Редукция колеблющейся системы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ИЗВЕСТИЯ»

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 61, вып 2 ИНСТИТУТА имени С М. КИРОВА 1948 г.

РЕДУКЦИЯ КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ

НЕЧАЕВ В. К.

Профессор, доктор технических наук

Как известно, первым этапом каждого'расчета вибраций вала силовой установки с двигателем внутреннего сгорания является определение характеристик так называемой эквивалентной, или приведенной, системы. Эта система, состоящая обычно из ряда сосредоточенных („точечных") масс, соединенных между собою отрезками гладкого безмассового вала, по своим вибрационным характеристикам должна быть равноценной действительному валопроводу установки.

Сохранение в эквивалентной схеме распределенных масс обычно нецелесообразно, так как приводит к значительному усложнению всех дальнейших расчетов. Введение таких распределенных масс может быть рекомендовано лишь в установках с очень длинным валом (некоторые судовые установки), а также ири* расчетах собственных частот колебаний валов двигателей с большим числом цилиндров [4, 6, 9].

Подсчет характеристик эквивалентен системы производится по известным правилам и формулам [1, 5, 8], полученным как теоретическим, так и экспериментальным путем. Данные эксперимента в особенности необходимы при определении жесткости колена коленчатого вала, так как теоретический анализ деформаций колена, возникающих при его скручивании, очень сложен и дает результаты, плохо согласующиеся с опытом.

В результате проведения подобных расчетов силовая установка, состоящая, например, из т - цилиндрового рядного двигателя, маховика и динамо, сводится к системе, состоящей из т-\-2 сосредоточенных масс, соединенных между собою-т-\-\ кусками упругого и безинертного, то-есть безмассового, вала. Моменты инерции всех этих масс, а также и жесткость всех участков рала определены конкретными числами.

Теперь, по крайней мере в общем случае, анализ вибраций такой системы может быть сведен к решению системы неоднородных дифферент циальных уравнений, число которых равно числу масс /и+ 2. Вид и характер этих уравнений определяются как конкретными особенностями исследуемой колеблющейся системы, так и, в значительной степени, характером демпфирующих сил, противодействующих развитию колебаний.

Но решение подобной системы уравнений, даже для установки с небольшим числом масс, представляет исключительные трудности и едва ли практически может быть доведено до конца не только в об.щем» но я в конкретном числовом врде.

Для сокращения всех выкла док и расчетов, связанных с исследованием вибраций коленчатого вала многоцилиндрового ДВС, целесообразно возможно большее упрощение сложной приведенной многомассовой системы путем сведения ее к системе с .меньшим числом масс. Характер и форма этой новой, уже упрощенной, ре ¿уцированн-ои системы определяется как задачами дальнейших расчетов, так и положенными в основу редукции условиями эквивалентности.

Так, широко известен элементарный прием [7], с помощью которого можно расчет собственных частот многомассовой системы приближенно свести к определению собственной частоты двух-или трехмассовой системы. Этим задача кропотливого определения корней частотного (векового) уравнения сводится к применению элементарно простых формул для частоты системы с двумя или тремя массами. В основе этого приема лежит замена всех приведенных масс цилиндров двигателя одной суммарной массой, сосредоточенной на середине длины коленчатого вала. . Иное сокращение числа масс рассчитываемой системы было, напр., применено нами ранее, б работе „Графический метод определения частот собственных колебаний" [4]. Там было показано, что при свободных колебаниях многомассовой системы сумма инерционных моментов (т. е. моментов сил инерции) всех масс двигателя равна инерционному моменту некоторой фиктивной, воображаемой массы, имеющей момент инерции 01От и приложенной на месте последней, т ой массы двигателя. Коэффициент От является переменной величиной и при заданных моментах инерции 0 всех масс установки, а также при известной жесткости всех участков вала зависит только от характера кривой формы колебаний системы и, следовательно, от угловой частоты колебаний. Числовые значения От для" различного числа цилиндров двигателя и различных значений параметра А, характеризующего частому колебаний, приведены в работе автора [3].

Теперь, например, установка двигатель—маховик сводится всего лишь к двухмассовой системе/ кривая формы свободных колебаний которой совпадает с кривой формы свободных колебаний основной двухмассовой системы на участке между последней массой двигателя и маховиком (рис. 1).

