Редукция уравнения Матье к нелинейному уравнению первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.36

РЕДУКЦИЯ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ К НЕЛИНЕЙНОМУ УРАВНЕНИЮ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В. М. Буданов

1

Рассматривается уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами. Показано, что его анализ сводится к исследованию нелинейного уравнения первого порядка. Для первой резонансной зоны уравнения Матье построено второе приближение, описывающее поведение решений не только внутри этой зоны, но и в ее окрестности.

Ключевые слова: параметрический резонанс, уравнение с периодическими коэффициентами.

A second order equation with periodic coefficients is considered. It is shown that its analysis can be reduced to the study of a nonlinear equation of the first order. The second approximation is obtained for the first resonance zone of the Mathieu equation describing the behavior of solutions not only inside this zone but also outside it.

Key words: parametric resonance, equation with periodic coefficients.

Введение. Дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами возникают в многочисленных приложениях, в частности при анализе поведения динамических систем в окрестности периодических решений. Из большого числа публикаций можно выделить монографии [1-4], которые дают представление о методах исследований и результатах в этой области. Хотя для таких систем справедлива теорема Флоке-Ляпунова [1, 5] о приводимости к системе с постоянными коэффициентами посредством преобразования Ляпунова, явный вид такого преобразования установлен лишь для небольшого числа частных систем [6]. Наиболее проработанным аспектом проблемы является построение приближенных решений для периодических решений, разделяющих области устойчивости и неустойчивости. В настоящей работе предлагается подход, позволяющий строить приближенные решения как в областях неустойчивости, так и в близких окрестностях этих областей.

Переход к переменным амплитуда-фаза. Рассмотрим уравнение

где p(t), q(t) — периодические функции времени с периодом Т. Сделаем замену переменных

где $ — постоянная, но заранее не заданная частота; А, а — новые переменные. Дифференцируя (2) и учитывая (1), получаем

х + p(t)x + q(t)x = 0,

(1)

x = Acostp, х = —А-дя'тф, ф = № + а,

(2)

х = A cos ф — А{§ + a) sin ф = —А"9 sin ф, х = —А& sin ф — + a) cos ф = —qA cos ф + рА§ sin ф.

Разрешая эти уравнения относительно производных А, а и вводя новую переменную

5 = 1п А

(3)

приходим к системе

s

—р + р cos 2ф + — (q — $2) sin 2ф

(4)

ф = № + а.

1 Буданов Владимир Михайлович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. лаб. общей механики НИИ механики МГУ, e-mail: vlbudanovQgmail.com.

Система (4) является точной, поскольку получена формальной заменой переменных. Особенностью этой системы является то, что уравнение для фазы отделилось. Этот факт не привлек должного внимания несмотря на то, что такая замена переменных была использована еще Ван-дер-Полем, на ее основе H.H. Боголюбовым и его учениками была заложена база асимптотических методов исследования нелинейных колебаний.

Далее займемся исследованием отделившегося второго уравнения для фазы на примере уравнения Матье, являющегося частным случаем (1) при p(t) = 0, q(t) = ш2 + /.tcos ut, где ш — собственная частота, и — частота возбуждения:

X + (со2 + Ц cos ut)x = 0.

(5)

При этом уравнения (4) приобретут вид

1

s = — {и2 — ß2 + ц cos ut) sin 2ф, 11/

à = (ш2 - -д2 + ц cos ut) (1 +cos2V0,

£ I/

ф = № + а,

или

s =

а

1 1

ß

ß

(шг - ir) sin 2(M + a) + £ sin ((2i? + v)t + 2a) + ^ sin ((2i? - v)t + 2a)

Ii

Ii

(w2 - iT) (1 + cos 2(M + a)) + ß cos vt + ^ cos ((2tf + v)t + 2a) + ^ cos {{2-d - v)t + 2a)

(6)

Система (6) осталась точной. Решение ее второго, отделившегося, уравнения для фазы является ключевым для анализа уравнения Матье (5), поскольку если это решение найдено как функция времени a(t), то амплитуда A(t) вычисляется из формулы (3) и первого уравнения (6) простой квадратурой, а по формулам (2) находятся решения исходного уравнения (5). Аналогичная ситуация имеет место и для общего случая (1).

Будем искать решение системы (6) и прежде всего ее второго уравнения методом последовательных приближений. Слагаемые, содержащие явно входящее время, будем называть быстрыми, остальные — медленными. Последнее слагаемое во втором уравнении (6) может быть как быстрым в общем случае, так и медленным, если допустимо положить v = 2$. Переменные a, s будем искать в виде суммы медленных as, ss и быстрых ctf, Sf составляющих. Быстрые составляющие будем вычислять интегрированием быстрых слагаемых, считая медленные составляющие константами. В уравнениях для медленных составляющих as, ss будем учитывать как медленные слагаемые в правых частях уравнений (6), так и усредненные по явно входящему времени добавки от быстрых составляющих ctf, Sf. Из теоремы Пикара [5] следует сходимость метода последовательных приближений без предположений о малости параметра ц. Правильный выбор свободного параметра $ позволяет избежать появления в решении секулярных членов.

Первое приближение. Внешняя частота близка к удвоенной собственной: v ~ 2ш. Поскольку частота возмущенных колебаний близка к собственной частоте, то естественно в (6) положить = z//2, что дает следующую систему:

где

I92-uj2

е JL

s = — е sin (ut + 2а) + 7 sin (2ut + 2a) + 7 sin 2a, à = — e + 27 cos ut — e cos (ut + 2a) + 7 cos (2ut + 2a) + 7 cos 2a,

= 7 > 0.

