0, 0 < г < Т, (15)

1 _ г Ъ(у)Р1(у)

и(х,х) =--, е о 2ра(у) , 0 < х < Т/2, (16)

^ ' ' л/а(0)а(х) ' 7 ' V '

«1^=0 =0, 0 < х < Т/2. (17)

Нетрудно видеть, что задача (13)-(17) эквивалентна уравнениям

X í-—x—£

и(М) = + "(Цт) - "(0) - 2/(м а)'(е) ¿е / и(е,С) #

4 + х\ /г — х\ , . 1 _) + «(_) -Ш(0) - 2

0 í_x+£

(t+x)/2 x_£ (*-х)/2 ^^

+2 / (1п (е) ¿е / и(е,с) ^+2 / (1п * 0 £ 0

У (1п а)' (е) ^ | и(£,С) ^С + 1 У (1п а)' (е) ^ | и(£,() ^ 0 £ 0 £ х t+x_£ с

+ 2 / Ь(е)Рл! ^ / (е, С) - Ь(е) | е_ь(£)«_-)и(е, в) ^ (18)

х t+x_£ С

2у ь(е)¿е I ^w(е,с) - ь(ем е

0 t_x+£ 0

(^/2 í-—x_£ С

1 у 0(4)р-р I ^W (£,( ) - 0(£) I е

0 £ 0

/ о(е)Р-(§¿е / (w(е,°-0(е^е_ь(£)(с_-)и(е,*)¿с

^—x)/2 £ _ x _ £ С

-2 / о(е)р-(§ ¿е / (w(е,с) - 0(е)/е_ь(£)(с _- )и(е,*) ^с, 0 £ 0

í

№ 0(х) / е_** _-)(Ш)

0

- _ г х Ъ(у)р1(у) ,

где и = и^ W = и, "(х) = - 1/уа(0)а(х) е •1о 2ра(у) . Дифференцируя (18) по х и Г, получаем интегральные уравнения на функции и(х,Г), W(х,Г), и(х, Г), решение которых существует и единственно в С(Д(Т)). Подставляя и(х, Г), W(х, Г) в (18), найдем решение и(х,Г) (из класса С-1) задачи (13), (15), (16). Подставляя и(х,Г) в (19), найдем решение «(х,Г) задачи Коши (14), (17). Отсюда в частности вытекает, что функция ф(Г) = и|x=0 будет из С1 [0, Т] и ф(0) = -1/а(0) < 0, т. е. ф е Ф.

Покажем теперь, что уравнение А 1па = ф, ф е Ф, эквивалентно уравнению Вольтер-ра. Для этого введем в рассмотрение банахово пространство 2 вектор-функций

¿(х,Г) = (¿1 (х,Г),22 (х,Г),^з (х),24 (х)),

непрерывных на Д(Т), с естественно определенной операцией умножения на скалярные функции из С (Д(Т)) и нормой

11^11 = ша^ II ¿1 У, 11^2 У, 11^3 У, 11^4 ||}. В 2 выделим подмножество 20, состоящее из вектор-функций вида

¿0 (х,Г) = (Рф)(х,Г)

= { 2ф'(Г + х) - 2ф'(Г - х), 2ф'(Г + х) + 2ф'(Г - х), ф' (2х), 1/ф(0)|, ф е Ф. (20)

Очевидно, между ¿0 и Ф имеется взаимно однозначное соответствие. Если в (20) ф £ Ф, то будем писать ¿0 £ ¿0. Определим оператор М : И х Ё + ^ И, Ё + = {* : * ^ 0}, формулами:

X

(М(г,а))1 (ж,*) = У /(¿,а)(е) [¿1 (е,* + ж - е) + ^ (е,* - ж + е)] ^

0

X

+1/че) р|§{ +ж - - ж+о + ¿2 (е,*+ж - е) 0

í+x-£

+ - ж + е) - Ь(0 / е-6«)^-«-5)¿2(е,в) ^

0

0

X

(Ма))2 (ж, 4) = У /а)(е) [¿1 (£, * + ж - е) - *!(£,* - ж + £)] ^

0

X

+2/6(е) ¿1(е,*+ж - е) - - ж+е) + ¿2 (е,*+ж - е) (21) 0

í+x-£

-¿2(е,* - ж+е) - &(е) У е-6«^-«-*)¿2се,«)^

0

+Ь(е) /

0

x x

(м а))з (ж) = ^ / (¿,«)(е)^1 (е, 2ж - е) ^ + уь(е) ¿1 (е, 2ж - е)