Конкретно это значит, что инерционный момент всех масс двигателя равен инерционному моменту приведенной массы 0Г, если амплитуда колебания <рг ее равна амплитуде колебания <?т последней массы двигателя. При свободных колебаниях рассматриваемой основной системы двигатель—маховик соотношение амплитуд срш и <рг равно соотношению моментов инерции 61 и 0г.

Подобное приведение, удовлетворяя условию равенства суммарного инерционного момента всех масс двигателя и инерционого момента редуцированной массы 9Г, вполне достаточно для расчетов свободных колебаний, но уже не может удовлетворить нас при анализе вынужденных колебаний, в особенности при изучении вопросов развития, напр., резонансных вибраций. Данная редукция масс, обеспечивая одинаковую частоту свободных собственных колебаний обеих систем (действительной по рис. 1а и редуцированней по рис. 1—Ь) не дает их равноценности по ряду других динамических характеристик.

Положим, что при свободных колебаниях обеих систем а и Ь амплитуды колебания маховиков 91 одинаковы, следовательно и амплитуда последней массы двигателя равна амплитуде редуцированной массы с моментом инерции 6Г.

В«момент наибольшего отклонения масс первая система имеет потенциальную энергию

I

п = 4" 7 А — ?*+*)* + ]гСт\(Чт~Ч1)\

а вторая, редуцированная система,

Изв. ТПИ 61-2 81

Очевидно, что

Аналогичное соотношение

П, < П

г, < т

можно было бы получить и в отношении кинетических энергий Т и Ти соответственно действительной и редуцированной систем.

*г

Срн? т

,/пу

* %

I»]

*

4

I.

к ^

Рис. 1

Рис. 2

Таким образом, обе наши системы неравноценны между собою с точки зрения их кинетической и потенциальной энергии в любой момент времени. Ясно, что поведение этих систем, в условиях, напр., получения одинаковой работы возбуждение за один цикл колебания, будет различным.

Заменим всю левую часть основной системы, расположенную левее узла колебания (мы рассматриваем здесь лишь колебания одноузлового типа) одной сосредоточенной массой с моментом инерции 6Г (рис. 2), расположенной где-то левее последней, т-ой массы двигателя. Обозначим через с/ жесткость участка вала между этой сосредоточенной массой и узлом колебания.

Теперь левая редуцированная однома^совая система (рис. 2 Ь) будет вполне эквивалентна левой части основной многомассовой системы (рис. 2 а) по всем основным динамическим показателям, если только в любой момент времени окажутся выполненными следующие условия:

а) левые половины обеих систем (рис. 2 а и 2-Ъ) должны имет$ одинаковые частоты собственных'колебаний а>, равные, конечно, собственной частотещ основной многомассовой системы двигатель—маховик;это важно, например, для того, чтобы в дальнейшем иметь совершенно эквивалентную оценку обеих систем в отношении удаленности их от резонансного состояния или близости к нему; *

б) обе системы должны в каждый момент времени' иметь соответственно одинаковые величины кинетической й потенциальной энергии;это необходимо для обеспечения эквивалентности обеих систем, напр., в ус-ловиях развития нестационарных вибраций;

в) при одинаковых амплитудах маховиков I в обеих системах узловые участки вала должны быть нагружены одинаковыми скручивающими моментами, то-есть упругая линия на этих участках вала обеих систем должна иметь одинаковый угол наклона к оси вала; это необходимо для обеспечения равноценности обеих систем с точки зрения нагрузок, возникающих в валу установки во время вибраций;

г) в условиях одинаковой загрузки узловых участков вала работа возбуждения, совершаемая, например, какой-либо гармоникой суммарного крутящего момента в двигателе, должна быть одинакова в обеих системах;

д) наконец, в этих же условиях должна быть одинакова в обеих системах и потеря энергии на демпфирование за один цикл колебания.

Последние два условия, по существу своему, имеют совершенно самостоятельный характер и должны быть удовлетворены особо, при установлении соответствующей методики приведения возбуждающих и демпфирующих сил во всей основной системе. Первыелри из названных выше условий целиком определяют главные характеристики редуцированной дцухмассовой системы Сг, <?г (рис. 2—Ь).

