Рч контролируемая квантовая интерференция на мессбауэровских переходах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 148, кн. 1

Физико-математические пауки

2006

УДК 539.1^539.2^538.955

РЧ КОНТРОЛИРУЕМАЯ КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ НА МЕССБАУЭРОВСКИХ

ПЕРЕХОДАХ

Э.К. Садиков, В.В. Арипип, Ф.Г. Вагизов, O.A. Кочаровская

Аннотация

Рассмотрены эффекты когерентности и квантовой интерференции при резонансной флюоресценции мессбауэровского излучения в магнитных материалах, подверженных воздействию внешнего р.ч. поля. Для вычисления мессбауэровских спектров использован метод, разработанный ранее для аналогичных задач в оптике, проведена модификация этого метода па случай гамма-оптики. Показано, что в режиме ЯМР па возбужденном уровне ядра интенсивность рамаповской лилий рассеяния может оказаться больше, чем интенсивность упругого рассеяния («вентильный» эффект), благодаря квантовой интерференции. Анализ полученных эффектов проведен па основе теории возмущений во втором порядке по взаимодействию гамма-излучепия с ядром и при точном учете сильного резонансного р.ч. поля. Проведено сопоставление и сравнение полученных результатов с аналогичными эффектами в оптике. Показана возможность экспериментальных исследований квантовой интерференции на мессбауэровских гамма-переходах (на изотопе 57 Fe) па основе традиционной мессбауэровской техники в режиме когерентного р.ч. возбуждения. в отсутствие когерентных источников излучения в гамма-диапазоне.

Введение

Интерференция амплитуд один из базовых элементов квантовой теории, и она естественным образом учитывается при формировании отклика системы на внешние сигналы. Об эффектах квантовой интерференции говорят в том случае. когда отклик становится необычным (аномальным) благодаря изменившемуся характеру интерференции в результате целенаправленного воздействия на систему. Таким образом, эффекты квантовой интерференции (КИ). как правило. являются контролируемыми извне. Наиболее интенсивные исследования КИ проведены в оптике, в двух- и многоуровневых системах, подверженных воздействию сильных резонансных полей [1 3]. Было показано, что в таких условиях проявляется ряд эффектов по отношению к сигналу (пробному излучению), такие, как электромагиитио-иидуцированная прозрачность среды, уменьшение групповой скорости света, безинверсные механизмы усиления и генерации излучения и т. д. Все эти эффекты подтверждены экспериментально.

Получение аналогичных результатов в гамма-диапазоне представляет исключительно большой интерес, поскольку это означало бы значительное продвижение в технике эксперимента с гамма-квантами (в частности, в мессбауэровской спектроскопии) и в решении основной проблемы гамма-оптики усиления и генерации когерентного излучения. Наиболее удобными системами для этих целей представляются ядра в твердых телах [4. 5]. В этом случае благодаря эффекту Мессбау-эра устраняется доплеровское (фононное) уширение линии гамма-излучения, что можно уподобить условию, достигаемому в оптике с помощью использования атомарных пучков.

Рассмотрим вслед оптике возможные механизмы резонансного воздействия на мессбауэровскую систему механизмы контроля интерференции радиационных амплитуд:

1. Возможность гипотетическая резонансное перемешивание ядерных уровней на гамма-переходе. Это требует когерентных источников в гамма-диапазоне.

2. Оптический или электронно-спиновый резонанс на мессбауэровском атоме (лазерное или микроволновое излучение).

3. Радиочастотный резонанс ядерных спинов в сверхтонком поле, инициированный внешним р.ч. полем.

Перечисленные механизмы отражают то. что состояние мессбауэровского атома задается произведением функций

Ф - ФегФ/,

представляющих ядерную, электронную и ядерно-спиновую подсистемы соответственно.

Только эффект р.ч. резонанса на ядрах когерентная динамика ядерных спинов убедительно продемонстрирован к настоящему времени в мессбауэровских экспериментах по поглощению на магнитных материалах [6. 7].

Целыо данной работы является анализ возможностей р.ч. метода возбуждения когерентной динамики ядерных спинов и обусловленных этим радикальных изменений в мессбауэровских спектрах магнитных материалах за счет КИ. В первую очередь нас интересуют схемы эксперимента с использованием обычного мессбауэровского источника в качестве пробного излучения. Расчеты спектров проведены методом, заимствованным из оптики и модифицированным на случай конечной ширины линии пробного излучения. Показана возможность эффектов КИ в спектрах резонансной флуоресценции мессбауэровского излучения в условиях воздействия на магнитный образец резонансного р.ч. поля. Интерпретация результатов проводится на основе представления квазиэиергетических (КЭ) или «одетых» состояний (ОС). Построение этой статьи таково. В п. 1 приводится общий гамильтониан месс-бауэровской системы, включающий характерные для ядра взаимодействия. Далее (п. 2) изложен метод расчета спектра флюоресценции, основанный на уравнениях для матрицы плотности и модифицированный с учетом конечной ширины линии пробного излучения. Анализируются аналоги известных в оптике трехуровневых Я-схемы и У-схемы с учетом специфических для мессбауэровской системы особенностей. Расчетами показано, что в спектрах резонансного рассеяния мессбауэровской линии в условиях ЯМР на возбужденном уровне ядра (Я-схема) интенсивность рамановской линии может превосходить интенсивность линии упругого рассеяния благодаря квантовой интерференции. Иными словами, здесь имеет место «вентильный» эффект. В случае У-схемы (р.ч. резонанс в основном состоянии ядра) получена характерная для этого случая пятикомпонентная структура линий рассеяния. Рассмотренные простейшие Я-схема и У-схема не исчерпывают встречающиеся для реальных мессбауэровских изотопов ситуации, а являются необходимыми фрагментами для их анализа. В п. 3 полученные в п. 2 результаты интерпретируются на основе амплитуды рассеяния мессбауэровского кванта, записанной во втором порядке теории возмущений по взаимодействию ядра с гамма-излучением и точно учитывающей влияние р.ч. поля. В приближении малых скоростей ядерной релаксации этот метод воспроизводит спектры, рассчитанные матричным методом. Далее, в п. 4 вычислена форма спектра флюоресценции, ожидаемая для реального изотопа 57 Ре методом, разработанным в п. 2. Заключительные замечания о квантовой интерференции, прозрачности мессбауэровской среды по отношению к

гамма-квантам, сопоставление и сравнение полученных результатов с имеющимися результатами в оптике приведены в п. 5.