00 2x-£

+¿2(е, 2ж - е) - ь(е) у е-6«^-^)^(е,*) ^е, 0

x

(м (¿,а))4 (ж) = / (¿,«)(е)^4 (е) ¿е, 0

где /(¿, а) = ¿з¿4/(1 + аг2)(1 + аг2).

Лемма 1. Уравнение z = ¿0 + М(¿, 0), ¿0 £ И0, разрешимо в И тогда и только тогда, когда ¿0 £ И0.

< Пусть ¿0 £ ¿0. По определению множеств ¿0 и Ф это означает, что существует функция

а £ С 1[0,Т/2], а > 0,

такая, что А 1п а = ф, где ф однозначно определяется функцией ¿0 согласно (20). Далее, по определению ф(*) = и^^, * £ [0,Т], где и(ж,*) — решение задачи (13), (15), (16)

с функцией а = ехр[А-1 ф]. Покажем, что тогда вектор-функция

¿(ж, 4) = (их(ж,4),и(ж, 4), [и(ж,ж)] , 1/и(ж,ж))

удовлетворяет уравнению ¿ = ¿0 + М(г, 0). Действительно, обращая волновой оператор д2/дж2 — д2/д42 по формуле Даламбера с учетом данных Коши и|х=0 = ф(4), их|х=0 = 0 и вытекающего из (16) соотношения

/ (г' 0) + ^ = и + £ = — а)'

находим

11 2 ф(4 + ж) + 2<

и(ж,4) = 2 Ф(* + ж)+ 2 ф(* — ж) + //(¿, 0)(0 ^ | ¿1 (£,С) ^

0 £-х+£

ж С

+ 1/ 6(0^ / {¿1 (00 + ¿2(00 — 6(0 | е-6«)«-*)¿2(0*) С

(22)

Отсюда дифференцирование по ж приводит к равенству

¿1 (ж, 4) = ¿01 (ж, 4) + (М (¿, 0))1 (ж, 4).

Дифференцируя обе части равенства (22) по времени, получим

¿2 (ж, ¿) = ¿02 (ж, 4) + (М(¿, 0))2 (ж, ¿).

Затем, полагая в (22) 4 = ж, дифференцированием получим

¿3 (ж) = ¿03 (ж) + (М (¿, 0))з (ж).

Наконец, по определению ¿4(ж) = — ^(ж)^2(ж), откуда вытекает, что

¿4(ж) = ¿04 + (М(¿, 0))4 (ж).

Обратно, пусть ¿ £ 2 — решение уравнения

¿ = ¿0 + М(¿, 0), ¿0 £ 20.

Тогда функция ¿4(ж) £ С 1[0,Т/2] удовлетворяет соотношению ¿4 + /(¿, 0^4 = 0, условию ¿4(0) = 1/ф(0) < 0 и, следовательно, везде отрицательна. Положим

X

и(ж, 4) = ф(4) + I ¿1 (0 4) ^, (ж, 4) £ Д(Т),

0 (23)

- X 6(у) ^ТТ Лу а(ж) = —¿42(ж) е о ^(у) , ж £ [0, Т/2],

где ф — функция из Ф, соответствующая ¿0. Покажем, что пара (и, а) удовлетворяет равенствам (13), (15), (16). Действительно, по определению их = ¿1, а /а = 2¿4/¿4 =

—2/(2, 0) и, следовательно,

х , £ ,

и(х,Ь) = Ф(*) + |/ |т Ф(Ь + ^ + — ^ — /^ / ип (П'^) ^

о ^ о ^£+п

£ С

+ / Ь(п)Ш ^ / {ис(П'О — Ь(п)/е-6^-*)ия(п,в) ¿Л ^

о ^£+п о '

ж , —£

= 2Ф(* + х) + 2ф(* — X) — Ц ^ / и£(е,0 ¿С

0 ^ж+£

х t+x-£ , С ч

+ 21 Ь(0 ^ / Ч(е,0 — 6(6/е-6(£)(С-5) ив(^) ¿Л^

(24)

Отсюда видно, что и £ С:(Д(Т)) и выполняются равенства (13), (15).