Рассматривая левую часть этой системы, в соответствии с первым условием имеем

Сг 1

- Шг^

— Ш0-. ч (1)

в

Кинетическая энергия левой части основной системы

г—ге 1=1

(мы предполагаем здесь свободные, моногармонические колебания) и кинетическая энергия левой половины редуцированной двухмассовой системы

Г, == <1>в2вгсрД

Условие эквивалентности, сформулированное выше, в пункте яб", требует выполнения равенства

7-1= Г,

т. е.

т

<»оа Е — — ЩрОгУЛ

2 2

или

^ = (2)

(=1

(здесь под ® можно понимать мгновенные углы отклонения соответствующих масс).

Аналогично запишем выражения для потенциальной энергии левых частей соответственно основной многомассовой и редуцированной двухмассовой систем

1 "л

П = — л+1 (ь - «р<+02, ^ ¿«1

где по рис. 2 а

?т+1 = О, Ст,т+\—Ст\

И И,=:--С/.ФГ2.

2

Отсюда на основании того же условия пункта тв"

П^П,

млн

т

V] Си /+1 (?/ — <рч-1>2 = Сг'у/, (4)

'¿=г1

где сохраняют силу равенства (3). Далее из условия п. „в" имеем

'ргс/= <ртст/. (5)

Геометрически это последнее соотношение формулирует естественное требование отсутствия излома в упругой линии вала редуцированной двухмассовой системы в точке перехода ее через узел колебания.

Условие а и формула (1) не являются самостоятельными и целиком вытекают из очевидного и обязательного, в условиях гармонических незатухающих колебаний, равенства экстремальных значений П и Т в каждой системе, на протяжении каждого цикла. В самом деле, для левой части основной системы имеем следующие выражения максимальных кинетической и потенциальной энергии:

1 т Ттах = ^^ вцц»,

¿=1

1 П

Птах — — 2> С} '"И (?» ~~ Тг-И)2,

2 1=1

тах — И/иалг — ^ «>о2 6' Ъ*

2 лшят.

т

1=1

т

1 Х^

2Ч ¿=1

если здесь под <р понимать уже амплитуды колебания соответствующих масс. Отсюда угловая частота свободных* колебаний основной многомассовой системы

т

ч

г —

:=1

т

ляявв 1=1

при учете, конечно, соотношений (3). 84

(О,

Аналогично для левой части редуцированной двухмассовой системы

* П шах — Тх тах — ~ с/ <ргг = в, ср,? тг2

я ее собственная частота

VI . ■

или, подставляя сюда значения с/ и 9Г из (4) и (2), получаем

«V2 — - :.

Поэтому независимыми уравнениями, вытекающими из условий яац# „б", „в", которыми можно воспользоваться для определения основных характеристик сг',®г, <рг редуцированной системы, являются лишь уравнения (4), (5) и (6).

Имеем из уравнений (4) и (5)

я»

; У! С{, г4-1 (ь — срг+1)2.= у« с'„1 <рГ,

I =л

и отсюда амплитуды колебания левой, редуцированной, массы на рис. 2-Ь

т

---(7)

г=:1

где сохраняют силу соотношения (3). Теперь из (2)

т

Срг2

или, подставляя сюда значение «г из (7),

т

й ____/=1 • ст\?__>

Т7г~ т ".........." 1гГ~

2 Сх> ''+1 ^—2 °и г+1 ^— /=1 г—1

Отсюда, пользуясь (6), получаем выражение для момента инерции левой массы двухмассовой редуцированной системы

О,

т

а т

(<Рт Ст\'У ^ ^

Ш0

1—1

2 н-» —?»-н)2

Далее, из (1) яли, согласно (8),

Сг = Ог <1>о2,

Так определяется жесткость с1г участка вала редуцированной системы от левой массы до узла колебания (рис. 2-а), Здесь, конечно,

Ст — Ст\ у

Фт = 0.

