CC BY
37
Zhornik Victoria Aleksandrovna
Taganrog State Pedagogical Institute.
E-mail: [email protected].
48, Initsyativnaya str., Taganrog, 347900, Russia, Phone: (8634)601807. Assistant professor, PhD.
Прокопенко Юрий Александрович
Таганрогский государственный педагогический институт.
E-mail: [email protected].
347900, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48, тел.: (8634)601807. Ассистент.
Prokopenko Yury Aleksandrovich
Taganrog State Pedagogical Institute.
E-mail: [email protected].
48, Initsyativnaya str., Taganrog, 347900, Russia, Phone: (8634)601807. Assistant.
УДК 539.04
В. А. Жорник, А.А. Ященко
РАЗВИТИЕ ТРЕЩИНОПОДОБНЫХ ДЕФЕКТОВ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ МЕДИЦИНСКИХ
ПРИБОРОВ*
Рассматривается развитие трещиноподобного дефекта дискообразной формы под действием термоупругих напряжений в элементах конструкций медицинских приборов. Показано, что мельчайший внутренний дефект при термообработке может вырасти скачком до размеров опасных при дальнейшей эксплуатации.
Температура; термоупругие напряжения; дискообразная трещина; коэффициент интенсивности напряжений.
V.A. Zhornik, A.A. Yashchenko
CRACK-LIKE DEFECT PROPAGATION IN CONSTRUCTIVE ELEMENTS OF MEDICAL APPARATUSES OF CYLINDRICAL SHAPE
Crack-like penny-shaped defect propagation under thermoelastic stresses in constructive elements of medical apparatuses is considered. It is shown that the smallest inner defect under heat treatment may grow jump-like up to the sizes dangerous for further use.
Temperature; thermal stresses; penny-shaped crack; stress intensity factor.
В процессе нанесения упрочняющих, восстанавливающих и антикоррозионных покрытий на рабочие поверхности элементов конструкций они довольно
*
Работа одного из авторов, Жорник В.А., выполнена при поддержке гранта «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE) Министерства образования и науки Российской Федерации и Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF) (код проекта Р.Н.П. 2.22.3.10012).
часто подвергаются тепловому воздействию. Это приводит к высоким нестационарным температурным градиентам и, как следствие, к термоупругим напряжениям, которые, усиливаясь вблизи трещиноподобных дефектов, способствуют их росту. Таким образом, упрочнение рабочей поверхности детали может привести к значительному уменьшению прочности в других ее областях. В связи с этим возникает очень важный вопрос о том, каким образом следует вести нагрев детали, чтобы вообще исключить такое прорастание дефекта или, по крайней мере, остановить его на стадии размера, не опасного для дальнейшей эксплуатации.
В качестве модели для исследования в работе выбран сплошной цилиндр радиуса гс конечной длины 1 со свободными теплоизолированными торцами и со свободной от нагрузок соосной дискообразной трещиной радиуса М, расположенной в середине цилиндра. Кроме того, цилиндр, имеющий постоянную начальную температуру Т0, заключен в тонкую оболочку (покрытие) толщины d << гс, свободную от внешних нагрузок, нагреваемую по всей поверхности путем теплообмена со средой постоянной температуры □ > ТО. В этом случае тепловые потоки радиальные, и трещина не оказывает никакого влияния на процесс распространения тепла в цилиндре.
При рассмотрении задачи предполагается, что оболочка имеет скользящую заделку, т.е. поверхности цилиндра и оболочки на контакте свободно проскальзывают друг относительно друга в осевом направлении. Поэтому цилиндр должен сам себя уравновешивать в осевом направлении. Предполагается, что оболочка жесткая и, следовательно, на контакте имеют место нулевые радиальные перемещения и касательные напряжения. При решении задачи цилиндрическая система координат г, □, ъ с осью ъ, направленной вдоль оси цилиндра.
Решение задачи термоупругости вдали от торцов представляется в виде суммы двух решений
7 О; z, О = аТ О; z, О + 7 ^ z, О, (1)
и1 (г, ъ, 1) = иТ (г, ъ, 1) + ир (г, ъ, 1) . (2)
Первое решение с началом координат на одном из торцов цилиндра (7^ (г, 2,1), иТ (г, 2,1), рассматриваемое в предположении отсутствия трещины,
удовлетворяет уравнениям термоупругости для конечного цилиндра. Это решение удовлетворяет всем граничным условиям, за исключением условий на берегах
трещины, которые нагружены нагрузкой <7Тгг (г, 1/ 2, ^).
