Развитие некоторых классических комбинаторных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1

Малых Алла Ефимовна

доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Давыдова Анна Александровна

аспирантка кафедры высшей математики

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет»,

Пермь, Россия 614990, Пермь, Сибирская, 24, (342) 238-63-44, e-mail:

matfac.pspu@yandex. ru

РАЗВИТИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ КОМБИНАТОРНЫХ

ЗАДАЧ

Malykh Alla Efimovna

Doctor physical and mathematical sciences, Professor of the Department of higher mathematics Davydova Anna Alecsandrovna

post-graduate student of the Department of mathematics

Federal State Budget Educational Institution of Higher Professional Education «Perm State Humanitarian Pedagogical University» 24, Sibirskaja, 614990, Perm, Russia, e-mail: [email protected]

DEVELOPMENT OF SOME CLASSICAL COMBINATORIAL

PROBLEMS

Аннотация: описано развитие трех классических комбинаторных задач: о магических квадратах, коммивояжера, о «встречах». Отмечены ученые, внесшие вклад в их формирование. Представлены методы их решения. Найдены рекуррентные и общие формулы решения. Показано практическое применение каждой из них.

Ключевые слова: комбинаторика, магический и латинский квадраты; задача коммивояжера; задача «о встречах»; Леонард Эйлер; Уильям Гамильтон; Рональд Фишер.

Abstract: the development of three classical combinatorial problems is described: the problem of magic squares, traveling salesman problem, and meeting problem. Scientists who contributed to their formation are noted. Methods for their solution are presented. Recurrent and general formulas are found. The practical application each of them is shown.

Keywords: combinatorics, magic and latin squares, traveling salesman problem, problem about the meeting, Leonard Euler, William Hamilton, Ronald Fisher.

К классическим комбинаторным задачам относятся проблемы выбора и расположения элементов конечного дискретного множества, имеющие

© Малых А.Е., Давыдова А.А., 2017

в качестве исходного некоторую фабулу развлекательного содержания типа головоломок, однако решение которых представляет значительные трудности. К ним можно отнести около десятка задач комбинаторного анализа о:

• 36 офицерах;

• кенигсбергских мостах;

• 15 школьницах и тройках Штейнера;

• супружеских парах;

• разбиении натурального числа п на слагаемые;

• встречах;

а также задача коммивояжера и методы построения магических квадратов.

Нами представлены последние три из них.

1. Магический квадрат порядка п - это квадратная таблица размера п*п из п натуральных чисел, в которой суммы чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и вдоль любой из двух главных диагоналей равны одному

и тому же числу - магическом постоянной з = магического квадрата (ниже м.к.).

где п - порядок

М.к. - древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2000 г. до н.э.) из вод реки Ло (притока Хуанхэ) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1, а).

Эти знаки впоследствии стали известны под названием «ло-шу» и ассоциировались с м.к. порядка 3 (рис. 1,6). Первое специальное упоминание

0 диаграмме ло-шу найдено около

1 в. до н. э. в «Записях ритуалов, собранных старшим Даем». Вплоть до Х в. они были воплощены в амулетах, заклинаниях и оберегах.

я)

б)

Рис. 1

До сих пор они используются у некоторых восточных народов в качестве талисмана. Религиозные и философские приемы, используемые для интерпретации внутреннего строения м.к., были основаны на дуалистической метафизической теории «Инь-Янь», распространенной во времена династии Шан.

В XI в. о м.к. узнали в Индии, а затем в Японии, где в XVI в. им была посвящена обширная литература. Европейцев с такими квадратами познакомил в XV в. византийский путешественник и грамматист Мануэль Мосхопулос. Первым м.к. в Западной Европе считается квадрат, изображенный А. Дюрером, на его знаменитой гравюре Меланхолия (1544).

В середине века м.к. приписывали различные мистические свойства. С глубокой древности и до наших дней сохранились сведения о том, что люди разного темперамента находятся под влиянием различных планет. Каждой из 7 планет Солнечной системы астрологи приписывали м.к. определенного порядка: Сатурну - 3, Юпитеру - 4, Марсу - 5, Солнцу - 6, Венере - , Меркурию - 8, Луне - 9. Уже в 1533 г. немецкий гуманист Генрих Корнелий Агриппа из Неттенхейма в сочинении «О сокровенной философии» построил

каждый из перечисленных м.к. для п = 3;9 Он назвал их «планетарными таблицами», не дав никакого способа их построения, однако советовал гравировать такие квадраты на пластинках или дисках, выплавленных из различных драгоценных металлов, и носить в качестве амулетов. Они получили значительное распространение; на одной его стороне был изображен бог, именем которого названа планета, а на оборотной - м.к. соответствующий этой планете, заключенный в п-угольную пентаграмму.

