Свойства полных и векторных частот нестрогих знаков и корней решений линейных однородных автономных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 517.2/.3 ББК 22.161.1 С 78

Сташ А.Х.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: aidamir.stash@gmail.com

Свойства полных и векторных частот нестрогих знаков и корней решений линейных однородных автономных дифференциальных уравнений

(Рецензирована)

Аннотация. Установлено, что у любого решения линейного однородного автономного дифференциального уравнения его полные и векторные частоты нестрогих знаков и корней совпадают между собой, а множество значений, принимаемых этими частотами, совпадает с множеством регуляризо-ванных частот нестрогих знаков и корней таких уравнений.

Ключевые слова: линейное автономное дифференциальное уравнение, колеблемость решения, число смен знака функции, число нулей функции, число корней функции, полная частота, векторная частота.

Stash A.Kh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: aidamir.stash@gmail.com

Properties of full and vector frequencies of lax signs and roots of solutions of linear homogenous autonomous differential equations

Abstract It is established that at any solution of the linear homogenous autonomous differential equation its full and vector frequencies of lax signs and roots coincide among themselves, and the set of the values accepted by these frequencies coincides with a set of regularizedfrequencies of lax signs and roots ofsuch equations.

Keywords: linear autonomous differential equation, fluctuation of solution, number of changes of a sign offunction, number of zeros offunction, number of roots offunction, full frequency, vector frequency.

Введение и формулировка результатов

Настоящая работа логически продолжает и развивает результаты [1-3], в которых были исследованы полные и векторные частоты нулей и строгих знаков решений линейных однородных автономных дифференциальных уравнений.

Для заданного натурального п обозначим через Еп множество линейных однородных уравнений п -го порядка

yw+al{t)yW+... + a^{t)y + aK{t)y = 0, f е R+=[0;+сх>) с непрерывными ограниченными коэффициентами, образующими строку

(каждую такую строку будем отождествлять с соответствующим уравнением). Через С" обозначим подмножество множества Е", состоящее из уравнений с постоянными

*

Представлена на Первой международной конференции «Осенние математические чтения в Адыгее», посвященной памяти профессора КС. Мамия. 8-10 октября 2015 г. Конференция приурочена к 75-летию Адыгейского государственного университета.

коэффициентами. Линейное пространство всех решений у: R+ —► R уравнения asE" обозначим через S(a), а подмножество всех его ненулевых решений - через St(a).

Определение 1 [4]. Скажем, что в точке t > 0 происходит строгая (нестрогая) смена знака функции у: R+ R, если в любой окрестности этой точки функция у принимает как положительные (неотрицательные), так и отрицательные (неположительные) значения.

Определение 2 [1, 4]. Для момента t > 0 и функции у :R+ R под выражением va(y,t) будем понимать при а = —,+,0,+ соответственно:

- число ее строгих смен знака на промежутке (0, t\;

- число ее нестрогих смен знака на промежутке (0, t\;

- число ее нулей на промежутке (0, t\;

- число ее корней на промежутке (0, t], т.е. нулей с учетом их кратности. Далее, для ненулевого вектора msR? введем обозначение

v"(y,m,t) = v"((i/ty,m),t), где у/у = (у,>>,...,Уп"1)), а (ysy(-),m} - скалярное произведение.

Определение 3 [1, 4]. Для каждого решения у е St(a) уравнения a g Еп зададим скалярную, полную и векторную частоты

va(y) = ljm-va(y,t), аа (у) = mfn\im-va (у,m,t), С"(у) = liminf-va(y,m,t)

i->oo t mcR? t (-хю mcR? {

знаков, нулей или корней при а = -,+,0,+ соответственно.

Замечание 1. Из определений 1-3 следует, что для любого ненулевого решения у е St(a) справедливы цепочки соотношений

С(у)<ст-(у), ГОО<<хтО>), С°(у)<ст\у), с (У) < Г (У) ^ С° (У) < С (У), С7~(у) < а+(у) < С7°(у) < ст+(у), а для тривиального решения у = О выполнены равенства

<т-(0) = Г (0) = о, <т+(0) = Г (0) = С7°( 0) = С\0) = ст+(0) = Г( 0) = +«• Определение 4 [4]. Для каждого w = <Ja X" назовем i -ым верхним w. (а) и нижним w;(a) регуляризованные по Миллионщикову значения соответствующей частоты уравнения а е Еп, величины, задаваемые равенствами

w. (а) - inf sup w(y), wt(a) - sup inf w(y),

' L&Gl (a) ysL b=GrM(a) Ув1

где i = \,2,...,n, а через Gl(a) обозначено множество ¿-мерных подпространств пространства S(a), в которых выколота нулевая точка (нулевое решение).

