К теории динамического демпфирования вибраций валов ДВС Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Тем 61, вып. 2 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1948 г.

Ж ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ ВИБРАЦИЙ

ВАЛОВ ДВС

НЕЧАЕВ В. К.

Профессор, доктор технических наук

Введение

Современные методы расчета крутильных "колебаний коленчатых лов поршневых двигателей позволяют определить, с большей или меньшей степенью точности, те дополнительные напряжения скручивания, которые возникнут в валу при работе двигателя на какой-либо из его критических скоростей, в условиях точного крутильного резонанса. Критерием наличия этого резонанса считается совпадение угловой щ частоту резонирующих гармоник крутящего момента на валу двигателя с одной из угловых частот ш0 собственных крутильных колебаний валопровода исследуемой установки. Отношение

Чи

i

именуемое в дальнейшем коэффициентом настройки, получает в условиях резонанса значение т=1.

Внешним признаком резонансного характера колебательного процесса является обычно интенсивный рост амплитуд вынужденных колебаний. Подобный рост, или развитие амплитуд, продолжается до тех пор, пока приход энергии в колеблющейся системе за счет работы возбуждения, совершаемой резонирующими гармоническими крутящими моментами, не сравняется с расходом ее, обусловленным наличием демпфирующих сил в установке. Максимальная резонансная амплитуда колебания определяется из равенства этих работ за каждый цикл колебаний. Именно эту предельную амплитуду и дают известные в настоящее время методы расчета резонансных, вибраций коленчатый валов [3, 15, 17, 18].

Но такие „благоприятные" (для развития вибраций) идеальные условия достаточно продолжительной работы установки при точно постоянном значении коэффициента настройки к —1 по существу никогда не реализуются в практике, так как в действительных силовых установках с поршневыми двигателями всегда переменны как r¡hf так и o>0.

Угловая частота гщ гармонического крутящего момента Мн sin щ t связана с угловой скоростью вращения вала ч\ и порядком h этого момента соотношением

Таким образом, 7¡ft постоянно по времени лишь при условии -ц — const.

Вообще при динамическом исследовании установок с поршневыми двигателями надлежит различать:

а) среднюю (воображаемую или условную) угловую скорость % вращений вала двигателя;

б) мгновенную угловую скорость ц, вращения вала двигателя, когда^ этот вал, вместе со всем валом установки, рассматривается как абсолютно жесткое (на скручивание) тело;

в) истинную мгновенную скорость 1]/ вращения какого-либо определенного сечсния вала.

Средняя угловая скорость % определяется формулой

Ш -1

через минутное число оборотов п двигателя, замеренное, например, суммарным счетчиком. Скорость % обычно постоянна при постоянной нагрузке на двигатель и неизменной его регулировке.

Мгновенная скорость -v непрерывно меняется вследствие неравенства между мгновенной величиной переменного крутящего момента на валу двигателя и моментом внешней нагрузки. Конкретная величина ц* для каждого момента времени может быть найдена, например, с помощью известного метода Виттенбауэра. Колебания этой скорости зависят от характера суммарной диаграммы тангенциальных усилий на валу двигателя и закона изменения момента внешней нагрузки по углу поворота коленчатого вала.

Очевидно, что tj» еще можно называть мгновенной скоростью вращения вала двигателя, т.е. всех его сечений и всех вращающихся с ниш масс.

Истинная мгновенная угловая скорость уц за счет крутильных колебаний валопровода не только переменна по времени, но и различна по длине вала установки. Скорости r\i аналитически определяются лишь путем детального расчета крутильных колебаний валопровода и построения'тор-сиограммы для каждого интересующего нас сечения вала в отдельности.

Относительный размах колебаний скоростей % и т^ на протяжении одного цикла работы цилиндров двигателя характеризуется соответственна выражениями

8*4.? тах " min

s=---,

Чо

*

g _imax **]imin

Величина 8fi—„жесткая" степень неравномерности, или, как ее часто называют,—степень неравномерности маховика, п( дгчитывается по общеизвестным методам, в предположении абсолютной жесткости вала установки на скручивание. Естественно, что 8S одинакова для всех сечений вала. Величина которой мы присвоим наименование „упругой"(или истинной) степени неравномерности, уже не одинакова для различных сечений вала. Экспериментально может быть найдена с помощью торсиографироваиия интересующего нас участка (или, точнее,—сечения) вала.

„Жесткая" степень неравномерности соответствующая так называемым безузловым колебаниям вяля, входит в S, через вибрации, вызванные главными порядками гармоник крутящего момента, далекими от резонанса, если под этой 8у понимать полную степень неравномерности, обусловленную воздействием на валопровед всею гармонического сиеклра, крутящего момента двигателя и м< мента внешней нагрузки. * Все общепринятые методы расчета вибраций коленчатых валов, в особенности вынужденных вибраций, предполагают замену всех масс шатунно-кривошипного механизма каж ого цилиндра, переменным образом участвующих в колебательном процессе, вращающимися массами с

постоянным моментом инерции. Фактически же, как известно, момент инерции приведенных к радиусу кривошипа масс шатунно кривошипного механизма является*периодической функцией угла поворота а коленчатого вала. Соответственно периодически по а меняется и частота собственных колебаний валопровода в интервале от некоторой (отах до (omin. Здесь целесообразно ввести понятие о „внутренней" степени неравномерности Зв колеблющейся системы, определяемой соотношением

\ g^_ ®>тах ^miti

О>0

и характеризующей диапазон колебаний (пульсаций) частоты собственных колебаний относительно среднего ее значения <о0. Частота этих пульсации собственной частоты зависит как от скорости вращения вала двигателя, так и от числа его цилиндров и взаимного расположения коленвала.

В отличие от „внутренней41 степени неравномерности 8в, обусловленной целиком основными свойствами самой колеблющейся системы, можно величинам 8S и 8/ присвоить наименование „внешних" степеней неравномерности (соответственно „жесткой" и „упругой"), так как последние, по существу, определяются внешними силами, действующими на систему.

В любой установке с поршневыми двигателями непрерывные колебания iq и ii>0 (характеризуемые степенями неравномерности 80 и 8г) все время отклоняют систему от того состояния стационарного колебательного процесса, который только и рассматривается обычной теорией гармонических вибраций. Аналогичное же явление имеет место и при работе установки на какой-либо из ее критических скоростей.

Представляется достаточно очевидным, что такое перманентное нарушение резонансного колебательного процесса в валу поршневого двигателя за счет внешней и внутренней неравномерности (bSj 8/? Щ исключает возможность развития тех резонансных амплитуд и напряжений, которые подсчитываются по обычным методам, предполагающим 7 = const — 1.! С увеличением 8 в колеблющейся системе как бы возрастает дополнительное, так называемое кажущееся или динамическое, демпфирование. При этом, в отличие от демпфирования действительного (напр., внутреннее трение в вцлу, трение в подшипниках и т. п.), динамическое демпфирование не связано, по край к/ей мере в основном, с рассеянием энергии.

Однако вопрос о динамическом демпфировании крутильных колебаний почти не разработан. Аналитический учет влияния степени неравномерности (внешней и внутренней) на величину амплитуд резонансных вибраций валов ДВС может быть произведен в настоящее время только при помощи известной формулы Манси [14].

Эта формула, привлекающая своей простотой и наглядностью, цитируется во многих трудах по теории вибраций и рядом авторов [1, 4, 10, II, 112] рекомендуется для применения в расчетной практике. Но в трактовке формулы Манси и в оценке степени ее точности нет единства мнений. Принципиальные основания ее нельзя считать убедительными. Больше того, критический анализ формулы Манси и некоторых связанных с ней взглядов на эффект динамического демпфирования заставляют признать ее явно неудовлетворительной [5]. Применение ее может привести к серьезным ошибкам не только в количественной, но и в качественной оценке тех динамических процессов, которые разыгрываются в валопроводе силовой установки с поршневым двигателем.

Цель настоящей работы—провести детальный анализ влияния неравномерности вращения вала двигателя на характер и развитие резонансных и нерезонансных вибраций в нем, а также установить истинный эффект .динамического демпфирования, обусловленного этой неравномерностью.

1. Общие определения

При изучении вибраций валов ЛВС необходимо иметь в виду корень яое различие между „внешней" (8Л 8*) и ^внутренней" (80) степенями неравномерности в установках с поршневыми двигателями.

„Внутренняя* неравномерность (80 >0), обусловленная периодическими изменениями моментов инерции приведенных масс двигателя» целиком связана с основными характеристиками установки. Здесь приведенная система, по крайней мере при не слишком малой ¿о, теряет свойства гармонического резонатора, а ее колебания приобретают квази гармонический характер.

„Внешняя" неравномерность (8^, 8/), то-есть неравномерность вращения вала, не вносит столь существенных изменений в колеблющуюся систему» которая, как и в идеальном случае (§^-=0), при некоторых указанных ниже ограничениях, обычно может быть описана линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Таким образом, при исследовании вибраций установок с постоянными приведенными массами (8^ = 0), имеющих (а, в известной мере §¿>0), у нас сохраняется

возможность использовать весь основной аппарат теории гармонических колебаний с ее спектральным подходом к анализу эффекта сложного периодического возбуждения.

В реальных колебательных системах, какими являются установки ДВС^ обычно одновременно имеются оо]>0 и 8.у^>0 или, точнее, 8о]>0 и 0. Однако исследование вибраций в этих условиях представляет исключительные трудности.

Мы ограничимся здесь лишь анализом случая во = 0, для того чтобы выявить в чистом виде эффект наличия >0 (или 8£->0) в линейной системе, и тем установить конкретное значение неравномерности вращения вала, как фактора динамического демпфирования крутильных колебаний в установках с ДВС.

Каждый цилиндр работающего двигателя создает на коленчатом валу переменный крутящий момент, Мкр, величина которого, при любом угле поворота коленчатого вала а, может быть определена обычными способами, по индикаторной диаграмме. По полученным подобным образом данным выстраивается кривая МКр в функции а, имеющая, в зависимости от тактности двигателя, период 2ъ или

Гармонический анализ этой кривой, как правило, всегда удовлетворяющей условиям Дирихле, позволяет представить крутящий момент одного цилиндра в виде тригонометрического ряда

оо оо оо

Мкр = /И0 + ^^ Анът/кх ВЛС0Б Ла = /И0 + Мн эт(Аа 4- гн) (1)

для двухтактных двигателей и

оо

Мнр Мн$\п (На + Ч) (2)

л — »к

для четырехтактных двигателей. Здесь: М0 — постоянная слагающая крутящего момента Мкрл

Мн — амплитуда гармонического момента (или короче—амплитуда гармоники) к — порядка, определяемая формулой:

Ч—фазовый угол этой гармоники, подсчитываемый пр формуле:

еЛ = ВН\АН

н характеризующий положение вектора Ми относительно кривошипа в момент, соответствующий а = 0, то-есть ВМТ.

В дальнейшем, ради простоты всех выкладок, мы будем рассматривать лишь двухтактные двигатели, то есть принимать А=1, 2, 3... Для полу-ченияьже результатов, пригодных и для четырехтактных машин, достаточно в итоговых формулах понимать под А не только целые, но и половинные порядки.

Угол поворота кривошипа а, входящий в (1) и (2), связан со временем * очевидным соотношением

(3)

где тд—мгновенная угловая скорость вращения вала, или точнее — мгновенная угловая скорость вращения кривошипа рассматриваемого цилйн-дра. Теперь из (1):

оо / [ \ ОО { \

МКр ~ Аьып ч\(И А ^ у\сИ

\ о у Л = I \ о

> У

(4)

В общепринятых методах расчета вибраций коленчатых валов предполагается прямая пропорциональность между а и 1\

а == , (5)

где т]о» очевидно, представляет собою некоторую среднюю угловую скорость вращения вала во всем рассматриваемом промежутке времени, то-есть, по крайней мере, на протяжении одного цикла рабочего процесса в цилиндре. >

Подстановка (5) в (1) дает обычное спектральное представление крутящего момента Мкр в виде суммы элементарных моментов (гармоник), каждый из которых рассматривается как простая гармоническая функция времени

ОС ОО оо

* Мкр — Мо+^Аньткщ^ ^ВнСОвА1|о* = М0 + £а) • (6)

Н~\ /2—1 Н—1

Здесь все М^ А^ Вн> е* принято считать постоянными, не зависящими от времени. Но это допущение тем менее справедливо, чем менее стабилен режйм работы двигателя и, как будет показано ниже, чем больше неравномерность вращения его вала.

При постоянной нагрузке на двигатель и установившемся протекании тепловых процессов в цилиндре, точность ряда (6), как характеристики истинного (то-есть гармонического по времени) спектра крутящего момента Мкр% целиком определяется погрешностями соотношения (5), на базе которого в результате чисто геометрического (то-есть без учета фактора времени) гармонического анализа кривой введено рремя и получен ряд (6).

Очевидно, что во всех реальных задачах практики

у] ф const

и, следовательно, ряд (I) переходит в (4), где каждое слагаемое вида:

(Мн) = Мн$1п(11{>г1<И + ен) • (7)

^ о

оказывается часто очень сложной функцией времени t.

Таким образом, „геометрический" гармонический анализ кривой о(а), результаты которого записываются в виде обычного ряда (1), далеко еще не дает ответа на вопрос о конкретных характеристиках гармонического спектра крутящего момента Мкр, компоненты которого, в условиях исследования вынужденных вибраций линейных систем с постоянными параметрами, должны быть чистыми моногармоническими функциями времени. Для непосредственного получения этих моногармонических компонент крутящего момента необходимо было бы провести гармонический анализ кривой Мкр$ построенной в виде функции времени I. Однако построение такой кривой, по крайней мере в начале расчетов, вибраций вала, представляет непреодолимые затруднения, так как зависимость от ^ заранее недостаточно известна.

К тому же, кривая Мкр=/0(<х) имеет и вполне определенный физический смысл, так как основные тепловые процессы, происходящие в цилиндре двигателя, являются не столько явной функцией времени, сколько функиией переменного объема рабочей полости цилиндра, то-есть, следовательно, угла поворота кривошипа а. Наконец, просто не имеет смысла отказываться от использования результатов больших вычислительных работ по гармоническому анализу типичных диаграмм крутящих моментов, проведенных рядом исследователей [3, 10, 15] и представленных или в виде графиков или таблиц, дающих конкретные значения гармонических

коэффициентов—-(где Т7—площадь поршня) для каждого А и различной Гг

величины среднего индикаторного давления в цилиндре ри ^Применение подобных графиков облегчает работу конструктора, так как освобождает его от необходимости каждый раз проводить кропотливые вычисления по гармоническому анализу кривой Мкр.

Таким образом, все же целесообразно начать наше исследование с ряда (1), каждый компонент которого:

(Мн) — Мк$\х\(Ы + ел) = Mh$m ^ h ji\dt -}» eAj

представляет простую гармоническую функцию а и, одновременно, сложную модулированную1) функцию времени L

В соответствии с принятыми в радиотехнике определениями и терминологией [7], будем различать следующие основные типы модуляции функции (8):

1) Модуляция по амплитуде, или амплитудная модуляция. Здесь:

Т| t]q — const, еА = const,

*) Мы понимаем, как обычно, под модуляцией внесение в чисто синусоидальный колебательный процесс каких-либо специальных, особых периодических отклонений.

то-есть

а = hr^t

и

(Л*А) = Mhsm (h^t + еА), (9)

где амплитуда момента Mh переменна по времени. Степень отклонения (Ма) от чисто синусоидальной функции t определяется характером изменений по t амплитуды Mh.

2) Модуляция по частоте, или частотная модуляция. Здесь:

Mh — const, eh = const,

а угловая частота v\—переменна no t

3) Модуляция по фазе, или фазовая модуляция, характеризующаяся условиями:

y] = Yj0 = const, Мь — const,

а фазовый угол eh—меняется в зависимости от времени. Легко показать, что фазовая модуляция аналогична модуляции частотной. Частотная модуляция через переменную скорость вращения вектора Mh, очевидно, неизбежно ведет к изменениям eh и потому одновременно является модуляцией по фазе. Ввиду этого рассматривать фазовую модуляцию особо нет необходимости.