М.к. бывают трех видов:

• нечетные, п = 2к +1, к е N;

• четно-четные, п = 4к;

• четно-нечетные, п = 2(2к +1).

Методы построения м.к. также делятся на три типа в зависимости от того, каков их порядок.

1

6 3

16

31

33

11 13 7 3 8

17 18 13 9 14

33 19 15

10

11 34 7 30 3

4 14 35 8 16

17 5 13 31 9

10 18 1 И 33

33 6 19 3 15

34 »

35

Рис. 2

Построение м.к.

нечетного порядка методом террас, восходит к древним китайцам. Впоследствии

он неоднократно переоткрывался. Название ему дал Филипп де ла Ир (16401717) - французский

математик, посланник короля в Сиаме. Согласно этому методу «естественный» числовой квадрат порядка п = 2k + 1 поворачивается относительно центра на 45°. В нем отделяется квадратной рамкой таблица размера (2k - 1) * (2k - 1). Числа, записанные вне ее и образующие выступы («террасы»), перемещаются параллельно противолежащим сторонам и заполняют пустые клетки таблицы. Построение квадрата для п = 5 показано на рисунке 2.

Построение м.к. четно-четного выполнено на примере м.к. порядка 4 приведено на рисунке 3. Вместо точек в направлении АВ последовательно записываются числа согласно занимаемым им местам в «естественном» числовом квадрате. Пустые клетки » — л заполняются таким же образом, только нумерация производится в обратном направлении СD. Начало расстановки показано стрелками.

4 1

7 6

11 10

1С

4 14 15 1

9 6 12

5 11 10 *

1« I 3 13

Рис. 3

Построение м.к. нечетно-четного порядка методом Р. Болла (Х1Х в.) заключается в следующим. Квадратную таблицу размера 2(2к +1) х 2(2к +1) делят на четыре равные части А, В, С и D (рис.4). В каждой из них строят м.к. нечетного порядка из чисел от 1

О

В

до и2, где и = —; от и2+1 до 2и2; от 2и2+1 до 3и2 и от Зи2+1 до 4м2. Рис. 4

® ВЕСТНИК ПГТПУ Серия №2. Физико-математические и естественные науки

Затем от середины средней строки квадрата А отмечают к его левому краю к клеток, а в каждом из остальных строк - также к клеток, ближайших к этому краю. Числа в выбранных клетках меняют местами с теми, что расположены в соответствующих клетках квадрата В. Далее числа в клетках каждого из к-1 правых крайних столбцов квадрата С меняют местами с соответствующими числами квадрата В. На рисунке 5 представлено построение м.к. порядка 6 [10]. Данный метод является универсальным для построения составных квадратов. Заметим, что метода, который бы подошел для построения любого из трех типов квадратов не существует.

Иногда на м.к. накладываются дополнительные условия, например, чтобы свойство магичности выполнялось, кроме того, и на всех «параллелях» к двум диагоналям. Последние называют «ломаными». Такие квадраты получили названия полных, изящных, дьявольских, кабалистических, панмагических. Французы их называли совершенными.

Совершенный м.к.

порядка 4 был известен индусам уже в Х1-Х11 вв. Сумма чисел, стоящих в каждой его строке, столбце и на двух диагоналях, равна 34.

Леонардом Эйлером (1707-1783) было доказано, что не существует нечетно-четных совершенных м.к. (1782). М.к. можно составлять из чисел любых арифметических прогрессий, в частности, четных или нечетных. Существуют м.к. из треугольных, других видов фигурных чисел, а также из простых. Можно рассматривать м.к., в которых £ является произведением чисел, а не суммой.

Еще одной разновидностью м.к. являются составные. Они, как следует из названия, разбиваются на подквадраты, каждый из которых - магический.

Терпение и стремление получить другие м.к. привели ученых к построению рамочных м.к. В них при отбрасывании окаймляющей полосы шириной в одну или несколько клеток оставшийся квадрат не утрачивает своего магического свойства [11].

35 1 6 26 19 15

3 32 7 21 23 16

31 9 2 22 27 11

Б 28 33 17 10 24

3« 5 34 12 14 25

4 36 19 13 18 20

8 1 б 26 1& 24

3 5 7 21 23 25

4 9 2 22 27 20

35 23 33 17 10 15

30 32 34 12 14 16

31 3« 29 13 18 11

Всякий м.к. можно представить в виде пары ортогональных квадратов, которые называются латинскими - частный случай м.к. Магические и латинские квадраты - близкие родственники. Пусть имеем два ортогональных квадрата, каждый из которых ортогональный. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим образом. Поставим туда число п^ -1) + Ь , где а -число в клетке первого квадрата, Ь - число в соответствующей ему клетке второго. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.