(7)

В первом приближении полагаем нулю быстрые составляющие af, Sf. Осредняя правые части уравнений (7) по явно входящему времени и опуская пока индекс "в", получаем упрощенную систему для медленных составляющих:

« = 7 8ш2а,

(8)

а = — е + 7 сое 2а.

В зависимости от соотношения между параметрами е и 7 возможны три ситуации: при |е| <7 — область неустойчивости с неограниченным нарастанием амплитуды колебаний; при |е| =7 — граница, на которой существует периодическое решение; при |е| >7 — режим биений. На рис. 1 приведены

графики правой части второго уравнения системы (8) для этих ситуаций соответственно кривые 1, 2, 3. Рассмотрим эти случаи подробно.

1) При условии |е| <7 второе уравнение системы (8) имеет два стационарных решения. Устойчивым является то, что лежит в диапазоне 0 < 2а < 7Г (производная правой части отрицательна). При этом в соответствии с первым уравнением переменная s растет линейно, а амплитуда А экспоненциально согласно (3). В этом случае возникает явление резонанса. Решения в диапазоне 7Г < 2а < 2тт неустойчивы.

Им отвечают экспоненциально затухающие ко-Рис. 1. Стационарные точки уравнения для фазы чебания

2) В предельном случае на границах |е| = 7 два решения сливаются и возникает стационарная точка второго уравнения (8), которая при подходе с одной стороны является устойчивой, с другой неустой чивой.

Рассмотрим более подробно случай е = 7. При этом (8) приобретает вид

s = 7 sin 2а, а = 7(—1 + cos 2а).

Второе уравнение интегрируется с помощью стандартной замены у = t.ga, далее интегрируется первое уравнение, и в результате получаем первое приближение а = arct.g 2lt+c ■> ^ = -^о \J'

С =

i

2 tg а о

. На больших временах и при исходной близости к стационарной точке имеем С > 1 и

оценку А = Аоь^20 Таким образом, амплитуда растет, как линейная функция времени.

3) Частота внешних) возбуждения остается близкой к удвоенной собственной частоте, но |е| > 7, и второе уравнение (8) не имеет стационарного решения, но имеет монотонно возрастающее при е < 0 или убывающее при е > 0 решение. При этом снова система (8) оказывается интегрируемой [7]. Решение имеет вид

а

— arct.g

е -7 е + 7

tg (у/^—^Н-С)

А = А

'е +7cos (2Ve2 -jH-2C) е + 7 cos 2 С

(9)

где С = arct.g y\Jt.gaoj. Таким образом, амплитуда является периодической функцией времени, движение но исходной переменной х представляет собой биения и период биений тем больше, чем меньше разность е2 — 72, что соответствует близости к границе резонансной области.

Второе приближение. Уравнение для быстрой составляющей а/ получаем из второго уравнения (7), отбрасывая медленные слагаемые:

áf = 27eos vt — ecos (ut + 2as) + 7eos (2vt + 2as).

Интегрируем это уравнение, считая компоненту as постоянной:

27 6 7

at = — sin vt--sin (vt + 2as) H--sin (2vt + 2as

v v 2v

(10)

Далее, подставив а = as + af в правую часть (7), получим уравнение второго приближения для медленных составляющих:

ss = 7 sin2a;s + (—е sin (vt + 2 as + 2a f) + 7 eos (vt + 2 as + 2a/)),

ás = —e + 7eos 2as + (27 eos vt — ecos (vt + 2as + 2a/) + 7eos (vt + 2as + 2a/)).

Здесь угловыми скобками обозначено осреднение но явно входящему времени, которое проведем, считая а/ <С 1, используя (10) и удерживая члены первохх) порядка малости. Например,

eos (vt + 2а s + 2a/) = eos (vt + 2 as) - 2 af sin (vt + 2 as) =

47 , 2e 9, 27 e =--- smvtsm(vt + 2as) H--sin2 (vt + 2as) =--- cos2a5+ -.

V V V V

В результате получаем аналогичную (8) систему с тем отличием, что параметры е, 7 следует заменить на £1 = £ + 77 + 2^) 71 = 7 (1 + 77)-Соответственно анализ второго приближения такой же, как и первого, с точностью до корректировки параметров. На рис. 2 приведен результат численного интегрирования в случае биений с огибающими (9) по первому (кривая 1) и второму (кривая 2) приближениям. Нетрудно заметить, что второе приближение существенно лучше первого и достаточно точно воспроизводит нелинейный характер изменения амплитуды решения при биениях. При этом форма огибающей близка к решениям, полученным в [8].

Заключение. В работе предложен подход к исследованию уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, сводящийся к построению решения одного нелинейного уравнения первого порядка. Для первой резонансной области уравнения Матье построены первое и второе приближения, описывающие поведение решений как внутри резонансной области, так и снаружи. Сравнение с результатами прямого интмрирования подтверждает эффективность предложенного подхода.

Автор выражает благодарность профессорам В.М. Морозову и В.В. Александрову за полезные обсуждения и советы.

Рис. 2. Биения при ш = 1: р = 0,5: 5 = 0,245

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Якубович В.А., Старжипский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука. 1972.

2. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ. 1952.

3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974.

4. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука. 1988.

5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967.

6. Калеиова В.И., Морозов В.М. Линейные нестационарные системы и их приложения к задачам механики. М.: Фгоматлит. 2010.

7. Смоляпский М.Л. Таблицы неопределенных интегралов. М.: Наука. 1967.

8. Буданов В.М. Об одной изохронной нелинейной системе // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 6. 59 63.

Поступила в редакцию 29.04.2015