Наконец, жесткость сг всего вала редуцированной двухмассовой системы может быть вычислена по очевидной формуле

1

_L+_L

Сг Сю

■ли

сг =

сг -Cíe с Г + Йо

(10)

где do — жесткость участка вала основной многомассовой системы от узла колебания до маховика.

Формулами (7), (8), (10) целиком определяются основные характеристики редуцированной двухмассовой системы, эквивалентной действительной многомассовой системе в условиях резонансных колебаний, когда достаточно справедливо обычное допущение о том, что при резонансе или вблизи него кривая формы, вынужденных 1^олебаний очень блйзка к форме свободных колебаний многомассовой системы без демпфирования [1,2]* Входящие во все эти формулы амплитуды <рi колебания отдельных масс рассматриваемой многомассовой си-^^^^ стемы могут быть найдены из расчета

Ь I 1 частот собственных колебаний, про-

-—— rf веденного табличными методами, млн

значительно более быстро вычисляются по способу, изложенному автором в предыдущих его работах [3, 4], Ясно, что в качестве числовых значений <p¿ здесь могут быть использованы относительные амплитуды свободных колебаний, то-есть амплитуды колебания "всех масс установки, вычисленные в предположении, что амплитуда колебаний приведенной массы первого цилиндра (крайней левой массы на рис. 2 а) равна единице.

Теперь обратимся к рассмотрению указанных выше, на стр. 83 пунктов яга и условий, которым должна удовлетворять редуцированная двух-массовая система для возможности использования ее в расчетах вынужденных вибраций многомассовых систем. '

Для обеспечения полной, не только „геометрической41, hq и энергетической эквивалентности действительной и редуцированной систем по всем основным показателям необходимо провести еще редуцирование возбуждающих моментов и демпфирующих сил в рассматриваемой действительной многомассовой установке.

Пусть на приведенные массы цилиндров двигателя (рис. 3-а) действуют внешние возбуждающие гармонические крутящие моменты Mu sin с угловой частотой Конечно, следует предполагать, что эти моменты

8S

Рис. 3

в отдельных цилиндрах различны по фазе, в соответствии с порядком чередования вспышек в цилиндрах, тактностью двигателя и т. д.

Как известно [1,3], работа всех этих гармонических моментов за одик

цикл колебаний в условиях резонанса может быть определена выражением

—

' Авозб ~ ъ Мн '$\абс \ ?/ош , 0,1-)

где, как обычно:

Ч\абс—абсолютная амплитуда колебаний первой массы системы, то-есть приведенной массы первого цилиндра двигателя,

^ ср/отк—геометрическая сумма относительных амплитуд колебания

приведенных масс всех работающих цилиндров двигателя, определяемая ас фазовой диаграмме, построенной для возбуждающих моментов интересующего нас порядка.

Заменим все моменты Мь, действующие на приведенные массы цилиндров двигателя действительной установки, одним равноценным им редуцированным моментом Afhred* приложенным к левой массе редуцированной двухцассовой системы (рис.

Работа этого момента за цикл колебания:

% А'возб — ГС Mh reafr абс ,

где угабс — абсолютная амплитуда вынужденных колебаний левой массы системы по рис. 3-&. Условие эквивалентности моментов Mh и Мыел

Двозб А возб

ил*:

—>-

~ Мъ ?tабс Ь отк = ^ Mb red «г абс.

Но, очевидно, можно записать следующую завнснмость ^ежду уши и

*fr отн:

Угабс^ЧШс-Уготн- / (12)

Подстановка этого значения для угабс в предыдущее выражение равенства работ возбуждения за цикл колебания дает, в итоге, следующее соотношение для подсчета амплитуды редуцированного возбуждающего момента, действующего на левую массу редуцированной двухмассоюй системы:

4V

> Yi отн

Mh „а-МЬ ^------------- , (13)

г г отн

причем входящая сюда %готн легко определяется из формулы (7), если-только в последней, в правой ее части, понимать под * соответствующие

относительные амплитуды колебания, то-есть

^J CÍ• H'l (?Í отн — f í+l, отн2)

m

V

'f romn — ~ - -~y (14)

у/я отн •brrti |

при учете равенства (3).

