Предельные уравнения движения механических систем с вибрирующими элементами Текст научной статьи по специальности «Математика»

позволяет непротиворечиво вводить линейное пространство деформаций не только бесконечно малых, но и конечных, и больших деформаций;

дает возможность корректно суммировать деформации;

обобщает широко распространенные в механике деформируемого твердого тела подходы к определению компонент тензора деформаций;

определяет нулевое значение первого инварианта тензора деформаций, по крайней мере, в рассмотренной здесь задаче нелинейного деформирования о кручении круглого цилиндра из несжимаемого материала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.; Л.: ГИТТЛ, 1947.

2. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

3. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965.

4. Murnagan F.D. Finite deformation of an elastic solid. NY: John Wiley & Sons, Inc.; London: Chapman & Hall, Limited, 1951.

5. Шарафутдинов Г.З. Теория деформаций // Изв. МШУ. 2008. № 1(10). 92-111.

6. Шарафутдинов Г.З. Логарифмическая деформация в задачах нелинейного деформирования // Избранные проблемы современной механики. Т. 2 / Под. ред. акад. В.А. Садовничего. М.: Изд-во МГУ, 2011. 65-72.

7. Сетх Б.Г. Понятие меры деформации в технике высокоскоростного деформирования // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. 528-531.

8. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

Поступила в редакцию 14.06.2013

УДК 531.01

ПРЕДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ВИБРИРУЮЩИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

А. А. Маркеева1, М. А. Левин2

Работа посвящена изучению механических систем, имеющих быстроколеблющиеся элементы. Предложен метод нахождения предельных уравнений таких систем, получающихся при стремлении частоты колебаний к бесконечности. Рассмотрена механическая система с произвольным числом степеней свободы, которая подвергается быстрой периодической вибрации с нулевым средним и движение которой может быть описано уравнениями второго порядка. Также получен явный вид предельных уравнений движения, записанных как система дифференциальных уравнений первого порядка.

Ключевые слова: механические системы с вибрациями, предельные уравнения, сходимость решений, маятники с вибрирующими точками подвеса.

This paper studies mechanical systems with rapidly oscillating elements. We suggested a method to obtain limiting equations of such systems when the oscillation frequency tends to infinity. We considered a mechanical system with an arbitrary number of degrees of freedom subject to rapid periodic vibrations with zero mean. Its motion can be described by second-order equations. Also we obtained an explicit form of the limiting equations of motion written in the form of a system of first-order differential equations.

Key words: mechanical systems with vibrating elements, limiting equations, convergence of solutions, pendulum with a vibrating suspension point.

1. Введение. В работе изучаются механические системы с наличием элементов, совершающих высокочастотные колебания. Эта задача является обобщением известной задачи о маятнике с вибрирующей точкой подвеса [1]. В 1908 г. А. Стефенсон [2] показал, что неустойчивое верхнее положение

1 Маркеева Анастасия Анатольевна — аналитик ООО "Дантай", e-mail: [email protected].

2 Левин Максим Александрович — аси. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tween-lmQinail .ru.

равновесия математического маятника может стать устойчивым в случае высокочастотных вертикальных вибраций точки подвеса. Важный вклад в развитие этой задачи в середине XX в. внес П.Л. Капица [3, 4], рассмотревший физические аспекты проблемы и получивший условия устойчивости верхнего положения такого маятника. А.П. Маркеев [5] получил приближенную систему дифференциальных уравнений, описывающую вращение твердого тела, обладающего произвольной геометрией масс, вокруг вибрирующей точки, в предположении о том, что вибрации этой точки являются малыми и высокочастотными. В работе [6] исследованы некоторые свойства решений предельных уравнений с использованием понятия *-слабой сходимости в пространстве Ь°°.

