CC BY
56
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Математика и механика № 4(24)
УДК 512.1; 517.53; 519.6
Ю.А. Несмеев РАЗВИТИЕ ОДНОГО ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 4-й СТЕПЕНИ
Выводятся связи между корнями уравнения и корнями его резольвенты. Предлагаются утверждения, устанавливающие без решения уравнения принадлежность его корней к множеству действительных чисел или к множеству комплексных чисел с ненулевыми мнимыми частями. Выводятся формулы для вычисления компонент корней уравнения.
Ключевые слова: уравнение, решение, таблица.
Публикации по исследованиям в области разработки современных технологий во многих случаях (например, в [1-3]) содержат алгебраические уравнения 4-й степени с коэффициентами, зависящими от параметров и принимающими действительные значения. В них происходит учёт зависимости корней этих уравнений от параметров и ставится вопрос, равносильный вопросу об условиях на параметры, при которых корни принадлежат множеству действительных чисел или множеству комплексных чисел с ненулевыми мнимыми частями. Путями учёта, если уравнения не являются биквадратными, служат следующие способы: решение Декарта - Эйлера [4, с. 48]; решение Феррари [4, с. 48] (имеет наибольшее число применений); способ, предложенный В. А. Подвысоцким [5]. Однако выведенные для учёта зависимости не доводятся до равенств, в левых частях которых находятся корни, а в правых - зависящие от параметров выражения. Основная причина сложившегося положения - отсутствие таких равенств в справочной литературе для уравнения 4-й степени с буквенными коэффициентами. Поэтому в данной работе такие равенства выводятся. Также выводятся связи между корнями уравнения и корнями его резольвенты, и на их основе предлагаются утверждения, устанавливающие без вычисления корней их принадлежность к множеству действительных чисел или множеству комплексных чисел с ненулевыми мнимыми частями. За основу вывода взяты аналитические зависимости из работы [6], развивающей известный аналитический способ [7, с. 27].
Изложенный в [7] способ и решение Феррари с точностью до обозначений используют одно и то же уравнение 4-й степени и одну и ту же резольвенту, отличаясь друг от друга видами пар вспомогательных квадратных уравнений. С другой стороны, использование на практике решения Феррари сопровождается преобразованием вспомогательных квадратных уравнений к виду, применяемому в [7]. Поэтому [6] является и развитием метода Феррари. В [6] были предложены такие три величины, значения которых позволяют без подбора каких-либо коэффициентов строить ту пару вспомогательных квадратных уравнений, объединение корней которых даёт все корни уравнения 4-й степени. Притом в общем случае коэффициентами квадратных уравнений могут быть комплексные числа с ненулевыми мнимыми частями. Использование этих квадратных уравнений позволяет в общем случае находить корни уравнения 4-й степени быстрее, чем вышеупомянутые
способы. Однако в литературе отсутствует выражение компонент корней этих квадратных уравнений через коэффициенты уравнения 4-й степени. В данной работе этот пробел восполняется в рамках развития подхода, осуществлённого в [6].
В целях вычисления корней уравнения 4-й степени в [6] предложены таблицы, в одной из которых содержатся формулы по расчёту корней кубического уравнения, а в другой - пары вспомогательных квадратных уравнений. В данной работе они приводятся после устранения в них избыточных данных. Табл. 1, содержащая пары квадратных уравнений, рассчитана на уравнение
24 + а323 + а222 + а12 + а0 = 0 (1)
и использует действительный корень кубического уравнения
и3 - а2и2 + (а1а3 - 4а0)и - (а12 + а0а32 - 4а0а2) = 0. (2)
Ниже корень имеет обозначение и1. Уравнение (2) является резольвентой. В этой таблице используются также величины й1 и й2, вычисляемые по формулам
й^1 = аз /4 + И1 — а2; (3.1)
ё2 = (и1/2)2 - а0. (3.2)
Содержащиеся в ней квадратные уравнения позволяют для вычисления корней уравнения (1) использовать любой действительный корень уравнения (2). На практике, однако, проще использовать такой корень уравнения (2), который даёт неотрицательные значения величинам (3). Его существование вытекает из теорем, предлагаемых ниже и использующих лемму. В ней корни уравнений (1) и (2) имеют соответственно обозначения 21, 12, 23, 24 и у1, >2, >3.
Лемма. Корни уравнения 4-й степени и резольвенты связаны соотношениями
>-1 = 22 + 2324,
>-2 = 2123 + 2224, (*)
>3 = 2124 + 2223.
