CC BY
18УДК 576/8
Vladislav A. Kholodnov1, Marina Yu. Lebedeva2, Andrey V. Gaykov1, Sergey L. Chulin3
REDUCTION OF THE OPTIMAL SETTINGS SEARCH METHOD OF PID CONTROLLER FOR OPERATIONAL CONTROL OF TECHNICAL OBJECTS
1 Saint-Petersburg State Institute of Technology, St Petersburg, Russia
2National Research University "Moscow Power Engineering Institute" in Smolensk, Smolensk, Russia 3Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University, Graduate School of Cyber-Physical Systems and Control, St Petersburg, Russia, holodnow@yandex.ru
A mathematical method of reduction of optimization parameters is proposed to find the optimal settings of the PID controller. The proposed method is implemented in the Mathcad program, examples of its use for two technical objects are illustrated when a set of controller settings is found to achieve optimal quality of the control process. The first object is a computer model of the process of regulating the liquid level in the tank. The second is a computer model of the temperature control process in the tank using a PID controller.
The proposed method and algorithm of the solution can be implemented using both licensed and free software.
Keywords: optimization, Mathcad, PID controller, optimal settings, reduction of optimization parameters, software, technical objects.
001: 10.36807/1998-9849-2021-59-85-121-126
Введение
При проектировании и описании работы технического объекта используется множество видов математических моделей в зависимости от уровня иерархии системы, степени декомпозиции системы, аспекта, стадии и этапа изучения.
Объектом исследования в настоящей статье является математическая модель технологического процесса, описываемая системой дифференциальных уравнений вида:
Холоднов В.А.1, Лебедева М.Ю.2, Гайков A.B.1,
Чулин С.Л.3
РЕДУКЦИЯ МЕТОДА ПОИСКА ОПТИМАЛЬНЫХ НАСТРОЕК
ПИД-РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ
ОПЕРАТИВНОГО
УПРАВЛЕНИЯ
ТЕХНИЧЕСКИМИ
ОБЪЕКТАМИ
1 Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Санкт-Петербург, Россия
2Филиал «Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске, Смоленск, Россия 3Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Высшая школа киберфизических систем и управления, Санкт-Петербург, Россия holodnow@yandex.ru
Предлагается математический метод редукции параметров оптимизации для поиска оптимальных настроек ПИД-регулятора. Предложенный метод реализован в программе Mathcad, проиллюстрированы примеры его использования для двух технических объектов, когда находится набор параметров настройки регуляторов для достижения оптимального качества процесса управления. Первый объект - компьютерная модель процесса регулирования уровня жидкости в ёмкости. Второй - компьютерная модель процесса регулирования температуры в емкости с использованием ПИД-регулятора.
Предложенный метод и алгоритм решения могут быть реализованы с использованием как лицензионного, так и свободного программного обеспечения.
Ключевые слова: оптимизация, Mathcad, ПИД-регулятор, оптимальные настройки, редукция параметров оптимизации, программное обеспечение, технические объекты.
Дата поступления -16 апреля 2021 года
[¿у,
-¿Г = Я)'1 .у2.....Уп.Щ.Щ. -Н*)
(1у2
^ -¡¿~= КУг.Уг.....уп,и1,и2,...ик~)
(1у„
= /(У1.У2.....у„. м1,иг,...мк)
где ,у2, ...уп - /жерный вектор переменных, характеризующих состояние системы; щ_,иг, ...ик - Аг-мерный вектор переменных, характеризующих управляющее воздействие.
Управляющие воздействия в технических системах реализуются на основе регуляторов. Традиционным типом применяемых в промышленности регуляторов в системах управления считаются ПИД-
регуляторы. При оценке качества регулирования, как правило, используется одна из оценок [2, 3]:
- линеиная интегральная оценка ¡1 = ,|0 е(0,
- квадратичная интегральная оценка
Ь = со,
где £ - отклонение регулируемой величины от заданного значения.
Качество регулирования зависит от коэффициентов регулятора: коэффициента пропорциональности Кр, времени изодрома т1 и времени предварения т2.