Мы доказываем следующее утверждение: при фиксированных начальных условиях на заданном конечном интервале времени при стремлении частоты колебаний к бесконечности решение дифференциального уравнения второго порядка сходится к решению соответствующего предельного уравнения равномерно по координатам и слабо в пространстве по скоростям. Попутно получен метод нахождения самих предельных уравнений для механических систем, подвергающихся быстрой вибрации с частотой, стремящейся к бесконечности. Он является развитием метода, использованного в работе [7], и основан на исследовании свойств слабой сходимости решений точных уравнений. Предельные уравнения получены для систем двух видов

х = /о (ж, г) + + ¡х{х,т + 2ж) = /1 (ж, г);

ж = ¡1 (х,у,г) + V д(у, У = /2 (ж, у),

где на функции в правых частях наложены некоторые естественные ограничения, о которых будет сказано ниже. Следует заметить, что предельные уравнения для рассматриваемых систем можно получить и с помощью обычного метода усреднения [8, 9], однако в настоящей работе доказывается еще и сходимость решений.

Также рассмотрен ряд примеров применения полученных уравнений для конкретных систем: маятник Уатта; математический маятник и физический маятник в быстроколеблющейся плоскости; волчок Лагранжа, точка подвеса которого совершает быстрые вертикальные вибрации. В некоторых случаях найдены положения равновесия предельной системы и исследована их устойчивость. Предложенный метод универсален, аналогичным образом можно вывести предельные уравнения и для различных систем других видов, в том числе неголономных.

2. Уравнения второго порядка. Основным результатом работы является следующее

Утверждение 1. Пусть имеется система дифференциальных уравнений второго порядка с наличием быстроколеблющихся элементов

ж = /0(М) + /1 (х,1Н) + ид(х,1Н), ж€Мга, ¿€[0,^], (1)

функции /о(ж,£), /1 (ж, и д(х,иЬ) непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по х во всей области Мга; функции /1 (ж, г) и д{х,т) периодичны, по т, причем среднее значение функции д{х,т) по периоду равно нулю:

т

¡1(х,т+ Т) = ¡г(х,т), д(х,т + Т) = д(х,т), ^ Jд(х,т) йт = 0.

о

Введем, функции

т

91(х,т) = Jg(x,в)dв, ^(ж,т) = 991 ^^ • о

Тогда, при произвольных фиксированных начальных условиях ж(0) = хо, ж(0) = Хо на произвольном, конечном отрезке времени [0, ¿1] при стремлении частоты колебаний к бесконечности (и +оо) решения исходных уравнений сходятся к решениям предельных уравнений3

ж = /о(ж, ¿) + /1(ж,г4) - д2(х,1'1)д1(х, 1/1) равномерно по координатам, и, слабо в пространстве Щ[0, ¿1] по скоростям.

3 Здесь и далее черта над функцией обозначает среднюю величину этой функции.

Доказательство. В силу непрерывности по £ и липшицевости по х правой части уравнения (1) решение, удовлетворяющее начальным условиям, существует на любом конечном отрезке времени [0,^], причем г/) принадлежит пространству гладких на этом отрезке функций, а ¿(¿,г/) — пространству ^[0,^] функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [0,^]. Заметим, что

сI

— (х - д1{х,гЛ)) = /о(М) + ^(х,^) - д2(х, гЛ)х. М

Тогда в новых переменных щ = х, и2 = х — д\(х, иЬ) исходные уравнения (1) примут вид

Г щ = и2 + д^Щ,^),

\«2 = /о(«1,£) + ¡1(111, М) - д2(щ, иЬ)(и2 +51(^1,^)).

Так как д(х,т) — периодическая функция с нулевым средним, то д\(х,т) периодическая с тем же периодом:

т т+Т т

д\(х,т + Т) = У д(х,9)й9 + J д(х,9)с!9 = ^д(х,9) с19 = д\(х,т). о г о

Будем считать, что среднее значение функции д\(х, т) равно нулю, поскольку этого можно добиться добавлением к ней некоторой функции, зависящей только от х. Тогда д2(х,т) также будет периодической функцией с нулевым средним.

Докажем теперь, что параметрическое семейство функций и\(1, г/), и2(Ь, г/), являющихся решениями уравнений (2) при различных значениях параметра V € [г/о, + оо), предкомпактно в пространстве С[0, ¿1] непрерывных на отрезке [0,^] функций.