Проверим выполнение (16). Полагая в (23) Ь = х и дифференцируя, находим

, ч / ч ^ / 1

-и(х, х) = 23(х) =

^х ' ^х \24 (х)

В силу того, что 24 < 0, из (23) вытекает равенство

,_ /^М^М Лу

24(х) = — ^а(0)а(х) е0 2ра(у) .

Тогда

,_ - I У/У ^ 1 1

и(х,х) + 1/д/а(0)а(х)е 0 Ра(У) = и(0, 0) + —— = ф(0)--— = 0.

а(0) 24(0)

Итак, пара (и, а), и £ С:(Д(Т)), а £ С1 [0,Т/2], а > 0, удовлетворяет равенствам (13)-(17). По определению множества Ф отсюда вытекает, что функция ф(Ь) = и| х=0 принадлежит Ф, а следовательно, 20 £ . >

Таким образом, установлено, что решения уравнений А 1па = ф, ф £ Ф, и 2 = 20 + М(2,0), 20 £ , равносильны. Пусть теперь вместо функции ф £ Ф задано ее приближенное значение ф £ Ф, ||ф — ф|| ^ причем для простоты будем считать, что ф(0) = ф(0) (неравенство ф(0) = (/>(0) не вносит принципиальных изменений). В терминах функций 20 = Рф и /0 = Рф это означает, что 20 £ , /0 £ и ||20 — /01| ^ Если 20 не принадлежит ^0, то по лемме 1 уравнение 2 = 20 + М(2, 0) не имеет решений.

Перейдем к исследованию регуляризованного уравнения 2 = 20 + М(2, а), а > 0. Пусть Вг — шар в Z радиуса г,

Вг = {2 £ Z : ||2|| < г}, ||2||(х) = тах < вир |21(х,Ь)|, |22 (х, Ь) |, |23 (х)|, |24 (х)| > , 2 £ Z.

J

Лемма 2. (1) М £ Сх Ё +; Z), т. е. оператор М непрерывен из Z х Ё + в Z и имеет непрерывные частные производные Мг(2, а), Ма(2, а).

(2) Для любых г € Z, а > 0,

||М(г, а)||(х) < 2Са I ||гНСе) х € [0,Т/2], (25)

0

где С1 (а, Т) = (1 + 26оо^)(1 + 2Т6оо).

(3) Для любых г > 0, а > 0, г € Вг, у € Вг,

х

||М(г,а) — М (у, а)||(х) < С2 (г,а,Т)| ||г — у||(0 х € [0,Т/2], (26)

0

где С2(г, а, Т) = (1 + 4г^а + боо^а)(1 + 2Т6оо)/(2а).

< Первое утверждение очевидно и проверяется непосредственными вычислениями. Заметим, что оператор Мг : Z х ^ ; Z) при любых фиксированных г, а является линейным непрерывным оператором Вольтерра. Докажем неравенство (25). Из определения оператора М вытекает, что для любого а > 0

х

||М(г,а)||(х) < 2^ (|/(г,а)| + 1 &(£)Р^) ||г||(0 # о

х

+ 1/ 6(0РЗ|)(1 + 2Т6(е))2|г|(е)

Отсюда с учетом (11) и неравенства |/(г, а)| ^ 1/(4а) [23] получим неравенство (25). Неравенство (26) доказывается аналогично, если учесть, что функция /(г, а) удовлетворяет неравенству [23]

|/(г, а) — /(у, а)| < -1= тах {|г1 — у11, |г2 — У21}- >

Рассмотрим теперь регуляризованное уравнение

г = го + М (г, а). (27)

Теорема 1. Пусть го € Z. Тогда для любого а > 0 в Z существует единственное решение г (а) уравнения (27), более того, как функция параметра а оно непрерывно дифференцируемо в Ж+ и

||г(а)|| < ||го|| ехр(с1 Т/4а). (28)

< Установим сначала априорную оценку (28). Пусть г(а) € Z — решение, отвечающее значению а > 0. Из неравенства (25) следует, что

х

||г(а)||(х) < ||го| + Ц- | ||г(а)||(0 х € [0,Т/2], (29)

о

и оценка (28) получается применением неравенства Гронуолла к (29).