4) Смешанная, модуляция,—когда переменны по времени Мь и ?).

Для удобства дальнейшего исследования введем понятия о газовых и инерйионных гармониках крутящего момента на валу двигателя. Будем называть газовыми гармониками—гармонические компоненты крутящего момента на валу, создаваемые давлением газов на поршень, а инерционными гармониками—компоненты этого момента, обусловленные силами инерции поступательно двигающихся масс шатунно-кривошипного механизма.

Такая дифференциация компонент Мкр целесобразна уже при обычцом анализе вибраций валов установок, работающих в широком диапазоне чисел оборотов. Она особо необходима в нашем исследовании, так как цикличные колебания угловой скорости вращения вала двигателя соответствующим образом меняют величину сил инерции поступательно движущихся частей шатунно-кривошипного механизма, и, с другой стороны, практически не оказывают какого-либо влияния на величину сил давления газов на поршень.

При = const инерционные гармоники легко подсчитываются аналитически, по известным формулам, [5], Это позволяет нам использовать для проведения гармонического анализа (напр., графическими или табличными методами) кривую крутящих моментов, построенную на основании индикаторной диаграммы без учета сил инерции. Но, конечно, в итоговых результатах этого анализа, то-есть во всех Mh и ehj входящих в ряд (1), в дальнейшем необходимо соответствующим образом учесть амплитуды и фазы инерционных гармоник.

Очевидно, что неравномерность вращения вала двигателя приводит к частотной модуляции газовых гармоник в разложении (1), и к смешанной модуляции гармоник инерционных.

Конкретный эффект этой модуляции, несомненно, различный для газовых и инерционных гармоник, зависит от закона изменения мгновенной угловой скорости вращения колена вала tj по времени.

2. Газовые гармоники с моногармонической модуляцией частот

Как известно, [6], действительное движение кривошипа (или всего коленчатого вала, если считать его абсолютно жестким) слагается из равномерного вращения его с средней скоростью t]0 и наложенных на эта вращение гармонических колебаний:

V.

СО

я = V + 2 Cp*SÍn ^^ ~ ^ ^

Здесь:

^ь—амплитуда вынужденных колебаний кривошипа под действием гармонических компонент h • го порядка всех крутящих моментов на валу установки, Си — фазовый угол этих колебаний.

В случае очень большой жесткости вала двигателя (по сравнению с жесткостью всею вала установки) можно считать, что вынужденные колебания его вызываются только главными гармониками крутящего момента, причем наибольший эффект дают, конечно, главные гармоники низших порядков1).

Учитывая пока только наиболее сильную из этих гармоник, имеющую порядок Л0, запишем уравнение движения кривошипа в виде

а = V + <Ро sin (АоV — Q, (10

или

« = V + <Ро sin (vi — СЛ (12)

где:

А0—порядок гармоники Mho крутящего момента на валу, вызывающей неравномерное вращение вала со степенью неравномерности §s, или, короче, — порядок цикличной неравномерности 8S, Ао = v — угловая частота этой гармоники или угловая частота цикличной неравномерности Ss, <ро — амплитуда вынужденных колебаний кривошипа (вала), вызванных действием момента Мт (о методике определения ее для случая абсолютно жесткого вала — см. работу автора [6]), С — фазовый угол этих колебаний или фазовый угол цикличной неравномерности bs*

Дифференцирование (11) дает мгновенную угловую скорость вращения кривошипа

^ — 37 = + ho чо <ро cos (л0 \ t — с) di

и экстремальные значения ее Отсюда степень неравномерности

' (13)

(14).

1) Здесь, на данном этапе нашего исследования, мы исключаем возможность работы двк гателя на каком-либо критическом числе оборотов, так как только при этих условиях:

^ бг .

И

'¡max — *lmin

Ъ

2 h0 <ро

?о

2ло

Теперь

7,0 1 + ^COS(VÍ-0

м переменная угловая частота гармонического (по а) момента Мн

^ = [1 + ~ соэ(^ — С)

или

Г 8

Лт] = 1 + 2 С08(^ ~

где величину определяемую выражением

7]Л = ¿7)0, (15);

|вожно рассматривать как среднюю, „несущую" частоту момента Смысл этого термина будет пояснен ниже.

Пользуясь соотношениями (12) и (14), установим связь между истинным углом поворота кривошипа а и степенью неравномерности V

а = V + — вгпЫ — С) (16)

2/е0

и подставим это значение а в (8) (МН)^МН Sin

Aij0¿ -f- — — sin(v¿ — С) + £л

2 h j

или на основании (15)

(Mh) = Mhsin [т]ht + i-sin (v¿ _ С) + еЛ], (17)

где введено обозначение

, h bs

К 2

<18>

Выражение (17) характеризует теперь действительную форму каждого из гармонических (по а) компонент ряда (1), полученного в результате гармонического анализа кривой Мкр — /0(а).

Назовем далее коэффициент определяемый формулой (18) или, на основании (14) выражением -

5 = Л<Ро,— (19)

амплитудой модуляции. Очевидно, что \ представляет собою увеличенную в h раз абсолютную амплитуду колебания <р0 рассматриваемого кривошипа или всег;о коленчатого вала, если нас интересует здесь только эффект жесткой степени неравномерности 8*.

Введем обозначение

т = ■ (20).

Mh

Тогда из (17) получим выражение для „единичного", гармонического по а (но, конечно, уже не гармонического по t\ компонента ряда (1), соответствующего значению Мн— 1:

rnh~ sin [TQftí-f £sin(v¿ — £)"+ eA] (21).

Перейдем к детальному анализу этого выражения. В итоге анализа мы должны получить ответ на вопрос о влиянии цикличных колебаний скорости вращения вала на характеристики истинно гармонического (то-есть гармонического по времени) спектра крутящего момента Мкр*; Развертываем (21):

mh — sin (r¡kt 4- еА). cos [£sin (vi — С)] +

+ COS (тг)Лг + ел). sin [g sin (ví — 0].' (22)

Но, как известно, [2, 4]:

со

cos (х si пер) = 10(х) -j- I2q (х) cos 2#ср, (23)

со

sin (х sin ср) = 2 У/а? +1 (х) sin (2q -f- 1)ср, (24)

д = О

где Iq{x)—функция Бесселя первого рода, определяемая общим выражением:

д со (-1)Р./Х\

1(1 {х) = ( 2 ) Ц рЩТр^У)'

Я- О

Здесь Г—обычный символ для гамма-функции. Теперь по формуле (23)

•DO

cos [g sin (vi — :)] = /0£) 4- 2 V ilq (g) cos 2q (v¿ - С)

q=1

и, следовательно

sin -f £Л) . COS [í sill (vi — С)] = /</(£). sin (l\hí + Sft) -f.

ОС

-f 2 v sin -f еЛ). cos 2q (yt - С).

Отсюда после элементарных преобразований получаем окончательное выражение для первого слагаемого в формуле (22) ;

sin (v\hi 4- ч). cos [? sin (vi — С)] = lo (E) sin (iÍ\ht -f sh)

со

4m. sin [Ш t|- eA) + 2q (vi _ Q] +

tfael * «

СО

-f У /oí(S)sin[(V+®A) — 2<7(v/—0]. (25)

Q--1

Далее на основании формулы (24):

ОО

sin [* sin (vi — С)] = 2 2 /2? +1 (6) Sin (2q -f 1) (vi — C)

12 -

и аналогично предыдущему *

со '

COS Ы + ед). Sin [г Sin (v¿ — 0] = У hq + , (6) Sin [(V + гк) -f (2q 4- l)(ví — 014-

q=0

со

+ + + + (2q+\)(vt-Q]. (26)

Теперь подстановка выражений (25) и (26) в (22) после некоторых преобразований дает

со

тн = /0 (£) sin (V + еЛ) + ^ lg (É) sin [(7jft¿ + sA) -f q (vi — С)] +

q-л

сю

+ 2 (- D*Юsin tw + - í (ví - Q] •

«7=1

I

Отсюда получаем искомую, окончательную, развертку по времени единичного, гармонического по углу поворота кривошипа а, момента mk> представляемого уравнением (21):

mh = sin [f\ht+5 sin iyt — С) + £ь] = /о (S) sin (r¡ht -j- eA) -f-

oo tf—1

OO

+ 2 (— (6) Sin [(4ft - í?y) í + (eA + (27)

дтш 1

Входящая сюда амплитуда модуляции 5 определяется формулами (18 и (19). Она прямо пропорциональна цикличной степени неравномерности Hs и отношению порядка h рассматриваемой гармоники крутящею момента к порядку h0 гармоники, вызывающей эту неравномерность Но, как известно,

/о(0)=1, /*(0) = 0, (í+0)

поэтому выражение (27) при £ = 0, то-есть в случае абсолютно равномерного вращения вала, переводит в элементарную зависимость

mh— sin(7]Aí4-eft)f

или

лежащую в основе всех обычных расчетов вибраций коленчатых валов, не учитывающих неравномерности вращения ва ia двигателя.

Рассмотрим некоторые частные случаи моногарионической частотной модуляции, гармонических по а моментов (Мь) к mh> представленных формулами (17) и (21) и входящих слагаемым^ в ряд (1). ' 1-й случай. Чисто синусоидальная модуляция:

С ===== 0; =

При этих условиях из (27):

mh = sin [V-f S sin vi] = I0 sin Hat +

+ 2sin +2 l)g sin ы - m

g=i

или в развернутой форме:

' ть — вш^ь* + Ып = /о(6)в1п11ь< +

+ + V) Ь /2®8Ш (ЧЬ + 2У) * + /вЮбшСЧ!» + 3У) *+.... —^давШСпь — V) Ь + /а16)81п(тт-2¥) Ь — /3(Е)з1пСчь — Зу) ..... (29)

2-й случай. Чисто косинусоидальная модуляция:

С = £н = О

Здесь из (27)

ть = +I С08У£) = /0(£)8тт%*

оо г ао р -*

или конкретно, в развернутой форме '

ть = + 5 СОБ^) =

-ь /,(£)с08(71ь ч- v) ^ — /а(5)8!п(-чь + 2у) /зшсо8(-чь + зу) ......

+ /^соб^и - v) /^эт^, - 2») г - /8®с08 (т]„ — зу) .... (31)

3-й случай.

Мз (27):

• ОО

ть = соз(тг)^ + бет V*) == /0(^)С08ТГ]Ь^ И- ^^С^соз^ь + д^) ь

оо

+ )ЗДС08(Т]Ь-^У) / = /о(Е)С05^+

;

—ВДсоб^ь—у) Н- ШсовС-чь—* —..:. (32)

4-й случай.

— тс/2; 0.

Здесь

= вшо»^— £ соэу/).

Учитывая, что по общим свойствам функций Бес се л я (2,4] при д=0 и любом четном <7:

и при нечетном 9:

мы можем воспользоваться непосредственно разложением (31), вводя лишь соответствующие изменения знаков отдельных слагаемых. Тогда,в нашем случае

ть = 81п(Т]Ь£—£ СОБУ£) = /офвтчь*

- /1(Е)соз(?1ь + V) * ■+ Шзт^ + * + /8(Е)со8(т1ь + Зу) -

— АфсовОй! - У) * 4- Афвт^,—2У) *'+ /.фсов^-Зу)* (33)

Совершенно аналогично из (32) можно было бы получить разложение в ряд функции

ть = СОвСчь? —

Приведенные выше формулы (27)—(33) уже дают некоторый материал ; : 2- ряда заключений о влиянии неравномерности вращения вала двига-мля на обычный, гармонический по а, спектр крутящего момента от давления газов, получаемый в результате проведения гармонического анализа кривой Мкр — /о(<*). Отметим наиболее существенные из этих заключений. '

1. Цикличная (то-есть периодическая) неравномерность вращения коленчатого вала обусловливает частотную модуляцию каждой газовой гармоники Мь, входящей в ряд (1). В результате такой модуляции момент Мь оказывается сложной периодической функцией времени и, согласжо

7\~ V В \» 1 V 11 7/\\ ! V / Г \\ * \ * ' Л* А / \ 1 -1 \\ // 1 \

д.................— V ' \\ /1 \\ / / V// "а. Ьг........ У л г 1\ 1, У 1 'Ж г> 4-

/Г А ч \

У ' 1 \\ А- ... 1 _ ____ Л ш \У 9

, ¿>=0,2

Рис. 1

формулам (27)—(33), распадается на целый ряд чисто гармонических, по времени, слагающих моментов.

На рис. 1 вверху, сплошной линией, показан частотно-модулированный момент

(Жи) = Е ътН)

для одного частного случая, когда

/г = 4; т¡п пг 4т]0; т)0; 8, = 0,2,

то-есть для отношения частоты рассматриваемой гармоники к частоте цикличных колебаний скорости вращения вала

и амплитуды модуляции

v

А

5 =

Л9

А ^ к ' 2

= 4

0,4.

Пунктирной линией нанесена, для сравнения, чисто гармоническая, по времени, функция т^.

В ниж ней половине рис. 1 представ лен в развернутой форме гармони ческий спектр момента Ж4, компоненты которого, согласно формуле (29)* в нашем конкретном случае определяются выражениями

М4/О(0,4)81п4т1О£; Ж4Л(0,4)8^57^;

—ЛадО^БтЗт)^; Ж4/,(0,4)8^6^ ЛГ4/2(0,4)8т2чо*;.......

На диаграмме показаны лишь первые три компонента; компоненты же более высоких порядков—в виду, незначительной их величины в нашем частном случае—отброшены.

Диаграмма на рис. 1 может, между прочим, служить иллюстрацией к отмеченному выше положению о том, что частотная модуляция всегда одновременно является и моауляцией фазовой, так как приводит, напр., к сдвигу по времени, максимумов функции (Жь) относительно равномерно распределенных по времени максимумов функции Мььтт^,

2. При моногармонической частотной модуляции гармонические по Ь компоненты момента Жь имеют частоты:

.....— 2у); (щ — у); ^ ; (щ + у) ; (^ + 2у).....

и амплитуды, пропорциональные соответствующим функциям Бес с ел я нервого рода от амплитуды модуляции, то-есть /д(}), где д = О, 1,2...

3. Так как вообще

/.(6X1,

то, следовательно, за счет моногармонической частотной модуляции, выз ванной неравномерным вращением вала, происходит уменьшение ампли-* туды момента Мъ от Ж}, до Жь-АД)- Степень этого уменьшения зависит от амплитуды модуляции Е, определяемой формулой (18).

4. Но одновременно с этим в гармоническом, по времени, спектре* гармоническог о по а, момента Мк появляются дополнительные гармонические компоненты или „спутники" вида:

Жц/^) этСчь + ду)*,

где 0=1,2,3..., располагающиеся в спектре симметрично по обе сто-роны от основной, средней „несущей* гармоники

Жц/оО^птцА

имеющей „несущую" частоту определяемую формулой (15) через среднюю угловую скорость вращения вала т]0.

< 5. Амплитуды „несушей" *армоники Ж^о^) и спутников не за-

висят от фазового угла еь и фазы частотной модуляции С и целиком определяй тся 'амплитудой модуляции Е, то-есть согласно (18), цикличной неравномерностью §8, отношением несущей частоты т]ь к частоте V цикличных колебаний скорости вращения вала, и, конечно, известными законами изменения функций Бесселя 1Я(Ъ) с увеличением аргумента Е.

6 В верхней части рис. 2 и рис. 3 показаны гармонические спектры момента Жь. определяемые формулой (29), соответственно для двух частных случаев:

— = = 20 ; = 0,1;

V Н0

у Л0

а в нижней их части представлена конкретная связь функций (I) со степенью неравномерности 8В

и

ч.

