Редукция аффинной связности многообразия к фундаментально-групповой связности подмногообразия Текст научной статьи по специальности «Математика»

9. Stepanova L. V., Banaru M.B. On hypersurfaces of quasi-Kahle-rian manifolds // Analele Stiintifice ale Universitatii «Al. I. Cuza». Iasi, 2001. T. 47, № 1. P. 65—70.

10. Abu-Saleem A., Banaru M. Some applications of Kirichenko tensors // Analele Univ. Oradea, 2010. T. 17, № 2. P. 201—208.

11. Banaru M. On the Gray-Hervella classes of AH-structures on six-dimensional submanifolds of Cayley algebra // Annuaire de l'universite de Sofia «St. Kl. Ohridski». Math., 2004. Т. 95. P. 125—131.

12. Кириченко В. Ф., Банару М. Б. Почти контактные метрические структуры на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2014. Т. 127. C. 5—40.

M. Banaru

On almost contact metric hypersurfaces of 6-dimensional Kahlerian submanifolds of Cayley algebra

It is proved that 2-hypersurfaces in 6-dimensional Kahlerian subma-nifolds of Cayley algebra admit non-Sasaki and non-Kenmotsu almost contact metric structures.

УДК 514.76

К. В. Башашина

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

Редукция аффинной связности многообразия к фундаментально-групповой связности подмногообразия

В п-мерном гладком многообразии Уп задан объект аффинной связности способом Лаптева — Лумисте. Рассмотрено подмногообразие Ут, которое представлено как семейство меньшей размерности, описанное точкой многообразия Уп. В рас-

© Башашина К.В., 2015 36

слоении, ассоциированном с гладким подмногообразием, задана фундаментально-групповая связность. Показано, что объект аффинной связности редуцируется к объекту фундаментально-групповой связности.

Ключевые слова: аффинная связность, гладкое подмногообразие, объект кривизны, объект кручения, формы связности, фундаментально-групповая связность.

1. Задание аффинной связности 1-го порядка. Рассмотрим «-мерное гладкое многообразие У„ со структурными уравнениями

ёа1 = ал ла1л , (I, Л, К = 1, п), (1.1)

ёаЛ = аК лаК + аК л^ЗК, (аЛК ла] лаК = 0) (1.2)

и деривационными формулами

ёА = а1в1, ёв1 = а'11ел + алел (ел = ел1). (1.3)

Исследуем связность в расслоении реперов 1-го порядка Ь(¥п) со структурными уравнениями (1.1, 1.2), типовым слоем которого служит линейная группа Ь«2 =ОЬ(п), действующая в

касательном пространстве Тп к многообразию Vп в точке А, фиксируемой вполне интегрируемой системой уравнений

а1 = 0. Такую связность будем называть аффинной [1]. Связность в главном расслоении Ь(Уг) задается способом Лаптева — Лумисте [2] с помощью форм

^^ = аЮ-ГКаК , (1.4)

где ГК — некоторые функции, дифференциальные уравнения которых будут получены ниже. Внешние дифференциалы форм (1.4) приводятся к виду

ёт' =шК лшК +аК л (Г +а'ж) - Гм Г^аК лаь , (1.5)

причем дифференциальный оператор А действует следующим образом:

АГж = ¿гж -Гк®Ьк -Г1ксС + ГжСь .

Преобразуем выражение (1.5) так, чтобы внешние дифференциалы форм ш выражались через них самих и линейные комбинации базисных форм. Для этого выражения, стоящие в скобках, запишем в виде

АГк + ®ж = Гкь®Ь. (1.6)

Учитывая (1.6) в системе (1.5), запишем структурные уравнения форм аффинной связности (1.4) в виде

т к Т Т к Ь

dшJ =ш3 лшк + Яжьа л а , (1.7)

^-ЖЬ = ГJ[кь] -ГЛкГМЬ] . (18)

Утверждение 1. Аффинная связность в расслоении реперов Ь(Уп) задается с помощью объекта связности Г]к, компоненты которого удовлетворяют уравнениям (1.6) и определяет формы связности ш1т, подчиненные структурным уравнениям (1.7), в которые входит объект кривизны аффинной связности Я^кь, определяемый формулами (1.8).

Внося формы аффинной связности (1.4) в структурные уравнения (1.1), получим

dC = С лШ3 + З^к® л ак ,

где Б^к = Г^к ] — объект кручения аффинной связности.

