Об исследовании Леонардом Эйлером латинских квадратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1

Малых Алла Ефимовна

доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет» Пермь, Россия, e-mail: malych@pspu.ru

Каленкова Алёна Сергеевна аспирантка кафедры высшей математики Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет» Пермь, Россия, e-mail: alyonakalenkova@mail.ru

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ЛЕОНАРДОМ ЭЙЛЕРОМ ЛАТИНСКИХ

КВАДРАТОВ

Malykh Alla Efimofna

doctor of physical and mathematical sciences, professor of the higher mathematics chair

Federal State Budget Educational Institution of Higher Education «Perm State

Humanitarian Pedagogical University» Perm, Russia, e-mail: malych@pspu.ru Kalenkova Alena Sergeevna post-graduate student of the higher mathematics chair Federal State Budget Educational Institution of Higher Education «Perm State

Humanitarian Pedagogical University» Perm, Russia, e-mail: alyonakalenkova@mail.ru

ABOUT RESEARCH BY LEONARD EULER OF LATIN SQUARES

Аннотация: Л. Эйлер занимался исследованиями в различных областях математики, включая комбинаторику. Он посвятил ее изучению более полутора десятка мемуаров. Часть из них касалась теории латинских квадратов. Указаны методы их построения ученым. Нами реконструировано построение латинских квадратов различных видов и порядков.

Ключевые слова: классические комбинаторные задачи; латинские квадраты; их виды, порядки; экспонента; трансверсаль; общее преобразование; изоморфизм; группы.

Abstract: L. Euler researched in various fields of mathematics, including combinatorics. He devoted to her studying more than one and a half ten of memoirs. Part of them are concerned to the theory of latin squares. Methods of their construction by scientist are specified. Construction of latin squares of different types and orders are reconstructed by us.

Keywords: classical combinatorial problems; latin squares; their types, orders; exponent; transversal; general transformation; isomorphism; groups.

© Малых А.Е., Каленкова А.С., 2017

Леонард Эйлер (1707-1783) проводил исследования различных естественно-научных дисциплин, к числу которых относится и комбинаторика. Его работы в этой области связаны с решением классических комбинаторных задач. В [1] представлено решение ученым некоторых из них. Особое место в исследованиях Эйлера занимает теория магических и латинских квадратов (ниже м.к. и л.к. соотв.). Исторический опус развития первых, их виды, методы построения представлены в [2].

Интерес ученого к данной тематике не угасал на протяжении всей его жизни. В 1779 г. он представил Петербургской Академии наук объемный мемуар

«Исследование магического квадрата нового типа» [3], касающийся изучения новых видов квадратов, названных им полными, т.е. состоящих из квадратов, заполненных латинскими и греческими буквами в соответствии с определенными правилами. Под л.к. Эйлер понимал квадратную таблицу размера п X п, заполненную числами таким образом, что в каждой строке и каждом столбце любое число встречается только один раз. Мемуар начинался с задачи «о 36 офицерах»: «Совокупность 36 офицеров шести различных званий, взятых из шести разных полков выстраивают в карэ таким образом, чтобы в каждом ряду как по горизонтали, так и по вертикали находились шесть офицеров разных званий и из различных полков» [4, с. 102].

Для решения ученый сформулировал ее на математическом языке. Он обозначил шесть различных полков латинскими буквами: а, Ь, с, d, е,/, а шесть различных званий офицеров - греческими: а, р, у, 8, £, а затем составил из них 36 упорядоченных пар. Следовало разместить их в ячейках квадрата 6x6 так, чтобы в каждой строке и каждом столбце содержались все латинские и греческие буквы и никакая из упорядоченных пар не повторялась.

Вначале Эйлер составлял два квадрата порядка п = 6. В первый ученый записывал в виде оснований латинские буквы. При этом в первых строке и столбце он располагал их в естественном порядке. Во втором квадрате содержались греческие буквы. Их автор назвал соответственно латинским и греческим. Далее Эйлер получал полный или греко-латинский квадрат, приписывая в виде экспонент греческие буквы к латинским. Экспоненты в первом столбце ученый записывал в естественном порядке. Далее он

расставлял экспоненту 1 так, чтобы в каждой строке и каждом столбце она появлялась только один раз. Аналогичным образом автор рассматривал и другие экспоненты. Последовательность экспонент Эйлер назвал трансверсалями. Последние ученый располагал так, чтобы в каждом из столбцов все числа были различные. При этом он использовал метод перебора. Впоследствии автор заменил для удобства оба вида букв первыми п числами натурального ряда.