№сущоя» гармоника

, . Спутники

г

Ъь

1'

\

О

10

0.8

Час/потЫ ** несущей* и спутников

?л

0.2

<

1/ / ч

\

о,1 о,г л

Рис. 2

аз

Эти диаграммы указывают на определенную зависимость амплитуд несущей гармоники и ее спутников от степени неравномерности в осо-

а г

{? ! »

п \

г

ЧостотЫ «несущ й

.Р

03

Г

г-

-г

I !

Л /

1>о

\ V ^ *" -

.....ч

I

*>, -г

О«-

З^Т

-------г

0,2

ч-; ...

4

2. Изв. ТПИ, 61—2.

Рис. 3

бенности при большом отношении Динамический эффект 8Л то-есть эффект частотной модуляции, тем больше, чем медленнее эта модуляция, чем меньше частота ее V по сравнению с несущей частотой ць рассматриваемого, гармонического по а, момента М^

7. При большом А/Ло, то-есть при медленной модуляции, уже небольшая неравномерность вращения вала может привести к значительному уменьшению амплитуды ЛЫо(£) несущей гармоники и даже вызвать полное исчезновение последней, когда амплитуда модуляции $ окажется корнем функции /0(£) Бе с се л я. Однако с уменьшением амплитуды несущей гармоники одновременно быстро возрастают амплитуды спутников.

8. Сравнение, напр., формул (32) и (33) и анализ общего выражения (27) показывают, что фазовый угол частотной модуляции С, не меняя амплитуд

| Сиыхрониа- с инфозмая ж-не -гармоническая модуляция

Рис/;4

несущей*и^спутников, влияет на фазы этих спутников относительно фазы несущей гармоники и на всю форму модулированного момента Мъ.

Зависимость формы Мь от С иллюстрируется графиками на рис. 4 * 5. На рис. 4 представлен случай синхронно-синфазной модуляции, когда частота модуляции «„равна несущей частоте щ и, кроме того,

гр= 0 ; вь = 0.

Втэтих условиях формула (27) переходит в тъ — 81п[>£ + Еэшт)^] = /о(6)в1

0=1

<7=1

Отсюда

нли в общем виде

мъ = + = (34)

На рис. 5 приведены конкретные случаи (при различных значениях £) синхронной моногармонической модуляции с разностью фаз тс"/а, то-есть

* = 7]н ; С — — -пг/2 ; — 0.

При этих данных из (30) имеем после некоторых преобразований

ть — ьЩ^+ Есовчь*) = /1(5) +

оо оо

+ ^{-т^+мт^+1Ы+

-12д+3(1)]со*2фь{ (35)

9, При синхронной модуляции (щ — ч) полностью нарушается симметричность расположения спутников относительно средней несущей гармо-

ники Жь/о(()81п%£ Здесь все спутники находятся по одну сторону от несущей гармоники, в области более высоких частот.

10. Наконец, формула (35) и рис.. 5 показывают, что при синхронной модуляции с фазой С — в истинно гармоническом спектре момента появляется постоянное слагаемое ЛТц/^), величина которого возрастает с увеличением амплитуды модуляции Ё, то-есть с увеличением о и отношения А/Л0,

3. Газовые гармоники со сложной модуляцией частоты

Рассмотренные выше случаи моногармонической частотной модуляции, гармонических по а, моментов М^ конечно еще не отображают всех реальных форм неравномерности вращения вала двигателя. Моногармоническая модуляция есть следствие чисто синусоидальных колебаний мгновенной угловой скорости вращения колена вала. Но фактически в любом двигателе скорость т] меняется по сложному периодическому закону.

Предполаг ая, как и ранее, коленчатый вал очень жестким (стр. 10), мы получаем этим основания считать, что неравномерность его вращения обусловливается лишь действием гармонических моментов главных поряд-

ков. При таких условиях формулу (10) можно записать в следующем виде, соответственно для двухтактных и четырехтактных двигателей:

9

оо

а = По*+ • £ ^

если число цилиндров двигателя. Мо, аналогично (14),

Орг 2рг

где Ърщ — частная степень неравномерности врашения коленчатого вала, вызвзнная действием на вал гармонических моментов порядка рг. Обозначим далее

(37>

Тогда из (36)

С А ¡1 Ьрг рг 2

оо

^ у С,*).

Подстановка этого выражения для а в формулу (8) дабт мгновенную величину, гармонического по в, газового момента Мь уже б функции времени

(Мъ)=Мъ$ ¡п

(39)

о—1

Здесь

V — угловая частота наинизшей главной гармоники крутящего момента на валу, определяемая для двухтактных двигателей очевидным выражением (37),

%р—амплитуда частотной модуляции, имеющей место при изолированном действии на систему гармоник порядка рг, ^ — как обычно, средняя, несущая частота момента Мь, то-есть

ць =

Легко показать, что в обычных условиях (кроме случаев резонанса) величины Ър быстро уменьшаются с увеличение»* индекса р, в особенности при больших г. Учитывая эти обстоятельства, рассмотрим здесь конкретно лишь сравнительно простой случай модуляции момента Мц, за счет цикличных колебаний скорости вращения вала, вызванных первыми двумя главными гармониками крутящего момента Мкр (то есть порядков г и 2г в двухтактных двигателях и порядков г/2 и г—в четырехтактных).

Ограничимся в (39) значениями р=] и р=2 и примем для простоты:

£2 = 0 ; г22== О.

тогда вместо (39) будет иметь

(Afh) = AíhSÍn{Tjhí + i^sinvl 4- E2sin2ví] или для единичной гармоники (Жь = 1):

mu — sin[Y¡h¿ + Sisinví + sin 2v¿],

Развертываем выражение (41):

mh — sin(irihí + ^sin v/).-cos(?2Stn 2v¿)-j--cos(7jftí -f-íiSin ví).sin(e2sin 2v¿), яо по формулам (28) и (23)

• оо

sin(7)h¿ + sinv¿) = /0(£,)simnh¿ -f ^ /ff(£i)sin fot + qvt) -f~

oo *

+ ^ (-lJ^Osinfth-bx

Í=1

cos(£2sin2v¿) = /0(S2)-f 2 ^ Jiq(t2)cos4tf4t

9=1

Д алее, согласно (32) и (24),

<x>

cos (V + MinvO = A>(*i)cbsV +

sin(iosin 2v/) — 2 ^/ig.fi(£2)sin (2^+í)2v¿í(

Подстановка всех этих выражений в (42) дает

2 igvt /0(^)sin(ir¡hí+ * +

i

4 ^ /2^+i(S2)sín(29+l)2v¿ /o^OcosW ! ^(^)cos(7¡h + ^v)í

0asi

Развертывая это выражение, после перегруппировки слагаемых и элементарных тригонометрических преобразований получаем

nth = sin(iQhí+£isinvt-j-iE^sin 2vi) = ■ . ' =h (61) • 4 fe) sint¡hí+Ix (y. [/0 fe) - A fe)] sin + v)¿+

+ í'o fe) ■ Ш + /2fe) Ш + Afe) /ofe)] sin(7jh + 2v) t +...........

+ Ш [ - /ofe) - /ife)] sin (7¡h - v)/ + (/0fe) ) + /2fe) /2fe) -— Afe)/ofe)]sin(7]h^2v)¿+ (43}

Здесь отброшены все слагаемые, содержащие множителями функции Бесселя /q(?) с индексом 3, ввиду малой их величины при обычных знкчениях ¡L

Сопоставление (43) с гармоническим спектром (28) единичного момента

/Пь = sin CW+ £ sin v¿)

показывает, что при бигармонической (в рассмотренном выше случае) неравномерности вращения вала двигателя появляются следующие основные отличия гармонического спектра Мъ от соответствующего спектра для случая моногармонической неравномерности:

1. Амплитуда несущей гармоники уменьшается в отношении

/o(Ei)./ofe)

Ш

2. Амплитуды симметричных спутников, расположенных в частотном гармоническом спектре на прежних расстояниях по обе стороны несущей гармоники, оказываются уже не одинаковыми. Так, например, амплитуды первых спутников, имеющих частоты ijh + v и щ — ч находятся между собою в отношении

/ofeWife) /ofe) + /iSa) '

отличном от единицы.

3. Амплитуды всех спутников, в общем, растут с увеличением £ (конкретные числовые значения которой ограничены в практике диапазоном интересующих нас 8 и h), то-есть с замедлением частотной модуляции.

Согласно формулы (37) амплитуда частотной модуляци lPi при ограниченной всегда (или по крайней мере во внерезонансных условиях) степени неравномерности bpz, быстро уменьшается с увеличением порядка pzf вызывающей эту модуляцию, гармоники крутящего момента на валу. Следовательно, даже при наличии* очень сложной периодической частотной модуляции учет в ней только одной или, максимум, двух первых основных гармонических составляющих можно считать достаточно надежным и обоснованным. При большом z (mhoi оцилиндровые двигатели) уже вторая из указанных составляющих получается ничтожно малой.

Таким образом, при исследовании эффекта частотной модуляции крутящего момента в установках ДВС обычно вполне допустимо принимать угловую скорость вращения вала двигателя (или его колена) колеблющейся по простому синусоидальному закону. Погрешности, вытекаюшие из этого допущения, быстро уменьшаются с увеличением числа цилиндров двигателя.

4. Инерционные гармоники крутящего момента и неравномерность вращения вала

Как известно [3], крутящий момент, создаваемый на валу двигателя силами инерции поступательно двигающихся масс шатунно-кривошипного механизма одного цилиндра, представляется рядом

со

= тАт)о*, . (44)

ь—1

где

А=1, 2, 3,.....

Коэффициенты Мн, то-есть амплитуды гармонических компонент Мин имеют следующие значения

Здесь:

G2 — вес поступательно движущихся частей шатунно-кривошипного механизма одного цилиндра, / г—радиус кривошипа, /—длина шатуна.

Фазовые углы составляющих гармонических моментов в формуле (44) равны 0 или 1г, в зависимости от знака соответствующей амплитуды Мн, определяемой формулами (45). При обычно малом отношении r/t решающую роль в (44) играет гармонический крутящий момент второго порядка, угловая частота которого равна 2щ*

Выражения (44) и (45) получены аналитическим путем, в предположении абсолютно равномерного вращения вала, то-есть ч\ — const —Несомненно, что вращение вала с переменной, колеблющейся, скоростью вносит определенные изменения в весь гармонический спектр (44) инерционных крутящих моментов на валу двигателя.

Выше было установлено, что цикличная неравномерность вращения вала вызывает как бы некоторую трансформацию кривой „газового* крутящего момента Мкр, выстроенной первоначально по углу поворота кривошипа а. Вследствие отсутствия точной пропорциональности между а и при Sj >0, эта кривая, при переносе ее на ось i, получает неравномерную вытяжку вдоль оси абсцисс. Естественно, что при такой неравномерной линейной деформации меняется как форма кривой MKpt так и все компоненты ее разложения в ряд Фурье. Однако кривая Мкр не получает какой-либо деформации вдоль оси ординат, так как, как это было уже отмечено выше, давление газов в цилиндре практически не зависит от колебаний мгновенной скорости вращения кривошипа

Иной характер имеет влияние колебаний скорости -ц на крутящий момент от сил инерции поступательно-движущихся масс. Здесь эти колебания % не только нарушают пропорциональность между а и t% но приводят и к соответствующим изменениям величины сил инерции и их моментов на валу. Таким образом, у кривой MKp=f(а), построенной по обыч-

ным формулам прикладной, механики, в действительности оказываются переменными масштабы по обеим координатным осям. В этом, собственно, н заключается „геометрический" эффект смешанной модуляции.

Установим связь между гармоническим, по времени, спектром инерционного момента Ман и степенью неравномерности вращения вала предполагая чисто синусоидальный закон колебания угловой скорости вала

/i = т)о J 1 4- ~ cos (vi— С) J, (46-а)

чему соответствует, согласно (16), следующее выражение для угла поворота вала

<N

ОС = V + — sin (vi — С). (46)

2his

Обозначим

Тогда

2К 2 V

а = 7¡0í -f- л sin (vi—С), = Чо [1 + А0Х. cos (vi — С)].

(47 a)

где v — угловая частота колебаний скорости вала, ha — порядок этих колебаний.

Исходим из известного приближенного, но практически достаточно точного, выражения для пути поршня

i x — r{ 1 — cosa) -f- i г sin2 a. (48)

Это уравнение, полученное из чисто геометрических соображений, непосредственно не содержит в себе времени i и, следовательно, не налагает каких-либо ограничений на формы связи между a и i. Из (48) скорость и ускорение поршня

>

dx í . | 1 г . ■ \ da

v — — = г sin a ч----sm 2a } . — ,

dt \ 2/ / dt

. d*x i . , 1 r . n \ d2a t

/ sina-i—Г sin 2a \ \ 2/ /

dt1 \ 2/ /

+ r ^ cosa + y cos 2a j . (49)

Сила инерции поступательно двигающихся масс шатунно-кривошипного механизма

g

создает на валу двигателя крутящий момент Ман, величина которого определится из очевидного соотношения:

.. da, ndx

~ ÉL

^ dt Отсюда, пользуясь выражениями (46) и (49), получим:,

Мин— *

rW jocosa eos 2a j 1 4- eos (vi — C) J —

—x ^ sin a~ sin 2a^ sin (v¿ — C)| . ^ sin a -f- * ^ sin 2a j, (50)

где введено обозначение

X = (»•)

2 tío

Детальное исследование этого уравнения, в условиях os^>0, представ" ляет значительные затруднения, ввиду исключительной сложности всех

г

выкладок. Поэтому мы ограничимся здесь анализом случая"—=0 (шатун

/

бесконечно большой длины). Качественные выводы при таком допущении едва ли изменятся сколько-нибудь существенно. т

При — = 0 из (50), после элементарных преобразований, имеем I

Мин - ^ г« V |Т 1 + о C0S W - :> 2 g Ц 2

2 Л

sin 2a — у sin (vi — С) sin2a [. (51)

При абсолютно равномерном вращении вала (8^ = 0) это выражение переходит в

' i г

Мин " —-- sin 2a, (52}

что целиком совпадает с данными формул (45) при г// ===== 0. Таким образом, величина

1 о,

2 g

/^V

представляет собою амплитуду инерционной гармоники второго порядка при os -- 0 и г¡1 — 0 (единственную гармоническую компоненту AÍ«« в этом случае). Пользуясь этим обстоятельством, назовем в формуле (51) отно шение

Мин tco\

щии — ---— (53)

2 g

единичным инерционным гармоническим моментом. Тогда из (51):

f 1 + cos(v¿ — С)

Шин , 2

sin 2a — х sin — Q 4" X sin ~ ')cos (54)

или в общем виде:

Mm = A+B+C-+-D + E, (55^

где:

/ 2 \

' A = [l+\)sin2*> (56)

B=Ss sin 2a. cos (vi — С), # (57) й 2

С = — cos (2v¿ — 2C) sin 2a, (58) 8

\

D = x sin (vi — C) eos 2a, (59)

— x sin (vi— Q. (60)

Входящий сюда угол поворота кривошипа а определяется приведенной выше формулой (47-а).