Латинским (ниже л.к.) называется квадрат из п * п клеток, в которых написаны числа 1, 2,..., п, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются каждое из этих чисел по одному разу. Если один л.к. наложить на другой, и все пары упорядоченно получившихся чисел оказываются различными, то такие пары л.к. называются ортогональными (ниже о.л.к).

Проблему отыскания о.л.к впервые изучал Л. Эйлер в работе «Исследование магических квадратов нового типа» (1782). Задача имела занимательную фабулу: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в карэ 6 * 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?» [1].

Эйлер не смог найти решения этой задачи. В то же время он доказал, что о.л.к. существуют для всех нечетных и четно-четных значений п. Что же касается нечетно-четного порядка, то ученому не удалось построить ни одной пары о.л.к. порядка 6. В связи с этим он выдвинул гипотезу о том, что не существует пар о.л.к. для п = 2(2k +1), ^ Е Л.

В 1901 г. Г. Тарри было доказано, что о.л.к. порядка 6 не существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы Эйлера. Однако в 1959 г. американскими учеными с помощью ЭВМ были построены сначала о.к. для п = 10, потом 14, 18, 22, ... Наконец, было доказано, что для любого - ь Л, кроме п = 2;6, существуют о.л.к. порядка п * п.

В настоящее время л.к. являются одним из наиболее актуальных способов ограничения на рандомизацию при наличии источников неоднородностей дискретного типа в планировании экспериментов. Группировка элементов л.к., благодаря своим свойствам, позволяет защитить главные эффекты от влияния источника неоднородностей. Широко используются л.к. и как средство сокращения перебора при решении комбинаторных задачах.

Возникновение современных статистических методов планирования экспериментов связано с именем Рональда Фишера. С 1918 г. он начал свою известную серию работ на Рочемстерской агробиологической станции в Англии. В 1935 г. появилась его монография «Design of Experiments», давшая название всему направлению.

Среди методов планирования первым был дисперсионный анализ. Фишер создал его основы, описав полные классификации дисперсионного анализа -однофакторный и многофакторный эксперименты - и неполные без ограничения и с ограничением на рандомизацию. При этом он широко использовал л.к. и блок-схемы. Вместе с Ф. Йетсом ученый описал их статистические свойства. В 1942 г. А. Кишен рассмотрел планирование с использованием латинских кубов, которое явилось дальнейшим развитием теории л.к. В России в институте Кибернетики используют латинские гиперкубы и гиперпрямоугольники.

2. Задача коммивояжера. Точно неясно, когда проблему коммивояжера исследовали впервые. Однако известна изданная в 1832 г. книга с названием «Коммивояжер - как он должен вести себя и что должен делать для того, чтобы доставлять товар и иметь успех в своих делах - советы старого курьера», в которой описана проблема, но математический аппарат для ее решения не применялся. Зато в ней предложены примеры маршрутов для некоторых регионов Германии и Швейцарии.

В 1856 г. сэр Уильям Гамильтон, знаменитый ирландский математик, изобрел «Icosian Сalculus» [12], своеобразную алгебру, которую использовал для нахождения замкнутых цепей на додекаэдре, проходящих по ребрам и содержащих каждую вершину точно один раз. В 1857 г. он сообщил о своем открытии и связанной с ним игрой на заседании Британской Ассоциации

содействия развитию науки. Игру Гамильтон назвал Icosian. Игра использовала ортогональную проекцию додекаэдра на плоскость. По условиям игры требовалось простой цикл, содержащий все вершины проекции. Джон Грейвс уговорил Гамильтона превратить задачу в коммерческую игру. Гамильтон продал права на игру, названную «.Around the World.» (Вокруг света) лондонской компании игрушек за 25 фунтов стерлингов. В продажу поступили две версии игры: салонная (на плоской доске) и версия для путешественников, использующая додекаэдр, каждой вершине которого соответствовал какой-либо известный город мира. Вскоре появилось известное сейчас название «Задача странствующего продавца», которую предложил Гаслер Уитни из Принстонского университета.

Многие современные распространенные методы дискретной оптимизации, такие как: деления плоскостью, ветвей и границ и различные варианты эвристических алгоритмов, были разработаны на примере задачи коммивояжера. В настоящее время она - интерпретируется как задача математического программирования по определению оптимального маршрута движения коммивояжера, цель которого состоит в том, чтобы посетить все объекты, записанные в задании, за кратчайший срок и с наименьшими затратами. В теории графов - это поиск пути, связывающего два или более узла, с использованием критерия оптимальности.