1. Взаимодействие мессбауэровского ядра с гамма-излучением и со сверхтонкими полями

В магнитоупорядоченных соединениях железа мессбауэровские уровни расщепляются на (2/д + 1) или (21е + 1) подуровней (для ядра 57 Ге спины основного и возбужденного состояний - 1д = 1/2, 1е = 3/2). Резонансное перемешивание зе-емаиовских подуровней р.ч. полем одни из эффективных механизмов создания когерентной динамики ядерного спина. Анализ последствий такой когерентности можно проводить на основе гамильтониана [8, 9]:

Н = Н0 + Н0 + Н0 + Нц + Н0 + Н0/ + Н + Hrf. (1)

Здесь Н0 и Н0 е представляют внутриядерное взаимодействие и магнитное сверхтонкое взаимодействие для основного (возбужденного) состояния ядра, Нц - квад-руполыгое взаимодействие. Первые 4 слагаемых в (1) можно представить в виде

Н0 = £0 ^ ] аМаМ' Н0 ^ ]

Ао М + а с т _ (2) Н0 = ^^ емаМам, Нц = ^^ ЯММ'^М^М' •

м М,М'

Здесь а+ и ат, аМ и аМ - ферми-операторы рождения и уничтожения состояний с определенным значением (ш, М)

состояния ядра. Следующие слагаемые в (1), Н0 и Н0/ - поле гамма-квантов и р.ч. поле, задаются следующим образом:

Н0 = ^ с^С+Ск, Н0/ = ^о Ь+ Ь • (3)

к

Здесь с ск, и Ь +, Ь, - операторы рождения, уничтожения и энергии гамма-фотона и р.ч. фотона (далее полагаем Н = 1), Н7 - взаимодействие ядра с гамма-фотоном (к а и Ь - волновой вектор, поляризация и мультипольность фотона, а, 7 _ углы Эйлера, определяющие направление его распространения):

Н = Н (к, а, Ь, а,вл) = К ^ аЛ(п)Б^ (а, в, 7) (1дшЬМ | /еМ> с каМ«™ + с.с.,

М,т

(4)

где Д (п) = 0 или 1 (электрическое или магнитное мультипольное излучение), (а, в, 7) _ матрица вращения, (/дшЬр | /еМ> - коэффициенты Глеб-ша - Гордона, К - константа, зависящая от Ь, 1е, 1д. Взаимодействие ядерных спинов (/е, 1д) с р.ч. полем может быть представлено аналогично (4):

Hrf = Hf = ]Т gf (M, M') 6a+ OM + c.c.,

, , ' , (5)

Hrf = Hgf = ggf (m, m') bOm am' + c.c..

m,m'

Константы £m,M, gf (M, M') и ggf (m, m') (для 57 Fe) могут быть выражены через параметры полу классического гамильтониана, используемого в магнитном резонансе:

rf

Я°е = -Ъ,еН°;Ц'е, Herf = (П'3 exp (T^oi) + Г'3 exp (±гс^

откуда, например.

Н г1

ем = -7еЯ°/М, д^ (М, М') = -1е(М| |М'),

2 л / ''г

Н/

д9г{ (т, т') = (т| Я |т'),

2 л / Пг

где 7е,3 - гиромагнитное отношение, Н/ и Н/ - постоянное сверхтонкое поле и амплитуда переменного сверхтонкого поля, формирующегося под влиянием внешнего р.ч. поля, /®'е, 1±±е - операторы ядерного спина в системе координат с осью квантования вдоль Н/ , пг - число р.ч. квантов, соответствующее амплитуде

цг/

классического р.ч. поля Н/ .

Представим Нг/ и Н7 также в полуклассическом представлении, в более привычных в оптике обозначениях:

Яг{ = Пм,м'°-мам> ехр + с.с., Пм,м' = v/йr5,r/ м')> (с)

Н = К V а^Б^ (а, в, 7) {1дтЬр | 1еИ> ехр(-гш^) а+ ат + с.с., (7)

где ш0 и шк - частоты р.ч.- и гамма-фотона соответственно. Выражения (2)-(7) будут далее использованы при анализе эффектов КИ методом теории возмущений. Выражение (7) будет использовано в виде

Н = К V (а, в, 7) {1дтЬр | 1еЫ> ехр (-г (шкг - в (*))) &М&т + с.с.,

' *—'М,т ^

где в (г) - случайная функция, подчиняющаяся процессу Випера -Леви, описывает флуктуацию фазы гамма-излучения. Излучение с флуктуирующей фазой может быть описано лоренцевой формой с шириной линии Г = 2Б, определяемой соотношением [10, 11]:

^в(г)в(г')^ = 2Б5(г - г').

2. Метод матрицы плотности. Учет ширины линии пробного

излучения

2.1. Трехуровневая £-схема. Трехуровневая мессбауэровская £-схема представлена на рис. 1 [12, 13]. Здесь уровень 1 и пара уровней (2, 3) представляют основное и возбужденное состояния ядра, связанные гамма-спектроскопическими переходами. Пробное излучение мессбауэровского источника возбуждает переход 1-2. Сильное р.ч. (сверхтонкое) поле резонансно перемешивает спиновые подуровни 2 н 3. Спонтанное излучение гамма-фотонов 2-1 и 3-1 в таких условиях моделирует флюоресценцию мессбауэровского излучения в режиме ЯМР. Уравнение для матрицы плотности в представлении взаимодействия имеет вид

¿3'

Н 'р'

■Л/3'

Н

Н ' = ехр (гН0г) (Н/ + Н7 ехр (—гН0г),

(8)

(9)

г

Рис. 1. £-схема

где #0, Нг/ и Н7 - нулевой гамильтониан, сильное р.ч. поле и пробное поле определяются как:

Н = Н0 + Н0 + Н0 + Нд — /, 0г"-г "г

г=1

(10)

Нг/ = П0 ехр(-г^0£)а+а2 + ^0 ехр(г^0£)а+а3, (11)

Н7 = ехр(г0(£))а+а;1. ехр(-+ ПЦ ехр(-г0(£))а+а2 ехр(г^1^). (12)

Здесь аг и а+ - операторы Ферми, ег - энергия г-го сосшнш (рис. 1), П0 = = &М3,М2; = ^М2,т1 = КаЛ(п)Б^ст (а, в, 7) (АшДЬр, | /2М2> (сравни с выражениями (6), (7)), - частота пробного гамма-кванта.

Рассмотрим второе слагаемое в правой части выражения (8), отвечающее за необратимые процессы в системе:

Лр' = а+а,р'а+аг (А,гг, + А*гг,) - а+а,р'А,гг, - р'а+а, А

г,д=1,2,э

,гг, ■

Здесь А,гг, , А*гг, - комплексные константы релаксации, которые связаны с вероятностями переходов и константами распада Гг, (см. рис. 1):

1

У ~~ -"-згг] I ■'ЧЩу Г у — ^ ^^ (Ж^

А,

-А*

Ш,

,к )

Аг

0.

Прежде чем решить уравнение (8) с взаимодействием (12), определим решение этого уравнения, когда в (12) флуктуации отсутствуют [14, 15]. Для этого уравнение (8) перепишем, вводя вектор столбец Ф:

Л

Ф = ЬФ + I,

(13)

где Ь и I - постоянные матрица и вектор (см. табл. 1), зависящие от П0, и

Ф

следующими компонентами:

Ф1 = р'12 ехр (-¿Д^), Ф2 = р'13 ехр (-г (Д1 + Д) ¿), Ф3 = р21 ехр (гД^),

Ф4 = р22, Ф5 = р23 ехр (-¿Дг), Фе = р31 ехр (г (Д1 + Д) ¿), (14)

Ф7 = р32 ехр (гД*), Фв = р3з.