Доказательство. Величины - (>1 + >2 + >3), >1>2 + >1>3 + >2>3, - при ис-
пользовании зависимостей (*) и теоремы Виета для уравнения (1) приводят к соотношениям
- (>1 + >2 + >3) = a2,
» + >1>3 + >2>3 = аа - 4а0,
->1>2>3 = -(а12 + аа2 - 4а0а2). (**)
Равенство правых частей соотношений (**) соответствующим коэффициентам уравнения (2) приводит на основании теоремы Виета для уравнения (2) к выводу о справедливости формул (*).
Теорема 1. Если все корни уравнения (1) являются действительными числами, то любой корень уравнения (2) имеет следующие свойства: он является действительным числом; для него величины (3) принимают неотрицательные значения.
Доказательство. Пусть действительные числа х1, х2, х3, х4 служат корнями уравнения (1). Тогда > 1, > 2, >3, согласно лемме, являются суммами произведений действительных чисел и потому сами являются действительными числами. Притом величина 4й?2 для и1 = >1, и1 = >2, и1 = >3 имеет соответственно неотрицательные значения (х1х2 - х3х4)2, (х1х3 - х2х4)2, (х1х4 - х2х3)2. Поэтому для каждого из корней >1, >2, >3 величина й2 принимает неотрицательное значение. Этим свойством
обладает и величина ё1, так как величины ё1 и й2 не могут принимать значения различных знаков [6].
Теорема 2. Если все корни уравнения (1) являются комплексными числами с ненулевыми мнимыми частями, то все корни уравнения (2) являются действительными числами. Для наибольшего из них величины (3) принимают неотрицательные значения.
Доказательство. Пусть комплексные числа а + /'Р, а - р/, у + /5 и у - /5 с ненулевыми мнимыми частями служат корнями уравнения (1). Тогда, согласно лемме, >1 = а2 + р2 + у2 + 52 , >2 = 2ау - 2р5, >3 = 2ау + 2р5. Следовательно, >1, >2, >3 являются действительными числами. Притом величина 4^ для и1 = >1 преобразуется в величину (2а - 2у)2, принимающую неотрицательные значения. Поэтому для
и1 = >1 неотрицательные значения принимают величины й1 и ё2. Сложение оче-
0 0 0 0 00 00 видных неравенств из пар а2 + у2 > 2ау, Р2 + 52 > -2Р5 и а2 + у2 > 2ау, р2 + 52 > 2р5
0000 0000 приводит к неравенствам а + Р + у2 + 5 > 2ау - 2р5 и а + Р + у2 + 5 > 2ау + 2р5,
говорящих о том, что > 1 является наибольшим среди корней уравнения (2).
Теорема 3. Если уравнение (1) имеет два неравных между собой действительных корня и комплексные корни с ненулевыми действительными частями, то уравнение (2) имеет лишь один действительный корень и для этого корня величины (3) принимают неотрицательные значения. Если уравнение (1) имеет два равных между собой действительных корня и комплексные корни с ненулевыми мнимыми частями, то уравнение (2) обладает следующими свойствами: оно имеет три действительных корня, два из которых равны между собой; для его наибольшего корня величины (3) принимают неотрицательные значения.
Доказательство. Пусть корнями 21, 22 служат действительные числа х1 и х2, а корнями 23, 24 являются комплексные числа а + /'Р и а - р/ с ненулевыми мнимыми частями. Тогда, согласно лемме, справедливы равенства >1 = х1х2 + а2 + р2, >2 = (х1 + х2)а + /(х1 - х2)Р, >3 = (х1 + х2)а - /(х1 - х2)р. Следовательно, >1 является действительным числом. Притом величина 4й1 для и1 = >1 преобразуется в неотрицательную величину (х1 + х2 - 2а)2. Следовательно, для и1 = >1 неотрицательные значения принимают и величины й1 и ё2. Корни >2, >3 являются при х1 = х2 действительными числами, а при х1 Ф х2 - комплексными числами с ненулевыми мнимыми частями. Если х1 = х2, то >1 = х12 + а2 + р2, >2 = 2х1а, >3 = >2 и, следовательно,
>1, >2, >3 принимают действительные значения. Кроме того, если х1 = х2, то справедливы неравенства >1 > >2 и >1 > >3, вытекающие из неравенства х12 + а2 + р2 > 2х1а, являющегося следствием справедливого неравенства (х1 - а)2 + р2 > 0.
Из теорем вытекают следующие утверждения.
Следствие 1. Если все корни уравнения (2) являются действительными числами, то для наибольшего из них величины (3) принимают неотрицательные значения. Если лишь один корень уравнения (2) является действительным числом, то для него величины (3) принимают неотрицательные значения.
