Ребра возврата, линии раздела и самопересечения некоторых технологических поверхностей откоса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.7+ 514.8

РЕБРА ВОЗВРАТА, ЛИНИИ РАЗДЕЛА И САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОТКОСА

С.Н. Кривошапко1, А.В. Крутов2

1) Кафедра сопротивления материалов и расчета на прочность Российского университета дружбы народов

Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

2) Кафедра теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета Россия, 394693, Воронеж, Университетская пл., 1

Рассматриваются поверхности постоянного ската. Определены основные их свойства общего характера, а также свойства некоторых частных видов поверхностей. Анализируются конические поверхности и линии их пересечения.

В теории пластичности имеет место так называемая ‘есчаная аналогия”[1], которая позволяет анализировать процесс пластического деформирования с помощью геометрических построений поверхности постоянного ската, каковой является поверхность песчаной насыпи. В связи с этим представляет интерес изучение формы линейчатых поверхностей, образующая которых наклонена к горизонтальной плоскости и к главной нормали плоской направляющей под постоянным углом. При этом установлены некоторые общие свойства таких поверхностей. Так, например, оказывается, что они являются развертывающимися [2].

1. Поверхности постоянного ската

Рассмотрим линейчатую поверхность, направляющей которой является плоская кривая (контур заготовки), заданная параметрическими уравнениями в плоскости (х, у) декартовой системы координат с базисом е=(е\} в2, £3), ось аппликат которой будем считать для удобства изложения вертикальной

р=р(р)=(х(р), У(р))-

Пусть каждая образующая этой поверхности расположена в одной вертикальной плоскости с главной нормалью направляющей в соответствующей точке и составляют постоянный угол а с горизонтальной плоскостью (х, у). Тогда ее уравнение можно записать в X, р-параметризации в виде

Г=р(р)+Х1, (1)

/ =со$а\+$тае3=[са$а/(х'2+у'2)1/2](-у'е1+х'е2)+ътаез, (2)

1'=-сош-к(р)р’. (3)

Для стрикционной линии такой поверхности будем иметь с учетом формул Френе

Г=р(р)-[(р7у/г]/. („

Из формулы (3) ясно, что параметр распределения данной поверхности равен нулю

(р Ч1УГ2=0

и, следовательно, эта поверхность является развертывающейся с ребром возврата, имеющим согласно уравнению (4) и с учетом выражения (3) векторное уравнение

г=р(р)+[{1/к)/со$а]1. (5)

Отсюда с учетом теоремы Менье получаем следующую теорему:

Теорема 1. Точка ребра возврата поверхности постоянного ската с плоской направляющей ортогональной образующей, проецируется вместе с центром главной отличной от нуля кривизны данной поверхности в центр кривизны направляющей в соответствующей ее точке.

Далее покажем, что ребро возврата данной поверхности проецируется на плоскость направляющей в эволюту этой направляющей (рис. 1, где 1 - плоская горизонтальная направляющая, 2 - плоская эволюта направляющей, 3 - ребро возврата).

При этом радиус Я главной отличной от нуля кривизны данной поверхности в ее точке на направляющей вычисляется по формуле

К=(1/к)А5та.

Вычислим производные радиус-вектора точек ребра возврата, используя его векторное выражение (5), а затем кривизну, кручение и их отношение

г '=[( 1/к) '/со бос]/, (6)

г"=[{1/к)"/сова] 1-к(1/к)'р',

г"-[(1/к) "Усоза]/-[(/Л) "/сомфоых Мр) р "■кр'-{^к)'-к'р,-{1/к)’-кр",

Крв=соъ2а\р'\к/{1/к)'={1/2)\р\к/{1/к)г]{1+ооь2а), (7)

ХРв=(У/-2) | р '| [к/(1/к) ] зт2а. (8)

Рис. 1. К теореме о ребре возврата поверхности равного ската.

Отношение кручения к кривизне получается постоянной величиной, равной тангенсу угла ската поверхности, что свидетельствует о том, что ребром возврата являются линии от-

коса с тем же углом наклона касательной к горизонтальной плоскости, что и у поверхности ската

^'р/А'рв =tga. (9)

Из формулы (6) видно, что касательная ребра возврата совпадает с образующей, которая наклонена к вертикальной оси под постоянным углом а. Это также означает, что ребро возврата данной поверхности есть линия откоса относительно этой оси.