Табл. 1

Матрица L и вектор I. Г12 = (W12 + W13 + Г + W23)/2 + ¿Дх, Г21 = , Г13 = (W12 + W13 +Г + W32)/2+ ¿(Д1 + Д), Г31 =Пз, Г23 = (2Г + W23 + W32)/2+ ¿Д, Г32 = Г3 , Г22 = Г + W23 + W12 , Г33 = Г + W32 + W13. Здесь Wij - релаксационный переход с ¿-го на j-й уровень, Г - естественная ширина мессбауэровского излучения

1 2 3 4 5 6 7 8 I

1 —Г12 гПо 0 -2гП! 0 0 0 -ittl iQl

2 iill —Г13 0 0 —?'fii 0 0 0 0

3 0 0 -Г21 2?'fii 0 — гПо 0 ifii —?'fii

4 —?'fil 0 ¿ni —Г22 гПо 0 —гПо W32 - W12 W'12

5 0 —?'fii 0 гПо —Г23 0 0 —гПо 0

6 0 0 —гПо 0 0 -Гз1 ifii 0 0

7 0 0 0 — гПо 0 ¿ni —Г32 гПо 0

8 0 0 0 W2 3 - W13 —гПо 0 —Г33 w13

Здесь Д = ^о — ^32 и Дх = ¡м1 — ^21 - расстройки частот полей относительно частот соответствующих переходов.

Как показано в работах [14, 15], именно решения уравнения (13) позволяют вычислить корреляционные функции и, далее, спектр излучения. Спектр спонтанного излучения, например, на переходе ^-г является Фурье образом двухвременной корреляционной функции:

7(т1,то) <х (Р(-)(т1)Р(+)(го)) , (15)

где Р(+) = рц а+ац - оператор перехода. Мы рассматриваем только гамма-переходы, а именно 3-1 и 2-1 (рис. 1).

Вычисление (15) облегчается использованием теоремы квантовой регрессии. Согласно процедуре, следующей из этой теоремы, сначала вычисляется одновременное среднее

(Р(-)(т1^ = Тг [рца+аър] = Р13ехр(г^1Т1 + ¿^0X1)^2(^1) +

+ Р12 ехр^щ) Ф^п). (16)

Далее функции Ф1(г1) и Ф2(г1) можно выразить через набор функций ФДто) в момент времени то на основе уравнения (13). Искомая корреляционная функция получится, если функции ФДто) представим как средние системных операторов (а+ац)^, а дадее эти средние заменим средними типа ^а+ацР+ (т0)^, которые

снова окажутся выраженными через функции ФДтэ).

Эта простая схема требует модификации при использовании пробного поля с флуктуирующей фазой. Одновременное среднее, необходимое для вычисления корреляционной функции, имеет тот же внешний вид (16), но теперь функции ^1(7*1) и Ф2 (т1) определяются путем решения системы стохастических дифференциальных уравнений

Ф' + 1ехр(—(£)). (17)

Компоненты нового вектора Ф' (Ф15 Ф2, Ф--> Ф-> Ф--> Ф- > Ф-) связаны с введенным выше набором Ф^ (14):

Ф- = Ф» ехр(—¿в (¿)), Ф+ = Ф» ехр(гв (¿)),

Ф-- = Ф< ехр(—¿2в (*))...

dt

Ф'

L - i() (t) L'

Матрица Ь и вектор I - те же, что и в (13). Диагональная матрица Ь' имеет следующие ненулевые компоненты: Ь3,3 = Ь6,е = 2, Ь4,4 = Ь5,5 = Ь7,7 = Ь8,8 = 1.

Уравнение (17) решим после того, как проведем его стохастическое усреднение [Ю, И]:

| <Ф'> = [Ь - £> (I/)2] (Ф'> + I <ехр(-г0 (*))> = Ь! (Ф'> + I <ехр(-г0 (*))> . (18)

Решение этого уравнения можно записать (далее опускаем знак стохастического усреднения для величины Ф') в виде:

Т1

Ф' (п) =ехр[Ь1 (п - Т0)] Ф' Ы+У ¿т' ехр[Ь (п - т')]1 (ехр(-г0(т'))> . (19)

то

Таким образом, далее будем предполагать в выражениях (15) и (16), помимо квантово-механического, и стохастическое усреднение.

Производя замену переменных т = Т1 - Т0 и с учетом (ехр(-¿0(т'))> = = ехр(-Б (т' - т0)) (ехр(-¿0 (т0))>, получаем из (19)

Т

Ф' (т1) = ехр [Ь1т] Ф' (т0) + ^ ¿т' ехр [Ь1 (т - т')] ехр(-Бт')1 (ехр(-г0(т0))> =

0

= ехр М Ф' (го) + ^1т)-еМ-Вг)1 (ехр(_ад)> (20)

Ь1 + и

Под и следует понимать число Б, умноженное на единичную матрицу того же Ь

Величины Ф, (тэ) в (20) можно представить через системные операторы в момент времени т = т0. Например:

Ф2(т0) = ехр(-г^1т0)р!3(т0) = ехр(-г^1т0) (|3> (1|>то ,

где подразумевается также усреднение по стохастическим переменным.

Используем теперь теорему квантовой регрессии для вычисления ((Р(-)(т1)Р(+)(т0))) (здесь явно учтено также стохастическое усреднение). Выразим ((Р(-)(т1^^} согласно (16) через величины Ф,(т1). После этого Ф,(т1) представим согласно (19) через Ф,(т0), а затем Ф,(т0^и ((|г> (?|> )) и (ехр(-¿0(т0))>

в (20) заменим на ( (|г> (Ц Р(+)(т0)) ) и (ехр(-¿0(т0))Р(+)(т0)) соответственно.

При такой замене появляются переменные Ф,'(тз), которые входят в вектор Ф'' (Ф+, Ф+, Ф—, Ф4, Ф5, Ф-, Ф7, Ф8), удовлетворяющий следующему матричному уравнению:

4 (Ф") =\ь-В (Ь")21 (ф") +1 = ь2 <Ф"> +1. (21)

от I J

Здесь Ь'' - диагональная матрица то следующими ненулевыми элементами: Ь

1,1

Т" — 1 Т" — Т" — 1

Ь2,2 = 1 Ь3,3 = Ь6,6 = -1

Для дальнейшего исследования существенно, что решение (21) ищется в пределе т0,т1 ^ то, то так, чтобы разность т = т1 - т0 оставалась конечной. В этом случае левая часть (21) равна нулю, и (Ф'' (т0)> находится обращением матрицы. После преобразования Лапласа корреляционной функции (15) и взятия реальной части спектр флюоресценции имеет вид

5(и) ж 51(^)+ 52(Ш), (22)

Рис. 2. У-схема

3

2

1

где

5^) = Ие

Я2(ш) = Ие

]Тму(^1)Ф;+З(^) + ^N13

3 = 1

3=1

]ГМ23 Ы^+бМ + ^ N23 *£(«>)

3=1

3=1

Здесь введены следующие обозначения: М(г) = ^ —Ьх

= (Ьх + D)-1[(z — Ьх) 1 — ^ + z — г, умноженное на единичную матрицу

размерности Ь, г1 = 1(ш — ш21), г2 = 1(ш — ш31).