Следствие 2. Если уравнение (2) имеет лишь один действительный корень, то уравнение (1) имеет два неравных между собой действительных корня и два комплексных корня с ненулевыми мнимыми частями.
Следствие 3. Если все корни уравнения (2) являются действительными числами, то или уравнение (1) имеет лишь действительные корни, или уравнение (1) имеет лишь комплексные корни с ненулевыми мнимыми частями, или уравнение
(1) имеет два равных между собой действительных корня и два комплексных корня с ненулевыми мнимыми частями.
Следствие 1 непосредственно вытекает из теорем 1-3 и приводит к выводу о существовании действительного корня уравнения (2), дающего неотрицательные значения величин (3). Доказательство следствий 2 и 3 методом от противного приводит к противоречиям с их условиями. Поэтому следствия 2 и 3 справедливы. Хотя следствие 1 позволяет избегать в расчётах случая отрицательных значений величин (3), приводимая ниже табл. 1, содержащая квадратные уравнения, расчи-тана и на этот случай.
Т аблица 1
Пары квадратных уравнений
Случаи и их варианты Пара квадратных уравнений
1 ё[>0, ё2>0, а3и1 - 2а[>0; ё1 = 0, ё2>0; ё2 = 0, ^!>0; ё1 = 0, ё2 = 0 v2+(a3/2+|d1|1/2)v +и1/2+|ё2|1/2 = 0 v2+ (а3/2 - |ё, |1/2)v +и,/2 - |ё2|1/2 = 0
2 ё[>0, ё2>0, а3и1 - 2а[<0 v2+(a3/2+|d1|1/2)v +И1/2 - |ё2|1/2 = 0 v2+(a3/2 - Щ1'1^ +М1/2+|ё?Г = 0
3 ё[<0, ё2<0, а3и1 - 2а[<0; ё1 = 0, ё2<0; ё2 = 0, ^!<0; ё1 = 0, ё2 = 0 v2+(a3/2+г ё^^+и^+г |ё2|1/2 = 0 v2+(a3/2 - г Мг^+и^ - г |ё2|1/2 = 0
4 ё[<0, ё2<0, а3и1 - 2а[>0 v2+(a3/2+г |ё1|1/2)у+м1/2 - г |ё2|1/2 = 0 v2+(a3/2 - г |ё1 |1/2'Н'+и1/2+г |ё2|1/2 = 0
(Величины |^1|1/2 и |ё2|1/2 - арифметические корни.)
Табл. 2 по решению кубического уравнения рассчитана на уравнение
аХ + Ьх2 + сх + ё = 0. (4)
В ней величины р и q выражаются через коэффициенты уравнения (4) с помощью соотношений
р = Г1а~2(3ас - Ь2); (5.1)
q = 27-1 аГъЬъ - 6-1а~2Ьс + 2-1ачё. (5.2)
Т аблица 2
Аналитическое выражение корней кубического уравнения
Случаи г s Ф Корни
1 р = 0, q = 0 х1 = -3-1 Ьа~ 1 х2 = -3-1 Ьа~ 1 х3 = -3-1 Ьа~ 1
2 р = 0, q > 0 х1 = -exp(3-1ln(2q)) - 3-1Ьа~ 1 х2 = {2 - 1exp(3-1ln(2q)) - 3-1Ьа~ 1} + +г{31/V1exp(3"1ln(2q))} х3 = {2 - 1exp(3-1ln(2q)) - 3-1 Ьа~ 1} -- г{31/22~1exp(3-1ln(2q))}
3 р = 0, q < 0 х1 = exp(3-1ln(|2q|)) - 3-1 Ьа~ 1 х2 = {-2-1exp(3-1ln(|2q|)) - 3-1 Ьа~ 1} + +г{31/22 - 1exp(3-1ln(|2q|))} х3 = { - 2-1exp(3_1ln(|2q|)) - 3-1Ьа4} -- г{31/22-1exp(3-1ln(|2q|))}
Окончание табл. 2
Случаи г 5 Ф Корни
4 Р > 0, д = 0 X! = -3~1 ЪсТ 1 х2 = -3~1Ъс- + і (3р)1/2 х3 = -3-1Ъс_1 - і (3р)1/2
5 Р < 0, д = 0 х1 = -3-1 Ъс~ 1 х2 = (3|р|)1/2 - 3-1Ъс~ 1 х3 = -(3|р|)1/2 - 3-1Ъсч
6 д Ф 0, Р < 0, д2+р3 < 0 г = 1р11/2, если q>0; г = -|р|1/2, если q<0 д/г3 аг^[(1-і2)1/2/і] х1 = -2гсо8(ф/3) - 3-1ЪС 1 х2 = 2гсо8(п/3 - ф/3) - 3-1Ъс~ 1 х3 = 2гсо8(п/3 + ф/3) - 3-1Ъс~ 1
7 д Ф 0, Р < 0, д2+р3 > 0 г = |рГ, если q>0; г = -рГ, если q<0 д/г3 1п[5+(52-1)1/2] х1 = -2гсИ(ф/3) - 3-1Ъс~ 1 х2 = гсИ(ф/3) - 3-1Ъсч + і31/2геЬ(ф/3) х3 = гсИ(ф/3) - 3-1Ъс~1 - і31/2г8И(ф/3)