Исследуя квадраты, Эйлер отметил, что существует множество способов их построения в зависимости от структуры и размера. Ученый ограничился рассмотрением квадратов д -шагового типа (д = 1;4). Этим вопросам он посвятил четыре главы мемуара. В каждом из случаев автор привел теоремы с доказательствами, формулировки правил, иллюстрировав их примерами. Отметим, что в конце каждой из глав Эйлер возвращался к задаче «о 36 офицерах».

В первой главе ученый исследовал л.к.

порядков п = 2; 9 с шагом ^ = 1. В настоящее время их называют циклическими, т.к. строки и столбцы являются циклическими подстановками элементов от 1 до п. Он показал, что при п = 2 и п = 4 нельзя составить ни одной трансверсали, а следовательно, и полного квадрата. На основе рассмотрения этих частных случаев, автор сформулировал теорему: «Для любого циклического латинского квадрата четного порядка нельзя построить греческий квадрат» [4, с. 108]. Эйлер выполнил ее доказательство методом от противного и таким образом показал неразрешимость задачи «о 36 офицерах» для ^ = 1.

Он указал, что при нечетном п можно составить трансверсали для экспонент. Так, для л.к. третьего порядка, автор нашел трансверсали для каждой из экспонент (рис. 1).

В случае п = 5 Эйлер отыскал три трансверсали для Рис. 1

экспоненты 1. Прибавив к каждому из элементов единицу, ученый получил трансверсали для экспоненты 2. Используя аналогичные рассуждения, он нашел трансверсали и для других экспонент. Таким образом

11 23 32

22 31 13

33 12 21

автор построил три квадрата пятого порядка. Однако наибольший интерес вызывал один из них (рис. 2). Выполнив в нем подстановку строк (2453), Эйлер получил л.к., в котором различные экспоненты и основания расположены не только в строках, столбцах и двух диагоналях, но и на ломаных диагоналях. Их ученый назвал «параллелям».

При п = 7 он отыскал 19 трансверсалей для экспоненты 1. Автор сформулировал два правила, позволяющие получить из заданной трансверсали новую. Для этого Эйлер ввел обозначения. Трансверсаль для экспоненты 1 имела вид: 1, а, Ь, с, d, е, /, где буквы принимали числовые значения от 1 до п. Элементы квадрата ученый обозначил через х. Последнему соответствовало два индекса: строки и столбца. Второй из них он положил равным откуда определил первый в виде х — £ + 1. Для новой трансверсали экспоненты 1 автор ввел аналогичные обозначения, заменив прописные латинские буквы заглавными: 1, А, В, С, Б, Е, F - новая трансверсаль для экспоненты 1, X -элемент квадрата, Т - индекс столбца. Далее Эйлер положил Т = х и X = Ь. Первым правилом было: «... новая трансверсаль получается из старой при помощи инверсии», а вторым - «... для получения новой трансверсали достаточно взять Т = Ь и X = Ь — х + 1» [4, с. 110]. Так, для экспоненты 1, положив £ = 1 и х = 1, откуда X = 1, ученый нашел а = 1. Новые трансверсали он составлял, используя комбинацию этих двух правил. Таким образом, автор получил 11 формул (табл. 1).

Таблица 1

I II III IV V

т = г г X г — х +1 X г — х +1

X = х г — х +1 г г х — г + 1 2 — х

VI VII VIII IX X XI

х — г + 1 2 — х х — г + 1 2 — х 2 — г 2 — г

X г — х +1 2 — г 2 — г х — г + 1 2 — х

11 25 34 43 52

22 31 45 54 13

33 42 51 15 24

44 53 12 21 35

55 14 23 32 41

Рис. 2

Вначале Эйлер положил Т = £ и X = х, откуда по второму правилу X = £ - х + 1. Далее, применив первое, ученый получил Т = х и X = £. Отсюда следовало, что X = х - £ + а. В случае Т = £ - х + 1 и X = £, он определил X = £ - х + 1 = £ - х + 1 - £ + 1 = 2 - х. Продолжив аналогичные рассуждения, автор отыскал остальные трансверсали.