Функция д(х,т) липшицева по х, значит, д\{х,т) также липшицева по х: ||(ж1, т) —^1(ж2,т)|| ^ Ь(т)\\х\ — х2\\ для любых х\,х2 € Мга, где

вир ,

ielo.ii] \

г=1

дд\(х, т)

Следовательно, д2(х,т) = -— ^ Ь(т). Кроме того, функции fl(ul,vt), <?1(«1, г^), д2(и\,и1)

ограничены по иЬ, так как непрерывны и периодичны по этому аргументу. Запишем уравнения (2) в интегральной форме:

г г

«1 = «1(0) + Ju2d9 + У д1{и\,и9)(19,

о о

11 г

и2 = и2(0) + У/о(«1,0) (19 + У /1(^1, ь>9) ^9 — £д2{и\,1>9)(и2+д1(и\,1>9))(19, оо о

где «1(0) = х0, и2(0) = х0 ~ д\{хо, 0).

Оценим норму вектора (и\ и2), составленного из 2п компонент рассматриваемых функций и\(1, и) и2(Ь, г/). В силу неравенства треугольника, липшицевости по и\ функций /1(11,1, иЬ) и д\{и\, ограниченности по и\ функции д2(и\, и ограниченности функций /1(11,1, <71 («1, иЬ) и д2(и\, по иЬ

имеем

г г

1К«1 и2)|| < N(0)11+ У \Ы\М + У \Ыиър9)\\(19+\\и2{Щ\ +

о о

+ У Шщ,в)\\(Ю + I \\/1(и1,ив)\\(Ш+ I \Ыи1,и9)(и2 + д1(и1,и9))\\с19 < 0 0 о

I I

< Со + !{С1\\и1\\ + С2\\и2\\)й9^ Со + У Сз||(«1 «2)|| <19, о о

13 ВМУ, математика, механика, № 5

где Со, С\, С*2 и Сз — некоторые константы. По лемме Гронуолла-Беллмана [10] отсюда следует,

\\(и1и2)Ы С0еСз\ ¿€[0^1].

Получаем, что все компоненты вектора (11,111,2), а значит, и функций 11,2^,и), равномерно

ограничены на отрезке [0,^] при V € [г/о, + оо).

Далее, в силу тех же свойств функций /1(^1, д^их,^) и <72(^1, и равномерной ограниченности решений и,2(Ь,1у) уравнений (2) производные этих решений также равномерно ограничены на отрезке [0,^]:

^Ы + Ши^иЩ,

< Н/оС^Н + 11/1(^1,^)11 + Н^г^ъ + д\(и1,и

^Ао + А! ^Во + Вг

или

+ Я2Ы,

где Ло, А2, Во, В\, В2 — некоторые константы. Если множество производных функций некоторого семейства равномерно ограничено, то по теореме Лагранжа о среднем значении само семейство функций равностепенно непрерывно: для любого е > 0 существует 5 > 0, такое, что из условия — ¿**|| < 6 вытекает неравенство ||«1(£*,1/) — щ^**, г/)|| < 5 для любого и € [г/о,+оо). Итак, множество решений {и\(1,и), 11,2^, у € [г/о,+оо)} уравнений (2) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на отрезке [0, ¿1], поэтому по теореме Арцела-Асколи [11] оно предкомпактно в пространстве С[0,^].

Продолжим доказательство утверждения 1. Возьмем произвольную последовательность значений частот, стремящуюся к бесконечности: ук —>■ +оо, к = 1, 2,.... Ей соответствует последовательность решений и\(1, ик), 11,2^,ик) уравнений (2). По определению предкомпактности из этих последовательностей функций можно выделить фундаментальные, а значит, сходящиеся (равномерно) к некоторым функциям всего банахового пространства С[0, ¿1] подпоследовательности

щ) «2(г, щ)

Докажем единственность этих предельных функций для всех подпоследовательностей. В уравнения, записанные в интегральной форме, подставим решения и\(1,ик), 11,2^, 1Ук). В каждый фиксированный момент времени £ € [0,^] имеем