Данная задача является типичной задачей оптимизации, которая широко применяется при разработке программного обеспечения. Она представляет так же упрощенную модель для многих других задач дискретной оптимизации. В своей области (оптимизации дискретных задач) она служит своеобразным катализатором, стимулирующим разработку наиболее эффективных методов, алгоритмов и способов их машинной реализации.

Иначе задачу коммивояжера можно сформулировать следующим образом: на плоскости (в пространстве) расположены N городов, заданы расстояния между каждой парой городов. Требуется найти маршрут минимальной длины с посещением каждого города ровно один раз и с возвращением в исходную точку. Целевой функцией, которую надо

минимизировать, является стоимость обхода.

89

® ВЕСТНИК ПГТПУ Серия №2. Физико-математические и естественные науки

Особенностью задачи о коммивояжере является необходимость дополнительно учитывать расстояния от города до города, которые предполагаются известными. Эти «расстояния» можно заменить на количество затраченного времени, стоимость проезда или предполагать другие произвольные значения. В общем случае мы даже не предполагаем, что стоимость проезда из i в у обязательно совпадает со стоимостью обратного проезда из i в]. Данная задача соединяет в себе простоту условия и сложность решения, обусловленную большими размерами поискового пространства.

На графах она формулируется следующим образом: требуется найти гамильтонов цикл наименьшей стоимости во взвешенном полном графе; т.е. выйдя из стартовой вершины, посетить каждую вершину графа ровно один раз и вернуться в начальную по кратчайшему пути.

Общая постановка задачи и большинство ее частных случаев, относится к классу АР-сложных задач. Поэтому алгоритмы и методы ее решения делятся на точные и приближенные. Первые фактически представляют оптимизированный полный перебор вариантов. В некоторых случаях решения находятся достаточно быстро, но в общем случае приходится перебирать все п! циклов.

При постановке задачи для к коммивояжеров на множестве из п+1 городов строится к замкнутых маршрутов по следующим правилам:

• один из городов, называемый базой, входит во все маршруты;

• каждый из городов, исключая базу, входит в ровно один из маршрутов;

• суммарная длина всех маршрутов минимальна.

Задача коммивояжера может быть решена с применением любой процедуры исчерпывающего поиска (полного перебора), однако на практике для ускорения процесса поиска необходимы и другие соображения, использующие специфику этой задачи. Ее решение посредством полного перебора возможно лишь при наличии общих сведений о задаче или пространстве поиска. В общем случае задача разрешима в той степени, в которой исследование части пространства поиска дает существенную

информацию о характере оставшейся части этого пространства. Она имеет ряд практических применений: как правило, речь идет либо о простом перемещении по заданным точкам, либо с развозом груза небольшого формата или веса на транспортном средстве, вмещающем большое количество единиц, что создает предпосылки для ее применения.

Рассматриваемая задача решается посредством различных методов, выведенных в результате теоретических исследований. Все эффективные методы (сокращающие полный перебор) — методы эвристические. В их большинстве находится не самый эффективный маршрут, а приближенное решение.

Выделяют следующие группы методов ее решения, которые относят к простейшим:

1. Полный перебор (или метод «грубой силы») — метод решения задачи путем перебора всех возможных вариантов. Сложность полного перебора зависит от количества всех возможных решений задачи. Если пространство решений очень велико, то полный перебор может не дать результатов в течение нескольких лет или даже столетий.

2. Случайный перебор. Обычно выбор решения можно представить последовательностью выборов. Если выполнять их с помощью какого-либо случайного механизма, то решение находится очень быстро, так что можно находить решение многократно и запоминать «рекорд», т.е. наилучшее из встретившихся решений. Этот наивный подход существенно улучшается, когда удается учесть в случайном механизме перспективность тех или иных выборов, т.е. комбинировать случайный поиск с эвристическим методом и методом локального поиска. Такие методы применяются, например, при составлении расписаний для Аэрофлота.

3. Жадный алгоритм - алгоритм нахождения наикратчайшего расстояния путем выбора самого короткого, еще не выбранного ребра, при условии, что оно не образует цикла с уже выбранными ребрами. «Жадным» этот алгоритм назван потому, что на последних шагах приходится жестоко расплачиваться за жадность. При решении задачи коммивояжера жадный алгоритм превратится в стратегию «иди в ближайший (в который еще не входил) город». В результате

получится не кратчайший, а длиннейший тур.

91

® ВЕСТНИК ПГТПУ Серия №2. Физико-математические и естественные науки

4. Метод минимального остовного дерева (деревянный алгоритм). В его основе лежит утверждение: «Если справедливо неравенство треугольника, то для каждой цепи верно, что расстояние от начала до конца цепи меньше (или равно) суммарной длины всех ребер цепи». Это обобщение расхожего убеждения, что прямая короче кривой.