8 д Ф 0, р > 0 г = |рГ, если q>0; г = -рГ, если q<0 д/г3 1п[5+(52+1)1/2] х1 = -2гзЬ(ф/3) - 3-1Ъс~1 х2 = геИ(ф/3) - 3_1Ъс-1 + і31/2гсИ(ф/3) х3 = геИ(ф/3) - 3-1Ъс~1 - і31/2гсИ(ф/3)
Зависимости, приведенные в табл. 2, позволяют с помощью следствий 2 и 3 доказать следующие теоремы, устанавливающие по значениям коэффициентов резольвенты принадлежность корней уравнения к множеству действительных чисел или к множеству комплексных чисел с ненулевыми мнимыми частями.
Теорема 4. Корнями уравнения (1) являются или только действительные числа, или только комплексные числа с ненулевыми мнимыми частями, или два равных между собой действительных числа и два комплексных числа с ненулевыми мнимыми частями в каждом из следующих случаев значений величин р и q для уравнения (2): 1) р = 0, q = 0; 2) р = 0, q = 2 - 1; 3) р = 0, q = -2 - 1; 4) р < 0, q = 0; 5) q ф 0, р < 0, q2 + р3 < 0; 6) q ф 0, р < 0, q2 + р3 > 0, ф = 0.
Доказательство. Если выполняется какое-либо из перечисленных условий, то все корни уравнения (2) являются действительными числами. Поэтому применимо следствие 3, приводящее к утверждению теоремы.
Теорема 5. Корнями уравнения (1) являются два неравных между собой действительных числа и два комплексных числа с ненулевыми мнимыми частями в каждом из следующих случаев значений величинр и q для уравнения (2): 1) р = 0, q > 0, q ф 2-1; 2) р = 0, q < 0, qф -2-1; 3) р > 0, q = 0; 4) q ф 0, р < 0, q2 + р3 > 0, ф ф 0;
5) q ф 0, р > 0.
Доказательство. Если выполняется какое-либо из перечисленных условий, то уравнение (2) имеет лишь один действительный корень. Поэтому применимо следствие 2, приводящее к утверждению теоремы.
Формулы из табл. 2 позволяют сначала найти действительный корень щ уравнения (2), а затем, используя квадратные уравнения из табл. 1, и все корни уравнения (1). О решении квадратных уравнений из табл. 1 речь пойдёт ниже.
Каждое квадратное уравнение из табл. 1 представимо в виде равенства
V2 + (а32 + М:ге + + (У1/2 + р2^2ге + гр2^21ш) = 0. (6)
Если, согласно табл. 1, уравнение (1) относится к случаю 1, то для верхнего квадратного уравнения р1 = 1, р2 = 1, &1ге = |й?1|1/2, &нш = 0, &2ге = |й?2|1/2, к21ш = 0, а для нижнего квадратного уравнения р1 = -1, р2 = -1, &1ге = |^|1/2, &11ш = 0, &2ге = |й?2|1/2,
к21т = 0. Если уравнение (1) относится к случаю 2, то для верхнего квадратного уравнения р1 = 1, р2 = -1, к1ге = |^|1/2, к11т = 0, к2ге = |й?2|1/2, к21т = 0, а для нижнего квадратного уравнения р1 = -1, р2 = 1, к1ге = |^1|1/2, к11т = 0, к2ге = |й?2|1/2, к21т = 0. Если уравнение (1) относится к случаю 3, то для верхнего квадратного уравнения Р1 = 1, р2 = 1, к1ге = 0, к11т = |4|1/2, к2ге = 0, к21т = |й?2|1/2, а для нижнего квадратного уравнения р1 = -1, р2 = -1, к1ге = 0, к11т = |й?1|1/2, к2ге = 0, к21т = |й?2|1/2. Если уравнение (1) относится к случаю 4, то для верхнего квадратного уравнения р1 = 1, р2 = -1, к1ге = 0, к11т = к2ге = 0, к21т = |й?2|1/2, а для нижнего квадратного уравнения
р1 = —1 р2 = 1, к1ге = 0, к11т = к2ге = 0, к21т = |^2|'/2.