Выражение (22) дает спектр флюоресценции мессбауэровского излучения с естественной шириной линии 2П = Г в условиях ЯМР на возбужденном уровне ядра. Здесь учтены также возможные стохастические (релаксационные) переходы ("^23, "32) между спиновыми подуровнями 2 и 3 (см. рис. 1). Параметр "12 характеризует нерезонансный механизм накачки ядра на мессбауэровский уровень.

2.2. Трехуровневая У-схема. Рассмотрим теперь трехуровневую У-схему (рис. 2). В этом случае р.ч. резонанс связывает подуровни 1 и 2 основного состояния ядра, а гамма-излучение подуровни 1 и 2 с подуровнем 3 возбужденного ядра. Уравнение для матрицы плотности для этой схемы имеет тот же вид. что и для трехуровневой Е-схемы, отличие имеется лишь в гамильтониане задачи (см. (8)— (12)):

¿р'

ч-П

¿г

н 'р' +лр',

Н = ехр(гНог)(Нг/ + Н7) ехр(—¿Но*),

3

Но = £¿0+0^, ¿=1

Нг/ = По ехр(—г^ог)а+а1 + П ехр(г^ог)а+а2,

Н„

ехр(г0(г))а+ а1 ехр(—гш1г) + ПЦ ехр(—¿0(г))а+а3 ехр(гш1г).

Для такого гамильтониана (при возбуждении гамма-перехода 1-3) возможны две линии спонтанного излучения: 3-1 и 3-2. Процедура вычислений спектра флюоресценции. приведенная выше, позволяет получить последствия р.ч. резонанса на

Табл. 2

Трехуровневая У-схема. Матрица Ь и вектор I. Г12 = (W12 + W13 + W21 + W23)/2 + гД, Г21 = Г^, Г13 = (^^12 + Wlз + ^^21 + Wз2)/2 + гДь Г31 = Г1з , Г23 = = ^21 + ^^23 + Wз2)/2 + г(Д1 - Д), Г32 = Г2з , Г22 = W21 + W23 + ^^12 ; Г33 = ^^21 + ^^32 + Wlз. Здесь Wij - релаксационный переход с г-го на у'-й уровень, Г — естественная ширина мессбау^ровского излучения, Д = ^о — ^21 и Д 1 = — ^31

1 2 3 4 5 6 7 8 I

1 —Г12 0 0 — 2гП5 0 0 — гПо гП|

2 0 -Г13 0 -i.nl 0 0 0 -2i.nl гП!

3 0 0 -Г21 2гП0 ¿П1 0 0 гПо —гПо

4 —гПо 0 гПо —Г22 0 0 0 УУз2 ~ ^12

5 0 — гПо ¿П1О 0 —Г23 0 0 0 0

6 0 0 0 ¿П1 0 —Г 31 гПо 2гП1 —¿П1

7 —¿П1 0 0 0 0 гПо —Г32 0 0

8 0 — ¿П1 0 ^23 - \¥13 0 гП! 0 —Г33 ^13

основном состоянии ядра [16]:

5 (ш) ж 51 (ш) + 52 (ш),

(23)

где

51(ш) = Ие

52(ш) = Ие

3=1 3=1

]ГМ5; Ы^+з (то) 3=3

3=1

N53 Ы1з

ь-%

Использованы следующие обозначения: М(г) = (ъ — Ьх)-1, Ф'' (то) N (г) = (Ь1+Б) 1 (ъ — Ь1) 1 — (ъ + Б) 1 , ъ получается умножением г на единичную матрицу размерности Ь, 21 = г (ш — Ш31), Z2 = г (ш — Ш32). Матрицы Ьх и Ь2 получаются аналогично процедуре, проведенной в пп. 2.1 для Е-схемы. Как и в пп. 2.1, они выражаются через Ь и I (см. последовательность формул (13), (18), (21)). Матрица Ь и вектор I для У-схемы представлены в табл. 2. Выражение (23) определяет спектр рассеяния мессбауэровской линии (ширина Г = 2Б) в условиях ЯМР на основном уровне ядра.

3. Приближение теории возмущений

Смысл процессов, описанных в предыдущем пункте, становится более прозрачным, если воспользоваться выражением для амплитуды резонансного рассеяния мессбауэровского фотона (к1 ^ к2), записанным во втором порядке теории возмущений по взаимодействию ядра с полем гамма-излучения Щ и точно учитывающим взаимодействие ядерных спинов со сверхтонкими полями:

сю

f ^ —^ ^ ^^ ехР ( — р£)х

Л г [ Н„(г')м' л л -г [ Не(г')м'

х(/,к21 Ае * К> Щ (Ъ)Те * ^ \е)(е\ Щ (к1) |г,к1>. (24)

2

(a)

(b)

3,£

),£2 + |П0| V n + 1 + (n + 1)©0 ),82 - |П0| V П + 1 + (n + 1)©0

+ |Q0|Vn + nm0 - |П01-Jn + nrn0

1, n) ,Ej + n®0

1, n - 1, e1 + (n - 1)o

Рис. 3. (а) Модельная трехуровневая Е-схема рассеяния мессбауэровских квантов; (6) эквивалентная схема рассеяния па «одетых» состояниях

Дашюо выражение является обобщением амплитуд рассеяния, обычно используемых [17. 18]. па случай взаимодействия ядерных спинов со сверхтонкими полями произвольной временной зависимости Hge (t). Операторы T и A означают упорядочение и аитиупорядочеиие соответствующих экспонент во времени, |ki) и |k2) — состояния (HY°!) фотонов с волновыми векторами ki и k2, p = -i(iMk2 — £0) + Г/2; Г - естественная ширина мессбауэровского уровня. Начальное, конечное и промежуточное состояния ядра в процессе резонансного рассеяния, |i), If) и |e) - собственные состояния + H0e. Для рассматриваемой задачи Hge (t) = H0e + Hf (t) - периодические гамильтонианы во времени (подразумевается, что Hgfe (t) записаны в полуклассическом представлении). Тогда вместо |i), |f) и |e) могут быть взяты квазиэнергетические (КЭ) состояния [19] системы (steady states [20]): в (24) предполагается суммирование по е. КЭ состояния образуются в результате резонансного перемешивания пары спиновых подуровней (возбужденных или основных; £-схема или V-схема соответственно). Эти состояния имеют следующую структуру:

eq (t) = exp (-¿Е^) xe (t), gq (t) = exp (—¿Eggt) xgq (t), xeqg (t) = Xeqg (t + T), где Eg и Eqe - квазиэнергни, q = 1, 2. Амплитуда рассеяния теперь выглядит так:

о

А-9'--i I dtexp[-if\ (^sfe^l Я7 (fc2) |ey/,i) (еу/,0| Я7 (fci) |gr9,fcb0).

Если Н^,е заданы вторично квантованными операторами, то система характеризуется «одетыми» состояниями (см., например, [21]). Двухуровневая система в резонансном р.ч. поле (см.рис. 3, Ь) характеризуется следующим гамильтонианом

£¿0+0 + шо Ь+ Ь + Поа+Й2 Ь + Пдй+йз Ь+.