Рассмотрим каждое из слагаемых в (55) по,-отдельности. Так, из (56) и (47-а):

А — ^ l + yjsin[2V-f 2X&in(vi—С)] и отсюда, на основании формулы (27), полагая в ней eh = 0, получаем:

(8 2 \ / §e2 \ со

1 + /0(2Х)sin 2V + ( 1 + 87,2/Л2Х) SÍn [(2tl0+ qy)t~ ql] +

i й 2 \

(61)

Я=J

Далее аналогично из (57):

В = 81 /0 (2Х) sin 2V - cos (vi — С) +

oo

lq {2l) sin í(27¡0+ ' ~~ ^cos

oo

+ 2 ( — ! ? /<? (2).) sin - ¿ -f ql) cos (vi - С

или. после некоторых преобразований,

В = -- 8, j /0 (2Х) sin [(2тю + v) t — С] + /0 (2Х) sin [(2% — v)¿ + С]

со

+ 1 8,^/g(2\)sin j [2tj0 -f (^ _ l) v ] i — — 1)C j +

4=1

00 Г )

-f *-3,^(-l)'//g(2X)sin j [2y,0 - - 1) v ] t + {q - 1 )C j 4-

9=1

+ V (- 1)* rq (2X) sin j [2t¡0 - (q + 1) v] t + (q + 1) С {. (62)

Преобразовывая подобным же образом выражение (58) для С в итоге получим:

С = — i /0 (2Х) sin [(2% -f 2v)f — 2С] /0 (2Х) sin |(2tj0 - 2v) ¿ + 2C] 16

-s

oo

+V.W sin \ + + 2) V ] i - (q + 2)

■ ZÁ ■ . ( s

oo ,

+S 1 ^(2X) sin I12710 ~(<? ~2) -v]'+^2) c j+

OO /"

+. 2 (- 1)% (2X) sin I [27)0 - fo + 2) v] t + (q + 2) С

q=1 l

i,

(63);

Положим в формуле (27)

3h = тс/2

и заменим в ней £ и 7¡h соответственно через 2к и 2щ. Тогда

cos [2тiot + 2Х sin (v¿ — Q] = /0 (2Х) cos 2V +

OO

+ ^ /,(2>0 cos [(2т)0 + qy) t - gq + (- 1)* Iq (Щ cos [(2t¡0 - gv) ¿ + q'Q\.

На основании этого соотношения имеем из (59), после ряда преобразований:

D — '~\I0 (2Х) sin [(2y¡0 -f v) t - C] - h (2A) sin [(2rj0 - v) t •-+- C] ¡ -f

+ i

X

r СО

¡S

ч=i

(2X) sin

[2-4o + (^ + l)v}í —+

— ^ (2>.) sin |[2t)0 + (?-?) v] i - iq -- 1) ; I +

qr= 1

oo v

+2 1 )qíq (2X) sin {[27]0 ~{q ■ ~1} v] 1+(q~1} c í <7=1

со

I

Теперь подстановка выражений (61)—(64) в (55) после соответствующей перегруппировки слагаемых дает:

+

м.

y sin (v¿ — C)-j-

8.2

1 + /о (2X) - //] (2X) 4- -i- h(2l)

sin 2 -f¡Qt

16

+ 11 + Ч /,(2X)+ ~ (os - X) Iq+1 (2K) +

Й 2

+ Iq+2 (2X) 1. sin [(2rj0 + t - qq i + 16 _ j

+

СО

(- 1)*

/?_2 (2X) - L (8, - X) /,_l(2X) + 16 2

+ ( 1 + у) 2 + 1яЛЛ (Щ +

+ 1** (2Х)] 81П [(2г|0 - I + дЦ |.

Выражение (65), полученное нами из (54), представляет собою, очевидно, искомый гармонический (по времени)спектр единичного инерционного крутящего момента при 35>0 и г//=ь0. Почленное умножение (65) на

\G% 2 g

г2 ве-

дает абсолютные значения гармонических компонент инерционного момента одного цилиндра, в зависимости от степени неравномерности вращения вала двигателя (или, точнее—кривошипа данного цилиндра).

Из ряда (65) для тин следует, что при наличии цикличной моногармо-иической неравномерности вращения вала, характеризуемой уравнением (46-а), в двигателе с очень длинным шатуном (г// —>0) кроме „несущей" гармоники инерционного момента

(т2) = |jl f ^]/о(2Х) ./3(2Х) + /3(2К)

sin 2r¡0t

с угловой частотой 2t4ü, появляются боковые спутники вида

(mv) = тя sin [(2tj0 + qv)t zp qQ

(67)

•с частотами 2ч04:</^ расположенными, в общем случае, симметрично относительно основной, несущей частоты 2т]0.

Формула (65), в своих общих чертах, напоминает выражение (27), полученное нами выше, для гармонического спектра газовой гармоники.

Однако здесь, в случае инерционных моментов, спутники (67) уже не

■ • .

симметричны по своей величине (амплитуде). Кроме того, в спектре в ' от спектра (2?), появляется новая гармоническая компонента

X sin(v/ — С),

синхронная частотной модуляции и противоположная ей по фазе.

Амплитуды тд спутников в спектре (65), в общем, быстро уменьшаются с увеличением их индекса q, в соответствии с поведением функции Ц2к} Бесселя при увеличении ее порядка и небольшом аргументе.

Дмплитуды тд в сильной степени зависят от коэффициента л и, следовательно, согласно (47), от степени неравномерности и относительной частоты, модуляции v/tjs

Для более детального анализа этих зависимостей рассмотрим некоторые основные частные случаи частотной модуляции инерционного момента тин.

г •

а) Синхронная моногармоническая модуляция

Здесь, при ?

v = 2tjo

ряд (65) может быть представлен в виде

тин •= т'2 sin 2tj3í + т"2 sin (2-/)0¿ — С) + 4т w'4SÍn(4Tj0^—С) -4- sin (4V — 2C)-f -}- rn'Qsm(6y\ot— 2C) -+- mf\; sin (6y¡o¿ —-4C) -f-

' + ............... (68):

На основании формул (47) и (50-а) при v ~

Теперь коэффициенты т, входящие в правую часть (68), согласно (65) определяются выражениями:

8.*"

Л о

Oí2

о

ти2 — — 8S, 82

т

10

(69)

Й-2

^-¿MW- 1 +

lo

Конечно здесь, при малой, обычно, величине З3, можно отбросить целый ряд сла1аемы£, содержащих функции Бесселя высоких порядков.

Амплитуда и фановый угол единичного гармонического момента второго порядка т2, входяшсго в спектр (68), определяются геометрическим суммированием т2' и т2". с учетом их фазовых углов О „С. Совершенно аналогично определяются амплитуды ш4, тв,... следующих компонент в

I

I I.

I

I

(68у, Результаты подобных подсчетов для различных конкретных значений степени неравномерности приведены на рис. 6.

Анализ этого графика, а также формул (68) и (69), позволяет сделать следующие выводы в отношении влияния цикличной неравномерности вращения вала на инерционный момент Мин в условиях равенства часто-' _ ты V этой неравномерности

удвоенной средней угловой скорости вращения вала:

а) Цикличная неравномерность вращения^ вала приводит к появлению, в спектре инерционного момента Мин, целого ряда гармонических компонент с частотами, кратными 2%.

б) Как правило, из всех этих компонент наибольшую величину имеет „несущая" гармоника т2 с частотой 2%. Все остальные гармоники, являющиеся односторонне расположенными спутниками несущей гармоники, имеют небольшие (при умеренной 8) амплитуды, изменяющиеся с увеличением их индекса

в) При абсолютно равномерном вращении вала 8, = О и из (69):

( i I rrüuí^ í ■

% ^L/K

Гармони <feckuú спектр JVUh np¿¿ синхронной моногармони модуляции . weckou

i JU-—

Рис. 6

т2' = 1,

то-есть (68) переходит в

гп2 — — n¿' —... — О, mUH = 1 .sin2a.

Следовательно отклонение т2 от единицы может рассматриваться как некоторая характеристика динамического эффекта неравномерности вращения вала.

"г) Амплитуда т2 „несущей" гармоники инерционного момента зависит не только от величины но и от фазового угла С цикличной неравномерности (или частотной модуляции). Диаграмма на рис. 6 показывает, что характер влияния 8S на амплитуду т2 в сильной степени определяется величиной С- Здесь т2 сравнительно быстро падает с увеличением 8а при С = 0, остается почти неизменной при С = тс/2 и сравнительно быстро возрастает при Í — тс.

д) В отличие от т2 амплитуды следующих гармоник практи-

чески уже не зависят от С и непрерывно возрастают с увеличением 8S,

р) Моногармоническая модуляция с частотой v = tj0 Здесь (68) приобретает вид:

гпин = т/ sin (riot + С) + т" sin (tj0¿ — Q+-+ т/ sin 2т}Qt -f m2" sin (2т\Qt — 4C)-f-+ тъ sin (3 V — С) -f тъ" sin (3 V — +......,..........

Значения всех входящих сюда коэффициентов т! и т" могут быть найдены из (69) при

X — 8в/2; Л = ок/2;

амплитуды же тх и гармонических компонент инерционного момента тин определяются геометрическим суммированием соответствующих т! и т

а) В отличие от предыдущего случая (у = 2ц0) здесь спутники имеют частоты, кратные угловой скорости вращения вала т)0.

б) Амплитуда несущей гармоники тг практически совершенно не зависит от фазового угла С и лишь очень медленно убывает с увеличением

Следовательно, динамическое влияние неравномерности вращения вала на несущую гармонику инерционного момента здесь совершенно ничтожно.

в) Амплитуды первых спутников тх и сравнительно быстро возрастают с увеличением неравномерности вращения вала.

Аналогичным образом можно было бы рассмотреть спектр (68) и при любых других значениях отношения v/7l0 частоты цикличных колебаний скорости вращения вала к его средней скорости т]0. Некоторые результаты подобных исследований приведены на рис. 8, где представлена зависимость амплитуды т% „несущей1* гармоники инерционного момента на валу двигателя для различных 83 и при двух различных частотах модуляции (то-есть частотах колебаний угловой скорости вращения вала):

у = 4 7)0; v = бтг)^

Эта диаграмма показывает, что в первом случае, при V = еще имеется довольно резко выраженная зависимость тг от С и Здесь, так же как и в рассматриваемом выше случае синхронной модуляции (у=2т|0),

/

оказываются возможными случаи увеличения амплитуды несущей гармоники т2, а, следовательно, и вызванных ею вынужденных колебаний системы, при ухудшении равномерности вращения вала (эффект отрицательного динамического демпфирования). При V = влияние С и 8Э на тг фактически исчезает. Подобную же картину мы получаем и при еще больших значениях V.

Теперь, суммируя все изложенное выше, следует признать, что влияние неравномерности вращения вала двигателя нэ инерционный крутящий

момент Мин в общем незначительно, по крайней мере, при тех умеренных значениях с которыми обычно приходится иметь дело в практике. Это влияние более существенно лишь в случае синхронной модуляции, когда частота колебаний скорости вала равна частоте второй, то-есть самой сильной гармоники инерционного момента. Но и здесь динамический эффект неравномерного вращения вала в основном определяется фазой С.

5* Вынужденные колебания линейной системы при возбуждении, моногармоническом по углу поворота кривошипа а.

В предыдущих разделах данной статьи было показано, что о'ычное разложение кривой крутящего момента на валу двигателя в тригонометрический ряд (1) по углу поворота кривошипа а еще не дает того гармонического спектра, который необходим нам при анализе вынужденных колебаний линейной системы По существу, каждый компонент Ми ряда (1) достаточно сложен по своему спектральному содержанию и заключает в себе целый ряд гармонических по времени (то-есть истинно гармонических) моментов в виде „несущей44 гармоники и боковых спутников различней интенсивности, конкретные величины которых могут быть определен^ по приведенным выше формулам.

Поводом к расщеплению каждой Мн ряда (1) на несущую гармонику и спутников является, прежде всего, неравномерность вращения коленчатого

вал& двигателя. Физические же причины этого расщепления заложены в основных механических свойствах линейных колебательных систем с постоянными массами и жесткостями [8, 9].

С увеличением неравномерности вращения вала, как правило, возрастают амплитуды боковых спутников в спектре Мн .

Однако соотношение амплитуд несущей и спутников и степень увеличения или уменьшения их сростом 8,1) еще не могут служить достаточно хорошими критериями для оценки влияния неравномерности вращения вала на его вынужденные колебания.

Амплитуды вынужденных колебаний, вызываемых в системе действием гармонической (по времени) силы определяются не только амплитудой этой силы, но и целым рядом других факторов, как, например, соотношением частоты силы и частоты собственных колебаний системы, интенсивностью и характером демпфирования в элементах установки и т. д. Поэтому для оценки фактического влияния степени неравномерности вращения 8 на вынужденные вибрации вала необходимо детально исследовать эффект действия на линейную колебательную систему возбуждающего момента Мн, моногармоиического по а, но сложного по своему истинному гармоническому спектру, ха-

Ш

Мб,

рактеризуемому,напр. рядом (27).

Рассмотрим вынужденные колебания установки по рис. 9, состоящей из одноцилиндрового двигателя, имеющего приведенную массу со средним моментом инерции 61 и маховик (винт) с моментом инерции @2 • Предположим, для простоты, что демпфирующий момент в системе пропорционален мгновенной скорости закрутки вала во время

вибраций. Дифференциальные уравнения движения обеих масс здесь имеют вид:

%

щ

Рис. 9

еД^ + к

ар т

е

2 (№

?2) = МЬ

<р2) = Мп,

\

(71)

V"

где М\ и уИц—внешние крутящие моменты, действующие, соответственно, на колено вала и маховик, к—коэффициент скоростного демпфирования-Момент М\\, в общем случае, меняется по времени (или по углу поворо та кривошипа «) :

= (72)

где М0—средняя величина внешнего момента сопротивления, равная сред* нему крутящему моменту, развиваемому двигателем 2),

Мх—крутящий момент на валу двигателя, создаваемый давлением газов в цилиндре и силами инерции поступательно-двигающихся масс шатун-но-кривошипного механизма. Как указывалось выше, М\, в основном, является явной функцией угла поворота кривошипа а.

1) Здесь и в дальнейшем В означает степень неравномерности вращения кривошипа в общем случае. В частных случая* & = или .

2) Мы предполагаем здесь установившийся режим работы двигателя. 3. Изв. тпи, 61-2. '

Гармонический анализ кривой М\ — и (а) в пределах одного цикла ра боты цилиндра дает обычный тригонометрический ряд

Л*, = Л1О+\\/И,81ПГА»-Ь в/), (73)

аналогичный (1). Здесь

(74)

Теперь вместо (71) можно записать: #« ^ + к - + ?.) = М* Мр 8111 (р«4.е1) (75)

/

с//2 \ (Ц I

Представим правую переменную часть уравнения (75) в виде суммы, трех слагаемых >. . , -

ОО ' '

^Ж„5т(/)а-г/),= /1(ое)+/2(а)-4-/3(а); (77)

где *

= (78)

какой-либо один, конкретно интересующий нас, гармонический по « компонент момента М\ на валу двигатели, вызывающий резонансные или близрезонансные вибрации в диапазоне рабочих чисел оборотов установки. - Далее, здесь

/2 (а) = Мг п (га 4- в/)

есть один из низших по своему порядку, гармонических по а, компонентов момента Ми являющийся, даже во внерезонаясных условиях, основной причиной неравномерного вращения вала, то есть прежде всего обусловливающий существование в системе значительной, почти жесткой, степени неравномерности V

В многоцилиндровых двигателях порядок этой гармоники г равен числу цилиндров двигателя или половине этого числа, в зависимости от тактности двигателя.

Наконец,

оо ' .

/3 (*) = мр sin (ра + у) - /, («) -/а (а) (80)

р=х

включает в себе все остальные компоненты М\. При резонансной ситуации для /i (а) все слагаемые, входящие в/3(ос), находятся вне резонанса и поэтому не дают особо сильных вынужденных колебаний вала. (Как будет показано ниже, последнее утверждение не всегда является достаточно точным).

Все три слагаемые в правой части равенства (77) выражены в виде явных функций от а, но, конечно, в итоге, через^ уравнение (74), оказываются функцией времеци L Однако точная конкретная форма зависимо:, сти (74) нам неизвестна, ввиду отсутствия какой-либо практической возможности решения системы уравнений (75)—(76) в их полнрм виде.

Исследование этих, уже нелинейных дифференциальных уравнений, даже в случае малого числа компонент в правой части уравнения (75) представляет исключительные затруднения. Сложность системы уравнений (75)—(76) вызвана зависимостью вынужденных колебаний приведенной массы двигателя от действующих на нее возбуждающих моментов и одновременной зависимостью закона изменения этих моментов по времени от вынужденных колебаний срх через эффект частотной, и даже смешанной (в отношении инерционных моментов), модуляции.