I I

= т(0) + J и2(9,ик1)г19 + J д1(и1(в,1Ук1),1Укв) сШ,

о о

г г

= и2(0) + J /оСщ(9,ик),9) йв + ! ¡1(и1(0,ик1),икв) йв-о о

- Jд2(и1(е,ик),ике)(и2(9,ик) + д1(и1(е,ик),ике)) (Ш. о

Перейдем к пределу при г/к —>■ +оо. Покажем, что если Ь(и(1,ик), — произвольная непрерывная периодическая по второму аргументу функция, а и(Ь, ик) равномерно сходится к и(Ь) при 1>к +оо, то

J ]г(и(9, ик), ик 9) с19 ->• J ¡г(и(9), ь>к 9) й9, ь>к ->• +оо. о о

Для этого заметим, что

Ъ(и(9,ук),ук9)(19 - П1(и(г),икг)сЮ = / Ъ(и(9,ук),ук9)(19 -

г гг

- J Н(и(9), ик 9) + (У Ни(9),ик 9) (19 - J /&(«(*), ик *) .

Первая разность стремится к нулю в силу равномерной сходимости и(в,1Ук) к и(0), а вторая — в силу равенства

J к{и{0), 1Ук в) <10 = г) + J Ь(и(в),1Ук 0) М,

о г*

т т

где = п—, п € М, Н- Л ^ —. "к

Поэтому в рассматриваемых интегральных уравнениях при г/&г —> + оо I I

о о

I I

] Н{иг{0,щ),щ0) <10 у ДЫ^гД)^, о о

а 1о 91(и1(@> ^ь), <10 и /о $2(«1(0, «2(0, <10 стремятся к нулю, так как д1 и д2 — пе-

риодические по вторым аргументам функции с нулевыми средними. Слагаемые ^ и2(0, и^) с№ и

/о /о(щ(0, г/^), 0) <10 сходятся соответственно к и2{0) (10 и /о(и\(0), 0) (10 ввиду равномерной сходимости функций и 1 и и2.

Таким образом, получаем, что пределы и\(1) и и2(Ь) функций и\(1, г/д.;) и и2(Ь, г/д.;) удовлетворяют не зависящим от г/ предельным уравнениям в интегральной форме:

ь

«!(*) =щ(0) + J и2(0)(10,

о

I

и2(г)=и2(0) + у ¡оЫ0),0)(10 + у /!(«!(*),!/*)£$-! д^иг^^^д^иг^),^)^.

ООО

Это и доказывает, что все подпоследовательности и 1(£, г/&г), «2(^^г) сходятся к одному и тому же пределу, а значит, к этому пределу сходятся и сами функции и\(1, г/), и2(Ь, г/) при г/ —>■ + оо. Продифференцируем по времени £ полученные уравнения:

Г «1 = «2,

{ _ __(з)

[и2 = ¡о(иг,0) + /!(«!,г/£) -^(«ь(«ь

Сделав замену «1 = х и перейдя обратно к уравнениям второго порядка, получим предельные дифференциальные уравнения, соответствующие исходным уравнениям (1):

х = /оЫ, г) + /1(-иь г4) - (д2(иг, г4),#1(«1, г/£)). (4)

Из равенства ж = и\ сразу следует, что решения уравнений (1) равномерно сходятся

к решениям предельных уравнений (4), т.е. сходимость по координатам равномерная. Скорости х(1, и) = и2{1, г/) + <71 (х, г4), поэтому

¿1 ¿1 ¿1

У ¿(0, и) Н(в) (10 = ! и2(0, и) Н(в) (10+1 дг(х, иО) Н(в) (10 € 0, ¿1],

ООО

но /д*1 <71 (ж, г/0) Н(0) (10 —> 0 при г/ —>■ +оо, так как <71 — периодическая по второму аргументу функция с нулевым средним. Следовательно, х(0, г/) Н(в) (10 -»• /о1 и2{0)Н{0)(10, что и означает по определению слабую сходимость в пространстве ^[0,^] функции х(Ь, г/) к предельной функции и2(Ь), которая в силу первого уравнения системы (3) равна функции х(Ь), являющейся производной

координат решения предельных уравнений (3). Таким образом, сходимость но скоростям слабая. Утверждение 1 доказано.