Решением уравнения (6) является двузначная функция г, определяемая в поле комплексных чисел равенством
г = —(а3/2 + р1к1ге + гр1к1ип)/2 + {(а3/2 + р1к1ге)2/4 - (^1к11т)2/4 - (У1/2 + р2к2ге) +
+ /[(аз/2 + р1 к1ге)(р1 к11т)/2 -р2к21т]}12. (7)
Далее действительная и мнимая части подкоренного выражения из соотношения (7) имеют обозначения 5ге и 51т. Для 5ге и 51т справедливы равенства
«ге = (а3/2 + р1к1ге)2/4 - (р1к11т)2/4 - (у1/2 + р2к2ге); (8)
«1т = (аз/2 + р1к1ге)(р1к11т)/2 - р2к21т. (9)
Ниже компоненты функции г применительно к верхним уравнениям из табл. 1 имеют обозначения г1ге, г1ш1 (для одного корня) и г2ге, г21т (для другого), а применительно к нижним уравнениям из табл. 2 - г3ге, г3ш1 (для одного корня) и г4ге, г41т (для другого). Применение формулы извлечения квадратного корня в поле комплексных чисел [4, с. 26] из величины 5ге + /51т приводит к тем формулам для вычисления компонент корней уравнения, которые приведены в табл. 3 - 6. Случаи, к которым относятся эти таблицы, представлены с помощью операций в алгебре высказываний. Высказывания заключены в скобки. Имеющие дробные степени величины являются арифметическими корнями.
Т аблица 3
Формулы для компонент корней уравнения 4-й степени [(^1>0)л(^2>0)л(взи1 - 2Й1>0)М№ = 0)л№>0)М№ = 0)л(^>0)М(^ = 0)л№ = 0)]
Формула для 5ге: 5ге = (а3/2М1/2)2/4 - (М1/2+^21/2). Формулы для компонент корней гу и
Условие на 5ге
5ге>0 г1ге = -(а3/2+^11/2)/2+5ге'/2г11т = 0 г2ге = —(а3/2+^11/2)/2 - 5ге'/2 г?1т = 0
5ге<0 г1ге = -(«з/2+^11/2)/2 г11т = Ке|1/2 г2ге = -(Яз/2+^1 1/2)/2 = -|5ге|1/2
5ге = 0 Г1ге = -(аз/2 - 1/2)/2 гцт = 0 г2ге = —(а3/2 - ^11/2)/2 г21т = 0
Формула для 5ге: 5ге = (а3/2 - ё1 1/2)2/4 - (м,/2 - ё?112). Формулы для компонент корней г3 и г4
Условие на 5ге
5ге>0 г3ге = —(а3/2 - ^11/2)/2+5ге'/2 г31т = 0 г4ге = —(а3/2 - ^11/2)/2 - 5ге'/2 г41т = 0
5ге<0 Гзге = —(аз/2 - ^11/2)/2 гз!т = ке|1/2 г4ге = —(аз/2 - ^1/2)/2 = —|^ге|1/2
5ге = 0 г3ге = —(а3/2 - ^11/2)/2 г31т = 0 г4ге = —(а3/2 - <^11/2)/2 г41т = 0
Т аблица 4
Формулы для компонент корней уравнения 4-й степени (^1>0)л(й2>0)л(а3м1 - 2ej<0)
Формула для Sre: Sre = (а3/2+^1/2)2/4 - (щ/2 - d21/2). Формулы для компонент корней z1 и z2
Условие на sre
Sre>0 z1re = -(a3/2+d11/2)/2+Sre1/2z1im = 0 z2re = —(a3/2+d11/2)/2 - Sre1/2 z2im = 0
Sre<0 z1re = -(a3/2+d11/2)/2 z1im = lSre|1/2! z2re = -(a3/2+d11/2)/2 z2im = -|sre|1/2
Sre = 0 re 0 0 = = lm m Z1 Z <N <N ft 1/2/2 r<1 з -( -( =e = re Z1 Z