Ввиду нелинейности уравнений (75) и (76), здесь уже невозможно непосредственное и безоговорочное применение принципа суперпозиции.

Обозначим через cplih/ ср1|3, <plell колебания первой массы нашей

системы, которые были бы вызваны соответственно моментами /i(a), /2(а), /з (а), /п (t), в случае совершенно независимого, раздельного действия их на систему, поодиночке, в течение достаточного промежутка времени.

' При одновременном действии всех четырех указанных моментов полное колебание первой массы ^ уже не будет равно сумме:

fi -f- <pJf z -Г 3 + п ,

так как за счет взаимной модуляции изменится истинный (гармонический по t) спектр каждого из этих моментов, а, следовательно, изменится и эффект действия их на колеблющуюся систему. Здесь неравномерность вращения колена вала и маховика будет не только различна, но и очень сложна по характеру.

Для получения возможности, хотя бы приближенного, решения задачи о вынужденных колебаниях системы по рис. 9 сделаем следующие упрощающие допущения:

а) Примем момент внешнего сопротивления (внешней, полезной нагрузки на двигатель) постоянным, то-есть положим в формуле (72)

/и (¿) = 0. - *

>

б) Исключим, пока, полностью из рассмотрения все моменты, входящие в /3(а), то-есть примем в (77)

Ш = 0. 4

в) Учитывая обычно большую величину низшей главной гармоники /2(«) и низкую ее частоту, и, следовательно, возможность лишь высокоча етотной модуляции/2(а) за счет колебаний кривошипа, вызванных моментом ft (а),—полностью пренебрежем эффектом этой модуляции, то-есть за заеним в формуле (74) угол <pt углом <р12. Тогда из (79)

U (а) = Мг sin [z (r¡0í + 9и) + &z$]. (81)

г) Будем считать, наконец, что неравномерность вращения вала, рыз-ванная моментом MZi значительно больше той „упругой" неравномерности, которую получает кривошип за счет вынужденных колебаний системы под действием момента Mh.

Модулированный согласно (81) момент Мг вызывает сложные вынужденные колебания всей системы и, в частности, приведенной массы двдт гателя, то-есть кривошипа. Несущая гармоника момента Мг дает колебания кривошипа по закону: "

(<Pi*) ~ - sin (stj0í—С) на „несущей" частоте гщ.

Соответственная дополнительная вибрационная скорость кривошипа:

(?JZ)i = cpuvcos(ví —С), где для „несущей" частоты момента Мг введено обозначение:

Теперь степень неравномерности вращения:

2ср

lz

Отсюда полная мгновенная угловая скорость вращения кривошипа

T¡

-По

1 -f eos 0¿—С) 2

и мгновенный угол его поворота

(82-а>

f r\dt = Ti0t -j- y¡0 — sin (v¿ — Q. o 2v

где

Введем это выражение для а в (78)

/i(а) = Aíh sin [hy\0t + ? sin {yt

y_hr¡0 o _ h 8 ■

V 2 z 2 '

0 + ^3:

(82> (83)

как и ранее, представляет собою амплитуду частотной модуляции гармонического по а, момента /^а).

Соотношение (82) дает уже зависимость интересующего нас, гармонического по а, момента ¡\(<х) от времени и учитывает, по крайней мере приближенно, эффект действия неравномерности вращения вала, вызванной моментом Мг на истинный, гармонический по времени, спектр /*(а), то-есть

Теперь, отбрасывая в (75) и (76) моменты Ж0, /3(<*) иуц(а), в соответствии с принятыми выше допущениями, запишем дифференциальные уравнения движения обеих масс в следующей форме:

Мь sin [А V -f $ sin(v¿ — 0 -f Sh'H + Мг Sill [Z (V + ?lz) "f е*'3.

e. _ k ( ^ — ^

di2

V dt

dt

c(<? i — 9z) = 0.

(84)

(85)

Первое слагаемое в правой части уравнения (84) не зависит от вызванных им колебаний обеих масс ср^ и ср^; равным образом от ерл и «ргьне зависит и второе слагаемое, Мг.

Следовательно уравнения (84) и (85) уже не полностью нелинейны и к ним возможно частичное применение принципа суперпозиции. Учитывая это обстоятельство, разобьем систему уравнений (84;—(85) на две пары уравнений:

в.

' == Мь Sin [hf¡0t -f £ sin (v¿ — 04- eh']

2b dP

\ di

dt

(86)

1 dP V dt dt]

= Mz sin [z (V 4- <piz) +£/]-

6, ^ _ k - ^ ) - C(«lx - cp2z) = 0. " dP V dt di

Здесь уравнения (87) нелинейны, в отличие от линейных уравнений (86). Обе эти системы уравнений связаны между собою величинами V и С, зависящими от ср12 и г и входящими в правую часть первого из уравнений (86). В дальнейшем мы будем считать с, у и С заранее известными, определенными хотя бы экспериментальным путем через торсиографиро-вание исследуемого двигателя. Тогда анализ вынужденных вибраций неравномерно вращающегося вала, вызванных действием одного, гармонического по а момента, Мь сведется к исследованию двух линейных дифференциальных уравнений (86).

Делим первое из уравнений (86) на 61? второе на в2 и вычитаем второе уравнение из первого, тогда

//21Г /¿ЦТ

е1 ^ +^ а V = Мь 4- 5 — С) + (88)

(\г- ¿и '

где _ >

== ср1Ь — <р2Ь

представляет собою мгновенный угол закрутки вала нашей системы, вызванный действием на нее момента Мь. Здесь

- в,е2 в» + в2 .

-1

с

в,е2

Фазовый угол входящий в уравнение (88) и появившийся при гармоническом (по а) анализе кривой крутящего момента двигателя, не играет сколько-нибудь существенной роли в рассматриваемом колебательном процессе, определяя собою лишь сдвиг кривой вынужденных колебаний по времени. Учитывая это, полагаем для простоты

3h' = 0.

Тогда вместо (88) имеем

+ ki dr + = Mhsin М + 5 sin (V¿ - :)], (89)

dt2 dt

где

j ^h = hr¡0

ееуь угловая частота рассматриваемой гармоники Mh, h-го цорядка.

Уравнение (89), как и уравнение (88),—линейно^ и к нему полностью лрименим принцип суперпозиции, согласно которому полное вынужденное колебание может быть получено суммированием всех тех отдельных колебаний, которые вызовет в системе каждая из гармонических (по временив) компонент правой части (89), при изолированном ее действии на систему.

Возбуждающий момент, в правой части дифференциального уравнения ■(89), представляет собою частотно-модулированную, моногармоннГческую

по а функцию, гармонический спектр которой по времени может быть определен по приведенным ранее формулам. Предполагая к не очень малым (А > 2), мы имеем достаточные основания считать Мц чисто газовым моментом.

Теперь, пользуясь выражением (27) и полагая в нем вь = 0, вместо (89) получаем

//2ЦГ

ез - 4- кх ^ с^У = Мь/0 (V) ¿111 т* + йР М < 1

ос £

Mh¡q(t)s in [(tih + —

-f ^ (— Mbíg <*) sin f;(rih - qv) t -f ql}

(90)

Здесь произведения

MhIq(k)

представляют собою амплитуды, гармонических по t, компонент момента Мъ. Каждая из этих слагающих совершенно независимо от других, вызывает гармонические колебания угла закрутки вала с определенной амплитудой, фазой и частотой.

Очевидно, что уравнение (90), в полном соответствии с принципом суперпозиции, имеет следующее стационарное решение:

00

-b VJ % Sin [(7¡h J- qv) t—q\— Ц -f

СО

4-^ — q: — (9i>

Здесь введены обозначения:

Ф,

О Л*и/о(5) _ о ч, J

'О — ¡J0------------------ — /0 ' cmh (?/.

Ci

С\

1 -Ч — Р~<?-----------— г—V f cmt<M),

. Ci

(92)

где

\г —

L rm —

-И),

»

как обычно, представляет собою статический угол закрутки вала системы под действием постоянного момента величиною Мь.

Очевидно, что Ф0 есть амплитуда вынужденных колебаний угла закрутки вала, созданных „несущей* гармонической слагающих у

сложного по времени, но моногармонического о ап момента М^ 38

Равным образом, Ф*, и означают амплитуды колебаний, вызываемых действием соответственно каждого верхнего

и нижнего

МъЦЪ) [(ць •+• д *) г —

(*=»: 2, 3......)

^ 3......)

спутников в спектре Мь-

В формулах (92) ¡3—динамический коэффициент, определяющийся формулами:

........— :________________=, | ■

О

Л

(93)

у

соответственно для несущей гармоники, верхних и нижних ее спутников Здесь коэффициент настройки для несущей гармоники

¡о

где"«у-частота собственных колебаний нашей системы. Аналогично длй каждого из верхних и нижних спутников:

0)0

_ -Цъ — Я*

ш0

Наконец, кс, в формулах (93), представляет собою обычный критический коэффициент демпфирования:

Теперь фазовые углы/г, характеризующие отставание вынужденных колебаний от соответствующих возбуждающих моментов и входящие в уравнение (81), могут быть вычислены по формулам:

- * о "о е0==агс -— >

д, А - .

к

агс^2 к 1

т?

(93-а)

аг<^ 2

к1

кс 1 — -г2

1-1

I -ч

Уравнение (91) показывает, что при действии на линейную систему одного возбуждающего момента Ми, синусоидального по углу поворота кривошипа а и потому частотно модулированного по в ней возникает целый комплекс гармонических вынужденных колебаний с различными амплитудами, частотами и фазами.

Здесь гармоническим анализатором функции Мь является сама линейная колебательная система. Именно она и ее основные физические свойства обеспечивают физическую реальность рассмотренного выше аналитического разложения Мп на несущую гармоники и спутников. Каждая из этих гармонических компонент Мн вызывает вполне определенный гармонический колебательный процесс, все характеристики которого могут быть подсчитаны по приведенным выше формулам.

Легко видеть, что в системе, находящейся под действием момента М\и представленного формулой (82), возможен целый ряд случаев резонанса:

а) основной резонанс с »несущей" гармоникой Мь1<$) при

— о)0;

5) „боковой" резонанс с каждым из верхних спутников при

+ — ш О,

Т}й = а>0 — ср] , (^=1, 2, 3.,,. )

в) „боковой" резонанс с каждым из нижних спутников при

= = 1, 2, 3.....

При указанных здесь значениях средней угловой частоты % момента соответствующий динамический крэффициент р, определяемый одной из формул (93), становится очень большим или даже неограниченно большим при отсутствии демпфирования в системе.

Здесь мы впервые встречаемся с некоторыми новыми обстоятельства- ,, ми, совершенно неизвестными в-общепринятой теории вибраций валов поршневых двигателей.

Согласно этой обычной теории, каждый момент получающийся при гармоническом анализе кривой Мкр=/(а) и имеющий среднюю угловую частоту

= Ат]о,

дает установке одну определенную критическую скорость вращения вала

_

%кр — -----.

А

Но из сказанного выше очевидно, что здесь, в случае неравномерного вращения вала, даже при изолированном действии одного момента можно ожидать появления целого ряда критических скоростей:

ша :±: й\>

^¡дкр ~ > (? = 0. Ь 2....,

к

при которых в системе возникают условия для развития сильных резонансных вибраций.

При точном резонансе с несущей гармоникой ЛГц/0(£)* то-есть при основной критической скорости вращения вала

_«V

'¡О кр — ,

К

все верхние спутники имеют частоты ^и + ^Л большие, чем ш0, то-есть находятся уже в зарезонавсной области, и для них коэффициент настройки а все нижние спутники имеют -^<1.

Согласно, например, формулы (90), расстояние между каждыми двумя компонентами в гармоническом спектре Мь одинаково и равно V, то-есть средней угловой скорости вращения вала, умноженной на порядок цикличной неравномерности. Это расстояние (по оси частот), а также и абсолютные величины частот несущей гармоники % = Л^о и всех спутников:

± Я* = Ъ (А + яг) (я = 1, 2, 3....)

непосредственно зависят от абсолютной величины средней угловой скорости вращения вала и порядка частотной модуляции г. Следовательно, при изменении числа оборотов двигателя весь гармонический спектр Мъ (напр., в верхней части рис. 2) будет перемещаться в соответствующую сторону и подвергаться, одновременно с этим, сокращению или расширению вдоль от абсцисс, пропорционально изменению т)0. *

Для устранения возникающих здесь затруднений в графическом представлении ряда интересующих нас зависимостей поступим следующим образом. Построим гармонический спектр Л4 (рис.. 10вверху), откла

9*° I

*

I

■ ' I - »

0*2

________________________________________,.....„„и

1 г—

дывая по оси абсцисс не абсолютные значения частот соответствующих гармоник, а отношения этих частот к частоте несущей гармоники:

Р = = 1 ± Я I (Ч = 0,1, 2, ....) (94)

% Л

Очевидно, что при малых значениях % в резонанс могут вступать . лишь гармонические компоненты высоких порядков. По мере увеличения г,0, то-есть числа оборотов двигателя, в резонанс будут вступать гармоники все более низких порядков. Таким образом, движению по оси абс-

Д) На рис. 1С, 13, 14, 15, 16 и 18 момент Мн обозначен через

ю у

цисс р вправо соответствует уменьшение коэффициента настройки несущей гармоники (то-есть основного коэффициента настройки) и ,обратно, значению [к = 0 отвечают

; , То — т|0—оо.

При ^о = 1 мы имеем резонанс с несущей гармоникой. Резонанс же с каким-либо спутником номера +</ наступит при выполнении.равенства

''<" 1, ^ (95)

то-есть при следующей величине основного коэффициента настройки:

11 (96)

Какому-либо произвольному значению ^о отвечает следующая величина коэффициента настройки, например, верхнего спутника, с частотой 411+ д*:

ш0 \ т1ь /

Здесь, конечно, для каждого конкретного спутника коэффициент > является вполне определенной, не зависящей от величиной.

Формулы (96) и (97) позволяют провести конкретную числовую разметку оси абсцисс Хо в нижней части рис. 10. Эта ось служит основой для построения резонансных кривых Ф0, ФьФ-ь... по формулам (92) и (93), ори любом принятом значении относительного коэффициента демпфирования & кс.

Для определения амплитуд Ф всех гармонических колебаний, вызванных действием момента М\г при каком-либо заданном числе оборотов двигателя п, достаточно подсчитать теперь соответствующий основной коэффициент настройки

;о —-----7

а>0(

где

щ = ъп/ 30. I

Тогда пересечение вертикали, отвечающей этому значению с кривыми Ф (рис. II и 12)*) дает искомые амплитуды вынужденных гармонических колебаний, входящих в ряд (91). Фазы этих колебаний легко вычисляются по формулам (93-а).

Теперь графическим суммированием всех членов ряда (91) получим кривую полных колебаний угла закрутки вала под действием, гармонического по «, крутящего момента М[ъ в случае неравномерного вращения этого вала по уравнению (82-а).

Амплитуды Ф0, Фь Ф—всех суммируемых здесь моногармонических колебательных процессов зависят, согласно (92) и (93), от целого ряда факторов и, прежде всего, от числа оборотов двигателя п, то-есть ог основного коэффициента настройки При некоторых конкретных „критических" значения^ определяемых формулой (96), вынужденные вибрации

*) На рис. 11 и 12 показаны лишь кривые Ф0, Фь Ф-3 и отброшены все кривые Ф для следующих спутников.