Замечание. Условие лишшщевоети но х правой части уравнения (1) в формулировке утверждения 1 можно заменить условиями существования при фиксированных начальных условиях решения этих уравнений на каком-то отрезке времени [0, ¿i] и равномерной охраниченности но v на том же отрезке решений u\(t,v), u-2{t,v) уравнений (2). Тогда доказанные сходимости будут иметь место на отрезке [0,¿i].

3. Маятник Уатта. Рассмотрим в качестве примера движение маятника Уатта (рис. 1), который моделируется следующим образом. В однородном ноле тяжести g с постоянной угловой скоростью со вращается вертикальная плоскость вокруг фиксированной вертикальной оси, лежащей в этой плоскости. В плоскости но окружности радиуса I с центром на оси вращения, не испытывая сопротивления, движется материальная точка массы т. Положение точки определяется углом 9, который отсчитывается от нижнего положения. Предполагается, что центр окружности совершает

вертикальные вибрации по закону г = — sin vt, где А = const ~ 1, а частота v —> оо.

Запишем уравнение Ланранинп

А О Q

9 = — V sin 9 sin vt + и? sin 29 — - sin 9,

где g |g|. Предельные уравнения найдем по формуле

щ = U2,

А2

й,2 = sin2tíi — у sin г/4 — —j sin г/4 cosííi.

Значит,

Рис. 1. Маятник Уатта

А2

4Р

9= оГ - — sin20- Tsintf

9

Отсюда видно, что влияние быстрой вибрации на движение маятника может полностью скомпенсировать вращение плоскости, поэтому уравнение движения такого маятника (в координатах вращающейся плоскости) совпадет с уравнением движения обычного математического маятника.

Исследуем существование и устойчивость положений равновесия этого предельного уравнения. Заметим, что здесь и в последующих примерах выводы об устойчивости делаются для решений предельной системы. Но они верны и для решений исходной (конечной) системы, так как предельная система совпадает с системой, полученной обычным методом усреднения, и для подтверждения вывода об устойчивости можно использовать теоремы Банфи и Филатова (см. |8, 9|).

Обозначим у

А2

В > 0, ш2 — —j = С, причем С может иметь любой знак. Получим

9= -В sin 9 + С sin 29.

С

Потенциальная энергия V = —В cos 9 + — cos 20. Найдем ее критические точки:

ду_

89

= В sin 9 - С sin 29 = sin 9(В - 2С cos 9) = 0.

Если С = 0, то маятник Уатта ведет себя как обычный математический маятник, т.е. 9 = 0 устойчивое положение равновесия, а 9 = тт неустойчивое.

Пусть теперь С ^ 0. Если В = 2С > 0, или В = —2С > 0, или положение равновесия, а 9 = тт неустойчивое.

В

2 С

> 1, то 9 = 0

устойчивое

Если же

В

2 С

, в

± arceos —.

ZLj

неустойчивые, а 9 = тт

< 1, то появляются дополнительные положения равновесия

Если С < 0, то 9 = 0 устойчивое положение равновесия, 9 = 9* устойчивое. Если С > 0, то, наоборот, 9 = 0 неустойчивое положение равновесия, 9 = 9* устойчивые, а 9 = тт неустойчивое.

4. Математический маятник в колеблющейся плоскости. В неподвижной вертикальной плоскости П (рис. 2) расположена гладкая окружность радиуса а с центром в точке О. По

