CC BY
31
УДК 519.25, 519.65
РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОФАКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОГО СУЛЬФОХРОМИРОВАНИЯ. Ч. 2
В.А.Русанов1, С.В.Агафонов2, С.Н. Думнов3, А.Г. Руцых4
1Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск e-mail: V.Rusanov@mail.ru;
2Ордена Дружбы народов Иркутская государственная сельскохозяйственная академия;
3ВСИ МВД РФ, г. Иркутск;
4Высшее военное авиационное инженерное училище, Иркутск
На базе экспериментальных данных, полученных при низкотемпературной обработке прецизионных плунжерных пар, проведена проверка развитого в первой части работы универсального способа регрессионно-тензорного моделирования оптимальных параметров многофакторного химико-технологического процесса поверхностной обработки сложных механических изделий.
Ключевые слова: регрессионно-тензорное моделирование, химико-технологический процесс.
REGRESSION AND TENSOR SIMULATION
OF MULTIFACTOR OPTIMIZATION OF PROCESS
OF LOW-TEMPERATURE SULFUR-CHROMIUM PLATING. PART 2
V.A. Rusanov1, S.V. Agafonov2, S.N. Dumnov3, A.G. Rudykh4
institute for Systems Dynamics and Control Theory, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences e-mail: V.Rusanov@mail.ru;
2The Order of Friendship of Peoples Irkutsk State Agricultural Academy; 3East-Siberian Institute of RF Ministry for Domestic Affairs; 4Irkutsk Higher Military Aviation Engineering School
Based on experimental data obtained during the low-temperature handling of precision plunger pairs, the verification is performed of the universal approach to the regression and tensor simulation of optimal parameters of the multifactor chemical-technological process of surface handling of complex mechanical items, which was developed in Part 1 of the work.
Keywords', regression and tensor simulation, chemical-technological process.
Первая часть статьи [1] была задумана как попытка "компактно" собрать воедино, в одинаковых терминах и обозначениях большое, но достаточно разнородное, количество строгих математических результатов, которые посвящены такой широкой теме, как многомерный нелинейный регрессионный анализ, с особым упором на методы ковариантно-тензорного представления функциональных производных (производных Фреше) с привлечением метода наименьших
квадратов и их практического приложения к оптимизации сложных многофакторных процессов, которые трудно формализуются в терминах дифференциальных моделей конечномерных динамических систем с программно-позиционным управлением.
В настоящей статье основное внимание уделяется апробации теоретических результатов из работы [1] на базе экспериментальных исследований процесса низкотемпературного сульфохромирования прецизионной плунжерной пары. В этом контексте далее численное моделирование проводится в среде программного комплекса "ГРЕК" [2], в котором решаются практические вопросы регрессионно-тензорного моделирования многофакторного химико-технологического процесса (ХТП). На его базе определяются строгие аналитические интерпретации многосвязных технических условий, налагаемых как сложными нелинейными ограничениями теоретического характера, так и обеспечивающих адекватность исследуемой модели по апостериорным данным, т.е. задача идентификации по методу наименьших квадратов координат ковариантных тензоров регрессии (как линейных, так и билинейных). На завершающем этапе данное моделирование "подключает" алгоритмы линейно-квадратичной оптимизации синтеза оптимальных характеристик функционального поведения ХТП. В настоящей статье сохранены терминология и обозначения, приведенные в первой части работы, а также нумерация формул.
Численное моделирование режима ХТП для восстановления прецизионных плунжерных пар низкотемпературным сульфохро-мированием. В этом разделе на методологической базе [1] и экспериментальной основе стендовых испытаний проведем численное моделирование [2] расчета оптимального режима ХТП, описывающего многофакторный процесс восстановления прецизионных плунжерных пар посредством нанесения сульфохромированного слоя, обладающего оптимальными физико-механическими свойствами.
Без нарушения общности в качестве опорного режима процесса низкотемпературного сульфохромирования можно принять некоторую эмпирически выделенную из общего состава экспериментальных данных точку из пространства ТС" ; ясно, что в этом случае координаты V\,... ,vm вектора v следует рассматривать как отклонения относительно означенного режима и G II'".