Рис. II

приобретают более или менее резко выраженный резонансный характер за сч€т возникновения резонансной ситуации для одной из компонент монического спектра М&+

Рис. 12

Степень интенсивности боковых резонансов во многом зависит от аб солютной величины амплитуд Ф0, Фь.. и соотношения между ними. Высо та пиков кривых Ф на рис. 10 определяется как величиной коэффициента демпфирования /г в системе, так и амплитудами Мь1д(с,) соответствующих гармонических компонент Мь, то-есть, в частности, конкретными числовыми значениями функций Бесселя Но по (84):

то-есть амплитуды Ф тесно связаны с величиной степени неравномерности 5 и частотой этой неравномерности V, или, точнее,—отношением тдь/у.

Связь между Ф и 5 совершенно аналогична зависимости амплитуд гармонических компонент момента Мц от 8, рассмотренной выше и иллюстрированной, напр., графиками на рис. 6—8. Как правило, с увеличением © возрастают амплитуды Фд и Ф_? вынужденных колебаний, создаваемых спутниками.

Влияние о на величину амплитуды Фе вынужденных колебаний, вызванных несущей гармоникой момента Мь, может быть значительно более сложным. Увеличение 3 неизменно приводит к некоторому уменьшению Ф0, если Жц—газовая гармоника, то-есть компонента крутящего момента на валу, создаваемого давлением газов в цилиндре. Увеличение о может привести к возрастанию или уменьшению Ф0, или даже почти совсем не сказаться на величине Ф0, если Мь—инерционная гармоника. Эффект влияния 5 на Ф0 здесь в сильной степени зависит от фазы С, напр., в формуле (46).

Из (84) следует, что увеличение отношения т\ф, то-есть уменьшение частоты цикличных колебаний скорости вращения вала, действует на все амплитуды Ф (в случае газовых гармоник) в ту же сторону, что и увеличение о. Неравномерность вращения вала наиболее сильно сказывается на составе гармонических спектров моментов Мь высоких порядков. Именно при больших уф следует ожидать наиболее сильного эффекта динамического демпфирования вибраций вала за счет неравномерности его вращения, проявляющегося в уменьшении резонансных вибраций вала с ростом

Формула (94) показывает далее, что от отношения цф зависит и расположение спутников в частотном спектре Мь (рис. 10, вверху). с уменьшением V, то-есть с замедлением цикличных колебаний скорости вращения вала, сокращаются частотные интервалы между спутниками, и все спутники приближаются к основной несущей гармонике Мь.10(Е). Одновременно с этим возрастают амплитуды Фч, Ф-д колебаний, вызванных спутниками, и, большей частью, уменьшаются амплитуды Ф0 вибраций, вызванных несущей гармоникой (рис, 12).

Очень медленные колебания угловой скорости вращения вала, то-есть малые значения V, могут значительно уменьшить амплитуду Мъ.1<№) несущей гармоники и даже свести ее к нулю. Так, при уменьшении V постепенно ослабевает старый, основной резонанс с несущей гармоникой, но одновременно возрастает действие спутников.

Особо велика здесь роль первой пары спутников, дающих сильные вынужденные колебания с амплитудами Ф^/И Ф_х. Суммирование этих колебаний, происходящих соответственно с частотами "^-{-у и % —V, близкими одна к другой при малом V, дает сложный закон суммарных колебаний с биениями, Имеющими частоту

("111 -+- V) — — у) = Ъ.

Эти биения будут выражены тем более резко и чисто, чем меньше скажутся здесь Ф0, Фа, Ф-2 и т- Д- Глубина биений, в общем, увеличивается с ростом о.

При V—юо все кривые Ф сливаются в одну резонансную кривую Ф0 обычного типа (соответствующую случаю 8 = 0) и циклические колебания скорости вращения вала у\ здесь будут динамически равноценны соответствующим периодическим колебаниям основной, несущей частоты г[Ы Рассмотрим в самой элементарной форме этот предельный переход.

Предположим, что при любых значениях у сохраняются неизменными-8, т)0 и к. Тогда по формулам (93 а) при у—»0:

То! ^ 7о

и по (93):

8 0 0 0 —Ро> по-

следовательно, теперь из (91):

—Ро

sin (V — Ев) .

Но, как известно из общей теории функций Бесселя [2], .при. любом ;

со

то-есть при v—>-0

W—>p0sin(7jhf—е0).

Мы получили обычное уравнение вынужденных колебаний линейной системы, находящейся под действием моногармонического по времени возбуждающего момента. Однако ¿здесь р0, конечно, медленно меняется (при v-^0) в соответствии с периодическими колебаниями ц0, щ и Хо-

При точном основном резонансе, то-есть при Yjtt=a>0f а также небольшом и достаточно малом демпфировании в системе, эффектом спутников, вызывающих колебания с амплитудами <t>q и (q ~ 1, 2, можно пренебречь. Тогда зависимость амплитуды полных вынужденных колебаний х¥, вызванных моментом Mhi от величины степени^ неравномерности 8 будет совпадать с связью Ф0 и 8.

Но при уо — const, согласно (92), амплитуды Ф^ пропорциональны амплитуде несущей гармоники M\JQ(%). Следовательно, показанный выше, напр., на рис. 2 и 3 закон изменения 10{%) с ростом 8, является, одновременно, приближенной характеристикой степени уменьшения амплитуды, ^max полных вынужденных резонансных вибраций в системе за счет динамического демпфирования, обусловленного цикличными колебаниями скорости вращения вала.

При изменении числа оборотов двигателя, то-есть с изменением в. ту или иную сторону от критического ее значения tjOffp = <o0/A соответствующим образом сдвигаются все спутники в спектре Мъ* нарушается состояние основного резонанса и появляется отмеченная уже выше возможность боковых резонансов. Очевидно, что вне основного резонанса, при 7о связь ,между Ф0 и Ь уже не характеризует действительной зависимости ^тах от 8. Здесь, для выяснения эффекта динамического демпфи-

рования за счет 8 необходим каждый раз конкретный подсчет величины уравнению (91) и сравнение этого Wmax с Ф0 при 8=0.

Но, во всяком случае очевидно, что во время работы двигателя в условиях бокового резонанса, напр., с первым спутником, принципиально вполне возможно проявление эффекта отрицательного динамического демпфирования; когда неравномерность вращения вала приводит не к уменьшению, а к увеличению суммарной амплитуды xFmax, по сравнению с тем ее значением, которое получилось бы при 8 = 0. Вероятность возникновения такого отрицательного демпфирования, конечно, тем больше, чем больше амплитуда резонирующего спутника и чем меньше действительное демпфирование в системе.

Невидимому, отрицательное динамическое демпфирование вполне возможно и во внерезонансных областях, в случае большой 8 и медленной модуляции, за счет большой величины, напр., Ф1 и Ф_х по сравнению с Ф0.

Мы рассмотрели, в общих чертах, явление динамического демпфирования вынужденных вибраций неравномерно вращающегося вала, находящегося под действием одного, моногармонического по а, крутящего момента Мъ.

Здесь предполагался случай как бы внешнего, независимого динамического демпфирования, когда цикличная неравномерность вращения вала вызывалась какими-либо другими, а не Мь, компонентами крутящего момента на валу двигателя. Эта неравномернось, через эффект частотной (в основном) модуляции, воздействовала на гармонический спектр момента Aíh, но, согласно принятым нами условным допущениям, совершенно ж зависела от самого момента М^ и от вызванных им колебаний системы. ' Таким образом, степень неравномерности 8 у нас пока не включала в себя ту »упругую" неравномерность вращения, которая возникает в си-, ¿теме за счет действия именно этого момента Mh.

1еперь на м необходимо остановиться на возможности своеобразного ^втодемпфирования* вибраций, обусловленного тем, что „упругая" неравномерность вращения вала, порожденная моментом Aíh, также ддет частотную модуляцию этого момента и тем, опять же, ценяет эффект его действия на колеблющуюся систему. Для приближенного анализа подобных явлений „автомодуляции" воспользуемся полученными выше результатами нашего исследования эффекта частотной модуляции, полагая е соответствующих местах

V = 7jb.

Ранее, принимая ряд упрощающих допущений, приведенных на стр., 35,

мы исключали из рассмотрения случай *

h — Z ИЛИ V =TQh.-

Сейчас это ограничение для нас уже совершенно не обязательно-

Но пока, временно, предположим и здесь, что моногармоническая неравномерность вращения вала, имеющая частоту v = 7jh, вызвана действием т систему извне, со стороны, каких либо других, не зависящих от Мь> моментов.

Тогда момент Mh получит частотную модуляцию моногармонического Ае характера.

Рассмотрим частный случай синфазной модулягрии

(Aíh) — Mh sin (1f¡bt 4-É sin wm по формуле (84), при 7¡h = v,

£=8/2.

Но, согласно (34),

М\х SÍn 4- S!n TQ|,¿)

--Ми

SI' fl

q Л

4-(— 1 )UgV¡

/0 \1

sin q-%t,

го-есть здесь все спутники, в гармоническом (по времени ¿) спектре мо мента Мьу располагаются по одну сторону от несущей гармоники и имеют частоты, кратные тц,.

Теперь аналогично (89) получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний угла закрутки вала нашей двухмассовой системы по рис. 9:

(!Р М

Мь

Г * / оv ~

Iq-1 J -f (— ])%4-3|2JJ sin qriht

Стационарная часть решения этого уравнения имеет, очевидно, следующую форму: ,

Ч' =

i. sin (í/— 3f/),

(98)

r-\

где

Ф -о м'h г Í — /1/ -\ .....- - 1(] 1

с\ :

№

(- \f'L, »

1

\KÍ

1 q~~\

V «

k.

(100),

, — arcígí 2 y - j ^

Развертывая уравнение вынужденных колебаний (98), получаем:

ЧГ = Ф0 sin (tquí — е0) -f- Ф! sin (2/¡h¿ — Ej)-f Ф2 sin (3r¡hf—e7) -f.....

Здесь:

m яг r~ , v\ \ «tv . _

(i02)

причем Ф0, Ф1... представляют собою амплитуды вынуждеяных колебаний, вызванных отдельными, гармоническими по Ь, компонентами момента^ Щ.

О,

Аналогично, полагая в (27)

■ ' t = it/2; рассмотрим момент

(Mh) ~ Mh sin (ijhí + é cos ríh¿) Для этого случая по формуле (35) при

5 = 8/2

имеем

Aífl sin (t¡;,¿ -{- cos -»¡„i j = Mh j/, ß

f&\ . . /8 2

i« i + (i:) Isin +1) V -f

eos I.

где:

Теперь уравнение вынужденных колебаний вместо (98) получает вид:1)

¥ = ф0 sin (f¡i\t с0) + Ф, cos (2r¡ht— Sl) -S- Ф> sin Ы - s2) (103)

Л О /2х

ф^Р,--!/.

Мь

íjÍ

íiHÜ)

(104)

Входящие дода величины Риз определяются предыдущими формулами (100). ч

На рис. 13 и 14 показаны кривые вынужденных колебаний угла закрутки Ф вала рассматриваемой двухмассовой системы, подсчитанные по уравнениям (98) и (103) при следующих конкретных данных:-

:2,

th kc

= 0,1, T]h = «v (основной резонанс).

Значение 8 = 2 соответствует, настолько большой неравномерности вращения вала, что угловая скорость его колеблется в пределах от 0 до 2%. Конечно, такой случай практически едва ли возможен, даже в экспериментальных условиях, однако он все же принят нами на рис. 13 и 14, с целью получения наиболее наглядной характеристики влияния 8.

Из подобных же соображений принято и большое значение относительного демпфирования кх\кс, так как с увеличением демпфирования в системе усиливается эффект наложения вибраций, вызванных спутниками» на вибрации, создаваемые несущей гармоникой в условиях ее резонанса.

Диаграммы на рис. 13 и 14 показывают, что несмотря на очень сильное искажение кривой возбуждающего момента Ми по времени (по срав-

*) Здесь мы отбрасываем статический эффект постоянного слагаемого: Mhh

с-)

нению с чисто синусоидальной кривой Afh.no а), за счет большой 8—кривая суммарных вынужденных колебаний ЧГ лишь немного отличается от чистой синусоиды. Но неравномерность вращения вала заметно уменьшает амплитуду вынужденных колебаний Фтах по сравнению с той амплк-

1КУ / V \ и лЛ л \ . .ВЫщркд&ш^е кмеЗония угла ч^ \ , ^ т^ у-* к** " , \\ •■ * ■

/ Л -7 / (Г- ■'¿¡тяяш? /з-~с>

Рис. 13

тудой, которая установилась бы в системе под действием момента Мь прн 8=0 (сравнить кривые 2 и 6 на рис, 13, 14).

Как уже отмечалось выше, в системе, имеющей 8>0, возможно появление новых критических скоростей вращения вала, вследствие наличия

кспеаан. узпо (щ/.

; 5" ,5с/т.;-},". /

(е). $1

Рис. 14

в гармоническом спектре момента Мь спутников с различными частотами. Это положение иллюстрируется диаграммами на рис. 15 и 16, где показаны резонансные кривые Фгл/ЧГт, вычисленные нами по уравнениям (98) и (103) для различных 8 и кх1кс. Здесь легко заметить, что интенсивность боковых резонансов резко возрастает с уменьшением демпфирования в системе и с увеличением 8. Однако, в большинстве практически возможных случаев (8<0,2), боковые резонансы едва ли могут иметь какое либо существенное значение.

4. Изв. ТПИ, 61-2.

Наконец, эти диаграммы указывают на очень незначительное (при 8 <0,2) зрлияние степени неравномерности вращения вала на амплитуды резонансных вибраций (основной резонанс) в условиях:

Рис. 15

Из ряда конкретных расчетов, проведенных нами в связи с построением кривых на рис. 15 и 16, следует, что при не слишком большом ^емп-

Рис. 16

фировании (^/^<0,1), в условиях резонанса с несущей частотой (т^ = амплитуды Фь Ф2,.... колебаний, вызванных спутниками, очень малы по

сравнению с Ф0. Поэтому для случая основного резонанса уравнения (99) и (104) можно переписать в виде

Ф0Г*8 =■ Р.

Mh

Ores

к!)-

8

(105)

при возбуждающем моменте

Мь^хп

— sin V

ф

мь

Ores

С1

J0res

при возбуждающем моменте

\

Мь з1п

§.

en

(106)

7)hH--COS t

2

Сопоставление этих выражений, а" также рис. 12 и 13 показывает, чта фаза частотной модуляции С в общей формуле (27) для спектра Мь, имеет достаточно сильное влияние на величину динамического демпфирования вынужденных колебаний при больших значениях 8.

При 8 = 0 выражения (105) и (106) переходят в самую обычную форму

Ф

re s

Mh

'Ores

и дают амплитуду тех резонансных вибраций, которые установятся в системе в случае равномерного вращения вала. Соответствующее отношение:

Ф

Ores f

Фг

©

(107)

представлено в функции от 8 на рис. 17.

Здесь заштрихованная область устанавливает диапазон

возможных колебаний отношения Фог^/Фг^ в зависимости ¿от фазового ума модуляции С, при,каждой конкретной 8.

Из диаграммы по рис. 17 следует, что динамический эффект 8, проявляющийся в уменьшении амплитуд .резонансных колебаний, в условиях синхронной модуляции щ = ч очень невелик, по крайней мере в области достаточно малых, обычно встречающихся в практике, значений 8. В среднем этот эффект можно охарактеризовать отношением

Ф,

гй%

При наложенной извне неравномерности 8 вращения вала конкретная величина С зависит от целого комплекса условий, в которых развиваются колебательные процессы в установке. Учет этих условий в общем случае,

при очень сложен.

Вопрос о величине С решается более просто в случае „авто-демпфирования".

При основном резонансу (*|ь = ®о) несущая гармоника

вызывает вынужденные колебания

4Wsin (rint — тс/2)

с обычным для резонанса сдвигом фаз в 90°.

Теперь мгновенный угол поворота кривошипа (пренебрегая малыми Фь Ф2,....):

а = +- Фогта-Sin (т]ht — тс/2).

Рис. 18

Следовательно, в рассматриваемом случае гармонический момент AíhSina оказывается модулированным по закону

(Мъ) = Мъ sin [7¡hí -1- Ф0 hsin (Tfjh¿ — тс/2)].