В дальнейшем все расчеты вынужденных вибраций мы будем проводить для редуцированной двухмассовой системы. Из таких расчетов может быть, например, найдена абсолютная резонансная амплитуда сртбс левой массы этой системы. После этого, пользуясь фррмулами (12) и (14), можно перейти уже к действительной многомассовсй исходной системе м определить абсолютную амплитуду колебаний ее первой массы по формуле:

Фгабс отн »Ст\ , /й

Ъ абс—~-— ®га6с. т---------------------;-----------. (15)

отн "

У* отн — отнГ

^няяв

/—1

Далее, по о[абс и известным из проведенного ранее расчета относи" тельным амплитудам <о-ютщ легко подсчитываются абсолютные амплитуды колебания всех масс действительной установки, абсолютные углы закрутки каждого участка вала и соответствующие дополнительные вибрационные напряжения, возникающие в этом валу за счет вибраций.

Конечно, все это справедливо полностью пока лишь в отношении резонансных вибраций, то-есть вибраций вала, возникающих во время работы двигателя на одном из критических чисел оборотов. Но и этй подсчеты могут быть конкретно проведены только при учете демпфирующих сил в установке.

Рассмотрим основные случаи редуцирования демпфирующих сил. Пред^ положим сначала, что в заданной конкретной установке демпфирующие силы имеются только в двигателе и практически полностью подчиняются обычному скоростному закону [1], [31. Как известно, работа скоростного демпфирования вq всем двигателе за один цикл колебания может быть определена выражением [3];

т

Ьдемпф = Frhw^aóc2 ^ У i отн* > (16)

г.Л

где:

Р -- площадь поршня. г —радиус кривошипа,

»—угловая частота вынужденных колебаний,

т

'^Sj<?iomH¿ — арифметическая сумма квадратов относительных амплитуд

колебания приведенных масс все* цилиндров, двигателя, — коэффициент скоростного демпфирования в двигателе.

> Заменим все демпфирования в двигателе установки по рис. 3-д эквивалентным демпфированием с коэффициентом kr, действующим на левую массу редуцированной двухмассовой системы по'рис. З Ь. Этот приведенный коэффициент демпфирования определится из следующих соотношений, исходя из необходимого равенства величины потерь энергии на демпфирование за цикл колебания в обеих системах.

Предположим, что при колебаниях двухмассовой редуцированной системы левая ее масса колеблется, например, по следующему гармоническому закрну:

. * (<?ra6c) — fra6c Sín cot,

где через (<fro6c) мы обозначаем мгновенный угол отклонения массы, в отличие от амплитуды колебания уГабс. На эту массу действует демпфирующий момент

dt

Соответствующая работа, поглощенная этим моментом за цикл колебания,

t — 2л/«>0

А демпф z==-

О

i = 2u/<D

J Mrdip =

=j^—k/^габс ^ cos2 (o — тс ' (17)

0

Приравнивая правые части выражений (16) и (17)

т

\

Kk0Fr2<ü<fía6c2 * y2iomH — KkrMV2ra6c

к пользуясь соотношением (12), получаем окончательное выражение для приведенного коэффициента демпфирования кг в редуцированной двух-массовой системе:

к

, kr=---- <18)

?го/ля3

Входящее сюда значение <р,отн определится формулой (14).

Таким образом теперь система по рис. 3-я, состоящая из многоцилиндрового двигателя с маховиком, сводится к двухмассовой системе, где маховик I остается без изменения, а все массы двигателя заменены одной сосредоточенной массой с моментом инерции Вг (рис. 3-Ь). Эта новая приведенная или редуцированная система имеет:

момент инерции левой массы вг, определяемый формулой (8); жесткость соединительного вала Сп определяемую формулой (10); приведенный возбуждающий момент Мhred, действующий на левую массу (формула 13);

приведенный коэффициент скоростного демпфирования кг (формула Ш); относительную амплитуду колебания <рг левой массы, выражейную в долях амплитуды колебания левой крайней массы действительной установки и представленную формулой (14).

Моногармонический момент Мь red вызывает вынужденные колебания редуцированной системы. Конечно, Mhred будет различным по амплитуде, фазе и частоте, в зависимости от порядка гармонических моментов Жь, действующих на колена вала двигателя действительной силовой установки. Если в установке, кроме "скоростного демпфирования, в двигателе имеется еще, напр., также скоростное демпфирование винта (то-есть как бы маховика Í, в наших предыдущих схемах), то величина приведенного коэффициента демпфирования кг в редуцированной системе несколько изменится.