окружности может двигаться материальная точка массы т в ноле силы тяжести. Такая система представляет собой математический маятник. Положение точки на окружности определяется углом 0, который отечитываетея от нижнего положения. К плоскости П в точке О жестко прикреплен стержень длины I, составляющий с этой плоскостью угол а. Другой конец стержня кренится к неподвижной точке шаровому шарниру 0\. Окружность вместе со стержнем образует твердое тело с неподвижной точкой 0\. Введем подвижную систему координат 0\Xiy\Zi с началом в неподвижной точке 0\, ось 0\Z\ вертикальна, а ось О\Х\ направим горизонтально в плоскости вертикали и стержня. Угол поворота системы вокруг 0\Z\ обозначим через ф. Увеличение угла соответствует повороту против часовой стрелки (если смотреть от точки 0\ вверх вдоль оси 0\Z\). Пусть тело вращается в этой подвижной системе вокруг оси 0\у\, обозначим угол поворота через (р ((р = 0 соответствует горизонтальному положению стержня, увеличение угла соответствует повороту против часовой стрелки, если смотреть от точки 0\ вдоль оси Oiyi). Таким образом, положение материальной точки в пространстве задается тремя

углами <р, ф и 0. Зададим закон изменения углов <р и ф: <p(t) = —sin vt,

ip(t) = —cos(vt + 8). Итак, мы получили механическую систему с одной

степенью свободы, которую можно назвать математическим маятником в колеблющейся плоскости. Будем использовать угол 9 как обобщенную координату в этой системе. Запишем функцию Лагранжа, отбросив слагаемые, которые зависят только от t, поскольку они не влияют на уравнения движения точки:

Рис. 2. Математический маятник

L = у (а292 + а2ф2{sin2 9 + cos2 0 cos2 (<р + а) + а2ф2 cos2 9) + т{а29ф cos{p + а) +

+ а2фф cos 9 sin 9 sin(y? + а) — а19ф cos 9 cos <р — а1ф2 cos <р cos 9 cos(<р + а) + а19ф sin a sin 9 — — alp2 cos a cos 9 — а,1фф sin 9 sin ip) + тда cos 9 sin(y? + a). Уравнение Лагранжа выглядит следующим образом:

.... . i .. 21 I

9 = —ф cos (о? + а) + 2фф cos2 9 Н— ф cos 9 cos <р--фф cos 9 sin <р--ф sin a sin 9 +

а а а

• 2 2 о / «2 ^ 2 ^

+ ф sin 9 cos 9 sin (ip + a) — ф cos0sin0 + -0 cos t£>sin0cos(t£> + a:) + - ф cos a sin 0--sin0sin((^ + o;).

cl a cl

В обозначениях доказанных утверждений х = 0,

21

/o(0,í) = O, /i(0, vt) = 2фф cos 0--- фф cos 9 sin <p + ф sin 0 cos 0 sin (<p + a) — ф cos 0 sin 0 +

l ■ l g

H— ф2 cos y? sin 9cos(ip + a) H— ф2 cos a sin 0--sin0sin(t£> + a),

B2

A2

9 .

fi(9, vt) = — AB eos 0sin¿H--sin a sin 0 eos 0--sin0cos0H--(A + Б ) eos a: sin 0--sin 0 sin a,

2 2 2a a

vg(9, vt) = —ф cos (y? + a) + — ф cos 0 cos (p — — ф sin a sin 0.

Функции cos íp и cos(y? + a:) это также функции времени. Но при v —> оо они равномерно сходятся к 1 и cosa соответственно. Нетрудно показать, что если мы сразу еще до вычисления g\(x,vt) и д2{х, vt) заменим эти функции на их пределы, то это не скажется на результате:

<7i (0, vt) = В sin {vt + ó) ( cos a — — cos 0 j — — A cos vt sin a sin 0,

q2(9, vt) = — В sin (vt + 6) sin 9 — — A cos vt sin a cos 0. a a

Подставив эти функции в общую формулу, осреднив и сгруппировав слагаемые, получим предельное уравнение:

я (1А2 д . \ . Л МБ sin ¿sin 2а . sin 20 (I2 . л2 ,2 . 2 . .л2 . 2 ,2Л 9 = -cos а - - sin a sin 64----cos 64---— (Б — A2 sm2 а) + (В2 sm2 а - А2) -

2а а / 4а 4 V а

cos 29 { лг, . , I2 . „ . r . \ АВ siná

ЛБ sin <Н—2 ав sin о sm ol j----. (5)

а

Выясним, как следует подобрать параметры, чтобы вибрация не влияла на движение системы. Для простоты считаем, что стержень перпендикулярен плоскости = — а вибрация такова, что

sin 29 ( I2 \

5 = 0. Тогда добавочное слагаемое —-— ( — — 1 j (Б2 — Л2) обращается в нуль в двух случаях:

либо вибрация происходит с одинаковой амплитудой (Б = Л), либо длина стержня равна диаметру окружности, по которой движется материальная точка (I = а).