Деревянный алгоритм для решения задачи коммивояжера следующий: строится на входной сети кратчайшее остовное дерево и удваиваются все его ребра. В результате получаем граф - связный с вершинами, четной степени. Затем строится эйлеров цикл, начиная с вершины 1, задаваемый перечнем вершин. Просматривается список вершин, начиная с 1, и зачеркивается каждая, которая повторяет уже встреченную в последовательности. Останется путь, который и является результатом алгоритма. Доказано, что деревянный алгоритм ошибается менее чем в два раза, поэтому их называют приблизительными, а не просто эвристическими.

5. Метод имитации отжига. Экзотическое название данного алгоритма связано с методами имитационного моделирования в статистической физике, основанными на технике Монте-Карло. Исследование кристаллической решетки и поведения атомов при медленном остывании тела привело к появлению на свет вероятностных алгоритмов, которые оказались чрезвычайно эффективными в комбинаторной оптимизации. Впервые это было замечено в 1983 году. Сегодня этот алгоритм является популярным как среди практиков благодаря своей простоте, гибкости и эффективности, так и среди теоретиков, поскольку для него удается аналитически исследовать его свойства и доказать асимптотическую сходимость.

Он относится к классу пороговых алгоритмов локального поиска. На каждом шаге этого алгоритма для текущего решения ik в его окрестности N(iк) выбирается некоторое решение у и, если разность по целевой функции между новым и текущим решением не превосходит заданного порога то новое решение у заменяет текущее. В противном случае выбирается новое соседнее решение.

6. Метод ветвей и границ предложен в 1963 г. группой авторов Дж Литлом, К. Мурти, Д. Суини, К. Кэролом. Широко используемый вариант поиска с возвращением, фактически является лишь специальным частным случаем метода поиска с ограничениями. Ограничения в данном случае основываются на предположении, что на множестве возможных и частичных решений задана некоторая функция цены и нужно найти оптимальное, т.е. с наименьшей ценой. Для применения метода ветвей и границ функция цены должна обладать тем свойством, что цена любого частичного решения не превышает цены любого расширения этого частичного решения. Заметим, что в большинстве случаев функция цены неотрицательна и даже удовлетворяет более сильному требованию.

В основе этого метода лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества. На каждом шаге элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Она осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если полученная оценка не меньше рекорда - наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено; оно может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит его смена.

Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд - оптимальное решение задачи. В противном случае из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д.

7. Метод генетических алгоритмов. «Отцом-основателем» генетических алгоритмов считается Джон Холланд, книга которого «Адаптация в естественных и искусственных системах» (1975) является основополагающим трудом в этой области исследований.

Генетический алгоритм относится к эвристическим алгоритмам поиска и используется для решения задач оптимизации и моделирования путем случайного подбора, комбинирования и вариации искомых параметров с использованием механизмов, напоминающих биологическую эволюцию. Является разновидностью эволюционных вычислений. Отличительной особенностью этого алгоритма является акцент на использование оператора «скрещивания», который производит операцию рекомбинации решений-кандидатов, роль которой аналогична роли скрещивания в живой природе.

8. Алгоритмы муравья, или оптимизация по принципу муравьиной колонии (название было придумано изобретателем алгоритма Марко Дориго), основаны на применении нескольких агентов и обладают специфическими свойствами, присущими муравьям, используют их для ориентации в физическом пространстве. Эти алгоритмы особенно интересны потому, что их можно использовать для решения не только статичных, но и динамических проблем, например, в изменяющихся сетях.

3. Задача «о встречах». Исследования Эйлера оказали существенное влияние на развитие теории перечисления - основной части комбинаторного анализа. Истоки ее относятся к первой половине XVII в. и связаны с проблемой, известной в настоящее время как «задача о встречах». Она является усиленной формулировкой «китайских церемоний», упомянутых еще Н. Тартальей в «Трактате о числе и мере» [9]. В задаче «о встречах» нужно отыскать число перестановок из п элементов, в которых ровно к (к = 0 ; п) не сохраняют своих позиций. Интерес к ней не ослабевал на протяжении почти двух столетий и первоначально был связан с математическим анализом карточной игры "Treize" (Германия), "Rencontre" (Франция), "Meeting" (Англия). Во всех случаях - это «встреча». Ряд поставленных вопросов обсуждал в своем мемуаре [8] Пьер Ремон де Монмор (1678-1719). Ему же принадлежит постановка задачи. В первом издании [8] решения даны без доказательства, а во втором к ним добавлено письмо Николая I Бернулли, его замечания и переписка по этому

вопросу с Монмором за 1710-1711 гг. В предисловии Монмор отметил, что задача в первой постановке была получена Николаем I Бернулли. Сам же он оказался «... не в состоянии дать лучшее» [8, с.301-302].