Параметры опорного режима: = 125 °С, lo2 = 0,92ч, шЗ = = 43% NaOH, ш4 = 0,5% S, w5 = 1% Na2S, ш6 = 2% Na2S203, ш7 = 10% Сг03.
Многофакторный химический низкотемпературный процесс синтеза сульфохромированного слоя в серии из q натурных экспериментов
(в силу т = 7 и п. б) следствия 1 [1, с. 24] "рекомендация" числа экспериментов — д < 35) опишем следующими химико-технологическими переменными: входные данные
V — со1(г?1, г>2, Уз, Уь-, Щ, Уг) £ Л7 — вектор вариаций относительно опорного режима ш = С01(ш1,ш2,ш3,ш4,ш5,ш&,шг) регулируемых характеристик процесса низкотемпературного сульфохромирова-ния прецизионной плунжерной пары:
VI — вариация (относительно температуры процесса Ю-2, °С;
и2 — вариация (относительно о^) длительности процесса, ч;
г?з — вариация (относительно шз) концентрации гидроксид натрия 1(Г2 №ОН, %;
У4 — вариация (относительно 104) концентрации серы Б, %;
Уг — вариация (относительно концентрации сульфида натрия №28, %;
г;,, — вариация (относительно шв) концентрации гипосульфита натрия Ю-1 №2820з, %;
Ут — вариация (относительно иг) концентрации триоксида хрома Ю-1 СгОз, %; выходные данные
V) = ги)\ Е Я — характеристика сульфохромированного слоя плунжерной пары {ь) 1 — толщина сульфохромированного слоя).
Экспериментальные данные задачи идентификации билинейно-тензорной модели процесса получения сульфохромированного слоя
Номер эксперимента Параметры режима нанесения сульфохромированного слоя Толщина слоя
LO+V ! LO + V 2 LÜ + V з iü + VA iü + VZ iü + V6 iO + V7 wi(w
1 1 0,5 0,4 0,2 0,7 0,05 0,7 7,2 7,2
2 1,1 0,7 0,41 0,3 0,8 0,1 0,8 8,1 8,1
3 1,2 0,83 0,42 0,4 0,9 0,15 0,9 8,7 8,7
4 — w 1,25 0,92 0,43 0,5 1 0,2 1 9 9
5 1,3 1 0,44 0,6 1,1 0,25 1,1 9,5 9,5
6 1,35 1,08 0,45 0,7 1,2 0,3 1,2 9,5 9,5
7 1,4 1,17 0,46 0,8 1,3 0,35 1,3 9,5 9,5
Аналитическое решение задачи параметрической идентификации (2) для уравнения билинейно-тензорной регрессии (5) [1], описывающей многофакторный процесс (представленный в таблице) сульфо-хромирования в низкотемпературной среде многокомпонентного химического раствора, в силу утверждения 3 [1, с. 23] и расчетов в программной среде [2] имеет следующий вид:
и)1{ш + г;) = 9 - 82,2838^1 - 40,3136^ + 2,48Ш3 + 24,8137^+
- 186,0956^12 - 180,2625^1^2 - 12,3797^3 - 123,7968^4-
- 123,7968^1^5 - 61,8984^6 - 123,7968^7-
- 62,7154у| + 15,1415^3 + 151,4146^4 + 151,4146гвд>+ + 75,7073г;2Уб + 151,4146^2^7—
- 8,6681^5 - 4,334^6 - 8,6681^5^7 - 2,167^-
- 4,334^6^7 - 8,6681^. (13)
Критический анализ эффективности предложенной модели математического описания процесса сульфохромирования, выраженный уравнениями нелинейной регрессии (5) [1] (т.е. (13)), дает относительное сравнение двух последних колонок таблицы; здесь ь)\ — эксперимент, а и:I — прогноз согласно уравнениям (13). Графическая иллюстрация изменений показателя качества Л(^) = '-''!(>' + у) — «'х (и;) при варьировании температуры, длительности сульфохромирования и концентраций раствора в зависимости от масштабированных (см. таблицу) вариаций относительно режима ш приведена (программная среда [2]) на рис. 1-5.