¿=2,3

Явные выражения для ОС е^ (г) получаются диагонализацией этого гамильтониана: в условиях точного р.ч. резонанса, например, имеем (см. рис. 3):

е? (*) = ехр - (- |2, п) + е^ |3, п - 1)) ,

V (25)

еЦ (*) = ехр - |2, п) + |3, п - 1)) ,

а/2

где |г, и) = |г) |п), |п) - и-фотоппое состояние р.ч. пода, у определяется соотношением По = |П0| ехр(гу). Снова имеем вЩ (Ь) = ехр (—гЕ^Ь) хЩ (¿)> ХЩ (Ь + Т) = = хЩ (Ь)> гДе Т = 2п/^0 - период р.ч. поля, Еп2 = + £2 - квазиэнергии, Пг = |П0| л/п. частота Раби р.ч. поля.

Классическое р.ч. поле в представлении вторичного квантования описывается когерентным состоянием

то п

1«) = ехР ("№/2) Е I"')'

п=0 * *

2

где |а| = п = ^ иР(и) - велико. В этом случае распределение Пуассона Р(и),

п=1

описывающее заселенность р.ч. фоковекпх состояний |и), имеет острый максимум при и « П. Поэтому далее, в целях учета эффекта классического р.ч. поля, будем использовать выражения (25), полагая при этом п равным среднему числу фотонов, и « П (см., например, [22]).

Аналогичным образом определяются ОС при р.ч. перемешивании подуровней основного состояния. Теперь амплитуда рассеяния (к\ ^ к2) может быть записана:

то

Аг,п—9',п'--г! А ехр

0

Амплитуды рассеяния для £-схемы и У-схемы могут быть получены из этого общего выражения как частные случаи.

Зная амплитуду рассеяния, можно определить как сечение поглощения месс-бауэровских квантов (оптическая теорема):

СТаЬз ~

так н вероятность рассеяния квантов

Ш (к1 ^ к2) |А^/ |2 б (Е/ — Е,) /ь (^1 - шко). (26)

В последнем выражении учтен закон сохранения полной энергии системы. Начальное и конечное состояния полной системы - г = ц,и,к1\ / = ц', и', к2. Предполагается усреднение по энергии рассеиваемого гамма-кванта ^к1 с учетом функции формы линии (как правило, лоренцевой) мессбауэровского источника /Ь (^к1 — ^к0), где ^к0 — энергия, соответствующая максимуму этой функции. Выражение (26) определяет спектр рассеянного излучения, и далее рассмотрим £-схему и У-схему отдельно.

3.1. £-схема. В этом случае (см. рис. 3) [23]:

то

А^/ ^ Е/ ехр (—ГЬ/2) (/(Ь)| Я7 (к2)|вП(Ь))(вП (0)| Я7 |г (0)), (27)

з 0

где |г (0)) = |г (Ь = 0)) = |1) |и) |к^ и |/ (Ь)) = ехр (—гЕ/Ь) |1) |и') |к2) - начальное и конечное состояния системы, полная энергия которых равна Е^ = £1 + и^0 + <^к1 и Е/ = £1 + и'^0 + ^к2 соответственно.

На рис. 3, Ь приведена схема рассеяния гамма-фотонов в представлении «одетых» состояний при шк0 = £2. Мы рассмотрим переходы (27) си' = и и и' = и — 1,

Я7 (к2) в"„ ,Л(вП„ , 0 |Я7 (к1)| дП,к1,0

О . 10 . 20

К

Рис. 4. Ожидаемый спектр рассеяния. £-схема. Ог = 1.5, 2Б = Г

соответствующие упругому рассеянию (£) и рамановскому рассеянию (£2). Этим двум переходам соответствуют амплитуды

сю

А1ик2^1ик1 / (Ь (1,п, к21 Я7 (к2) ^(Ь)) X

з 0

X (е£ (0) | Я7 (к1) |1, п, к1) ехр (гшк2Ь + гпш0Ь - ГЬ/2), (28)

А

1пк1 —^1(п—1)к2

сс

X) / (1,п - 1,к2| Я7 (^2) |е^(Ь)) X

X (е£ (0)| Я7 (к1) |1, п, кц) ехр (-ГЬ/2 + + г (п - 1) шоЬ). (29)

Подставляя амплитуды (28) и (29) в (26) и выполнив интегрирование по энергии первичного фотона, получим спектральные формы упругого и рамановского рассеяния при (шк0 = е2):

£1 (к2) = ^к1„—к2п

1

+ -

1

гр - гр + п

X и (шк2 - £2) (1| Я7 (к2) |2)(2| Я7 (к1) |1) , (30)

£2 (к2) = ^к1„—к2п-1

1

1

гр - - шо гр + - шо

X !ь (Шк2 - £2 - шо) (1| Я7 (к2) |3)(2| Я7 (к1) |1) . (31)

Здесь р = -г{ик2 - £2) + ^ , ^г = V7™-

Легко заметить, что в выражениях (30) и (31) имеют место конструктивная и деструктивная интерференции соответственно, пока мало. В частности, при , стремящемся к пулю, £2 стремится к нулю. Однако с ростом (а именно, при > Г/2) характер интерференции в (30) и (31) при тех же условиях (шко = £2) меняется та обратный. Теперь при достаточно больших значениях интенсивность рамановской линии может оказаться больше, чем интенсивность линии упругого рассеяния. На рис. 4 представлен ожидаемый спектр £1 (к2) + £2 (к2),

о

2

X

а/г

г

Рис. 5. Зависимость отношения 12/1\ от частоты Раби Пг. (а) Б = 0.1; (6) Б = 0.5; (с) Б = 10. Б измеряется в единицах Г

Рис. 6. Зависимость отношения 12/1\ от энергии фотонов мессбауэровского источника Да) О = 0.5; (6) О = 1 Дс) Ог =3

вычисленный для 0.г = 1.5 в предположении, что матричные элементы переходов 1-2 и 1-3 равны: (1| Н7 (к2) |2) = (1| Н7 (к2) |3). Здесь и далее вычисления спектров флюоресценции проведены численным методом, развитым в п. 2, с использованием аппарата матрицы плотности. Заметим, что ЯДш) го п. 2 соиоставляем Я^(к2). Метод теории возмущений, развитый в этом пункте, позволяет провести ясную интерпретацию результатов аналитическими выражениями. Эти два метода дают идентичные результаты (спектры) в пределе малых скоростей ядерной спиновой релаксации. Соотношение интепсивпостей линий Я2 и Я1 определяется как /2//1, где /2 и /1 - площади под липиями Я2 и Я1. Зависимость /2 //1 от представлена на рис. 5. То, что значение /2//1 превышает единицу, означает, что ядро, поглотившее первичный гамма-фотон на переходе 1-2, предпочитает высвечиваться с уровня 3, т. е. по рамановскому, а не по упругому каналу. Такое предпочтение в высвечивании ядра было названо нами «вентильным» эффектом (из интуитивных соображений отношение /2 //1 должно было бы асимптотически стремиться к единице с ростом

). Данное явление объясняется тем, что при достаточно болыпих значениях интенсивность упругого рассеяния уменьшается в результате деструктивной интерференции амплитуд, а рамановского увеличивается в результате конструктивной интерференции. Эффект интерференции максимален именно при = £2, в этом случае значения интерферирующих амплитуд в (30) и (31) сравнимы по величине. При нарушении равенства = £2 величина «вентильного» эффекта уменьшает-

Рис. 7. Зависимость суммарной интенсивности рассеянного излучения 11 +12 от частоты Раби р.Ч. ПОЛЯ Пг ; = £2

Рис. 8. Зависимость отношения 12/11 от частоты Раби Пг. (а) Wз2 = ^23 = 0.01; (Ь) Wз2 = ^23 = 0.1; (с) ^32 = ^23 = 0.5

ся, в результате зависимость (12/11) от энергии мессбауэровского излучения имеет резонансный характер (рис. 6).