Первые исследования Эйлера находятся в его пятой и шестой «записных книжках» (1749-1757). В последней она имеет формулировку: «Пусть числа 1,2,..., п размещены в ячейках I, II, Ш,... Требуется заполнить ячейки числами всевозможными способами так, чтобы точно одно или два, или три и т.д. не занимали первой ячейки». При этом предполагается, что остальные числа не меняют своих позиций. Эйлер нашел

ТаОгащчЗ

Таблица 4

1 а Ь с d е /

1 2 9 44 265 1954 14833

число Nk всех исходов для к = 0;5 и произвольного n (табл.3). Здесь a, b, c,... - всевозможные комбинации внутри тройки, четверки и пятерки чисел. Затем он определил значения для конкретных n (" = a = 2;

b = 3(a + 1); c = 4(a + b); d = 5(b + c); e = 6(c + d); f = 7(d + e);..., поместив результаты в таблице4.

В заключительной части Таблица 5

мемуара он представил две таблицы 5 и 6. В первой число N элементов, сохраняющих позиции, связано с числом P всевозможных исходов, удовлетворяющих условию «задачи о встречах».

Нетрудно заметить, что последний множитель каждой строки представляет числовой ряд и может быть заменен соответственно

а 2 Ъ 9 с 44

выражениями: — = —: — = —: —

^ 3! 3! 4! 4! 5!

«задачи о встречах» для конкретных к и n; а именно к = n =7.

95

N Р

п 1

п-\ п (rj 1)

п-г п (п 1)0 -1 + 4$

п-3 п ф - Х}<п -2)0-1 + 1/2 .l/í)

п-4 п (/Т - í)<tt -2)(п-3) (1-1+4 -4+V

/? - 5 п (п - V)di -2) (р-3)0i-4)(l- 1+'/2 -Vg+'/a-'/o)

—; ... Во второй его таблице 6 даны решения

5!

Заметим, что в ней приведены и частные решения задачи о полном смещении элементов, предположенной П.Р. де Монмором в 1708 г. и заключавшейся в отыскании числа перестановок, в которых ни один из элементов не сохраняет позиции. В комбинаторном анализе она известна как

Л .. Таблица 6

задача о парных картах. К ее решению Эйлер обращался неоднократно, и впервые -в 1751 г. в мемуаре «Вычисление вероятности в игре «встреча» [9], который начинался словами: «Игра «встреча» является азартной игрой, в которой два игрока, имеющие по полной колоде карт, извлекают одновременно карты одну за другой до тех пор, пока они извлекут одинаковую карту, и тогда один из игроков выигрывает. А если такая встреча не произойдет вовсе, тогда выигрывает второй игрок. При этих правилах отыскивается вероятность выигрыша каждого из этих двух игроков [2, с. 11].

Для облегчения дальнейших рассуждений Эйлер занумеровал карты игроков числами от 1 до п и, предположив, что А берет их в естественном порядке, отметил, что он выигрывает, если В на 1-м ходу извлекает карту с номером I, в противном случае выигрывает В. Вероятность выигрыша зависит от числа карт в колоде: «Задача состоит в определении вероятности, которую будут иметь как А, так и В на выигрыш ставки, каково бы ни было число карт или нумерованных билетов. С первого взгляда видно, что определение изменится в зависимости от числа билетов, и оно становится тем более сложным, чем больше число билетов. Следовательно, необходимо начать это исследование с наименьших чисел билетов, переходя затем к большим» [2, с.12].

ТГШШПДГ!

Рассмотрение начинается со случая, когда у А и В по одной карте. Тогда вероятность выигрыша А равна 1. При п = 2 В может вытянуть их в порядке 1, 2 и 2, 1, но так как эти исходы равновозможны, то каждый игрок может претендовать на половину взноса. Если п = 3 и А тянет их в порядке 1, 2, 3, то для В найдется шесть различных способов извлечения (табл.7). Из них четыре являются благоприятными для А и два для В, а поэтому надежды на выигрыш относятся как 2 к 1.

Для колоды из четырех карт таблица будет иметь другой вид (табл.8). Нетрудно проверить, что шансы на выигрыш у А и В относятся как 5 к 3.

Таблица 3

А В

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4

2 2 2 3 3 4 4 3 3 4 4 1 1 4 4 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3

3 3 4 4 2 2 3 4 1 1 3 4 3 1 2 2 4 1 4 2 3 3 1 1 2

4 4 3 2 4 3 2 1 4 3 1 3 4 2 1 4 2 4 1 3 2 1 3 2 1

При извлечении карт до пяти число различных вариантов извлечения карт игроком В, при условии, что А тянет их в естественном порядке, достигает 120. В связи с этим Эйлер пишет: «Еще большее число карт сделало бы это представление совершенно неосуществимым. Впрочем такой действительный подсчет мало бы послужил для определения в общем надежд обоих игроков А и В, как бы ни было велико число карт, если нам уже известны вероятности для меньшего числа» [7, с.14].