Постановка и метод решения
задачи
Математическая постановка задачи определения оптимальных настроек регулятора для технического объекта может быть сформулирована следующим
образом:
найти Г = агдтт.Крт1т21{Кр,т1,т2).
Решение задачи по определению оптимальных настроек до сих пор является актуальной.
В работе предложен способ, где настройка регуляторов вычисляются с применением разработанного алгоритма [5, 6]. Рассмотрим предлагаемый способ вычисления параметров настройки ПИД-регулятора на примерах технических объектов различной сложности [1].
Традиционный метод решения таких задач предполагает в соответствии с определенным методом пошаговое изменение параметров оптимизации. При этом на каждом шаге оптимизации решается система дифференциальных уравнений.
Для решения такого рода задач оптимизации, связанных с решением на каждом шаге оптимизации систем дифференциальных уравнений, нами предлагается следующий оригинальный метод-редукция параметров оптимизации. В объект оптимизации - систему дифференциальных уравнений добавляются дифференциальные уравнения по /ой переменной оптимизации и, в виде: сЬ^/сИ = 0. Начальные условия для переменной изменяются на каждом шаге оптимизации,
что позволяет существенно упростить решение задачи оптимизации.
Приведем использование метода на двух примерах .
Объект управления 1. Процесс регулирования уровня жидкости в ёмкости. Постановка задачи. Для исследуемой системы необходимо найти такие значения параметров настройки ПИД-регулятора (коэффициент пропорциональности - Кр и время изодрома - т), при которых критерий качества регулирования минимальный.
На рис. 1 представлена принципиальная схема регулирования уровня жидкости в ёмкости [4].
-<&
Регулирование уровня жидкости в емкости осуществляется по принципу отклонения регулируемой величины от заданного значения. Уровень жидкости в ёмкости 2 поддерживается на заданном значении регулированием входного потока в ёмкость 1. Ёмкость 2 представляет звено запаздывания в системе. Задача регулятора заключается в том, чтобы сохранять заданный уровень жидкости в ёмкости 2, несмотря на возмущения, которые вносятся потоком /3.
Уравнения математического описания объекта управления при постоянной плотности можно записать в следующем виде:
(1)
для ёмкости 1: А1 = F„ - Flr
для ёмкости 2: А-
dh2 dt
= Fi + F3
(2)
виде:
Уравнения расходов через вентили задаются в
Fi = *iFi = (3)
Возмущения, которые происходят в потоке F3, моделируем в виде импульсного возмущения, показанного в протоколе решения задачи (см. рис. 2).
Задание исходных данных Конечное время пронесен регулирования tk :- 200 Число частей разбиения по времени ]Ч 5000 Hset - 2 kl - 0.5 k2 - 1.2 al - 4 а2 := i
Задание исходной точки поиска Кр :- .8 пропорциональная составляющая т := 0+060 интегральная составляющая F0 - 2
Регулирование уровня в системе дз 2-х емкостей с помощью ПИ-регулятора
О 0
F0 0 .2 0.02
Задание начальных условий
xl-уровень в 'ёмкости 1 х2-уровень в ёмкости 2 хЗ-уирявляюшее воздействие х4-качество регулирования х5 - начальное приближение для Кр хб-начальное приближение для т
Г(|) - 0.5 ¡Г 40 < t < 50 0 otherwise
Возмущение
Г(0
0.4
0.30.20.1
Рис. 1. Принципиальная схема регулирования уровня жидкости в ёмкости: 1 - емкость 1; 2- емкость 2;
О 40 80 120 1«0 200 г
Рис. 2. Задание исходных данных. Программа для вычисления качества регулирования
Для управления процессами в технике часто используется ПИд-регуляторы. Они устанавливаются в системы с автоматическим управлением и поддерживают на определенном уровне значение определенного параметра. Чтобы настроить ПИД-регулятор, необходимо подобрать правильную комбинацию трёх коэффициентов: пропорционального, интегрального и дифференциального. Чем больше пропорциональный коэффициент, тем выше быстродействие, однако меньше запас устойчивости.
Интегральная составляющая ПИД-регулятора позволяет избавиться от статической (установившейся) ошибки, однако, чем больше интегральный коэффициент, тем больше перерегулирование (динамическая ошибка).