Как видно из рис. 5. величина «вентильного» эффекта монотонно зависит от значения 0.г/Г. Однако при увеличении отношения 0.Г/Т (при сохранении равенства ш^о = £2) довольно быстро уменьшается суммарная интенсивность рассеяния (/1 + /2) (рис. 7), что необходимо учитывать в первую очередь при экспериментальной реализации этого эффекта. Таким образом, оптимальное условие наблюдения эффекта сводится к соотношению Г ~ 0,г. Это есть условие возбуждения одним фотоном двух «одетых» состояний, согласованных по фазе, интерференция которых лежит в основе обсуждаемого явления.

Из рис. 5, а, Ь видно, что при заданной частоте Раби отношение /2//1 увеличивается с уменьшением ширины линии источника 2П. Это говорит о том, что в р.ч. экспериментах по флюоресценции мессбауэровского излучения эффект КИ («вентильный» эффект) будет выражен тем больше, чем меньше отношение П/Г. С другой стороны, «вентильный» эффект исчезает с ростом П (см. рис. 5, с); видно, что с ростом П отношение /2/^1 стремится к единице. Обратим также внимание на то, как зависит искомое соотношение площадей от скорости релаксационных процессов (рис. 8).

(а)

(Ь)

51 (к2)

\3,п")

+П +1 + (п + 1)ш0 д^1),^ -ро\*Ш+1 + (п + 1)«о

\д1п) ,£1+ |Оо|7П+п«о

дП)- \По\*Ш + п^о

Рис. 9. (а) Модельная трехуровневая У-схема рассеяния мессбауэровских квантов; (6) эквивалентная схема рассеяния на «одетых» состояниях

3.2. У-схема. На рис. 9 приведена У-схема в терминах «одетых» состояний. Общий вид амплитуды рассеяния выглядит так:

л„

со

(-г) J Л ехр х

X , |Я7 (Л2)| 3,п",Л (3, и" |Я7 дП,ки 0). (32)

д71 (*) = ехр {-гЕр - гпш01)-= (- |1, п) + |2, п - 1)) ,

а/2

(*) = ехр (-¿ЯД - (е"^ |1, п) + |2, п - 1)) ,

А/2

где суммирование проводится по и". Имеются четыре различимые амплитуды. Подставляя их в (26) и проводя интегрирование по времени и по Шк1, получим следующие слагаемые для вероятности рассеяния (и' = и):

^д1к1,д1к2 (к\ - к2)

№д!к1д2к2 (к\ - к2)

№д2к1,д1к2 (к\ - к2)

Wg2k1,g2k2 (к\ - к2)

* Г«1Г (!| I3) (3||1) + »

ЧГ (2||3) (3||2)

гр - + £1

гр - + £1 + ^о

/ь (^к2 - ^ко) :

г1а2а1 (1||3)(3||1) , г^Ч (2||3)(3||2)

гр + + £1

+ —

гр + + £1 + ^о

X /ь (^к2 - ^к0 - 2ПГ) .

г2а1а1 (1| |3) (3| |1) , г2а2а2 (2| |3) (3| |2)

гр - + £1

гр - + £1 + шо

X /ь (шк2 - ^ко

г |2а 112 (1||3)(3||1) , г |2«2|2 (2| |3) (3| |2)

гр + + £1

гр + + £1 + ^о

/ь (^к2 - ^ко) ,

где р = -г{шк2 - £3) + Г/2, £1 = 0, = —1/\/2, 201 = ехр(-г^)А/2, Ч = = ехр (г(Д/а/2, 2а2 = 1/а/2.

В этих выражениях, в отличие от £-схемы, эффекты интерференции практически отсутствуют; мы полагаем, что , Г ^ ¡мо, поэтому слагаемые в амплитудах рассеяния соответствуют линиям излучения, отстоящим на величину, намного большую естественной ширины. Если, например, ^ко = £3, вторым слагаемым в амплитудах можно пренебречь. Нетрудно видеть, что каждое из четырех слагаемых может быть представлено как произведение лоренцнанов, центры которых

2

2

Ю,

k2 3

Рис. 10. Ожидаемый спектр рассеяния. У-схема. 2Б = Г Пг =3

1,2-

О 0,8-

СО

0,4-

0,0

-40

а)

\1

-30

-20 -10

®k2"S3

V

10

2,5 2,0

? 1,5

3

ОТ 1,0 0,5 0,0

-40

JLJ.

-30

6)

-20

-10

®k2"S3

Ul

10

Рис. 11. Ожидаемая форма спектров рассеяния (V-схема): (а) 2D = 20Г, fir = 3; (Ь) 2D = 0.1Г Ог = 3.

смещены на . Сумма четырех слагаемых приводит к линии рассеяния, имеющей иятикомпонентную структуру (рис. 10). Аналогичная пятикомионентная структура получается для рамановской линии рассеяния, если в выражении (32) взять (п' = п + 1).

Описанная выше пятикомионентная структура получена для типичных в месс-бауэровской спектроскопии условий: ширина линии источника совпадает с шириной мессбауэровского перехода в рассепвателе. Теперь мы обсудим возможность, когда эти величины могут различаться. Легко видеть, когда ширина линии источника намного больше Г, пятикомионентная структура превращается в дублет Раби (рис. 11, а). С другой стороны, когда ширина линии источника намного меньше Г, спектр рассеянного излучения превращается в триплет (рис. 11, Ь).

Таким образом, структура рассеянного мессбауэровского излучения (в условиях ЯМР на основном уровне) отражает когерентность в системе ядерных спинов (дублет Раби) и конечную ширину линии излучения источника.

4. Изотоп 57 Ге

Рассмотренные выше трехуровневые системы хорошо подходят для понимания сути обсуждаемых явлений. Однако для реальных изотопов нам приходится рассматривать схему с числом уровней больше трех. При этом возникает необходимость учитывать то, что интенсивности сверхтонких составляющих мессбауэ-ровских переходов различны и имеют различные угловые зависимости. Но «вен-

S (к2а.и.