100
Рис. 1. Зависимость толщины сульфохромированного слоя от температуры и длительности процесса обработки плунжерной пары «^(«ь"^)
Рис. 2. Зависимость толщины сульфохро-мированного слоя от концентраций гидроксида натрия и
Рис. 3. Зависимость толщины сульфохро-мированного слоя от концентраций серы и сульфида натрия
Рис. 4. Зависимость толщины сульфохро-мированного слоя от концентраций сульфида натрия и гипосульфита натрия
J
-1
Рис. 5. Зависимость толщины сульфохро-мированного слоя от концентраций гипосульфита натрия и окисида хрома
Оптимизация режима ХТП. Комбинируя результаты работы [1], режим сульфохромирования, обеспечивающий максимальную толщину физической структуры сульфохромированного слоя обрабатываемой поверхности прецизионной плунжерной пары, свяжем с решением оптимизационной задачи следующего вида:
Разработка новых технологических приемов обработки металлов требует наличия адекватной математической модели, позволяющей предсказывать взаимоувязанное влияние различных факторов физико-химической среды металлообработки и механико-геометрических характеристик обрабатываемой поверхности детали на получаемые результаты. Математическая модель оптимизации (14) для многофакторного процесса сульфохромирования дает такую возможность, а именно выявить наиболее критичные параметры и задать определяющие направления совершенствования используемых и разрабатываемых технологических установок получения сульфохромированного слоя. Утверждение 4 [1, с. 25], а также формула (9) [1], позволяющие вычислять геометрические координаты стационарной точки, применительно к задаче оптимизации (14) определяют (в терминах (13)) следующие высокоэффективные технологические параметры режима сульфохромирования: в силу системы (5) [1] (или, что равнозначно, уравнения (13)) стационарная точка (9) [1] в координатном представлении (вектор-строки) имеет вид
of + v*T = [1,1593 0,6791 0,3475 0,4917 0,9917 0,1835 0,9917],
или то же самое в физических размерностях с учетом "отсчета" от режима ш:
m
(14)
ш
Т _
(16)
= [115,93 °С 0,6791ч 34,75% 0,4917% 0,9917% 1,835% 9,917%].
(15)
Полученный ранее математический результат (координаты стационарной точки режима сульфохромирования (9)) [1] находится в соответствии с логикой физических рассуждений; иллюстрация Fl(v) = и)1(ш + V* + у) — тл^ш + V*) представлена на рис. 6-10.
Поскольку собственные числа матрицы ВI соответственно равны
то это говорит о наличии стационарной седловой точки у функционала Р{у).
Согласно (12)[1]и(16)в полученной стационарной точке V* функционал достигает своего максимума по переменным ... и, соответственно, минимума по Уг- Физико-химический смысл этого математического положения в силу (15) означает, что (совпадая с логикой рассуждений процесса сульфохромирования) для структуры функционала (14) должно выполняться следующее.
Технологическое правило: если имеет место шг = 9,917 %Сг03, то необходимо в процессе сульфохромирования плунжерной пары выполнить условия
и>1 = 115,93°С, = 0,6791ч, = 34,75%№ОН,
если реализуется положение и? = [3 ^ 9,917% Сг03, то необходимо в полном объеме {т.е. включая идентификацию (2))решать "коррекцию задачи (3), (14) " вида
Это правило, конечно же, в большей степени инженерное (не математическое). С чисто математической точки зрения оно лишь уточняет поведение ХТП, констатируя, что в любом случае необходимо описать (объяснить на эвристическом уровне) исходный выбор процентного содержания в растворе триоксида хрома СгОз. В связи с этим упомянем еще один довольно неожиданный результат: первые шесть параметров ил, г = 1,..., 6, в оптимальном режиме ХТП по существу зависят от седьмого фактора шг — содержания триоксида хрома.