Здесь мы располагаем, по крайней мере, двумя вариантами выбора типа и характера эквивалентного, редуцированного, демпфирования. Все демпфирующие моменты в двигателе и демпфирующий момент гребного винта (или динамо) можно заменить эквивалентным демпфирующим моментом Мп приложенным к левой массе редуцированной двухмассовой системы, или же демпфирующим моментом М/, действующим в валу межт ду обеими массами.

В первом случае момент Мг будет зависеть от мгновенной угловой скорости колебательного движения левой массы и определится выражением-

й1

Работа этого момента за цикл колебания:

Ь — 2тс('о>

А/ = J Мгй® = тЛг<й'Ъабс2-Чготн2' 09)

0

Во втором же случае момент Мн будет зависеть от разности угловых скоростей колебательного движения обеих масс, то-есть будет определяться формулой

/ ___£ I

(11

Соответствующая работа демпфирования за один цикл колебании

А/ —к к/а) у1абс2 (фг отн — ь отн)2' (20)

Конечно, этот последний метод введения эквивалентного демпфирования в редуцированной системе имеет несомненные преимущества перед первым (формула 19), так как здесь более детально учитываются закономерности вибраций масс установки.

Работа, поглощаемая за один цикл колебания демпфированием гребного винта, может быть подсчитана по формуле:

Авинта кванта <*> абс> (21)'

Теперь полная работа демпфирования в двигателе, согласно (16) и (21),

Л демпф ~ * /^Г2 <0 Ф2Х абс ^ ^

т

ютн

+ квинта абс- /

Приравнивая первые части (19) и (22), получаем выражение для при-веденного коэффициента скоростного демпфирования кг, определяющего момент демпфирования, действующий на левую массу редуцированной двухмассовой системы:

ъкоР Г2 Ш ъ2г абс 2 Ъ2готн ^винта® ?21 абс ■

1=1

абс$*готк

т

ктРг1 ^ Ф2/отя + квинта 4*1 отн

¿=1

Угготн

(23)

Аналогично, из сравнения правых частей (20) и (22) получаем величину приведенного коэффициента демпфирования

т л

к^Г2 У , Ф21 отн + квинта У2Ютн

¿»/^ ______________,

(Уготн — <р/о/пк)2

позволяющего определить приведенный демпфирующий момент в валу редуцированной двухмассовой системы, равноценный с точки зрения потери

энергии за цикл колебания всему скоростному демпфированию в действительной силовой установке.

В случае, если в установке, кроме скоростных демпфирующих сил, имеется еще значительная гистерезисная потеря энергии в валу, все же можно, хотя и со значительно меньшей степенью точности, ввести в расчеты вибраций редуцированной двухмассовой системы приведенный коэффициент скоростного демпфирования на основе общего соотношения

. А Оемпф ™>Ф -\абс**готн

или

Адемпф

ГС «> <Р21 абс (?г отн — Ф Г отн)2

Здесь Адемпф означает всю потерю энергии на- демпфирование в действительной установке за олин цикл колебания. В эту сумму может быть включена и потеря на гистерезис в металле вала.

По опытам ряда исследователей [1, 3], потеря энергии на гистерезис металла вала за один цикл колебания характеризуется следующим общим выражением:

Агист = абс

где показатель степени qг всегда > 2. Таким образом, работа гистерезиса возрастает с увеличением амплитуд колебания значительно быстрее,, чем работа, поглощаемая скоростным демпфированием.

Из всех предыдущих формул следует, что в установке с только скоростным демпфированием приведенный коэффициент демпфирования^иди к/, определяемый формулами (23) и (24), оказывается постоянным, не зависящим от абсолютной величины амплитуд колебания масс установки. При наличии же в установке гистерезисных потерь величины кг и кг в сильной степени , зависят от абсолютных амплитуд углов закрутки вала т каждом участке, то-есть в итоге—от амплитуд колебания масс системы. Следовательно, здесь уже нельзя считать коэффициенты кг или Ыг одинаковыми для различных критических чисел оборотов двигателя. В этом, в частности, заключается причина отмеченной в последнее время опытом зависимости кг и вообще коэффициента демпфирования от числа оборотов и режима работы двигателя.