Температурное поле в цилиндре имеет вид [1]
Ту, z, ?)- Т
= 1 -XX А
п=1 к=0
-I у2+хк 12 I р°
где АЛ = 4Б1-
|(у2 + Б12 ) (Уп)
1 +
БШ2хк
2хк
( г ^ Уп —
\
г
с /
С08 X —,
х 1
(3)
(4)
Здесь уп - корни трансцендентного уравнения
у11(у) = Б11о(У),
(5)
к
X
к
где Б1 = Оог 1 - критерий Био; ХТ, Х0 - теплопроводности материалов ци-
ХТ С1 + а^/Х0
линдра и оболочки соответственно; а0 - коэффициент теплообмена между поверхностью оболочки и средой; 10(у), 11(у) - функции Бесселя от действительного аргумента первого рода нулевого и первого порядка соответственно,
Е0 = а^г;.2 - критерий Фурье; а = Л,Т/рУСУ - температуропроводность цилиндра, ру - плотность материала цилиндра, су - его удельная теплоемкость, хк = кп,
к=0,1,2... .
Осевое напряжение ст^(г, 1/2,Бо), которое понадобится в дальнейшем, имеет вид:
С (рЛ ) = -
г,—,і|(і-V)
2 Г уу А-кУпе
а ТБ(0- Т0) 2
У п ^01 Уп I-
хк _кг !о ^ хк I)]
.
Уп + Хк 12
(6)
где р = г/гс; Е - модуль упругости материала цилиндра, V - коэффициент Пуассона, аТ - коэффициент термического расширения материала цилиндра.
Осевое перемещение иТ(г, 1/ 2,1) в среднем сечении (области расположения трещины) вследствие симметрии задачи равно нулю.
На рис. 1 пунктирными линиями представлены распределения безразмерных осевых напряжений 7ъъ (р^о) по сечению цилиндра р в зависимости от безразмерного времени Fo для случая, когда стальной цилиндр (Х1 = 50Вт/м• К) радиуса
гс = 5-10-3м и длиной 1 = 10 1 м покрыт бронзой (Х0 = 100Вт/м• К) толщины d = 4 • 10-4 м, а0 = 3,75 • 105 Вт/м2 • К . В этом случае критерий Био Б1=15.
Рис. 1. Распределение осевых напряжений по сечению цилиндра в зависимости от времени
Второе решение изотермической теории упругости 7 р (г, ъ, 1) , ир(г,ъ,1) в
сумме с первым должно удовлетворять всем граничным условиям, в том числе и на берегах дискообразной трещины.
-4- !Го
а
х
к
соя
2
г
В этой задаче граничные условия для полубесконечного цилиндра (одна из двух частей довольно длинного цилиндра, разрезанного плоскостью расположения дискообразной трещины) с началом координат в центре дискообразной трещины задаются в следующем виде:
1) на поверхности цилиндра:
О^^ъ,^ = 0, г = гс, 0 < ъ < да, \ > 0, (7)
ир(г,ъ,1;) = 0 , г = гс, 0 < ъ < да, \ > 0. (8)
2) на торце:
а|Ь(г,ъ,1) = 0, 0 < г < гс, ъ = 0, I > 0, (9)
которое является сквозным, а также смешанное граничное условие
сръ(г,ъ,1) = -с:Ьъ(г,ъ,1), 0 < г < га, ъ = 0, I > 0, (10)
ир(г,ъ,0 = 0, га < г < гс, ъ = 0, I > 0. (11)
Поставленная задача (7)-(11) сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно функции Ф(т, Бо), имеющего вид:
Ф* (т, Бо) - }Ф* (V, Бо)К(т,у)ау = } СТъъ(.Р,Ро)рар , 0 < т < а, Ее > 0, (12)
0 0 \т2 — р2
где а=га/гс - относительный радиус дискообразной трещины;
4 да К (£)
К(т V) = — —8И £т 8И ^ а £ - ядро интегрального уравнения.
П { I, (£)
Для решения этого уравнения осевое напряжение ^(р^о) аппроксимируется полиномом четной степени р от 0й до 8й степени
<4(Р,Р0) = °°<Р,4°* т-'1* = ^СА=.(р°)р“ • (13)
10^ і=о
На рис. 1 аппроксимированные безразмерные напряжения ст^(р,Ро) изображены сплошными линиями. Как видно из графиков, аппроксимация довольно точная.