Альтернируя уравнения (1.6), получим АБ^к = 0, где символ = означает сравнение по модулю базисных форм а1.

Утверждение 2. Кручение Б^к аффинной связности, задаваемой объектом Г]к, является тензором.

Продолжая уравнения (1.6), найдем

Ш ЖЬ - 1 ШаКЬ -1МКаЖ + 1 Ж®МЬ + ®ЖЬ = u, откуда с помощью уравнений (1.6) и формул (1.7) получим

МКЬ = 0.

Утверждение 3. Объект кривизны Я1ЛКЬ аффинной связности является тензором.

2. Связность в расслоении, ассоциированном с подмногообразием. Пусть в многообразии Уп дано подмногообразие Ут. Произведем разбиение значения индексов на две серии:

1=(1, а); 1, ) к=1, т ; а,Ь,с= т +1,п.

Подмногообразие Ут представим как т-параметрическое семейство, описанное точкой А многообразия Уп. Ввиду такого

представления можно считать, что ( — линейно независимые формы, а формы аа линейно выражаются через базисные формы

аа = Л,( , (2.1)

где лЛа — функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям

АЛа - ЛЛЧ + Ч = Л®1 (Л = Л - лр! + Л&а), (2.2)

причем л1а являются симметричными по нижним индексам, ! = , 8 — символ дифференцирования вдоль подмного-

Ут

образия Ут. Согласно методу Г. Ф. Лаптева [3] геометрический объект Л называется фундаментальным объектом первого порядка подмногообразия Ут. Деривационная формула (1.3а) для точки А еУт с Уп, смещающейся вдоль подмногообразия Ут, принимает вид

8А = а1е1, (2.3)

S = et . (2.4)

Произведем частичную канонизацию подвижного репера (eb ea} касательного пространства Tn, помещая векторы ei в касательное подпространство Tm. Такой репер служит репером первого порядка подмногообразия Vm. Тогда из обозначений (2.4) следует

Ла = 0 » si = ei. В этом случае соотношения (2.1), (2.2) упрощаются

ва = 0, Оа =ЛЛ]а3 . (2.5)

Продолжая дифференциальные уравнения (2.52), получим

АЛ + Оа =Л]к®к, Л[k] = 0. (2.6)

Фундаментально-групповая связность в главном расслоении G(Vm) со структурными уравнениями

de' = С лО) , (2.7)

dO) =0k лвк + ск лЗ^ 4 =вк +Лвк), (2.8)

dO] = О, л O,a + с' л 4 (4 = Оаы - Л) ), (2.9)

dO] =O] лО) +Ob лОЬ +С л),] , (2.10)

где G — подгруппа стационарности подпространства Tm в пространстве Tn , задается с помощью форм

Q' =О)-П)кСк, па =О]-Паыс, = О]-П'а^ , (2.11)

где функции П)к, П, П'а]- удовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям, которые будут найдены ниже. Внешние дифференциалы форм (2.11) имеют следующий вид:

dQ, =Ок лОк +ск л(diïk-ПО +4),

dQab =всь A0a + a' a(dnabl-Щв/ + 3abl),

daa =ej лв] +вЪ aв] A(dn>a] -njktf +0,).

Введем в эти уравнения формы (2.11)

dQj = Q) aQ) +nkflrnl aQ) + Q) АП1ышт +

+ Пк}1ф1 АПктот + ak A(dnJk -П.вк +9jk), dnaa = Q aQac + Псыа1 aQac + Qcb aПfa1 + + ПСЫa1 АП°aJ + a' a(d.Паы-П] + 3abl), dQ'a = Q3a aQa + П]акak aQ j + Q]a aП'}1 al + П]акak aП flal +

+ Qb a Qb + Па1 AQb + Qb лП^ + П^а лП^ +

+ aJ A(d П — Пв) + 0 ).

В слагаемые, содержащие лишь одну из форм (2.11), подставим выражение этой формы

dQ) =q) aQ) +ак a (ЛП)) + 3% )-Пка1 лП^, dQba = Qc A Qca + a' a (ЛПьЫ + X ) - Псыа' a Ща1, (2.12) dQa =Qj aQ', +Qba AQb a (ЛП'а,-П)] + Пъ0ъ +0J ) -

-П.У АПJial -П%a A^aka' .