Примем во внимание теорему о том, что любая эвольвента пространственной линии откоса плоская и совпадает с плоской эвольвентой проекции линии откоса на ту же плоскость [3,4]. Сформулируем эту теорему в следующем в виде:

Теорема 2. Для того, чтобы эвольвента некоторой кривой совпадала с эвольвентой ее проекции, необходимо и достаточно, чтобы эта кривая была линией откоса, относительно направления проектирования.

В данном случае касательная ребра возврата, являющегося линией откоса, проходит через направляющую поверхности, и, следовательно, эту плоскую направляющую можно считать плоской эвольвентой своей эволюты - проекции ребра возврата, а также плоской эвольвентой проекции ребра возврата на ту же плоскость. Этим предполагается справедливость теорем.

Теорема 3. Проекция линии откоса на плоскость ее ориентации есть одна из плоских эволют эвольвенты линии откоса на этой плоскости.

Теорема 4. Если точки пересечения касательной некоторой пространственной кривой с плоскостью принадлежат плоской эвольвенте проекции кривой на эту же плоскость, то эта кривая есть линия откоса, относительно направления проецирования.

Теорема 5. Проекция ребра возврата рассматриваемой поверхности откоса на горизонтальную плоскость всегда будет эволютой направляющей этой поверхности.

Из выражений (7) и (8) имеем также

(10)

Пример 1

Рассмотрим в качестве одного из примеров поверхность постоянного ската, для направляющей которой при ее натуральной параметризации выполняется соотношение

k/(l/k)'=(l/a)=const. (11)

Натуральное уравнение ребра возврата этой поверхности из (10) получаем в виде уравнения окружности, в выражение для радиуса которой не входит явно угол а. Это дает соответствующий класс линий откоса - ребер возврата поверхностей различного постоянного ската, радиус кривизны направляющей которых меняется по такому же закону как и радиус кривизны эвольвенты окружности, который мы получим в результате интегрирования (11)

(l/k)2=2as+(l/ko)2. (12)

Отметим, что квадрат радиуса соприкасающейся сферы для кривой общего вида с кривизной к и кручением X имеет вид [3, стр. 32, 35], [4, стр. 117]

(щ2чтх1/х)]2-

Здесь штрих означает производную по дуге кривой. Для ребра возврата в нашем случае найдем

[(I/к)/к]2(I/cos4а) {1 - [(1/к) Щ ,2[//(sinacosa)]2}.

Если принять соотношение (11), т.е. (l/k)Vk=a=cons(, то отсюда получим постоянное значение корня квадратного из этого выражения

a/cos2a. (13)

Таков будет радиус соприкасающейся сферы ребра возврата поверхности, радиус кривизны направляющей которой меняется по тому же закону, что и радиус кривизны эвольвенты окружности с радиусом а, т.е. по закону (12).

Кривизна и кручение ребра возврата, заданные в виде (7), (8), с учетом соотношения (11) получаются также постоянными

Крь=(1/а)со52<х, хрв=(1/а)втасова. (14)

Таким образом, если в качестве направляющей данной поверхности взять эвольвенту окружности, то ребро возврата поверхности будет винтовая линия. Ее проекцией на горизонтальную плоскость будет окружность, радиуса а, а ее шаг И=2тшЩ(Х. Радиус сферы по (13), при а=7х/4, например, в 2 раза больше радиуса а цилиндра, на который навита эта линия. Такому же соотношению удовлетворяет кривая Вивиани - линия пересечения кругового цилиндра и сферы.

Параметрические уравнения винтовой линии с шагом И=2шЛ§,сх как ребра возврата будут в этом случае иметь вид

х=асо8ф, ^=азтф, г=а-\%а<р. (15)

Координаты центра С соприкасающейся сферы вычисляются по формуле [4, стр. 117]

г с=г+ (1/к)у+к( 1/к) 'Р,

где 1/к - радиус кривизны, к=1/х - радиус кручения. В нашем случае для винтовой линии получим

гс=г-(1/к)(г-ге^)=г-( 1/к){ 1/а)(г-а -((А.%ае/) =г-(а/соъ2 а/){г-а<§ Щае3).