Исследуем положения равновесия предельного уравнения (5), которое для удобства можно записать в форме

9 = fi sin 9 + /2 cos 9 + /3 sin 29 + /4 cos 29 + /5. dVi

Это уравнение Лагранжа 9 = ———, в котором потенциальная энергия V\ имеет вид

о9

Vi = fi cos 9 - /2 sin 9 + у cos 29 - ^ sin 29 - f59,

где

I A2 q . , IAB sin 5 sin 2a , 1 fl2 /rt? ,9 . ? ч ,„9 . о

/1 =-cos a - - sin a, f2 =-, /3 = - ~^(B2 - A2 sm2 a) + (Б2 sm2 a - A2)

2a a 4a 4 \az

ABsinó f I2 \ AB sinS

/4 =--^^^«J' h =--—•

Положения равновесия — это критические точки потенциальной энергии, т.е. точки, в которых V/ = 0. Для их устойчивости достаточно, чтобы значение выражения V" было положительным, а если оно отрицательно, то положение равновесия неустойчиво.

5. Уравнения первого порядка. Твердое тело с неподвижной точкой.

Утверждение 2. Рассмотрим систему следующего вида:

(х = fi(x,y,t) + vg(y,vt), < (6)

[у = /2 (х,У),

х € Rn, у € Rm, функции g, f\ и /2 непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по переменным х и у, функция g периодична по второму аргументу и имеет нулевое среднее значение.

При произвольных фиксированных начальных условиях на заданном, конечном интервале времени [0, ¿i] в случае стремления частоты колебаний к бесконечности (и —> оо) решения уравнений (6) сходятся, к решениям некоторых предельных уравнений, равномерно по переменной у и слабо в простра, нет ее L2[0,t\] по х.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого (здесь х выступает в качестве скорости).

Найдем явный вид предельных уравнений. Обозначим

г

9i(y, г) = Jg(y, 9) dd, g2(y, т) =

dgi{y,r)

ду о

Получаем

d

-gi{y,vt)) = fi{x,y) - (y,g2{y,vt)).

Введем новые переменные: и\ = х — д\{у, тЛ), и2 = у• Запишем уравнения в этих переменных:

{иг = ¡1{и1 + 91(и2,^),и2,1) - (/2(«1 + д1(и2,^),и2),д2(и2,^)), \й2 = /2(^1 + дг(и2, иЬ),и2).

Введем еще одну переменную зд = / щсИ. Тогда щ сходится слабо, а % и (¡2 ~ равномерно. Предельные уравнения имеют вид

щ = иг,

úi = fi(ui,u2,t) - f2(ui + gi(u2, vt),u2)g2(u2,vt), ü2 = f2(ui,u2).

Уравнениями рассмотренного выше вида описывается движение твердого тела в поле тяжести с быстровибрирующей в вертикальном направлении точкой подвеса. Считаем х = из, у = -у. Введем обозначения: J = diag (1\, 12, /3) — тензор инерции твердого тела в главных осях; из — вектор угловой скорости в главных осях, 7 — вектор вертикали в главных осях; g — ускорение свободного падения; rc = (¿i, l2, h) — радиус-вектор центра масс тела относительно неподвижной точки; А — константа, определяющая амплитуду вибраций. Тогда движение описывается уравнениями

{Jüj + из х Лиз = —т(д — Av sin vt) rc х 7, 7 + из х 7 = 0.

В качестве примера рассмотрим волчок Лагранжа: J = diag (В, В, С), гс = (0,0,1). Имеем

{из = Ф(ш) — J~1mgrc х 7 + J~l Аь> sinvt rc x 7, 7 = — из x 7.