х

Покажем единственность решения. Пусть г (а), у (а) £ 2 — два решение уравнения (27). Поскольку оба решения лежат в шаре Вг(а), г (а) = ||го || ехр(с1 Т/4а), то на основании леммы 2 их разность ад (а) = г (а) — у (а) удовлетворяет неравенству

X

1Иа)||(ж) < С2(г(а),а,Т)У ||г — у||(£) ж £ [0,Т/2],

о

которое для любых а > 0 имеет единственное решение т (а) =0, т. е. г (а) = у (а).

Докажем существование решения методом последовательных приближений. Имеем

г(га+1)(а) = го + М(г(га)(а),а), п ^ 0, г(о) = го. (30)

Используя неравенство (25) и принцип индукции, нетрудно показать, что для любого п ^ 0

П 1 ^

||г(п)(а)||(ж) < ||го|| £ ^< ||го|| ехр(С1Т/4а),

т. е. все приближения лежат в шаре Вг(а).

Рассмотрим последовательность т(п)(а) = г(га+1)(а) — г(га)(а). Имеем

||т(о)(а)|| = ||М(го,а)|| < сзН^о)||, сз =

X

||т(п) (а)|| = ||М(гга(а), а) — М(гга-1(а), а) || < С2(г(а),а,Т||т(п-1)(а)||(0^, п ^ 1,

о

и следовательно, для любого п ^ 0

||т(п)(а) || < сз||го|| ^"

п

'2

Отсюда вытекает, что ряд го + ^^=о т(п) (а) мажорируется сходящимся числовым рядом

+ сз И*(о) || Е П|(С2г)П = ||го||(1 + сзеС2Т/2),

п=о

и, следовательно, последовательность

г(га+1)(а) = го + М(г(п) (а), а) = го + ^ (а)

т=о

сходится в 2. Поскольку все г(п) (а) £ Вг(а), то

г(а) = Иш г(п) (а) £ Вг(а).

Переходя в (30) к пределу, в силу непрерывности оператора М получаем, что г — решение уравнения (27).

Непрерывная дифференцируемость решения г (а) вытекает из теоремы о неявной функции [26]. Действительно, согласно лемме 2 оператор О : 2 х Ж + ^ 2, О(г, а) = г — го — М(г, а), имеет непрерывные производные Оа = — Ма, Ох = I — Мг. При этом для любых (г, а) £ 2 х , Ог (г, а) : 2 ^ 2 имеет ограниченный обратный оператор (в силу того, что Мг (г, а) — линейный непрерывный оператор Вольтерра). Следовательно, по теореме о неявной функции г(а) £ С1 (Ж+,2). >

Рассмотрим случай го £ ^о. Тогда согласно лемме 1 в Z существует единственное решение ¿(0) уравнения г = ¿о + М(г, 0) (единственность решения следует из единственности исходной обратной задачи [21, 22]). Следовательно, если г0 £ Z0, то уравнение (27) разрешимо в Z единственным образом для любых а ^ 0. Нетрудно видеть, что в этом случае решение г (а) будет непрерывно дифференцируемым на замкнутой полуоси М +. Действительно, по теореме 1 достаточно доказать гладкость г (а2) в окрестности точки а = 0. Последнее вытекает опять из теоремы о неявной функции, поскольку существует решение уравнения <5(г, 0) =0, <5 £ Сх М, Z), где (¿(г, а) = С(г,а2), и оператор <5 г (г(0), 0) имеет ограниченный обратный. Сформулируем этот результат как следствие из теоремы 1.

Следствие. Если го £ Zо, то решение уравнения (27) существует и единственно в Z для всех а ^ 0 и принадлежит классу в С 1(]М +, Z).

Вернемся теперь к исходной задаче. Итак, нам известна функция ф £ Ф такая, что ф(0) = ф(0), ||ф - ф|| ^ 5, ф £ Ф. Следовательно, го = Рф £ Z0 и ¿о = Рф £ ^о, IIго - ¿о|| ^ 5.