Отсюда с учетом выражений (14) найдем

хс=-а\$? асоэф, .Ус—а^азтф. (16)

Таким образом, центр любой соприкасающейся сферы винтовой линии (15), отстоит от

2

ее оси на расстоянии а ^ а.

При (1=11/4, центр сферы отстоит от оси винтовой линии на расстоянии а. равном радиусу цилиндра, на который навита винтовая линия, образующая цилиндра, как и в случае кривой Вивиани, проходит через центр сферы, радиус которой равен 2а. Шаг винтовой линии И~2па.

Данная винтовая линия соприкасается с кривой Вивиани, которая в отличие от винтовой линии является замкнутой сферической кривой. Эти кривые приближенно могут заменять друг друга.

Точки ребра возврата - это точки пересечения бесконечно близких образующих. В целях приложения результатов к различным задачам интересно рассмотреть точки пересечения неблизких образующих поверхности друг с другом и расположение этих точек по отношению к ребру возврата. Очевидно, проекции этих точек пересечения неблизких образующих дадут множество точек, равноудаленных от направляющей. В соответствии с принципом кратчайших нормалей это - точки линии раздела течения металла, которые условно можно считать неподвижными. Множество точек, равноудаленных от эвольвенты окружности состоит из точек, лежащих на оси симметрии эвольвенты, представленной двумя осесимметричными ветвями. Пусть этой осью является ось абсцисс Ох. Линия раздела пересекается с проекцией ребра возврата (с окружностью в данном случае) в узловой точке (а, 0, 0) ветвей эвольвенты и в диаметрально противоположной ей точке (-а, 0, 0). Первые проецируемые точки совпадают и их абсциссы пусть равны а, их аппликаты равны нулю. Вторые проецируемые точки также совпадают. Их аппликата как точки винтовой линии (ребра воз-

врата) равна z{%)—ci% -tga. Проекция на плоскость (х, z) винтовой линии, осью которой является ось аппликат, представляет собой, как видно из соотношений (15), синусоиду r=acos(ctga -z/a) с периодом 2ка-tga. Представляет интерес вопрос: могут ли на поверхности песчаной насыпи реализоваться ребра возврата? Если могут, то какой смысл они имеют и какую роль играют.

Пример 2

В качестве еще одного примера рассмотрим линейчатую поверхность, направляющей которой является эллипс, взяв начало координат в его центре, а ось абсцисс вдоль полуоси а

p=(acos/, Z>sin/). (17)

Производя все необходимые вычисления, для направления / ее образующей получим /=со sa v+sinae?=[ cosa/(x '* +уf2)ш] (-y'er* x'e2)+sinae?,

/=-(cosa/|p'|)(6cos/e/+asinte2)+sinaej, |p'j =(a2 sin2 t+b2 cos21)1(18)

Уравнение поверхности будет иметь вид

г=р+Х/ =(a-X£cosa/|p'|)cosfe;+(£-^cosa/]p'|)sinte2+A-sinae?, (19)

Для вектора, указывающего точку ребра возврата поверхности из точки эллипса как направляющей этой поверхности, имеем

-[(р' /уГ2] I =-(b/k)cos(ej-(a/k)sinte2^ (J/k)tgae3, (20)

l/k=(ab)'1 \р'\3 ^(aby^a2 sin2 t+b2 cos21)3/2. (21)

Для ребра возврата найдем уравнение в виде

г*=р-[(р//у V2] l=[(a2-b2)/a]cos3tei-[(a2-b2)/b]sm3te2+(J/k)tgae3. (22)

Полученное ребро возврата есть пространственная эволюта эллипса как замкнутая в силу периодичности координат, линия откоса. Ее эвольвентой является плоская кривая - данный эллипс. Этот данный эллипс должен, согласно приведенных выше теорем, являться в свою очередь эвольвентой проекции ребра на горизонтальную плоскость. Уравнения проекции ребра возврата (22) имеют вид

x=[(a2-b2)/a]cos3t, >’=-[(сГ-b2yb\sm3t.

Это, действительно есть уравнения плоской эволюты эллипса (ср. [7, стр. 191, зад. 383]), как частный случай т-2/3 кривой Ламе (х/а)т +(у/Ь)т=1.

Эта кривая близка по форме уравнений к вытянутой астроиде, аналогично тому, как из окружности получается эллипс, так из астроиды получается эволюта эллипса. Как известно, астроида является частным случаем гипоциклоиды, когда радиус внутренней катящейся окружности в четыре раза меньше радиуса внешней неподвижной окружности.