Дифференциальная составляющая противодействует предполагаемым отклонениям регулируемой величины, которые могут произойти в будущем.
Для управления рассматриваемым объектом воспользуемся ПИД-регулятором. Уравнение пропорционально-интегрального регулятора представим в следующем виде:
- h2 )dl.
К. г т ]0
Критерий качества регулирования по отклонению регулируемой величины от заданного значения запишем в виде квадратичного интегрального выражения:
В табл. 1 представлена спецификация принятых в задаче обозначений и их размерность.
Табл. 1 Спецификация принятых обозначений и
Обозначения Наименование Размерность
a a Площади поперечного сечения емкостей м22
F Расход соответствующего потока, / = 1, 2, 3 м3/с
h Уровень жидкости в соответствующей ёмкости, ] = 1, 2 м
ki, k2 Коэффициенты, характеризующие пропускную способность вентилей емкостей м2/с
Кр Пропорциональная составляющая регулятора -
т Время изодрома с
АМР Амплитуда -
Hset Заданное значение уровня во второй емкости Ь2, который нужно поддерживать постоянным м
В соответствии с предлагаемым методом решения задачи математическое описание процесса регулирования уровня жидкости в ёмкости представим в виде системы дифференциальных уравнений:
F0
Начальные условия при £ = 0: /71 = 0, = 0, 0.2, <?= 0, Кр = КР0, г = т0.
Третье уравнение системы представляет собой уравнение для ПИД- регулятора, записанное в виде дифференциального уравнения. Четвертое уравнение системы характеризует качество управления, пятое и шестое уравнения добавлены в систему в соответствии с предлагаемым методом нахождения оптимальных настроек регулятора. Начальные приближения для параметров оптимизации: КР0, г0.
В общем случае при реализации предлагаемого метода качество управления можно характеризовать компромиссным критерием, учитывающим квадратичное относительное отклонение регулируемой
величины от заданного значения и ограничение по величине управляющего воздействия.
На рис. 3 представлены результаты моделирования процесса управления уровнем жидкости в емкости при оптимальных настройках регулятора.
я1
и^/ч + гю-ю-^
Xfi (Hset-si)
D(t,i) := _ kl-^- f(t) - k2 ^
(Hset-x2)2 0 0
Обращение к процедуре решения свете» дифференциальных уравнении Z := ikflietl(i.0.1k.N.Di Результаты моделирования
■(2) и, ._ ^З) ™ ,<")
t := Z1' Ы := Zw Ь2 := Z"' Ш,'= z
ОБРАЩЕНИЕ К ПРОЦЕДУРЕ ОПТ1ППП ,ТППТ CTOL = [1.(1111
I := Z
■<5>
TOL:= 0.001
ОРТ(Кр . т) := хО <
1О5 — Кр i06<- т
Z ^ AdaiusBDFfiO. 0, Ik. N. D)
Q <- 5
OPTi Кр , т) = 68.138
Рис. 3. Решение задачи оптимизации в программе Mathcad
На рис. 4 представлено решение задачи оптимизации в программе Mathcad с использованием функции Minimize.
Рис, 4, Результаты моделирования процесса оптимального управления
Как видно из результатов моделирования, значение критерия качества составляет 59.723, при значениях коэффициента пропорциональности, равного 1.5 и времени изодрома - 0.079 с.
На рис. 4 сплошная кривая соответствует результатам оптимального режима, штрих-пунктирная характеризует неоптимальный режим.
Объект управления 2. Процесс регулирования температуры в емкости на основе ПИД-регулятора. Постановка задачи. Для исследуемой системы необходимо найти такие значения параметров настройки ПИД-регулятора (коэффициент пропорциональности - Кр , время изодрома - т1; время предварения -г2), при которых критерий качества регулирования минимальный.
Представим задачу об определении оптимальных настроек ПИД-регулятора для минимизации критерия качества управления следующим образом: Qval = i*(Tz — Гд)2 dt.
В примере рассматривается задача определения оптимальных настроек ПИД- регулятора температуры в емкости с использованием нагревателя.