Формула для sre: Sre = (a3/2 - d1 1/2)2/4 - (M,/2+d?1/2). Формулы для компонент корней z3 и z4
Условие на sre
Sre>0 z3re = —(a3/2 - d11/2)/2+Sre1/2 z3im = 0 z4re = -(аз/2 - d11/2)/2 - Sre1/2 z4im = 0
Sre<0 z3re = -(аз/2 - d11/2)/2 z3im = |sk| 1/2 z4re = -(«3/2 - d11/2)/2 z4im = -|Sre|1/2
Sre = 0 z3re = -(a3/2 - d11/2)/2 z3im = 0 z4re = —(a3/2 - d1 1/2)/2 z4im = 0
Т аблица 5
Формулы для компонент корней уравнения 4-й степени [(^1<0)л(^2<0)л(в3и1 - 2aj<0)]v[(rfi = 0^(tf2<0)]v[(d2 = 0)л(^1<0)]
Формулы для sre и sim: Sre = (a3)2/16 - |d 11/4 -yJ2, Sim = «3|d 111/2/4 - |d,|1/2 Условия на sre и sim Формулы для компонент корней г! и г2
Sre>0 zhe = -аз/4+(яГе2+я1т2)1/4со8(аг^(я1Ш/.5Ге)/2) гит = —№|1/2/2+^ге2+^т2)1/^т(аг^(^1Ае)/2) г2ге = -аз/4+^ге2+^т2)1/4со8(агС£(^т^ге)/2+л) г21т = -|d1|1/2/2+(Sгe2+Slm2)1/4SІn(aГCtg(Slm/Sгe)/2+П)
Sre<0 г1ге = -aз/z^+(Sгe2+Slm2)1/4cos((aгctg(Slm/Sгe)+п)/2) г11т = -|^1|1/2/2+^ге2+^т2)1/^т((аг^(^т^ге)+л)/2) г2ге = -aз/4+(Sгe2+Slm2)1/4COS((aГCtg(Slm/Sгe)+п)/2+п) г21т = -|^1|1/2/2+^ге2+^т2)1/^т((агС£(^т^ге)+л)/2+л)
Sre = 0, Sim>0 г1ге = —аз/4+^т1/2/21/2 гПт = — |dl|1/2/2+Slm1/2/21/2 г,ге = —аз/4 - *т1/221/2 г-im = —1^,|1/2/2 - *т1/2/21/2
Sre = 0, Sim<0 г1ге = —аз/4+|Slm|1/2/21/2 г*,, = — №|1/2/2 - Ы1/2/21/2 г,ге = —аз/4 - кт| 1/2/21/2 г,im = —У |1/2/2+Ы1/2/21/2
Sre = 0, Sim = 0 г1ге = —аз/4 г11т = —|У1|1/2/2 г2ге = —аз/4 г21m = —|У1|1/2/2
Формулы для Sre и Sim: Sre = (a3)2/16 - |d 11/4 -У1/2, Sim = -«3|d1|1/2/4+|d9|1/2. Условия на Sre и Sim Формулы для компонент корней гз и г4
Sre>0 гзге = —а3/4+^ге2+^т2)1/4^(агС£(^т^ге)/2) г31m = /2+С?ге +s1m ) s1n(аГctg(s1m/sгe)/2) г4ге = —аз/4+(Sгe2+Slm2)1/4COS(aГCtg(Slm/Sгe)/2+п) г41т = |У1|1/2/2+^ге2+$т2)1/^т(аг^(^1А1,У2+л)
Окончание табл. 5
«ге<0 гзге = -а3/4+(Яге2+Я1т2)1/4со8((аг^(^ге)+гс)/2) 231т = 0111/2/2+(5ге2+«1т2)1/4^1П((агс1§(51т/«ге)+п)/2) ^4ге = —аз/4+(«ге2+51т2)1/4С08((агс1§(«1т/«ге)+п)/2+п) 241т = !^1!1/2/2+(5ге2+«1т2)1/481п((агс1д(51т/5ге)+п)/2+п)
«ге = 0, 51т>0 23ге = —аз/4+«1т1/2/21/2 2з1т = 01|1/2/2+«1т1/2/21/2 24ге = —аз/4 - 5,т1/2/21/2 24,т = |^,|1/2/2 - 5,т1/2/21/2
«ге = 0, «1т<0 2зге = —аз/4+|«1т|1/2/21/2 гз1т = !^1|1/2/2 - Ы1/2/21/2 24ге = —аз/4 - ы 1/2/21/2 24.т = №!1/2/2+|51т!1/2/21/2
«ге = 0, «1т = 0 23ге = —аз/4 231т = И1/2/2 24ге = —аз/4 241т = !^1|1/2/2
Т аблица 6
Формулы для компонент корней уравнения 4-й степени