Сравнение этого выражения с (27) показывает, что здесь

С = тс/2,

то-есть для оценки эффекта автодемпфирования, на рис. 17 надлежит пользоваться кривой

Фр/gs

Ф m

(т)

(107-а)

Но в условиях автодемпфирования уже нельзя считать величину „упругой" 8 наперед заданной, ввиду круговой связи между 8 и Фсге& через соотношение

2кФ

Ores

(108)

и кривую динамического демпфирования (107-а). Эта „упругая" 8 должна быть определена из следующих соображений.

На рис. 18 построена кривая по уравнению (107-а). Очевидно, что ось ординат здесь можно считать и осью моментов, на которой откладываются величина амплитуды несущей гармоники:

Mh

К

+ h -2 / \ 2

в функции от 8. Горизонталь 1-а дает амплитуду Ми этой несущей в случае 8 = 0.

Подсчитаем резонансную амплитуду Фт при 8 = 0 по обычной фо{¥~ .муле (

ф -8 Ми

и определим по ней соответствующую степень неравномерности

С\

Откладывая 80 на оси абсцисс (рис/ 18), проведем через найденную точку вертикаль дд пересечения с кривой Фог«/Ф«8 в точке а и соединим

О п о „ О Фо/"£8

а прямой с началом кооодинат. Пересечение этой прямой с- кривом---------

в точке Ь дает истинную „упругую" 8, а, следовательно, через формулу. (107-а), и истинную амплитуду вынужденных колебаний Ф0 с учетом, явления „автодемпфирования". Относительный же эффект автодемпфирова-ния^характеризуется ординатой точки Ь.

• *

Подведем некоторые итоги изложенного выше анализа влияния величины степени неравномерности вращения вала на амплитуды вынужденных колебаний его под действием момента Мь$\пка, моногармонйче-ского по углу поворота кривошипа а.

а) Даже чисто моногармоническая неравномерность вращёния вала; приводит к появлению искажений и отклонений кривой вынужденных ко* лебаниа от чистой синусоиды по времени, за счет суммирования вибра-ций с различными частотами, равными частотам гармонических компонент момента Мц.

б) Сложная, не синусоидальная, неравномерность вращения вала ока-' зывает почти такое же влияние на гармонический спектр момента Мь, как и моногармоническая неравномерность. Поэтому динамическое влияние сложной неравномерности на вынужденные вибрации вала не намного отличаются от влияния основндй гармонической слагающей кривой скорости вращения вала г\ по времени,

в) Неравномерность вращения^вала сказывается на его вынужденных вибрациях через эффект частотной (иногда смешанной) модуляции действующих на вал возбуждающих моментов.

г) Частотная модуляция, гармонического по а, момента Мъ никогда, кроме случаев когда Е—корень функции /0(£), не устраняет явления стационарного, то-есть установившегося резонанса на несущей частоте Резонансная ситуация сохраняется здесь неизменно, при любых значениях степени неравномерности 8. Но с ростом 8 уменьшается амплитуда Мь10(£) резонирующей „несущей" гармоники а, следовательно, и амплитуда вызванных ею резонансных колебаний, в соответствии с законом изменения функции Бесселя /0(6). -

(Это последнее заключение, об уменьшении амплитуды несущей гармоники при увеличении 8, не всегда справедливо в отношении инерционных моментов Мин\.

Таким образом, обычная неравномерность вращения вала (обусловленная характером диаграммы тангенциальных усилий на валу двигателя) вообще не препятствует развитию резонансных вибраций во время работы установки на критических числах оборотов. Периодические колебания угловой скорости вала могут привести лишь к некоторому изменению (уменьшению) амплитуд резонансных колебаний и искажению их чисто синусоидального (при 8 = 0) характера.

Поэтому общепринятое объяснение эффекта динамического демпфировав , ния за счет 8>0 перманентным нарушением резонанса, невозможностью установления его даже на малый промежуток времени вследствие непрерывного периодического изменения частоты h*t\ каждого, действующего на вал гармонического крутящего момента, нельзя принимать верным.

Такое объяснение основано на формальном и ошибочном применении основных выводов элементарной теории гармонических колебаний. Здесь, в условиях неравномерного вращения вала двигателя, каждая гармоника Мъ крутящего момента Мкр рассматривается как „синусоидальная" функция времени, имеющая переменную частоту.

Но, щк показано выше, „синусоидальный" момент с переменной частотой (то-есть частотно-модулированный момент) коренным образом отличается от истинно-синусоидального момента как по своим внешним характеристикам, так и по эффекту действия его на линейную колебательную систему. Резонансная кривая для частотно-модулированного момента Мъ имеет свои законы и специфические особенности, неизвестные в обычной теории вибраций валов.

6. Вынужденные колебания линейной системы при сложном

периодическом возбуждении

В предыдущих разделах данной статьи было показано, что каждая,, гармоническая по углу поворота кривошипа а, слагающая Мь крутящего момента Мкр на валу двигателя, вводящая в обычное разложение Мкр в ряд Фурье (1), уже перестает быть моногармонической функцией времени в случае вращения вала с переменной, колеблющейся скоростью. За счет эффекта частотной (а в отношении инерционных гармоник и смешанной) модуляции при 8>0, истинный, гармонический по t, спектр каждого момента Ми, а, следовательно, и всех Ah и Ви в формуле (1), содержит целый ряд моногармонических компонент—несущую гармонику и спутников.

Суммирование этих компонент, вычисленных для всех Аь и Ви, дает полный, гармонический по времени, частотный спектр крутящего момента Мкр на валу. Очевидно, что теперь, при 8>0, кривая Мкр=/0(а) отличается от кривой MKp—f(f) по своей форме, и, может быть, характеру1).

Для конкретного изучения влияния 8 на сложный крутящий момент Мкр двигателя примем, как и ранее, простейший случай колебаний угловой скорости вращения кривошипа по моногармоническому закону (82-а), При этом условии мгновенный угол поворота кривошипа

а = 714 + X sin (v¿ — 0, (109)

где

л = (110)

v 2

Подстановка значения а из (109) в ряд (1) дает

Мкр - уио + Мкр' + Мкр\ (111)

Здесь

^ СО '■ ""

Мкр = sin h [rJo¿ K sin (v¿ — ;)], (112)

h=i

*) Здесь под 3 следует понимать степень неравномерности вращения кривошипа рассматриваемою цилиндра. Эта 8 может быть „жесткой" или .упругой", но в последнем случае необходимо считать исключенным или очень малым эффект звтомодуляцни.

со

Мкр' = V1 Вь cos h [V J - >. sin (vi ■— C)].

(113)

Для упрощения дальнейшего исследования предположим, что в крутящий момент Мкр, представленный выражениями (1), (111)—(113), входят лишь газовые гармоники. Это равнозначно условию, что исходная кривая MKp=f0(a) была построена по индикаторной диаграмме без учета сил инерции шатунно-кривошипного механизма. Инерционные же моменты могут быть учтены особо.

Первое, постоянное, слагаемое М0 в (1) н (111) не представляет какого-либо интереса. Рассмотрим второе слагаемое, МКр в (ill), определяемое рядом (112).

Для развертывания этого выражения воспользуемся формулой (27), полагая в ней

eh = 0;

rjh — i/t7)0;

hi.

Тогда из (112)

со

+ V (A*) sin [(Лт,о + д.) t - </;]+ 4

(114)

Равным образом, принимая в (27) имеем из (113):

— Ла,

DO

-f /?(AX)cos [(ATi0-f qv)t — +

oo

-f (— 1)4/cos pri0 — qv)t+qq

«7=1

Теперь подставляя (114) и (115) в (111) и принимая обозначение

h — v/ri0,

яолучаем уже более конкретную форму выражения крутящего момента Мяр'-ъ функции времени: ^ . 1

оо

Мкр — Ме + ^ Аъ | /о (АХ) sin AV+ 15¡1

Iq (hX) sin [(h -f qh0) V — q(.\ -f-

q=\

^ S x)qIci m sin [ih"qh) ^^

,g=l

+

O©

■s

nsr

/0 (hl) eos hritft -f-

<JU

W COS [(A + qh o) ¿ -

со

+ V (- (h>) COS |(A- #o) / + 9CJ. ' ZJ ' q=1

(116

При каждом конкретном и; конечно, всегда целом (для двухтактных двигателей)_ значении А0 порядка цикличной неравномерности вращения вала выражение (116) после развертывания сумм и соответствующей перегруппировки слагаемых может быть приведено к виду:

Мкр — М0 + ^TUh sin hri9t -f Bhcos Ari0¿ h=l li=i

(П7)

или

со

Мкр — M^2j Mh sin (hTií>t +

Jl—л

где

АГ(1= |/ Л^+ДГ» Bb

Sh = arctg

А«

(ИВ)

'(119)

«

(120)

Входящие сюда величины Аь, Вь Мь. представляют собою амцлитуды момогармонических, уже по времени слагающих крутящего момента МКр на валу двигателя *).

А) В четырехтактных двигателях индекс А'здесь, конечно, будет принимать не только целые, но и дрэбные значения:

* = V* ^ Ws. 2...

\

Все Аь, Bh и Мь в формулах (117)—(120),' очевидно, являются сложными функциями всех 4 и Въ, входящих в ряд (1), а также зависят от hy Л0, X и о.

Детальный анализ ряда (116) в общем виде представляет значительные затруднения и не может дать достаточно наглядных результатов.

Выше было показано, что эффект частотной модуляции за счет 8, каждой гармонической по а слагающей Жь крутящего момента Мкр на валу двигателя возрастает с увеличением отношения -цф. В двухтактных двигателях минимальная возможная частота v цикличных колебаний скорости вал^ на протяжении одного оборота, очевидно, равна средней угловой .скорости его вращения, то-есть

V = Ъо>

и, следовательно,

й0= Ь

Рассмотрим этот, особо интересный для нас случай, когда динамическое демпфирование, обусловленное неравномерностью вращения вала, оказывается наиболее, эффективным.

Полагая в (114) v = т)0, после ряда не особенно сложных, но достаточно громоздких преобразований, получим:

со

Мир' — V sin II Ы -\- L si!i (V — С)3 =

А + М s(nATl0Í + y -fl7 cos hrlot, (121)

^ .JBBMS

ь=Г ÍTtt

гд$ :

А0= > (- 1)" APIP (pi)sin/?;. (122)

/».,: i

I \

Аь'= V AP |/ , (/>/.) COS (Л —/7):

p^l

(- Jjh+/> /h+/, (АО cos (А+ С], (123)

^ Ai /7 (р*о sin (/г — /?): 4-

р

-f (— 1У"' А,: ,, (рк) sin (A -f/?) :]. (124)

Аналогичным образом из-(115), при v == tí0:

CJÓ

' -- -- ^P' cos h [tjo/-f л sin (rtoí—С)] =

У ^''sinAYloí + ^^cosArloí 1 (125)

х?л ll=l

Здесь

S7=2 (- cos />с

(126)

Л,,-' =

<ju

V, [V

/

Р = *

h-я (pX)sin(A— P) t+

со

í/h~'(/?x) cos {h ~'p) c+

'(127)

i

1 )Wh+P(^)cos(A+p)C].

(128)

Теперь, подставляй все это в общее выражение (111), получим, подобно (117), истинный гармонический спектр момента Мкр:

оо

Мкр = Aí0 + ^ Ль sin h [V -f X sin — С)] + h=l

со

+ Bh cos h [y\0t +1 sin (7|oi — С)]

h=i

или

= Mo + ^ i4h sin b]0¿ + J3h cos hr\0t, где уже конкретно:

Mo=*Mo + A¿+B¿=

Эй

У'Л/*) Ир sin/?C + ^ eospQ

» = 1

oo

„=1

Pp cos (A — p% + #Psin (A - p) C] 4-p(^X)

+ [— A p eos (h+py^-В 0sm(h + p)í](~ I )b+p¡h+p(p\)

S

= = Bh = '

[— Ap sin (h—p)C 4- Bp cos (h~p)l} Ih_p (pk) +

+ [Ap sin (h + p) С + Bp cos (A+/>) С] (- \f+Ph+P{pK)

(П7)

(129)

(130)

Наконец, эти же выражения можно было бы записать_и в более общей форме (108), причем входящие сюда значения Ми и eh определяются формулами (119) и (120). *

Формулы (129)—(131) значительно упрощаются в частном случае, когда фазовый угол цикличной неравномерности

С = 0.

При этом условии в выражении (117):

со

Жо = М0 + 1)pBp¡P (132)

A¿= 2 [Л-^) - (133)

/>==!

оо

= (/*) + (- 1 (134)

р~ i

Примерные расчеты показывают, что при

и А>1

2

(первое из этих условий безусловно всегда выполняется на практике) можно, без существенной погрешности, пренебречь вторым слагаемым под знаком суммы в правой части выражений (130) и (131) и записать и*: в более простой форме:

оо

А~ь= у [Ap.cos(h — p)$ + Bpsin(h—p)r]Ih_p(p\), (135)

Р=i

i ..

оо

Ар sin (h-p)l + Bp QO$(h-p)qi^(pí), (136)

так как при умеренном I и А>1 функции Б е с с е л я первого рода всегда удовлетворяют неравенству

Лишь для h = 1 (порядок h исследуемой гармоники равен порядку Af. частотной модуляции), при большом значении о, необходимо применять точные выражения (130) и (131).

Для выявления конкретной связи между степенью: неравномерности: вращения вала 8 и истинным гармоническим спектром крутящего момента Мкр мы провели детальные расчеты по формулам (129)—(136), для одного одноцилиндрового двухтактного дизеля с средним индикаторным давлением pi = 7,0 кг\см\

Амплитуды гармонических составляющих (отнесенных к 1 см2 площади поршня и 1 см радиуса кривошипа) крутящего момента, создаваемого на валу этого двигателя давлением газов, приведены в таблице (см. ниже).

h Mh кгсм Afj кгсм Bh кгсм

1 4,60 4,29 + 1,65

2 4,10 ,08 — 0,36

3 2,84 2,80 -0,39

4 1,76 1,67 — 6,54

5 1,06 0,98 — 0,41

6 0,64 0,57 — 0,30

7 0,40 0,34 — 0,21

8 0,26 0,22 — 0,15

9 0,18 0,14 — 0,11

10 0,10 0,08 — 0,07

11 0,07 0,05 — 0,05

12 0,06 0,04 — 0,04

Дальше, как и ранее/ предполагаем, что угловая скорость вращения кривошипа меняется по моногармоническому закону (82-а), причем

' V = Yjo.

Принимая конкретные числовые значения для степени неравномерности 8 и фазового угла.С, по формулам (129)—(136), вычисляем компоненты М\ь Au, Bu истинного гармонического по спектра Мкр и по (120) фазовые углы

Теперь подсчитываем отношение

Ж

Ми

\ , . . , i характеризующее конкретное влияние неравномерности вращения в^ла

(или, точнее,—кривошипа) на каждый, гармонический по а, момент Ми в

разложении (1). Величина ¡xh, с известной степенью условности, может"

быть названа коэффициентом динамического демпфирования за счет 8.

Результаты наших подсчетов приведены на рис. 19—22.

На рис. 19 *) показан закон изменения коэффициента динамического демпфирования

М\

для гармонического момента первого порядка, в функции от 8 и С.

На рис. 20 более детально представлена зависимость ^ от фазового угла С, при некоторых конкретных значениях степени неравномерности 3.

Диаграмма на рис. 21 характеризует связь коэффициента динамического демпфирования со степенью неравномерности 8 при различных Л.

Здесь иллюстрируется уже сделанное ранее заключение об усилении эффекта динамического демпфирования с увеличением отношения А/А0. то-есть при относительном замедлении колебаний скорости вращения вала машины. '

Наконец, рис. 22 дает связь между 8, С и истинным фазовым углом гармонического (по времени), момента Мх sin + первого порядка.