На рис. 5 представлена принципиальная схема регулирования температуры жидкости в ёмкости.
Рис. 5. Принципиальная схема управления температурой жидкости в ёмкости Математическое описание теплового баланса для ёмкости имеет вид:
где Q - теплота, поступающая от нагревателя.
Уравнение для ПИД-регулятора, работающего по принципу отклонения регулируемой величины от заданного значения, может быть представлено в следующем виде:
где ошибка регулирования определяется по формуле:
Уравнение для регулятора представим в виде дифференциального уравнения :
dQ ds 1 d2s
или
rit
dQ
rîs
— = Кр— H--£ + T7
rît
rit2
d2TR dt2
с соответствующим начальным условием при г = 0:
Критерий качества регулирования по отклонению регулируемой величины от заданного значения запишем в следующем виде:
В табл. 2 представлена спецификация принятых в задаче обозначений и их размерность.
Табл. 2. Спецификация принятых обозначений и их размерность
Обозначения Наименование Размерность
Qval Параметр, характеризующий качество регулирования -
Tr Температура в ёмкости °С
Q Количество теплоты, подаваемой в реактор (управляющее воздействие) Кдж
Т0 Температура входного потока Т0 °С
V Объем ёмкости м3
P Плотность жидкости кг/м3
Кр Пропорциональная составляющая регулятора -
ч Время изодрома ч
т2 Время предварения ч
т 1 Z Заданное значение температуры в емкости °С
w Объемный расход поступающей жидкости мэ/час
cp Теплоёмкость кДж/кг/°С
Математическое описание объекта представим
в следующем виде
(dTR w
~dt=v'(T°~
Trî + V-p cp
dQ dT„ 1
т0 - m
dQval Л = lJ''
d2TR dt2
- TRf
Начальные условия при t = О :
Q = Qo, Tr = TR.0l Qval=0.
С учетом того, что '
--.11——11 полу-
V dt V-p-cp dt '
чим:
После преобразования эти уравнения можно записать в виде следующей системы дифференциаль-
ных уравнении:
idT„ w
At - u l.T0 TR) + ,
(1 +
То = m
dQval
= (t,-Tr)1
dKp
dz1 ~dt dr2 ~dt
V ■ p cp
= 0 = 0 = 0
Начальные условия при г = 0: Тя = 20, <3=5, (}уа1 = 0.
Пятое, шестое и седьмое уравнения добавлены в систему в соответствии с предлагаемым нами методом [5, 6] нахождения оптимальных настроек
ПИД-регулятора. Начальные приближения для параметров оптимизации: КРО, г 10, г20.
На рис. 6-8 представлены результаты моделирования процесса управления уровня в емкости при оптимальных настройках регулятора.
Регулирование температуры жидкости в ёмкости Задание исходных данных р := 1 ср := 1 V, := 2 := 5 тт := .1 Т?е» := 80 N := 10000 Задание параметров настройки ПИД- регулятора т1 := 6 т2 := 5 Кр := 5 1к := 50
Задание возмущения по температуре входного потока
Т0ф := 20■( 1 + 0.02^а^тг--^^ Входная температура
10 20 30 40 50
Задание начальных условий
О
КР
Интегрирование системы диффферевпиальных уравнений
:(Т0(Ц-ЧЦ
V р ср I I !"
Ъ := НкпЬрКг,0.50.14.01
Рис. 6 Листинг программы поиска оптимальных настроек регулятора (начало)
Рис. 7 Листинг программы поиска оптимальных настроек регулятора (продолжение)
Рис. 8 Результаты поиска оптимальных настроек ПИД-регулятора
Как видно из результатов моделирования, представленных на рис. 6-8 значение критерия качества составляет 2461, что существенно меньше, чем при неоптимальном режиме - 40760, при значениях
коэффициента пропорциональности равном 6.397, времени изодрома - 3.55110-7 с. и времени предварения - 5.0290.
Выводы
Предложенный математический метод, алгоритмы решения задач и результаты решения задач, полученные на основе программирования в среде Mathcad, могут быть использованы при решении аналогичных для технических объектов различной природы.