Рис. 12. Ожидаемый спектр резонансного рассеяния на изотопе 57 Ре в режиме РЧ резонанса возбужденного состояния ядра; Ог = 1.5, £о - энергия мессбауэровского уровня. Линия накачки настроена на шестую линию зеемановской шестерки, 6е; - линия упругого рассеяния, (б^,^2), (6^, б|) и 63 — рамановские линии 1, 2 и 3 порядка соответственно

тильный» эффект по-прежнему будет иметь место, если подуровни возбужденного состояния ядра связаны р.ч. (управляющим) полем. По-прежнему, при достаточно больших значениях параметра /Г интенсивность упругого рассеяния будет уменьшена за счет деструктивной интерференции. Интенсивность же рамановских линий увеличивается, если линия формируется с участием нечетного числа р.ч. фотонов и уменьшается при четном их числе. Однако теперь отношение интенсив-ностей линий необходимо сравнивать не с единицей, как с предельным значением, а с отношением квадратов матричных элементов соответствующих переходов, вычисленных для данного угла рассеяния.

Рассмотрим простой случай, когда квадрупольное взаимодействие отсутствует. Подуровни возбужденного состояния ядра в этом случае образуют эквидистантную зеемановскую структуру (/е = 3/2). С учетом спина основного состояния ядра (1д = 1/2) и правил отбора гамма-переходов, М — т = 0, ±1, возможны шесть мессбауэровскпх переходов. Пробное (мессбауэровское) излучение настроено на первый (по энергии) из этих переходов (переход 2-3).

Теперь размерность матрицы Ь в уравнении, аналогичном (13), равна 35. Спектр спонтанного излучения по-прежнему вычисляется как Фурье образ двух-временной корреляционной функции. Повторяя процедуру п. 2 (£-схема), можно получить следующее выражение для спектра (за деталями расчета мы отсылаем к [24]):

£ (ш) ж 51 (ш) + 52 (ш) + 5з (ш) + 54 (ш) + Я5 (ш) + 5б (ш),

где

51 (ш) = Ие

52 (ш) = Ие 53 (ш) = Ие

11

35

]Г М8,з Ы Фб'+о М + Е N8,3 Ы 0 *1'з М

0=6

11

0=1

35

]Г М9,о (^2 ) *?2+о М + Е N9,0 (^2 ) То*?9 М

0=6 11

0=1 35

]Г М1о,о Ы ФГ8+о М + Е N10,0 Ы 1оФ2'5 М

°=6 °=1

«4 М = Ие

«5 И = Ие

«6 М = Ие

5

35

]Г Из,з Ы (то) + ^ N3,3 (*4) I,Ф'в (то)

3=1 3=1

5 35

]Г М4,3 (^5 ) Ф2'4+3 (то) + ^ N4,3 (^5 ) 1зФ2'4 М

3=1

5

3=1

35

]Г И5,3 Ы ФЗ'о+3 (то) + Е N5,3 Ы13 ФЗ'о (то) 3=1 3=1

На рис. 12 представлен ожидаемый спектр рассеяния, вычисленный для изотопа 57 Ре.

5. Заключительные замечания

В заключение обсудим связь данной работы с известными ранее эффектами р.ч. резонанса в мессбауэровской спектроскопии. Впервые такая задача была рассмотрена теоретически: исследовалась структура спектра безотдачиого гамма-излучения в условиях когерентного р.ч. перемешивания зеемановскнх подуровней возбужденного ядра [25]. Было показано, что каждая сверхтонкая компонента мессбауэровского спектра излучения расщепляется на 21е + 1 линий естественной ширины. В работе [26] тот же результат был получен для спектров поглощения. В дальнейшем была проведена интерпретация этих результатов в рамках концепции квазиэнергий. Прошло достаточно много времени, прежде чем квази-энергетпческая структура, описанная в [25]. была подтверждена в экспериментах на поглощение [6. 7]. Отметим, что такая структура является следствием когерентной динамики ядерных спинов, но не свидетельствует о квантовой интерференции. Действительно, в спектрах поглощения (в приближении тонкого поглотителя) не следует ожидать эффектов КИ для данного (р.ч.) механизма реализации КН. Согласно оптической теореме, сечение поглощения представляется как мнимая часть амплитуды рассеяния вперед. Таким образом, сечение зависит от амплитуды рассеяния линейно (а не квадратично, как в случае вероятности рассеяния, см. п. 3). и интерференции различных слагаемых амплитуды не возникает.

Этот результат отличается от известного в оптике результата [21]. В [21] на примере £-схемы была показана возможность электромагнитно-индуцированной прозрачности по отношению к пробному излучению на переходе 1-2. если перемешиваемые сильным полем уровни 2 и 3 имеют существенно различные константы распада. Это условие, естественное в оптике, исключается на мессбауэровском переходе (мы подразумеваем, что уровни 2 и 3 являются сверхтонкими уровнями возбужденного состояния ядра и имеют идентичные константы распада). С другой стороны, результат [21] может быть получен методом теории возмущений (см. п. 3). если пользоваться «одетыми» состояниями, полученными на базисе состояний. имеющих изначально различные константы распада.

Вместе с тем эффекты КИ могут влиять на спектры поглощения толстых месс-бауэровских поглотителей. Об этом свидетельствует эксперимент [27]. где была

3

излучения в точке антипересечения ядерных подуровней. В теоретической работе [28] данный эффект прозрачности был объяснен на основе допущения многократного перерассеяния гамма-фотона по мере прохождения через резонансную среду.

Основным выводом этой работы является то. что эффекты КИ могут быть реализованы в схеме резонансной флюоресценции мессбауэровских квантов в режиме р.ч. перемешивания подуровней возбужденного ядра. Эксперименты по мессбауэ-ровскому поглощению [6. 7]. выполненные в этих же условиях, подтверждают этот вывод. В них была экспериментально показана возможность когерентной динамики ядерных спинов 57 Ее в магнитных материалах в резонансном р.ч. поле, то, что является обязательным для реализации р.ч. КИ в схеме рассеяния. Кроме того, результаты работ [6, 7] показали, что значения частот Раби, необходимые для наблюдения «вентильного» эффекта, могут быть реализованы в случае изотопа 57 Ге в магнитоупорядоченных системах. Из экспериментальных спектров [6] легко оценить амплитуду индуцированного на ядре осциллирующего сверхтонкого поля Л." « 88 кЭ , что соответствует частоте Раби « 1.5, использованной при расчете спектра на рис. 12.

Возможность эффектов КИ при резонансном рассеянии мессбауэровского излучения в режиме радиочастотной динамики ядерных спинов содержалась уже в ранних работах [29 31], однако в них этот вопрос не акцентировался.

Хотя исследования эффектов КИ, проведенные нами, относились к мессбау-эровским переходам, полученные результаты (например, «вентильный» эффект) весьма интересны и для оптики. Нам представляется, что здесь они наиболее легко реализуемы на эксперименте.

Исследования КИ на мессбауэровских переходах были поддержаны грантами РФФИ (Л* 01-02-17502, 04-02-16939), СКОТ (ССР 11Р1-2560-КА-03).

Summary

Е.К. Sadykov, V.V. Arinin, F.G. Vagizov, О.A. Kocharovskaya. RF controllable quantum interference on Mossbauer transition.