Здесь везде мы совершенно намеренно проводили расчеты даже для очень больших, и едва ли возможных в практике, значений 8, имея целью' наиболее резко и отчетливо выявить динамический эффект неравномерности вращения вала.

!) На рис. 19, 20 и 21 коэффициент динамического демпфирования [л обозначен через ZX

Анализ рис. 19—22 и все предыдущие выкладки дают достаточные основания для следующих выводов об эффекте 8.

Периодическая неравномерность вращения вала, нарушая точную, пря-

Рис. 21

I

4

¡"O..!

e«

Ci

'S

I

...........

1 S-

J>

ДбутоктнЬш дизелЬ Pi'7,0^ 9 пл.

ñ > л Л 1 —....... у:

S

Рис. 22

нем t, через эффект частотной (а в отношении инерционных гармоник—и смешанной) модуляции, трансформирует всю диаграмму крутящих моментов МКр=/о(а) на валу двигателя. Эта трансформация, обнаруживающаяся, напр., при перестройке диаграммы с оси абсцисс а на ось абсцисс t9 ведет к изменению всех гармонических слагающих крутящего момента как по амплитуде, так и по фазе. Так, например, момент

Мь Sin (ha -j- eh)

переходит в

Mh sin (át¡0¿ -j- sh).

Влияние неравномерности вращения вала на его вынужденные вибрации может, в известной мере, характеризоваться коэффициентом динами-ческого демпфирования

Мь

^ ж•

В линейной системе, со скоростным демпфированием амплитуда вынужденных колебаний при резонансе пропорциональна амплитуде резонирующей гармоники (если, конечно, пренебречь при этом эффектом всех остальных, не резонирующих гармоник). При 8 = 0 на систему действует гармонический момент Mh, вызывающий, в условиях резонанса, вынужденные колебания с амплитудой Wm. В случае же неравномерного вращения вала (8>0) резонансное состояние не нарушается, но резонирующая („несущая") гармоника уже имеет амплитуду

Ж = рьМъ

и, следовательно, дает вынужденные колебания системы с амплитудой

Wres = ^ res.

Таким образом, коэффициент ¡xh учитывает динамическое влияние неравномерности вращения вала на амплитуды его резонансных колебаний. Этим оправдывается принятое нами наименование ji* как коэффициента динамического демпфирования за счет 8.

Коэффициент p-h различен для каждой гармоники крутящего момента и зависит не только от величины степени неравномерности 8, но и от ряда других факторов, а именно от:

а) отношения hjh0 порядка рассматриваемого гармонического момента Мь к порядку цикличных колебаний скорости вала (точнее—к порядку главной гармонической составляющей кривой мгновенной угловой скорости вращения соответствующего кривошипа);

б) вида и характера индикаторной диаграммы двигателя или, точнее, характера, гармонического по а, спектра крутящего момента Мкр, соотношения амплитуд отдельных компонент Мп этого спектра, их фаз и т. д.;

в) фазового угла цикличной неравномерности вращения вала С.

Согласно рис. 22, неравномерность вращения вала сказывается наиболее сильно на гармонических (по а) моментах Mh высоких порядков. Это ч обстоятельство целиком соответствует сделанным ранее заключениям об увеличении эффективности влияния 8 на структуру спектра МКр с уменьшением частоты V по сравнению с /гщ.

Зависимость коэффициентов jai, от характеристик спектра Мкр по а находит себе объяснение в том, чго при воздействии частотной модуляции, напр., на один моногармонический по а момент

Мь Sin (ha -f- eh), (a)

этот момент выделяет из себя^делый ряд спутников, располагающих^ во обеим сторонам несущей гармоники. Поэтому в итоге каждый, .гармонический по./, момент

ЛМш^Чо* —вь)*

в истинном гармоническом спектре Мкр (формула 116) включает в себя не только несущую гармонику, выделившуюся из момента (а), но и всех совпадающих с ней по частоте спутников других слагающие Ми крутящего момента.

Конкретные подсчеты показывают, что изменение среднего индикаторного давления р-г в двигателе в умеренных пределах:

— нг/см2

приводит лишь к небольшим коррективам в графиках на рис. 19—22, выполненных для р1 =7,0. Этот факт не находится в противоречии с приведенным выше заключением о связи между коэффициентом у. и формой индикаторной диаграммы, так как умеренное изменение рг не вносит существенных изменений в общую закономерность диаграммы тангенциаль-, ных усилий для данного двигателя.

Согласно рис. 21, коэффициент ри, в зависимости от фазы С, мажет оказаться как меньшим, так и большим единицы. Но значение

характеризует у в е л и ч е н ие амцлитуд вынужденных резонансных колебаний одновременно с ухудшением равномерности вращения вала.

Ранее мы установили такую возможность усиления вибраций за счет увеличения 8 лишь в отношении инерционных гармоник, которые при 8>0 получали смешанную модуляцию. Здесь же у нас выясняются условия и причины возникновения явления отрицательного демпфирования и в системе, находящейся под действием только „газовых" крутящих моментов.

Как отмечено выше, в амплитуду каждого, гармонического по I момента Мь входит не только амплитуда „несущей* части гармонического шо а момента Мь, но и амплитуды ряда спутников, выделившихся за счет ^>0 из состава других гармонических по а компонент крутящего момента Мкр. Таким образом, напр., в условиях „резонанса" момента М\ъ то-есть при

7Ц, — Й7]0 = о>0

резонансные вибрации будут создавать не только несущая часть „резонирующего14 Ми, но и соответствующие спутники других слагающих момента М р, названные выше. Амплитуда суммы этих синхронных вибраций, конечно, зависит о г соотношения фаз всех резонирующих одновременно гармоник, то есть прежде всего—от фазы С.

Теперь очевидно, что коэффициент динамического демпфирования-[Ал может получить значения > 1, если на помощь „резонирующей* *) гармонике Мь, через своих резонирующих сейчас спутников, придет и ряд других, не резонирующих в обычном смысле этого слова, гармонических но а компонент Мкр.

Фазовый угол частотней модуляции С впервые появился у нас в выражениях для истинного ума поворота кривошипа в случае п-ростой моногармонической неравномерности его вращения (формула 109).

Мы применяем здесь кавычки, учитывая, что момент Мь имеет периодически переменную частоту.^

Приближенное определение конкретной величины С, в каждом отдельном случае, ие представляет особо больших затруднений.

Очевидно, что второе слагаемое в (109) характеризует колебательный процесс, наложенный на равномерное вращение вала и вызванный действием момента

Му БШ (>£-[- еь).

При сравнительно малой, в большинстве случаев практики, величине степени неравномерности 8, в первом приближении можно пренебречь явлением автомодуляции и принять:

Му = Му ,

= еь,

где величины Му и еь заимствуются из результатов обычного гармонического анализа кривой Мкр—/0 (а).

Но, как всегда, вынужденные колебания отстают от возбуждающей силы на некоторый угол о. Следовательно, в нашем случае кривошипы будут колебаться по закону

Хеш — а).

Сравнение этого выражения с правой частью уравнения (109) дает

С = а-ей. (137)

Входящий сюда угол о, как обычно, зависит от величины действительных скоростных демпфирующих сил в системе и от коэффициента настройки

v

IV =-

О>0

н может быть подсчитан по известным формулам, при каждом, конкретно заданном значении^. Теперь, при известных уже С и 8, напр., по графикам, аналогичным рис. 22, определяется и соответствующее значение коэффициента динамического демпфирования для всех интересующих нас порядков гармоник Л.

Очевидно, что угол С, в зависимости от ряда конкретных обстоятельств, может приобретать самые различные значения и, соответственно, менять не только величину, но и знак динамического демпфирования вибраций системы, обусловливаемого неравномерностью вращения вала двигателя. Поэтому, вопреки обычным взглядам, у нас нет никаких оснований исключать вероятность усиления тех или иных вынужденных вибраций вала с ростом 8, за счет эффекта отрицательного динамического демпфирования.

7. Выводы

1. Периодические колебания скорости вращения вала на протяжении каждого его оборота сказываются на вынужденных вибрациях вала, в основном, только за счет „деформации" диаграммы крутящих моментов. При этом гармонические (по £) моменты с амплитудами Мц и фазами е* отличаются от тех Мц и е^, которые определяются гармоническим анализом обычной диаграммы тангенциальных усилий, построенной по углу поворота кривошипа а, а не па времени как это следовало бы сделать по существу, при правильном применении к линейной системе общей методики разложения заданной силовой функции в ряд Фурье.

б. Изв. ТПИ 61-2 ' 65

2. Переход от и еь к Мь 'И то-есть гармонический анализ кривой Мкр по времени, проводит сама колеблющаяся система, откликающаяся (в условиях ее линейности) именно на гармонические по t компоненты Мкр. Объяснение эффекта модуляции, конечно, следует искать не. в каких-либо математических операциях, а в самых основных свойствах линейной колебательной системы, как гармонического резонатора.

3. Критерием /интенсивности влияния 8 на вынужденные резонансные вибрации вала, вызываемые, .напр.,' гармоническими моментами кто порядка, можно считать коэффициент динамического демпфирования

• „Г" _

Жь ~

характеризующий изменение амплитуды вынужденных колебаний системы }№ге5 за счет 5>0, по сравнению с той амплитудой которая установилась бы в системе при 8 = 0.

4. Вопреки единственной пока теории учета влияния 8, предложенной Къером и Манси {13, 14], этот коэффициент динамического демпфирования является очень сложной функцией не только 8 и отношения но

и целого ряда других факторов.

5. Вопреки общепринятым взглядам, следует признать, что периодическая неравномерность вращения вала не ликвидирует возможности развития стационарных резонансных вибраций в системе и, очевидно, не всегда, может привести к уменьшению амплитуд вынужденных колебаний. Не исключены случаи, когда неравномерность вращения вала будет стимулировать развитие вынужденных резонансных вибраций.

6. Эти обстоятельства и все наши предыдущие выводы показывают, что теория о сбивании резонанса в системе, имеющей 8 > 0, предложенная Кьером и Манси, совершенно не соответствует действительности. Она не отражает существа динамического демпфирования и физической картины этого явления. Применение ее может привести лишь к ошибочной оценке роли и относительного значения динамического демпфирования вибраций валов установок ЛВС и, вообще, установок с поршневыми двигателями.

7. Конечно, и предлагаемая нами теория учета эффекта неравномерности вращения вала не является совершенной. Очевидно, что с увеличением неравномерности вращения вала не только усиливается модуляция крутящих моментов, но возрастает и действительное демпфирование в системе за счет дополнительной потери энергии в валу, усиления ударов в подшипниках и т. д. Но все эти потери зависят от индивидуальных особенностей каждой конкретной силовой установки и едва ли могут быть: обобщены каким-либо теоретическим анализом или экспериментом. Равным образом их не в состоянии учесть и формула Манси. .

8., Сложная зависимость коэффициента от целого ряда факторов, исключает повидимому, возможность получения какой-либо, достаточно надежной, теоретической или экспериментальной^ универсальной формулы для подсчета динамического демпфирования вибраций валов установок, имеющих 8>0;

/Но, как показывают примерные подсчеты, при малых, обычно, значениях 8:

1 1

и

20 40

%

к < 6 + ю

можно полностью пренебречь эффектом динамического демпфирования, вызванного неравномерным вращением вала, так как при этих условиях колебания ^ около единицы в зависимости от Л и С, очень невелики. Фор мула же Манси дает здесь крайне преувеличенную оценку эффекта & В более редких в практике случаях, когда

и

h >6-4-10,

для детального учета влияния Ь целесообразно провести подробный анализ и подсчет Несоответствии с изложенными выше соображениями. Подобный же анализ необходим и при экспериментальных* исследованиях вибраций, имеющих целью выяснение роли отдельных типов демпфирования в общем балансе демпфирующих сил в установках ДВС.

9. Наконец, следует отметить, что при обычных в практике значениях £ и */h0| можно совершенно пренебречь эффектом неравномерности вращения вала во всех расчетах ширины запретных разонансных зон в области рабочих скоростей двигателя.

Только при цчень больших 8 и h/ho\ необходимо соответствующим образом передвинусь границы каждой из этих зон, исходя из детального учета динамического эффекта неравномерности вращения вала, на основе изложенной выше теории.

ЛИТЕРАТУРА

1. Житомирский В. К.—Дизелестроение, 1937, Ks 2,4.

2. Кузьмин Р.—Бесселевы функции, ОНГИ, 1935.

3. Лурье И. А.—Крутильные колебания в дизельных установках, Военморизт, 1940/

4. У итт^кер К. и Ватсон Г.—Курс современного анализа, т* И, ГГТИ, 1934.

5. Нечаев В. К.—Динамическое демпфирование вибраций и формула Манси (ру-жопись).

6. Неча^ев В.*К.—Теоретические торсиограммы для валов ДВС Известия ТИИ, т. 58 <1937), вып. 2.

7. Рытов С.—Модулированные колебания и волны. Труды Физического ин-та АН СССР, т. II (1940), вып. 1.

8. Рытов С. М.—Успехи физич. наук, т. XXIX (1а46), вып. 1—2.

9. Папалекси Н. Д.—Успехи физ*ч. наук, т. XXXI (19\l)t вып. 4. -

10. Серенсен%С. В. и Тетельбаум И. М.—Динамическая прочность в машиностроении, Машгиз, 1945.

11. Гогин А.—Судостроение, 1940, № 12,

12. Гогин А.—Сб. докладов по динамический прочности деталей машин, А. Н. СССР, 1946.

13. Kjaer V. A.—Vibrations de torsion dans les vilebrequins des moteurs Diesei, Bulletin Technique du Bureau Veritas, 19J1, May.

14. Mancy 1.—'Théorie des oscillations de torsion des lignes d'arbres de moteurs a combustion interne, Bull. Teclm. du Bureau Veritas, 1931, Août.

io. Lewis F.—Trans. S c. Nav. Arch, and Mar. Eng., 1925.

16. Tupl in W. A —Torsional Vibrations, New-York, 1934.

17. К er Wilson W.—Practical Solution of Torsional Vibration Problems, New-York, 1935,

18. Wydler H.—Drehschwingungen in Kolbenmaschinenanlagen, Berlin, 1922.

«

Страница 7

9 ' 10

19

19 2i

22

25

27

30 3í

31

34

38 42

Строка

3 снизу

2 сверху

1 снизу

6 сверху

7 сверху

4 снизу

7 сверху

3 снизу

3 сверху

25 сверху

2 сверху 13 снизу

12 сверху

3 снизу 20 сверху

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ Напечатано

результате

а = hri0 t

ls = bl

Должно быть результаты

а = г.л t

-J2q + 3(?)]

(Si) Sln(rlftí + sin (ríA — 2v) t

[н-^cos (ví- í)]

o*2 í

e {

2g + 3

(2)1

[y0(;i) sinrjAí +

sin (T(A — 2v)f + . o

C:

[л н o

1 +A eos (ví - o]

c =

изменяющиеся (69) m9

-ЧЭ

V Aípsin(/7a-cp')

слагающих

k kr

2" 16

уменьшающиеся (65)

оо

I

слагающей

¿/Л,

47 14 сверху со W = ф 1 q—1 оо *=2

q=l

48 12 сверху у (т) »

51 5 сверху -у sin чf ' sin Y]A /

52 23 сверху ф0 Ф0г«

54 5 сверху принимать признать

ч) 55 17 сверху оо ОО

q= 1 q=1

57 2 снизу г Мкр tt Мкр

58 3 снизу = ВН~ Bh Вн = %+В"н

64 4 сверху sin (Лтю í — 1л) Mh sin (Лтю * + Тл)

79 4 снизу + 1,0229 + 1,0223

87 2 снизу отя ^¿+1» отн"} ('fiomw — 1, о/пи)2

90 6 сверху Mh = II V

92 5 сверху i +cl\l Ьотн = 1 ' 2 + II ?1о/ик —

Изв. ТПИ, т. 61, вып. 2.