Так как g(-y,ut) = J_1Asinz/trc x 7, то $1(7,z/¿) = — J~lAvc x 7 eos vt, a

/72W3 - 73W2\

/2 = 7 x Ui

73Wi - 71W3 \7i^2 - 72^1/

где üJí = ojí — [J~1Ayc, x 7cosut]i, rc x 7 = | ¿71 | . Далее,

0

-92 =

9g 1 97

(—— (J ire X 7COSÍ/í)\

971 d

—— (J~1Ayc x -feosvt) 9ъ

d

Видно, что добавочная часть складывается из трех векторов

I о \

АН2 717з

V

2 В2 0 )

( А212727З \

V

2 В2 0

0

/

Умножим первое предельное уравнение системы на 3, второе уравнение оставим как есть:

JÜ3 + из х Ju3 = — т gre х 7 +

( A2¿27273\ 2 В

А212ЪЪ

2 В 0

7 + из х 7 = 0.

Уравнения совпадают с полученными ранее при рассмотрении частного случая. Выведем теперь предельные уравнения общего вида для твердого тела с быстровибрирующей в вертикальном направлении точкой подвеса. Имеем

гс х 7

/¿27з - къ\

¿371 - ¿17з Vi72 - ¿271/

— [<?2]l = A cos vt

( 0 \

¿3 h ¿2

\h)

-[92h = A cos vt

( ¿з\

~h 0

h

\h )

-[92] 3 = Acosvt

( ¿2 \ h h

\ 0 )

/2 = 7 X Ui

/ А \

f 72W3 - 73W2 + — cos ^(-¿1(72 + 7з) + (¿272 + ¿373)71) 1 -il

73W1 - 71 w3 + — cos vt{-l2{-)l + 7з) + (¿171 + ¿373)72) J-2

А

^71^2 - 72^1 + — cos Vt(-l3(jf + 72) + (¿171 + ¿272)73)у

Поэтому

/I2 -h

If

А2 k-h

2 '—1 to to

h~h

\ n

Hl (72 + 7з) + (¿272 + ¿373)71)

-(¡2,92) =

Предельные уравнения имеют вид

J Со + ш х Ju; = —m grc х 7 +

(-¿3(7? + 7г) + (¿171 + ¿272)73)

(A2(l2 - ¿3)

2/1

A2 (h - ¿1)

2/2

A2 (¿1 - ¿2)

V 2/3

Hl (72 + 7з) + (¿272 + ¿373)71) (-¿2(7? + 7з) + (¿171 + ¿373)72) (-¿з(71 + 72) + (¿171 + ¿272)73)

/

7 + а; х 7 = 0.

Они являются частным случаем уравнений, полученных в [5]. Вибрация не будет влиять на движение системы, если ¿1 = ¿2 = ¿з (для частного случая волчка Лагранжа 1 = 0).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 12-08-00591.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боголюбов H.H., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.

2. Stephenson A. On a new type of dynamical stability // Mem. and Proc. Manchester Literary and Phil. Soc. Part 2. 1908. 52, N 8. 1-10.

3. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физ. наук. 1951. 44, вып. 1. 7-20.

4. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журн. эксперим. и теор. физ. 1951. 21, вып. 5. 588-597.

5. Маркеев А.П. К теории движения твердого тела с вибрирующим подвесом // Докл. РАН. 2009. 427, № 6. 771-775.

6. Bornemann F. А., Schutte С. Homogenization of Hamiltonian systems with a strong constraining potential // Physica D. 1997. 102. 55-57.

7. Кугушев Е.И., Сабитов Д. И. О плоских тонких упругих стержнях с быстроменяющимися периодическими характеристиками // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 4. 42-48.

8. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.

9. Филатов А.И. Методы усреднения в дифференциальных и интегродифференциальных уравнениях. Ташкент: ФАН, 1971.

10. Сергеев И.Н. Лекции по дифференциальным уравнениям. I семестр. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2004.

11. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

Поступила в редакцию 21.03.2014