Доказательство теоремы VI [4] полностью переносится на функционалы w = <та, , следовательно, для любого уравнения a gE" справедливы соотношения

г' = 1,2,...,п, (1)

щ {а) = wT (а) = inf w(y), wn (а) = w- (а) = sup w(y). (2)

~ y^S.(a) - ycS.(a)

Величины (2) будем обозначать, соответственно, через w1 (а) и wn{a). Для уравнения as С" обозначим через

А (а), Л (а),..., Л (в) (3)

все корни соответствующего ему характеристического многочлена, упорядоченные по неубыванию модулей их мнимых частей.

Для любого решения у g S*{a) любого уравнения a g С" полная и векторная частоты строгих знаков совпадают между собой [2-3]. Аналогичное утверждение имеет место и для частот нестрогих знаков и корней.

Теорема 1. Для любого решения у g S*(a) любого уравнения a g С" справедлива цепочка равенств

С{у) = С{у) = °\у) = °+{у).

Спектры (множество значений на ненулевых решениях) как полных, так и векторных частот строгих знаков любого уравнения a g С" содержат наименьший из модулей мнимых частей корней соответствующего характеристического многочлена, а если п> 2, то еще и число 0, но не содержат никаких других чисел [2-3]. Данное утверждение не распространяется на частоты нестрогих знаков и корней.

Теорема 2. Спектры полных и векторных частот нестрогих знаков и корней любого уравнения asC" совпадают с набором |1тД(а)|,|1тД(а)|,...,|1тД(а)|}.

Для любого п > 1 и любого уравнения a g С" при каждом w = имеют место

равенства[2,3]

w„ («) - («) - w„=i («) - |ЬпД(а)|, (а) = щ (о) = 0, i < п -1.

Однако для частот нестрогих знаков и корней ситуация совсем иная.

Теорема 3. Для любого уравнения a g С" при каждом w = cr+,cr+имеют место равенства

w{ (а) — Wt (а) — |lm Д. (д)|, i -1,2,..., п.

Таким образом, свойства полных и векторных частот нестрогих знаков, нулей и корней совпадают, и тем самым сформулированные теоремы обобщают результаты работ [1, 5] на большее число разновидностей частот.

Результаты данной работы были частично доложены на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ и анонсированы в [6].

Доказательство результатов

1. При п — 1 справедливость сформулированных теорем очевидна, поскольку любое решение у g S*(a) любого уравнения a g Е" в нуль не обращается на R+.

2. Для доказательства теорем 1 и 2 (при п > 1 ) в соответствии с упорядоченным набором (3) выпишем фундаментальную систему решений: каждому действительному корню Л, встречающемуся в списке ровно k раз, поставим в соответствие набор функций

tk-'eAt, tk~2eAt,...,teAt, eAt, а каждой паре комплексно-сопряженных корней a + ifi, встречающейся в списке корней ровно к раз, поставим в соответствие следующий набор функций:

t^e* cos fit, tk~xem sin fit,...,te0* cos fit, te* sin fit, e^cos Д, e"* sin fit.

В итоге получим упорядоченный список S = {f1,f2,...,fn}, состоящий ровно из п

функций.

3. Возьмем произвольное решение

У = ckfk (0 + cw/w (0 + • ■ ■ + Cpfp (0 g St (a), скф 0, 1 < к < p < п.

a). Пусть \тЛк{а) = 0 и функции fk+l,fk+2,•■■,/„ являются решениями некоторого

уравнения b = (b1,b2,...,bn_k)еС к. Тогда справедливо разложение

S(a) = S(b)®Lk(a),

где Lk(a) = span{fl,f2,...fn}. Так как любое решение у е S*(а) представимо в виде у - и + z, где и е S(b) и z eLk(a), то для вектора

m1={bn_k,...,b2,b1,l,0,...,0)GRn

справедливо

{фУ(т),щ) - + = = eATQ(r),

где Q(t) - многочлен степени не выше N (N - меньше чем кратность Лк). Понятно, что многочлен Q(t) не равен тождественно нулю, так как z £ S(b). Поэтому v(y,m1,t) < N при любом t > 0, а значит,

а+(у) = С(у) = <г+(у) = С(у) = 0. б). Пусть теперь \тЛк{а) = /ЗкФ 0 и п-к четное. Тогда функции fk+1,fk+2, •■■,/„ являются решениями некоторого уравнения d = {d^,d2,...,dn_k)е С"~к и имеет место разложение S(a) = S(d)® Lk(a), где Lk(a) = span\jx,f1,...fr\. Откуда для выбранного решения у е St(a) и вектора т2 = (dn_k,.. .,d2,d],\,0,.. .,0) g R" получим [2, 3]:

(уу(т),m2j - ck(yrfk(t),m2) = AeatT sin(pkr + r0), (4)

где t0 - вспомогательный угол и А Ф 0.