Заключение. В настоящей работе представлены результаты численного решения на основе экспериментальных данных задачи идентификации билинейных тензоров нелинейной регрессионной модели
Рис. 6. Фрагмент целевого функционала Р(У1)У2) в окрестности стационарной точки (15)
Рис.7. Фрагмент целевого функционала ^(«з, «4) в окрестности стационарной точки (15)
Рис.8. Фрагмент целевого функционала 1'(ул, в окрестности стационарной точки (15)
Рис.9. Фрагмент целевого функционала /''(г"5. в окрестности стационарной точки (15)
Рис. 10. Фрагмент целевого функционала Ут) в окрестности стационарной точки (15)
восстановления прецизионных плунжерных пар посредством нанесения сульфохромирования слоя оптимальной толщины. Рассмотрены этапы численного решения задачи параметрической идентификации; обнаруженные отклонения расчетных (прогнозируемых) значений синтезированного сульфохромированного слоя и экспериментальных данных не носят принципиального характера, вследствие чего исследована и подтверждена эффективная математическая методика ("конечная цепь" алгебраических операций (9)) расчета оптимальной толщины покрытия; т.е. обеспечивающей параметры нелинейного многофакторного режима сульфохромирования поверхности плунжерной пары.
Изложенные в обеих частях работы идеи можно развить в нескольких направлениях теоретико-прикладных изысканий регрессионно-тензорного анализа (в духе работ [3-9]) с приложением к совершенствованию предложенных ранее алгоритмов расчета оптимальной тех-
нологии процесса сульфохромирования, а также расширению рамок адекватности регрессионных уравнений низкотемпературного ХТП за счет дополнительного исследования факторов нелинейности:
— на определение и алгоритмизацию процедуры выбора весовых коэффициентов гi, 1 < г < п в (3), исходя из выполнения алгебраических условий (11) или (12), обеспечивающих эллиптический характер стационарной точки (10) [1];
— на расширение линейно-квадратичной формы уравнений регрессии (5) [1] "тейлоровским разложением" вектор-функции регрессии более высокого порядка;
— на статистическое описание и оптимизацию технолого-парамет-рических характеристик химического процесса низкотемпературного сульфохромирования;
— на учет в качестве расширенных (дополнительных) параметров-координат вектор-функции регрессионной модели таких физико-механических параметров синтезированного сульфохромирования слоя, как поверхностная твердость, износостойкость, коэффициент сухого трения обработанной поверхности и хрупкость полученного сульфохромированного слоя;
— на развитие нанометрических показателей ХТП и их качественный учет в структуре нелинейно-тензорной многомерной модели регрессии (1) [1];
— на построение алгоритмической процедуры идентификации нелинейной апостериорно-адаптивной математической модели сульфо-хромирования с дополнительным условием наличия высокочастотного электромагнитного поля, на определение в такой постановке высокотехнологичных многофакторных параметров процесса низкотемпературного химического сульфохромирования, а также оптимальных значений длины и амплитуды волны электромагнитных колебаний.
Работа поддержана грант-контрактами: Программа фундаментальных исследований № 15 Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН, Грант Президента Российской Федерации по государственной поддержке научныгх школ Российской Федерации (№ НШ-1676.2008.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Русанов В. А., Агафонов С. В., Д у м н о в С. Н., Рудых А. Г. Регрессионно-тензорное моделирование многофакторной оптимизации процесса низкотемпературного сульфохромирования. Ч. I // Вестник МГТУ
2. Агафонов С. В., Шарпинский Д. Ю., Русанов В. А., Уд и -лов Т. В. Гибридный регрессионный комплекс "ГРЕК" // Свидетельство Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам о регистрации программы для ЭВМ, № 2008614737 от 2.10.2008 г.
3. JI ь ю н г JI. Идентификация систем. Теория для пользователя. - М.: Наука,
4. С a i n е s Р. Е. On the scientific method and the foundation of system identification.
North Holland, Amsterdam, - 1986. - P. 563-580. У
manuscript I.B.M. Research K54/282, San Jose, California, - 1985. 6. LjungL., Soderstrom T. Theory and practice of recursive identification. -MIT Press, Cambridge, Massachusetts, - 1983.
Decis. Control. - Lauderdale, Florida, December, 1985. - P. 1056-1060.
8. Домрачеев В. Г., Полещук О. М. О построении регрессионной модели при нечетких исходных данных // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 11.
9. Ч а д е е в В. М. Цифровая идентификация нелинейных динамических объектов // Автоматика и телемеханика, - 2004, - № 12, - С, 85-93,
Статья поступила в редакцию 30.04.2009