Согласно теореме Картана — Лаптева формы (2.11) являются формами связности, когда их внешние дифференциалы есть суммы внешних произведений этих форм и внешних произведений базисных форм. Значит, выражения в круглых скобках должны быть линейными комбинациями базисных форм

Л + 4 =П)ы®1, Л = ,

Л.-Л1}вка + Льа]в] =Л'фак.

Определение. Назовем О-связностью [3] связность в ассоциированном расслоении О(Хт), задаваемую объектом связности Л ={ Л к, Л а , Л1. }.

Учитывая дифференциальные уравнения (2.13) компонент объекта О-связности Л в выражениях (2.12), получим

ёП) = Пк лПк + Я']к1 юк лС , ёП. = Псъ л ПС + К. с' л С,

п=па л П.+П] л пъ+яа]к с л ск,

где компоненты объекта кривизны О-связности Я ={ Я'.к/, Я],- , Я'— } выражаются по формулам

п! _ т-г1 цт ГГ' па — ца ГТС па

Я]к1 = П ][к1] П .[к Пт1 ], ЯЪц = ПЪ[у ] ПЪ[) Пс}],

Я'а]к = Па[.к] - Па[.П\к] - п][.П]к] .

3. Редукция объекта аффинной связности к объекту фундаментально-групповой связности. Представим часть дифференциальных уравнений (1.6) компонент объекта аффинной связности Г в подробном виде, соответствующем компонентам объекта фундаментально-групповой связности П

и объекту Л^- :

г-гас-г)аК-пс-г}к с. +

+ Г¡кС1 + Г"кс'а +с']к =П]кЪС,

ёГ'а} -Гакс) -Г'аЪС} - ^^а - ГЪ,СС] + + ГаЮ'к + ^Ю'ъ + = ГщКсК ,

(3.1)

(3.2)

йта Та г^] Та „с Та г^] Та „с I

I I т-с „а . _,а та а

+ 1 ¿® ] + 1 ыЮс + 0)Ъ,■ = 1 Ъ1Т® ,

Ыш]

ъа1

(3.3)

та к та„Ъ та „к г^а Ъ .

й1 ц — 1 1кЮ ,■ — 1 1ЪЮ ,■ — 1 к] <!)■ — 1 ъ] +

■] ■к ] ■Ъ ] к] ■

I тк„а тЪ „а а та „К +1] Ю, + 1 ] &ъ + =11]Ка .

(3.4)

Воспользуемся уравнениями (2.5) подмногообразия Ут в дифференциальных уравнениях (3.1—3.4)

А, +ГЖ, + в]к = Г,®1.

}к 1 }к а ^ и}к

}к1

ЛТ^'а] — Ц}ва + Г^цвЪ + б'а] = -

а}к

а ^+ва — ^в]=

(3.5)

(3.6)

(3.7)

а га+ва=г^,

(3.8)

где 1 = 1 \у , а преобразованные пфаффовы производные

имеют вид

1 ]к1 = 1 ]к1 + 1 ]а + А] , ^к = Гa}k + А]к1 аЪ -

^ц = ^ + А] ^с — ^к] ^, Ц^к = Ц],к + А]к ЦЪ + АЪк ^ — А1'к Ц] ■

(3.9)

Сопоставляя дифференциальные уравнения (2.6) и (3.8),

положим

Га = А * 11 У111 ■

(3.10)

Из тождества (2.62) следует условие

^к] = ^Ук] + ^]Ак] — ^]А1к] = 0 .

Таким образом, компоненты Г. объекта аффинной связности Г, ограниченные на подмногообразие Ут, охвачены в случае данного подмногообразия Ут .

Вывод. Сопоставляя дифференциальные уравнения (2.13) и (3.5—3.7), с учетом (3.10) есть основания заключить, что

объект Г0 = {Гк,Г),Гы } можно отождествить с объектом связности П (см.: [4, с. 36—37]).

Список литературы

1. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семинара. ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.

2. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—247.

3. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.

4. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.

K. Bashashina

Reduction of affine connection of manifold to fundamental-group connection of submanifold

The object of affine connection is defined by Laptev—Lumiste way in n-dimensional smooth manifold Vn. The submanifold Vm, which is represented as an assemblage of smaller dimension, described by a point of the manifold Vn is considered. In the bundle associated to the smooth submanifold fundamental-group connection is set. It is shown that the object of an affine connection reduces to a fundamental-group connection.