Выше была показана методика приведения многомассовой силовой, установки двигатель—маховик к эквивалентной ей (по крайней мере, по ряду основных характеристик и показателей) двухмассовой системе. Аналогично же можно приближенно свести к двухмассовой системе и более сложные установки.

Рассмотрим силовую установку по рис 4 а, состоящую из многоцилиндрового двигателя, маховика с моментом инерции О* и динамо, ротор которой имеет момент инерции 6ц. Пусть при свободных колебаниях данной системы узел колебания располагается между маховиком и динамо. Заменим эту сложную многомассовую систему достаточно эквивалентной ей двухмассовой системой, показанной на рис. 4 Ь. Основой для такой замены будут сформулированные выше, на стр. 83, условия, предъявленные нами к редукции установки двигатель—маховик по рис. 3. Из равен-

с^в^ кйнетйческизс энергий .ревых частей обеих систем а и Ь ио рис. 4Т аналогично формуле (2), имеем

2 отн^Ь\®Чотн — $г<?2г

отн •

(27)

/

Из необходимого равенства потенциальных энергий, аналогично (4)

Сг, /+1 (^1 отн — Ь -Н отн)2 1 И <р1 отн — С г г

(28)

/=1

где Сг—жесткость участка вала редуцированной двухмассовой системы между левой массой и узлом колебания;

жесткость участка вала действительной системы между узлом колебания и маховиком.

Наконец, из условия одинаковой загрузки крутящими моментами узловых участков валов обеих систем, то-есть из условия отсутствия изло-

/ / 7 /

Ф щ

вр в,I

Сп*7 Сц#

щп Щв1

^от' 1

рйс. 4

ма упругой линии вала редуцированной двухмассовой системы, аналогично-(5), запишем;

Сг г отн — отн-С /И-

(29).

Из этих соотношений легко получить следующие основные характеристики редуцированной системы по рис, 4-Ь. Из (28) и (29):

^\сц+{ (ф (отн отнУ + \ 1Г ср27

отн

отн-

Из (30) и (27):

1=1

от'н С I И

(30)

0г.

вг <р21 отн

г = \

+ в/<р21о/п«

• ®2Г <

4—

2 ^ отн "Н с?2? отн

________ _____ _____

т

См+\(¥1отн — ф+ЬотнУ^с'ш ?21 отн

(<Р| от« -£'|||)2

/к

У ¿44 (<Р/ от« — <РН-1 о^")2 " '

£

Но легко видеть, что первый множитель в последнем выражении равен 1/<°о2> где <о0—собственная частота рассматриваемой многомассовой системы, поэтому

Л _ 1 _(?1 отн С % и )2 __/о т \

-^-----------. {61J

а>02

С'и ¿+1 (фотн — ?г+1,от«)2 + Сщ Ср2|<

1=1

Очевидно далее, что по основному условию эквивалентности левых частей обеих систем

'С/= 6, а>02,

й, согласно (31),

= —___________________(32)

2 ^ '"И ОР*®«» ~~ "Ь отн)

Конечно, во всех предыдущих формулах /я—число цилиндров двигателя, и:

Сщ, л-Н—1 Ст1* Тт+1 =

Входящие сюда относительные амплитуды колебания масс действительной установки определяются из обычного расчета кривой формы свободных колебаний.

Как и ранее, все возбуждающие моменты Мн одного порядка могут быть заменены одним приведенным моментом Мнюь приложенным к левой массе системы по рис. 4-Ь. Амплитула этого момента определяется формулой (13). Наконец, по формулам (18), (23) или (24) подсчитываете« приведенный коэффициент демпфирования в редуцированной системе.