Поэтому оставшиеся 35 параграфов посвящены отыскиванию нового рекуррентного соотношения. Число различных возможных расположений в колоде из m карт равно m! = M. Среди них M/m = (m - 1)! случаев, когда первой картой, извлеченной В, являются 2 или 3, ... , или m. Если же игра продолжится и после встречи одинаковых карт, то найдутся M/m случаев,

fpî ВЕСТНИК ПГТПУ Серия №2. Физико-математические и естественные науки

в которых второй картой, вытянутой В, будет 2, или 3,..., или m, т.е. у А найдется M/m возможностей выиграть на I, II, ... ходу. Но в действительности из этого числа нужно исключить те, которые привели А к победе в предыдущих ходах.

Для решения вопроса о выигрыше А в i-м ходе без учета выигрышей в предыдущих Эйлер связал число встреч в каждом ходе с их числом в том же ходе, но другой игры, когда колода содержит на одну карту меньше. С этой целью он обозначил через a, b, c, d, e, ... число случаев, в которых А выигрывает соответственно в I, II, III, ... ходах игры из m карт. Для первого из них a = M/m, для всех остальных величины b, c, d, ... принимают другие значения. Далее, из колоды, содержащей m + 1 карт, игрок В может извлечь их М' = (m + 1) M способами. Обозначив через a', b', c', ... количество возможных выигрышей А соответственно в I, II, III, ... ходах этой игры, Эйлер получил для них значения: а' = М' (m + 1) = M;.b' = М - а6; с' = М - a - b; d = M - a - b - c.

Следовательно, зная значения a, b, c, ... для игры из m карт, легко находятся a', b', c', ... для колоды из m + 1 карт. В качестве примера Эйлер рассмотрел задачу для случая четырех карт, нашел число выигрышей А при т = 1;4, после чего составил таблицу числа выигрышей А для большего количества карт.

Сходство этих результатов с помещенными в шестой «записной книжке» указывает на тесную связь между задачами о перестановках и о выигрыше в игре «встреча». Заметим, что в мемуаре ясно прослеживается прием, которым часто пользовался Эйлер: вначале рассматривались простейшие частные случаи, затем они усложнились и после этого переходил к решению задачи, сформулированной в общем виде.

В 1776 г. к задаче о парных картах Эйлер обращался дважды. В мемуаре «Исследование магического квадрата нового типа» [3] он изучал вопросы, связанные с подсчетом л. к. данного порядка, сформулировав в качестве исходной, задачу: «Сколькими способами при заданной первой строке можно варьировать вторую для конкретного n?». Она сводится к нахождению числа N латинских (2 х п)-прямоугольников. Общей формулы Эйлер не получил, но нашел алгебраическим путем две рекуррентные зависимости. В одной

каждый член £ определяется тремя предыдущими: Р, Q, Р: Б = 2Р + Q + (Р2 -Q2)//(P - Q), а в другой - лишь одним Р = (п - 1) (п + 2) Р ± 1, где верхний индекс берется при нечетном п, нижний - при четном, а Р, Q, Р, Б -соответственно число латинских 2*п, 2*(п + 1), 2*(п + 2), 2*(п + 3)-, прямоугольников.

Спустя полгода Эйлер представил доклад: «Решение любопытного вопроса из учения о сочетаниях» [4], в котором вновь обратился к задаче о полном смещении элементов, придав ей вид: «.дана последовательность букв а, Ь, с, й,..., п. Найти, сколькими способами можно изменять их порядок, чтобы ни одна не оказалась на том же месте, которое она занимала вначале» [4, с.435].

Отыскав число способов ТУ для небольшого количества букв (л=0;5), Эйлер перешел к нахождению общего решения. С этой целью он ввел символ п:п, обозначающий число комбинаций из п букв, и попытался выразить его через п:(п - 1) и п:(п - 2), рассмотрев число комбинаций с Ь на первом месте и используя правило произведения. Полученный результат дал п:п. С другой стороны, все комбинации с Ь на первом месте распадаются на два класса: с а на втором местах. В первый класс входят возможные комбинации из п - 2 букв, т.е. п:(п - 2), во второй - из п - 1 букв, т.е. п:(п - 1). Тогда по правилу суммы число комбинаций с Ь на первом месте п:(п - 2) + п:(п - 1), а общее число

п:п=(п - 1) (п:(п - 2) + п:(п - 1)). (1)

Используя эту рекуррентную зависимость, Эйлер нашел значения для

некоторых 7Г.77 (п = 3; 10) и записал их под своими индексами. Ученый подметил, что каждое из п: п является кратным предыдущему, увеличенному или уменьшенному на единицу:

п:п = пп: (п - 1) ± 1 (2)

и показал справедливость этого свойства на конкретных примерах, установив тем самым зависимость между формулами (1) и (2).