Из последнего следует (у) = ¡Зк. Действительно, это так. Заметим, что для каждого решения у е St(a) при любом векторе /иеТС функция (у/у,т) является решением

рассматриваемого уравнения аеС". Поэтому предположение о существовании вектора ти3, при котором функция (у/у,тъ) имеет меньшую чем Д. скалярную частоту строгих

знаков (т.е. величина lim—v~(y,m3,t)), приводит к противоречию с тем,

i->°о t

что наименьшая скалярная частота строгих знаков уравнения а е С" совпадает с

|1тА(я)| [4].

Из определений полных и векторных частот следует, что для рассматриваемого решения у е St(a) соблюдаются неравенства как с одной стороны

<7тОО>ГОО = Д,

так и с другой

<7 +00 = inf \M^v\y,m,t) < \m?-v\y,m2,t) = С(у) = Рь,

meR, t i->txj t

дающие равенства

°Чу) = С{у) = Рк-

Каждая нестрогая смена знака функции (4) является строгой сменой знака, следовательно, эта функция кратных нулей не имеет, поэтому

СТ+(У) = С+(У) = &-

с). В случае, когда \тЛк{а) = /Зк и п-к нечетное, то вместо уравнения d е С"~к и вектора т2 выбираются соответственно уравнение d] е С"~к~] с фундамен-

тальной системой решений /к+2,/к+3,...,/„ и вектор т4 = {с1п_к_х,...,<12,<11,1,0,...,0)е К". Далее все рассуждения, проводимые в конце подпункта б), повторяются.

Теоремы 1 и 2 полностью доказаны.

4. Для доказательства теоремы 3 (при п> 1) при произвольном р е {1,2,...,и} возьмем решение уеБ*(а), являющееся линейной комбинацией только первых р функций из списка 5. Из доказательства предыдущих теорем следует, что это решение обладает свойством

°Чу) = С (у) = <7+(у) = С (у) < \^лр\.

Поэтому при любом м! = <т+, , <т+, имеем

(5)

Аналогично, для произвольного решения у е ¿'»(о), являющегося линейной комбинацией только последних п — р +1 функций из списка 5, выполнено

= С (у) = сг+(у) = Г (У) > |1пЧ|, из которого при каждом м>= сг+ ,сг+ имеем

м;р{а)>\\тЛр\. (6)

Таким образом, из соотношений (5) и (6) на основании свойства (1) при любом и> = сг+,сг+получим

= у»р(а) = |1т4(а)|, р е {1,2,...,«}.

Замечание 2. Доказанные теоремы остаются в силе и после замены нижнего предела в определении частот на верхний.

Автор выражает глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и внимание к работе.

Примечания:

1. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 11. С. 1577.

2. Сташ А.Х. Свойства полных и векторных частот знака решений линейных автономных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50, № 10. С. 1418-1422.

3. Stash A.Kh. Properties of Complete and Vector Sign Frequencies of Solutions of Linear Autonomous Differential Equations // Differential Equations. 2014. Vol. 50. No. 10. P. 1418-1422.

4. Сергеев И.Н. Определения и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды Семинара им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.

5. Бурлаков Д.С., Цой C.B. Равенство полной и векторной частот решений линейной автономной системы // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47, № 11. С. 1662-1663.

6. Сташ А.Х. Полные и векторные частоты нестрогих знаков решений линейных автономных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51, № 6. С. 829-830.

References:

1. Sergeev I.N. Determination of full frequencies of solutions of the linear equation // Differential Equations. 2008. Vol. 44, No. 11. P. 1577.

2. Stash A.Kh. Properties of complete and vector sign frequencies of solutions of linear autonomous differential equations // Differential Equations. 2014. Vol. 50, No. 10. P. 1418-1422.

3. Stash A.Kh. Properties of complete and vector sign frequencies of solutions of linear autonomous differential equations // Differential Equations. 2014. Vol. 50. No. 10. P. 1418-1422.

4. Sergeev I.N. Definition and properties of characteristic frequencies of the linear equation // Works of Seminar of I.G. Petrovsky. 2006. Iss. 25. P. 249294.

5. Burlakov D.S., Tsoy S.V. Equality of full and vector frequencies of solutions of linear autonomous system // Differential Equations. 2011. Vol. 47, No. 11. P. 1662-1663.

6. Stash A.Kh. Complete and vector frequencies of lax signs of solutions of the linear autonomous differential equations // Differential Equations. 2015. Vol. 51, No. 6. P. 829-830.