Таким образом, любая многомассовая система, схематично представляющая сложную силовую установку с ДВС, может быть приближенно сведена к редуцированней двухмассовой системе, со всеми конкретно известными ее характеристиками. Конечно, динамическое исследование такой редуцированной системы значительно проще исследования сложной многомассовой установки, анализ которой связан с большими, и во многом пока еще практически непреодолимыми математическими затруднениями. ^

В какой же мере универсальна и надежна изложенная выше методика редукции? При применении ее нам приходилось пользоваться данными,

«пример, в отношении амплитуд свободных, недемпфированных, колебаний основной многомассовой системы. Как уже отмечалось ранее, кривая формы вынужденных резонансных вибраций очень близка к кривой формы свободных/ недемпфированных колебаний. Следовательно, предлагаемая методика редукции вполне надежна и приемлема при анализе резонансных вибраций.

В других же случаях, при вибрациях системы во внерезондясных условиях, кривая формы вынужденных колебаний оказывается иной; в некоторой мере иными могут получиться и результаты редукции. Но применение редуцированной двухмассовой системы с характеристиками, переменными в зависимости, например, ог частоты возбуждения, настолько сильно усложняет наши задачи, что от этого приходится отказаться. Поэтому и при исследовании внерезонансных вибраций (по крайней мере, в области, близкой к резонансу) редуцированная двухмассовая система с достоянными характеристиками с, в и А, не зависящими от частоты возбуждающих моментов, действующих на колена вала двигателя, является полезной схемой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лурье И. А. - Крутильные колебания в дизельных установках. Военмориздат, 1940.

2. Натанзон В Я.-О вынужденны* колебаниях коленчатых валов при резонансе. Техника Воздушного Флота. 1941. w 2.

3. Нечаев В* К. —Теоретические торсиограммы для валов ДВС. Известия ТИИ, т, 58, 1837, вып. 2.

4. Нечаев В. К,—Графический метод определения частот собственных котебаний. Из-тетия ТИИ, т. 54, 1934, выл. 6. Дизелестроение, 19*4, Ms 4.

5. Терских В П.—Крутильные колебания силовых установок. Судпромгиз. 1940.

6. ТетельбаумИ. M.—Анализ крутильных колебаний установок с длинными водопроводами. Вестник Инженеоов и техникой. 1911 № 9.

7. Geiger J.-Mechanische Schwingungen, Berlin, 1927.

8. W. К er Wilson. —Practical Salution of Torsional Vibration Problems. New-York. 1935.

9. Po rter. F.—Trans. A.S.M.E., Vol. 53, 1931.

Чъ,.

■ " -%.

■C 4

• Г

«

Страница 7

9 ' 10

19

19 2i

22

25

27

30 3í

31

34

38 42

Строка

3 снизу

2 сверху

1 снизу

6 сверху

7 сверху

4 снизу

7 сверху

3 снизу

3 сверху

25 сверху

2 сверху 13 снизу

12 сверху

3 снизу 20 сверху

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ Напечатано

результате

а = hri0 t

ls = bl

Должно быть результаты

а = г.л t

-J2q + 3(?)]

(Si) Sln(rlftí + sin (ríA — 2v) t

[н-^cos (ví- í)]

o*2 í

e {

2g + 3

(2)1

[y0(;i) sinrjAí +

sin (T(A — 2v)f + . o

C:

[л н o

1 +A eos (ví - o]

c =

изменяющиеся (69) m9

-ЧЭ

V Aípsin(/7a-cp')

слагающих

k kr

2" 16

уменьшающиеся (65)

оо

I

слагающей

¿/Л,

47 14 сверху со W = ф 1 q—1 оо *=2

q=1

48 12 сверху у (т) »

51 5 сверху "У" SÍn Tí¿ t ' sin Y]A /

52 23 сверху Ф0 Ф0г«

54 5 сверху принимать признать

ч) 55 17 сверху оо ОО

<7=1

57 2 снизу г МКр Г Г Мкр

58 3 снизу = ВН~ Bh Вн = %+В"н

64 4 сверху sin (Лтю í — 1л) Mh sin (Лтю * + Тл)

79 4 снизу + 1,0229 + 1,0223

87 2 снизу отн о/я«2) 'ii отн ~~ ¥»+ 1, отн)2

90 6 сверху II V

92 5 сверху i +с1\1 Ьотн = 1 ' 2 +cl II Ьотн —

Изв. ТПИ, т. 61, вып. 2.