Рассмотрим уравнение г = ¿о + М(г, а). По теореме 1 при а > 0 оно имеет единственное решение в Z. Обозначим его через ¿(а). Решение уравнения г = го + М(г, а), а ^ 0, обозначим через г(а). Напомним, что г(0) соответствует точному решению обратной задачи. Функция ¿(а) порождает оператор К : .¿о х М+ ^ Z, Л(го, а) = ¿(а). Следующая теорема по сути утверждает, что этот оператор является регуляризирующим для уравнения г = го + М(г, 0).

Теорема 2. Пусть 5 ^ 5о. Тогда существует функция а(5) £ С(0, 5о], а > 0, Ит^о а(5) = 0, такая, что Ит^о р(а(5)) — г(0)|| = 0.

< В силу неравенства треугольника р(а) — г(0)|| ^ Р(а) — г(а)|| + ||г(а) — г(0)||. Пусть а ^ ао, где число ао будет указано позже. Согласно следствию из теоремы 1, функция г(а) £ С 1(]М ) и, следовательно, существует константа С1 такая, что для всех а £ [0, ао] ||г(а) — г(0)|| ^ С1 а. Оценим разность ¿(а) — г(а):

р(а) — г(а)||(ж) < 11¿о — го|| + ||М(¿(а),а)) — М(г(а),а))||(ж). Как и при доказательстве (26), нетрудно получить неравенство

х

||М(¿(а),а)) — М(г(а),а))||(ж) < (^ + / "¿(а) — г(а)Н(0

о

Заметим, что нормы ||г(а)|| равномерно ограничены на Й + некоторой константой I, зависящей от го. Это следует из непрерывности функции г(а) на М + и оценки (28). Таким образом,

х

||¿(а) — г(а)||(ж) < 5 + С2 ^ ||¿(а) — г(а)||(0 ж £ [0,Т/2],

о

где С2 = (с1 +4^у/ао)/2, откуда в силу неравенства Гронуолла получим оценку

||¿(а) — г(а)||(ж) < 5ест/2а. В результате приходим к неравенству

¿(а) — г(0)|| < С1а + 5ест/2а.

Теперь достаточно взять

= С1+ 4У^ Т 1 + 1п(^0/5)2'

где а = + ^Т212 + С1Т/2)2 = а(50)• Тогда р(а(5)) — ¿(0)|| < С1 а(5) + V® ^ 0, 5 ^ 0. >

Из доказательства теоремы видно, что оператор Я будет равномерно регуляризирую-щим оператором на любом подмножестве множества 20 вида = {¿0 £ 20 : 1 (¿0) < 1}.

Множество принято называть множеством корректности рассматриваемой обратной задачи [27].

Замечание. Соответствующие леммы и теоремы имеют место для обратных задач 2, 3 и 4. Для исследования обратных задач 3 и 4 надо взять вектор-функцию ¿(ж, 4) в виде

¿(ж,4) = ( их(ж,4),и(ж,■£), [и(ж,ж)д/а(0)а(ж) ] ,

и(ж, ж)д/ а(0)а(ж)

В заключение авторы выражают благодарность Перепечко Ю. В. за обсуждение проблемы и за ряд ценных замечаний, которые были учтены при подготовке статьи.

Литература

1. Нужин М. Т., Ильинский Н. Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории фильтрации.—Казань: КГУ, 1963.—140 с.

2. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Сер. География и геофизика.—1944.—Т. 8, № 4.—C. 133-150.

3. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range // The J. of the Acoustical Society of America.—1956.—Vol. 28, № 2—P. 168-178.

4. Roberts P. H., Loper D. E. Dynamical processes in slurries // Structure and Dynamics of Partially Solidified System. NATO ASI. Serie E.—1987.—Vol. 125.—P. 229-290.

5. Доровский В. Н. Континуальная теория фильтрации // Геология и геофизика.—1989.—№ 7.— C. 39-45.

6. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В. Феноменологическое описание двухскоростной среды с релак-сирующими касательными напряжениями // ПМТФ.—1992.—Т. 33, № 3.—C. 403-409.

7. Алексеев А. С. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных.—М: Наука, 1967.—С. 9-84.