(^1<0)л(^2<0)л(а3м1 - 2а!>0)
Формулы для «ге и «1т: «ге = а32/16 - Щ/4 - у1/2 «1т = аз!^1|1/2/4 + |0?|1/2 Условия на «ге и «1т Формулы для компонент корней 21 и 22
«ге>0 21ге = —аз/4+(«ге2+«1т2)ШС08(аг^(«1т/«ге)/2) 211т = —^^/^(«ге^тЛ^т^Г^^т^ге)/2) 22ге = —аз/4+(«ге2+«1т2)ШС08(агС^(«1т/«ге)/2+я) 221т = — |^1|1/2/2+(«ге2+«1т2)1/48т(агС£(«1т/«ге)/2+Я)
«ге<0 21ге = —аз/4+(«ге2+«1т2)1/4С08((агС£(«1т/«ге)+П)/2) 211т = —^Г/г+^+^У^т^агС^т^+П)/2) 22ге = —аз/4+(«ге2+«1т2)1/4С08((агС^(«1т/«ге)+я)/2+л) 221т = —01 |1/2/2+(«ге2+«1т2У/48т((аг^(«1т/«ге)+Я)/2+Л)
«ге = 0, «1т>0 21ге = —аз/4+«1т1/2/21/2 2цт = — 2,ге = —аз/4 - «1т1/2/21/2 2„т = —01 Г/2 - «Л"2
«ге = 0, «1т<0 21ге = —аз/4+|«1т|1/2/21/2 211т = — ^И2 - |«1т11/2/21/2 22ге = —а3/4 - !«1т! 1/2/21/2 221т = —Р1^11т/2+!«1т|1/2/21/2
«ге = 0, «1т = 0 21ге = —а3/4 211т = —101|1/2/2 22ге = —а3/4 221т = —101|1/2/2
Формулы для «ге и «1т: «ге = а32/16 - Ш/4 -у1/2, «1т = —аз!^111/2/4 - |0,|1/2. Условия на «ге и «1т Формулы для компонент корней 23 и 24
«ге>0 23ге = —аз/4+(«гe2+«lm2)1/4С0S(aГСtg(«lm/«гe)/2) 2з1т = КГ^+^+О^^аГ^^цАеУ2) 24ге = —аз/4+(«ге2+«1т2)1/4^(агС^(«1т/«геУ2+л) 241т = ^Г/г+^+^У^^аГ^^тАгеУг+П)
«ге<0 2зге = —а^+^+^^^^агС^т^+п)/2) 2з1т = |01|1/2/2+(«ге2+«1т2)1/^т((аГ^(«1т/«ге)+П)/2) 24ге = —аз/4+(«ге2+«1т2)1/4^((агС^(«1т/«ге)+я)/2+л) 241т = ^Г/г+^+^У^т^аГ^^т/^+гсУг+л)
«ге = 0, «1т>0 2зге = —аз/4+«1т1/2/21/2 2з1т = |01|1/2/2+«1т1/2/21/2 24ге = —аз/4 - «1т1/2/21/2 241т = ^Г/2 - «„т^2"2
«ге = 0, «1т<0 2зге = —аз/4+|«1т|1/2/21/2 2з1т = ^И2 - |«1т 11/2/21/2 24ге = —аз/4 - !«1т! 1/2/21/2 241т = !01|1/2/2+!«1т|1/2/21/2
«ге = 0, «1т = 0 23ге = —аз/4 2з1т = |01! 1/2/2 24ге = —аз/4 241т = |01|1/2/2
Пример. Используя табл. 1 - 6, вычислить корни уравнения [з]
52,82 х4 + 108,з9 х3 + 88,17 х2 + 270,99 х + 211,29 = 0.
Решение. 1) Определяются значения коэффициентов аз, а2, а1, а0 в результате приведения заданного уравнения к виду (1):
аз = 2,05206; а2 = 1,66925; а1 = 5,1з044; а0 = 4,00019.
2) Находятся значения коэффициентов а, Ь, с, и ё по формулам а = 1, Ь = —а2, с = а1аз - 4а0, ё = —а12 - а0аз2 + 4а0а2:
а = 1; Ь = —1,66925; с = —5,47276; ё = —16,45677.
3) По формулам (5) находятся значения величинр, д, и д2 + р3:
р = —2,1зз85; д = —9,92з2з; д2 + р3 = 88,75426.
4) Констатируется, что выполняются условияр < 0 и д2 + р3 > 0.
5) Делается вывод: при решении вспомогательного кубического уравнения следует выбрать строку 7 табл. 2.