Представляя искомую функцию ф (т, ^о) в виде
Ф *(т^о) = £ ф 2. (т)А 2. (Fo), (14)
і=0
интегральное уравнение для .-го члена запишем в виде
г т ръ+1ёр
Ф2і(т)-|Ф2,- (У)К(Т,У)ІЇУ = І . 2 2 . (15)
0 0 у] Т — р
Уравнение (15) решалось методом последовательных приближений до десятого приближения для і = 0, 1, 2, 3, 4.
На рис. 2 изображены зависимости функций Ф2і(П) от □ для различных і (от 0 до 4).
На основании полученных выражений рассчитывается коэффициент интенсивности напряжений (КИН) КІ(а, FO), который управляет ростом трещины. Если окажется, что КІ(а, FO) меньше трещиностойкости (критического КИН, вязкости разрушения) КІС - постоянной материала, то трещина не растет, если больше, то она будет расти. КИН определяется следующей зависимостью [2]:
К,(а,Р0)(1 -V)
а ТЕ(0 - Т0)
= 7^ 1іт+л/р-аст (Р, °, Ро).
(16)
Рис. 2. Зависимость Ф2(а) от относительного размера дискообразной трещины для различных нагрузок на берегах трещины
В работе [3] показывается, что К(а, Бо) выражается через Ф*(т,Ро) следующей зависимостью
К1(а,Р° )(1 ~У) Ф * (а,Бо). (17)
а ТЕ(0- Т0)
Подставив (14) в (17), получим окончательное выражение для безразмерного КИН К* (а, Го)
” (а,Бо)(1 -V)
атЕ(0- Т0)
где А21(Бо) - определяется соотношением (14).
На рис. 3 приведены зависимости К*(а,Го) от времени Бо при различных размерах трещины, соответствующие напряжениям, изображенным на рис. 1 и 2.
К* Мо) = ^ = -т-Г Ли (Ро)Ф 2і (а),
"Vа і=0
(18)
Рис. 3. Зависимость КИН от времени для различных размеров дискообразной трещины
Проанализируем результаты расчета Kl (a,Fo), приведенные на рис. 3, задав постоянную материала цилиндра трещиностойкость K*C = 0,125 . Тогда очень малая
дискообразная трещина, например относительного размера a = 0,1 (a = 0,5 мм) покоится до времени Fo ~ 0,067 (точка а на рис. 3), далее в этот момент времени она растет скачком (см. вертикальные стрелки в точке а) до размера 0,8 (цилиндр лопнул). Однако незначительное увеличение начальной температуры Т0 или снижение температуры нагреваемой среды 9, приведет к увеличению K*(a,Fo) > 0,13 (см. горизонтальную пунктирную линию на рис. 3). В этом случае дискообразная трещина размера a = 0,1 расти не будет.
Снижение коэффициента теплообмена a0 приводит к уменьшению градиентов температур и температурных напряжений, а значит, и к уменьшению КИН, что также благоприятно сказывается на поведении трещины в термообрабатываемых деталях. Описанное выше прорастание трещины необходимо учитывать при различных термообработках рабочих поверхностей цилиндрических деталей, так как в процессе эксплуатации такой «упрочненной» детали развившиеся внутри невидимые трещины могут привести к разрушению этого изделия.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Zhornik V.A., Prokopenko Yu.A., Rybinskaya A.A., Savochka P.A. Ring-shaped crack propagation in a cylinder under nonsteady cooling // High Performance Structures and Materials III. -WIT Press Southampton U.K., Boston USA, 2006, P. 521-526.
2. Sneddon I.N., TaitR.J. The effect of a penny shaped crack on the distribution of stress in a long circular cylinder // Int. J. Engng. Sci. 1963. V. 1, P. 351- 406.
3. Жорник А.И. Термоупругие процессы, происходящие в твердых телах с трещиноподобными дефектами. - Таганрог: Изд-во Таганрогского госпединститута, 2002. - 259 с.
Жорник Виктория Александровна
Таганрогский государственный педагогический институт.
E-mail: [email protected].
347900, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48, тел.: (8634)601807.
Доцент, к.ф.-м.н.
Zhornik Victoria Aleksandrovna
Taganrog State Pedagogical Institute.
E-mail: [email protected].
48, Initsyativnaya str., Taganrog, 347900, Russia, Phone: (8634)601807.
Assistant professor, PhD.
Ященко Алла Алексеевна
Таганрогский государственный педагогический институт.
E-mail: [email protected].
347900, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48, тел.: (8634)601807.
Соискатель.
Yashchenko Alla Alekseevna
Taganrog State Pedagogical Institute.
E-mail: [email protected].
48, Initsyativnaya str., Taganrog, 347900, Russia, Phone: (8634)601807.
Assistant.