\ I \ /

Рис. 2. Линии пересечения поверхности равного ската с координатными плоскостями

Превышение точек ребра возврата над горизонтальной плоскостью дается уравнением z - (L/k)tga=(ab) ’tga(a2sm21 \ b2cos2l)3/2.

По формулам (7), (8) с учетом (21) вычислим кривизну и кручение ребра возврата:

КрЯ=(2/3)[(abf^a2-Zr)]cos2a/[s\n2t(a sm2t+b2cos2t)l/2], (23)

X=(l /3)[(ab)2/(a2-b2)]s\n2cv\s\r\2t(a2sm21+b2 cos21)3/2]. (24)

Найдем линию пересечения поверхности с плоскостью (х, у). Для этого положим, что в уравнении поверхности (19) ордината равна нулю, тогда получим эллипс (рис. 2)

z2/[btga.]2+x2/[(a2-b2)I/2]2=I. (25)

Аналогично найдем линию пересечения данной поверхности с плоскостью (у, z). Положим, что в уравнении (19) теперь абсцисса равна нулю, тогда снова будем иметь эллипс, но с другими осями

z2/(a2tg2a)+y2/[(a2-b2)I/2f=1. (26)

ЛИТЕРАТУРА

1. ЕрховМ.И. Теория идеально пластических тел и конструкций.-М.: Наука, 1978 - 352 с.

2. Кривошапко С.Н. Геометрия и прочность торсовых оболочек: Реферативная информация. - М.: Изд-во АСВ, 1995. - 273 с.

3. Крутов А. В. Эволюционный подход в интегрировании// Вестник факультета прикладной математики и механики: Вып. 1. - Воронеж: ВГУ, 1998. - 177 с.

4. Крутов А.В. Некоторые свойства линий откоса// Современные проблемы механики и прикладной математики: Материалы школы-семинара. Воронеж, 25 - 30 сентября 2000 го-

да. - Часть 2. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2000. - С.252-260.

5. Белько И.В., Ведерников В.И. и др. Сборник задач по дифференциальной геометрии-(Под ред. А.С. Феденко). - М.: Наука, 1979. - 272 с.

CUSPIDAL EDGES, LINES OF THE UNIT AND SELF-INTERSECTIONS OF SOME TECHNOLOGICAL

SURFACES OF SLOPE

S.N. Krivoshapko1, A.V. Krutov2

1) Department of Strength of Materials Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya St., 6, 117198, Moscow, Russia

2) Department of Theoretic and Applied Mechanics Voronezh State University Universitetskaja pi. 1, Voronezh, 394693, Russia

The surfaces of a constant slope are considered. Their principal properties of general character, and property of some individual kinds of surfaces are determined. The conic surfaces and lines of their crossing are analyzed in connection with sandy analogies in tasks of plasticity.

Кривошапко Сергей Николаевич родился в Волгограде в июле 1948 г. Окончил в 1972 году УДН. Основные научные интересы: исследование геометрии и анализ напряженно- деформированного состояния тонких упругих оболочек сложной формы. Доктор техн. наук, профессор кафедры сопротивления материалов РУДН. Автор более 80 публикаций, в том числе, 3 монографий, 2 изобретений и 11 учебных пособий, е.т: [email protected]

Krivoshapko S.N. was bom in Volgograd, Russia in July 1948. He completed the Peoples’ Friendship University of Russia in 1972. His primary research interests are geometric investigations and stress-strain analysis of thin elastic shells of complicated form. He is Professor of Strength of Materials. Approximately 80 publications, including 3 monographs, 2 inventions, and 11 manuals of strength of materials and of shells theory resulted from his research.

Крутов Алексей Васильевич окончил Воронежский государственный университет в 1969 г., доцент кафедры теоретической и прикладной механики. Основное научное направление: кинематико-геометрические подходы в задачах прикладной математики и механики. Автор более 100 публикаций, е.т: [email protected]

Krutov A.V. has graduated from the Voronezh State University in 1969, senior lecturer of faculty of theoretic and applied mechanics. The basic scientific direction: the kinematic-geometrical approaches in problems of applied mathematics and mechanics. He is the author of 100 publications, e.m: krutov@amm. vsu.ru