2 = 3-1 - 1, 9 = 4-2 + 1, 44 = 5-9 - 1, 265 = 6-44 + 1,

1854 = 7-265 - 1, 14833 = 8 1854 + 1, 133496 = 9-14833 - 1.

Частный случай «задачи о встречах» еще раз появляется в "записных книжках" Эйлера, но сформулирован он уже в терминах шахматной игры: расставить п ладей на доске п х п на взаимно неатакующих позициях, кроме того, запрещено располагать фигуры на главной диагонали. Такую интерпретацию Эйлер дал неслучайно: в различных комбинаторных задачах доски служат для изображения ограничений на позиции элементов и представляют таблицы, в которых переставляемые элементы отличаются номерами столбцов, а позиции - номерами строк. Крестик, стоящий на пересечении строки и столбца, означает соответствующее ограничение. Такие таблицы называют еще схемами ограничений.

Эйлеру так и не удалось найти общее решение «задачи о встречах», хотя результаты исследований в его шестой «записной книжке» показывают, что он вплотную подошел к нему.

Развитие теории определителей заставило ряд видных математиков второй половины XIX в. вновь обратиться к этой задаче. Почти одновременно решение задачи о полном смещении элементов было найдено И. Вейраухом [5] и С. Кантором [6]:

и!(! _ 1+1 _ ...(-1)п I) = пу О!

2! 3! 4! п! £2 г!

Из нее в [7] по индукции было получено общее решение «задачи

, w«VV (-1)" о встречах»: (n - m)!( )/ ¡ , где т - число несмещенных элементов.

т r_2 л

В 1890 г., занимаясь подсчетом латинских квадратов, А. Кэли также нашел общее решение задачи о полном смещении элементов , которое впоследствии было обобщено и имело вид

n(n - 1)...(n - Л +1)(1 -1 + -1 -1 +... + (-1)Л -1), где (n -X) - число

1! 21 3! Л!

несмещенных элементов.

Все перечисленные классические комбинаторные задачи носят прикладной характер. Результаты исследований нашли применение в теории графов, теории перестановок и подстановок, биологии, в теории планирования экспериментов, создании помехоустойчивых кодов, в физике, электротехнике и др. Это позволяет применять их для демонстрации приложения математических моделей и формирования интереса к математике в процессе обучения. С этой точки зрения целесообразно использовать исторические сведения об истоках их возникновения, этапах формирования и становления методов решения, выяснение приложении и, наконец, сведениях об ученых, внесших вклад в развитие каждой из задач.

Список литературы

1. Euler L. Recherches sur une nouvelle espèce de quarres magiques // Opera Omnia, -1823. - Vi - Ser. I - P. 291-492.

2. Euler L. Calcul de la probabilite dans le jeu de rencontre // Opera Omnia, 1923. - Vi -P. 11-25.

3. Euler L. Recherches sur une nouvelle espece de carres magiques // Opera Omnia, 1923. -Vi - P. 291-392.

4. Euler L. Solutio quaestionis curiosae ex doctrina combinationum // Opera Omnia, 1923 -Vi - P. 435-440.

5. Hamilton W.R. Account of Icosian Calculus // Proceedings of the Royal Irish Academy, 1858. - V6.- P. 415-416.

6. Kantor C. Permutationen mit beschrankter stellenbesetzung // Zeitschrift fur Math. und Phys., 1883. - Bd. 28. - S. 3i9-388.

i.Moivre A. de The doctrine of chances ets ... - London, li30.

8. Montmort P.R. de Essay d'analyse sur les jeux de hazard. - Paris, lil3. - 2- me ed. -P. 130-143.

9. TartagliaH. Trattato de numeri e misure. - Venetia, 1556.

10. Малых А.Е.. Магические квадраты. - Пермь: ПГПУ, 1992.- 46 с.

11. Малых А.Е., Данилова В.И.. Формирование учения о магических конструкциях до начала XVIII столетия // В науч. ж. «Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика». - Пермь: ПГУ, 2012. - Вып. 4(12).- С. 96-104.

12. Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. - М.: Наука, 1979.

13. ЛипатовЕ.П. Tеория графов и ее применения. - М: Знание, 1986.

14. Оре О. Графы и их применение / Пер. с англ. и ред. И.М. Яглома. - М.: Мир, 1965.

101