Разработанный математический метод предлагает пользователю простой инструмент, который может быть реализован с использованием как лицензионного, так и свободного программного обеспечения, и позволяет решать задачу идентификации оптимальных параметров ПИД-регуляторов.
Литература
1. Snape J.B., Dunn IJ, Inghiam J, Prenosil J.E. Dynamics of environmental bioprocesses. Weinheim: VCH, 1995, 492 p.
2. Полоцкий Л.И., Лапшенков Г.И. Теория, расчет и проектирование систем автоматизации. М.: Химия, 1982. серия «Автоматизация химических производств». 296 с.
3. Gickman S, Kulessky R, Nudelman G. Identification-based PID control tuning for power station processes // IEEE Trans. on Control System Technology. 2004. Vol. 12. No. 1. P. 123-132.
4. Холоднов В.А, Решетиловский В.П, Лебедева М. Ю, Боровинская Е.С. Системный анализ и принятие решений. Математическое моделирование и оптимизация объектов химической технологии в Mathcad и Excel. СПб.: СПГТИ (ТУ), 2007. 433 с.
5. Холоднов В.А, Краснобородько Д.А., Кули-шенко РЮ, Лебедева М.Ю. Новый метод идентификации моделей сложных химических реакций // Известия СПбГТИ(ТУ).2020. № 55(81) С. 91-96.
6. Холоднов В.А., Краснобородько Д. А,, Кули-шенко Р. Ю, Чулин С.Л.
Компьютерное моделирование оптимального оперативного управления пуском и работой каскада реакторов // Известия СПбГТИ (ТУ). 2021. № 56(82). С. 96-100.
References
1 Snape J.B, Dunn I.J, Ingham J, Prenosil J.E. Dynamics of environmental bioprocesses. Weinheim: VCH, 1995, 492 p.
2. Polockij L.I., Lapshenkov G.I. Teoriya, raschet i proektirovanie sistem avtomatizacii. M.: Himiya, 1982. seriya «Avtomatizaciya himicheskih proizvodstv». 296 s.
3. Giickman S., Kulessky R, Nudelman G. Identification-based PID control tuning for power station processes // IEEE Trans. on Control System Technology. 2004. Vol. 12. No. 1. P. 123-132.
4. Kholodnov V.A, ReshetHovskij V.P, Lebedeva M. Yu, Borovinskaya E.S. Sistemnyj analiz i prinyatie reshenij. Matematicheskoe modelirovanie i optimizaciya ob"ektov himicheskoj tekhnologii v Mathcad i Excel. SPb.: SPGTI (TU), 2007. 433 s.
5. Kholodnov V.A., Krasnoborod'ko D.A, Kul-ishenko R.YU, Lebedeva M.Yu. Novyj metod identifikacii modelej slozhnyh himicheskih reakcij // Izvestiya SPbGTI(TU).2020. № 55(81) S. 91-96.
6. Kholodnov V.A., Krasnoborod'ko D. A, Kul-ishenko R. YU., Chuiin S.L. Komp'yuternoe modelirovanie optimal'nogo operativnogo upravleniya puskom i rabotoj kaskada reaktorov // Izvestiya SPbGTI (TU). 2021. № 56(82). S. 96-100.
Сведения об авторах
Холоднов Владислав Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, каф. системного анализа; Vladislav A. Kholodnov, Dr Sci. (Eng.), Professor, Department of Systems Analysis holodnow@yandex.ru
Лебедева Марина Юрьевна, канд. техн. наук, доцент каф. информационных технологий в экономике и управлении; Marina Yu. Lebedeva, Ph.D. (Eng.), Assistant Professor, Department of management and information technology in the economy, marilieb@yandex.ru
Гайков Андрей Владимирович, канд. техн. наук, доцент кафедры/ системного анализа и информационных технологий; Andrei V. Gaikov, Ph.D. (Eng.), Associate Professor of the Department of System Analysis and Information Technology, av489@yandex.ru ORCID 0000-0002-7989-3096
Чулин Сергей Леонидович, зав. учебной лабораторией; Sergey L. Chulin Head of the educational laboratory