8. Алексеев А. С. Некоторые обратные задачи теории распространения волн // Изв. АН СССР. Сер. Геофизика.—1962.—№ 11.—С. 1514-1531.

9. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. Математика.—1951.—Т. 15, № 4.—C. 309-360.

10. Крейн М. Г. Решение обратной задачи Штурма — Лиувилля // Докл. АН СССР.—1951.—Т. 76, № 1.—С. 21-24.

11. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // Докл. АН СССР.—1954.—Т. 94, № 6.—С. 987-990.

12. Алексеев А. С., Добринский В. И. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики // Мат. проблемы геофизики.—Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975.—Вып. 6, ч. 2.—С. 7-53.

13. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики.—М.: Наука, 1984.—261 c.

14. Белишев М. И., Благовещинский А. С. Динамические обратные задачи теории волн.—СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999.—268 c.

15. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.—М.: Наука, 1986.—287 с.

16. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа.—М.: Наука, 1980.—286 с.

17. Алексеев А. С., Имомназаров Х. Х., Грачев Е. В, Рахмонов Т. Т., Имомназаров Б. Х. Прямые и обратные динамические задачи для системы уравнений континуальной теории фильтрации // Сиб. жур. индустриальной математики.—2004.—Т. 7, № 1 (17).—С. 3-8.

18. Imomnazarov Kh. Kh. Estimates of conditional stability of some combined inverse problems for Maxwell's equations and equations of porous media // Comp. Appl. Math.—2001.—Vol. 20.— P. 20-34.

19. Имомназаров Х. Х. Численное моделирование некоторых задач теории фильтрации для пористых сред // Сиб. жур. индустриальной математики.—2001.—Т. 4, № 2(8).—С. 154-165.

20. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи.—Новосибирск: Наука, 1983.—207 с.

21. Имомназаров Х. Х., Холмуродов А. Э. Прямые и обратные динамические задачи для уравнения SH волн в пористой среде // Вестн. НУУЗ. Сер. Механика и математика.—2006.—№ 2.—C. 86-91.

22. Imomnazarov Kh. Kh., Kholmurodov A. E. Direct and inverse dynamic problems for SH-waves in porous media // Math. and Computer Modelling.—2007.—Vol. 45, № 3-4.—P. 270-280.

23. Пестов Л. Н. Об одном способе регуляризации одномерной задачи теории упругости // Тр. ВЦ СО РАН. Мат. моделирование в геофизике.—Новосибирск, 1993.—Т. 1.—С. 112-124.

24. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В., Роменский Е. И. Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформирунмых средах // ФГВ.—1993.—№ 1.—С. 100-111.

25. Blokhin A. M., Dorovsky V. N. Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum.—New York: Nova Science Publishers Inc., 1995.—192 p.

26. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.—М.: Наука, 1968.—496 с.

27. Бухгейм А. Л. Разностные методы решения некорректных задач.—Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986.—149 с.

Статья поступила 15 марта 2011 г.

имомназаров холматжон худайназарович Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, вед. научный сотрудник

РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6 E-mail: [email protected]

Имомназаров Шерзад Холматжонович Новосибирский государственный университет, магистрант

РОССИЯ, 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2 E-mail: [email protected]

Рахмонов Турдимухаммад Тухтаматович Институт ядерной физики АН Республики Узбекистан, вед. научный сотрудник

УЗБЕКИСТАН, 702132, Ташкент, пос. Улугбек E-mail: [email protected]

Янгибоев Зойир Шобердиевич Каршинский государственный университет, старший преподаватель

УЗБЕКИСТАН, 180103, Карши, ул. Кучабаг, 17 E-mail: [email protected]

REGULARIZATION IN INVERSE DYNAMIC PROBLEMS FOR THE EQUATION OF SH-WAVES IN A POROUS MEDIUM

Imomnazarov Kh. Kh., Imomnazarov Sh. Kh., Rakhmonov T. T., Yangiboyev Z. Sh.

Regularization algorithms for dynamic inverse problems for 1D equation of SH-waves in fluid saturated of porous media with energy dissipation at intercomponent friction have been constructed.

Key words: inverse problem, regularization, friction coefficient.