6) Используется строка 7 табл. 2. Последовательно получаются следующие результаты:
г = —1,46077; « = з,18з51; ф = 1,82550; и1 = 4,0з574.
7) Определяются значения величин ё1, ё2, ази1 - 2а1:
ё1 = з,4192з; ё2 = 0,07161; ази1 - 2а1 = —1,97929.
8) Так как выполняются неравенства ё1 > 0, ё2 > 0 и ази1 - 2а1<0, то согласно табл. 1, делается вывод: для вычисления компонент корней исходного уравнения следует выбрать табл. 4.
9) Начинает использоваться табл. 4. Для вычисления корней 21 и 22 определяется значение величины «ге по формуле
«ге = (аз/2 + ё11/2)2/4 - (и1/2 - ё21/2):
0,з16з5. Формулы (из табл.4), соответствующие этому значению, приводят к корням 21 = —0,8751з и 22 = —2,00002.
10) Для в^гчисления корней 2з и 24 определяется значение величины «ге по формуле
«ге = (аз/2 - ё11/2)2/4 - (щ/2 + ё21/2):
-2,33630. Формулы (из табл. 4), соответствующие этому значению, приводят к корням 2з = 0,41154 + /1,45468 и 24 = 0,41154 - /1,45468.
Замечание. После вычисления значения величины ф на шестом шаге можно было на основании теоремы 5 сделать вывод о том, что уравнение имеет два неравных между собой действительных корня и два комплексных корня с ненулевыми мнимыми частями.
Аналитические зависимости в табл. 1 - 6 позволяют с помощью величин, содержащих ё1 и ё2 и ази1 - 2а1, сформулировать утверждения, устанавливающие без решения уравнения принадлежность его корней к множеству действительных чисел или множеству комплексных чисел с ненулевыми мнимыми частями. Примером такого утверждения служит следующая теорема.
Теорема 6. Все корни уравнения (1) яляются действительными числами, если истинно одно из определяемых ниже высказываний А, В:
А = {[(ё1 > 0)л(ё2 > 0)л(ази1 - 2а1 > 0)^^ = 0)л(ё2 > 0)^
V [(ё2 = 0)л(ё1 > 0)^ [(ё1 = 0) л(ё2 = 0)]}л[(аз/2 + ё11/2)2/4 - (и1/2 + ё21/2) > 0]л
V [(аз/2 - ё11/2)2/4 - (и1/2 - ё21/2) > 0],
B = [(d > 0)A(d2 > 0)л(а3М1 - 2а1<0)]л[(а3/2 + dj1/2)2/4 - (uj/2 - d21/2) > 0]л л [(аз/2 - di1/2)2/4 - (ui/2 + d21/2) > 0].
Справедливость теоремы 6 вытекает из формул табл. 3 и 4.
Автор работы благодарит инженера Э.Г. Гаузера из Азербайджанской республики за сообщение автору данной работы о закономерностях, проявляющихся при использовании метода Феррари на практике. В данной работе эти закономерности нашли теоретическое обоснование и сформулированы в виде следствия 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Букин А.Д. Кинематическая реконструкция двухчастичных событий. Новосибирск: ИЯФ СО РАН-42, 2006. 22 с.
2. Фёдорова Н.А. Решение плоской задачи упругой среды, армированной тремя семействами волокон // Вычислительные технологии. 2005. Т. 10. Спец. выпуск. С. 90-99.
3. Фёдорова Н.А. Решение плоской задачи для металлокомпозита, армированного семейством криволинейных волокон // Математическое моделирование и краевые задачи. 2007. Ч. 1. С. 258-261.
4. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. 720 с.
5. Подвысоцкий В. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений 4-й степени. http://www.n-t.org/tp/ns/oam/htm.
6. Несмеев Ю.А. Об одном подходе к решению алгебраических уравнений 3-й и 4-й степеней // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. № 1(13). С. 26-30.
7. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. М.: Наука, 1979. 832 с.
Статья поступила 06.07.2012 г.
Nesmeev Yu. A. THE DEVELOPMENT OF AN APPROACH FOR THE SOLUTION OF THE FOURTH DEGREE ALGEBRAIC EQUATION.Connections between roots of an equation and its resolvent are deduced. Statements establishing the membership of roots to the set of real numbers or to the set of complex numbers with nonzero imaginary parts without solving the equation are proposed. Formulas for calculating the components of equation roots are deduced.
Keywords: equation, solution, table.
NESMEEV YuriiAlekseevich (Magnitogorsk State Technical University)
E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