Coherency and a quantum interference effects at resonant fluorescence of moessbauer radiation in tlio magnetic materials subjected to influence of external r.f. fields are considered. Density matrix method for calculation of moessbauer spectra developed earlier for similar problems in optics is used. It is shown, that in the regime of a nuclear magnetic resonance at the excited nuclear level the intensity of raman lines in scattering spectra can exceed considerably the intensity of elastic scattering line ("valve" effect) due to a quantum interference. The analysis of this effect by the perturbation theory method is curried out also. The received results and similar results known in optics are compared. The possibility of experimental researches of a quantum interference effects on moessbauer transitions (on isotope 57 Fe) is shown, using traditional moessbauer technique and r.f. excitation of magnetic materials.

Литература

1. Kocharovskaya O., Mandel P. Amplification without inversion: The double-Л scheme 11 Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 523 535.

2. Boiler K.-J., Imamoglu A., Harris S.E. Observation of electromagnetically induced transparency // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 2593 2596.

3. Lee H., Pulynkin P., Scully M.O., Zhu S.-Y. Quenching of spontaneous emission via quantum interference // Phys. Rev. A. 1997. V. 55. P. 4454 4465.

4. Kucharuvskaya O., Kulesuv R., Rustuvtsev Yu. Coherent optical control of Mossbauer spectra // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 3593 3596.

5. Sadykov E.K., Zakirov L.L., Yurichuk A.A. Quantum interference of Mossbauer gamma transitions in magnetic materials // Laser Physics. 2001. V. 11. P. 409 418.

6. Vagizuv F.G. The splitting of liyperfine lilies of /sup 57/Fe nuclei in RF magnetic field // Hyp. Int.. 1990. V. 61. P. 1359 1362.

7. Titton.cn I., Lippmaa M., Ikon.cn. E., Linden J., Katila T. Observation of Mossbauer resonance line splitting caused by Rabi oscillations // Pliys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 2815 2818.

8. Андреева M.A., Кузьмин P.H. Мессбауэровская гамма-оптика. М.: Изд-во МГУ. 1982. 228 с.

9. Ахиеаор А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Физматлит, 1969. 625 с.

10. Toor А.Н., Zhu S.-Y., Zubairy M.S. Quantum interference in tlio spectrum of a driven atom: Effects of pumping and phase fluctuations // Pliys. Rev. A. 1995. V. 52. P. 4803 4811.

11. Gen-Banaclochc J., Zubairy M.S. Influence of pump-pliase fluctuations on the squeezing in a degenerate parametric oscillator // Pliys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 1742 1751.

12. Сады,ков Э.К., Закиров Л.Л., Юричук А.А., Аринин В.В. Квантовая интерференция па мессбауэровских гамма-переходах в магнитных материалах // ФТТ. 2002. Т. 44, .V' 8. С. 1439 1444.

13. Сады,ков Э.К., Аринин В.В., Ваггшов Ф.Г. Эффекты квантовой интерференции па мессбауэровских переходах // Изв. РАН. Сер. Физическая. 2005. Т. 69, Л' 10. С. 1408 1413.

14. Nartlucci L.M., Scully М.О., Орри G.-L., Ru P., Tredicce J.R. Spontaneous emission and absorption properties of a driven t.liree-level system // Pliys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 1630 1649.

15. Manka A.S., Doss H.M., Nartlucci L.M., Ru P., Oppu G.-L. Spontaneous emission and absorption properties of a driven three-level system. II. The Л and cascade models // Pliys. Rev. A. 1991. V. 43. P. 3748 3763.

16. Сады,ков Э.К., Юричук А.А., Аринин В.В. Резонансная флюоресценция гамма-излучения в режиме когерентного перемешивания мессбауэровских подуровней // ФТТ. 2003. Т. 45, 4. С. 685 689.

17. Шпинель B.C. Резонанс гамма-лучей в кристаллах. М.: Наука, 1969. 407 с.

18. Satlykov Е.К., Isavnin A.G., Skvortsov A.I. Mossbauer transitions dynamics in conditions of strong excitation of nuclear spin // Hyp. Int.. 1997. V. 107. P. 257 276.

19. Зельдович Я.Б. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной волне // УФН. 1973. Т. 110. С. 139 152.

20. Sam.be Н. Steady states and quasienergies of a Quantum-mechanical system in an oscillating field // Pliys. Rev. A. 1973. V. 7. P. 2203 2213.

21. Скалли M.O., Зубаири M.C. Квантовая оптика. М.: Физматлит, 2003. 512 с.

22. Перина, Я. Когерентность света. М.: Мир, 1974. 367 с.

23. Сады,ков Э.К., Аринин В.В., Ваггшов Ф.Г. Квантовая интерференция в спектрах мессбауэровского рассеяния // Письма в ЖЭТФ. 2005. Т. 82, Л' 7. С. 484 488.

24. Satlykov Е.К., Arinin V.V., Zakiruv L.L. Quantum interference in Moessbauer resonance fluorescence // Proc. SPIE. 2004. V. 5402. P. 463 471.

25. Hack M.N., Hammermesh M. Effect, of radiofrequency resonance on the natural line form // Nuovo Cimento. 1961. V. 19. P. 546 557.

26. Gabriel Н. Effect of radio-frequency fields on Mossbauer spectra // Pliys. Rev. 1969. V. 184. P. 359 363.

27. Cuussement R., Rustuvtsev Y., Odours J. et al Controlling absorption of gamma radiation via nuclear level anticrossing // Pliys. Rev. Lett. 2002. V. 7. P. 107601-1 107601-4.

28. Shakhmuratuv R.N., Odeurs J., G hey sen S., Rustuvtsev Y., Kueharuvskaya O., Mandel P. Level mixing induced transparency for gamma radiation // Appl. Pliys. B: Lasers Opt. 2005. V. 81. P. 883 888.

29. Bashkiruv Sh.Sh., Beljanin A.L., Sadykuv E.K. The scattering of gamma-Rays in the Re-gime of Double Reso-nance // Pliys. Status Solidi (b). 1979. V. 93. P. 437 442.

30. Афанасьев A.M., Александров П.А., Якимов С.С. Влияние резонансного радиочастотного поля па мессбауэровские спектры. Препринт Л' 3337/9. Ип-т Атомной энергии. 1980. 24 с.

31. Mitin A.V. Theory of Mossbauer scattering under gamma magnetic resonance conditions // Pliys. Lett. A. 1981. V. 84. P. 283 286.

Поступила в редакцию 15.03.06

Садыков Эдгар Камилович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой физики твердого тела Казанского государственного университета. E-mail: esadQksu.ru

Аринин Виталий Валерьевич аспирант кафедры физики твердого тела Казанского государственного университета. E-mail: varinins е Qmail. ru

Вагизов Фарит Габдулхакович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры физики твердого тела Казанского государственного университета. E-mail: vayizuvejewel.tamu.edu

Кочаровская Ольга Анатольевна доктор физико-математических паук, профессор Техасского университета, штат Техас, США. E-mail: Kucharejewel.tamu.edu