Эйлер сделал важное замечание, позволяющее облегчить построение греко-латинского квадрата. Ученый указал, что для его составления достаточно определить экспоненты членов первой строки в виде: 1, 3 - а, 4 - Ь, 5 - с, 6 - d, 7 - е, 8 - f. При этом экспоненты последующих строк он находил из экспонент первой увеличением их каждый раз на единицу. Автор заметил также, что в качестве трансверсали можно выбрать любую.

Эйлер указал, что для греко-латинского квадрата девятого порядка существует большое число трансверсалей. Ученый рассмотрел такие, элементы которых являются членами арифметической прогрессии. При этом он исключил разности, имеющие общие делители с п, т.е. 3 и 6.

Автор сформулировал

11 23 35 47 59 62 74 86 98

22 34 46 58 61 73 85 97 19

33 45 57 69 72 84 96 18 21

44 56 68 71 83 95 17 29 32

56 67 79 82 94 16 28 31 43

66 78 81 93 15 27 39 42 54

77 89 92 14 26 38 41 53 65

88 91 13 25 37 49 52 64 76

99 12 24 36 48 51 63 75 87

Рис. 3

третье правило для нахождения транверсалей квадратов,

имеющих порядок, кратный трем: «... введем для выбранной трансверсали индекс £, которому соответствует член х. Для составления новой трансверсали

можно взять индекс Т = 2£ - 1,

которому будет соответствовать член X = 2х - 1» [4, с. 111]. Эйлер показал, что из исходной трасверсали можно получить большое количество новых, используя композицию трех правил. Этот факт ученый продемонстрировал на многочисленных примерах. Однако полного множества трансверсалей он так и не нашел. По методу Эйлера нами реконструирован квадрат девятого порядка (рис. 3).

75

Далее автор перешел к рассмотрению квадратов, элементы которых, стоящие на диагоналях и их «параллелях», удовлетворяют ряду условий. Для формулировки последних ученый ввел следующие обозначения. Разностям латинских и греческих букв он поставил в соответствие й и 8. Таким образом, числа трансверсали, образующие арифметическую прогрессию с разностью й, имели вид: 1, 1 + d, 1 + 2(1, ... , 1 + (п - 1)^, где й и п взаимно просты. Далее автор рассмотрел диагонали. Одну из них он представил в виде: 1, 2 + й, 3 + 2(1, ..., а вторую - 1, (1, 2(1 - 1, 3(1 - 2, ... Их элементы составляли также арифметическую прогрессию. Для первой диагонали разностями для латинских и греческих букв были соответственно (<1 + 1) и (8 + 1), а для второй - (й - 1) и (8 - 1). Аналогичное выполнялось и для их «параллелей». При этом в зависимости от вида п Эйлер накладывал на (1 и 8 дополнительные ограничения. Так, при п простом й не может быть кратно п, а при составном -разность (<1 - 8) должна быть взаимно проста с п.

Таким образом, ученый сформулировал в общем виде условия, которые должны выполняться при построении квадратов: разности d, (<1 - 1), (<1 + 1), 8, (8 - 1), (8 + 1) взаимно просты с п; если п - составное, то (<1 - 8) взаимно просто с п.

Используя эти замечания, он составлял полные квадраты. При этом автор отметил, что их всегда можно свести к таким, у которых члены первого столбца записаны в естественном порядке. Первую строку Эйлер представил в виде: 11, (1 + Л)х+8, (1 + 2й)1+25, ... Переходя к новой строке, ученый прибавлял каждый раз по единице к латинским и греческим буквам.

При порядке п = р • ц из возможных числовых значений й и 8 он

исключал й = Яр, й = Ар - 1, й = Ар + 1, 8 = ц.р, 8 = ц.р - 1, 8 = ц.р + 1. На основе

этого автор сделал вывод о том, что для р = 3 полный квадрат построить

невозможно. Определив тем самым возможные значения й и 8, Эйлер нашел их

число в зависимости от вида п. Так, для простого п их количество равно (п - 3),

иначе - (р - 3)(^ - 3). Далее ученый обобщил это на случай п = рацР ..., откуда

76

11 34 52 25 43

22 45 13 31 54

33 51 24 42 15

44 12 35 53 21

55 23 41 14 32

множество допустимых значений d и 6 представил в виде: ра-1ц@-1 ... (р - 3)(^ - 3) ... Впоследствии он применил эти рассуждения при построении полных квадратов порядков 5, 7 и 35.

По его методу нами реконструирован полный квадрат порядка 5 (рис. 4). Исходя из условий выбраны й = 2 и 8 = 3, т.к. эти разности, а также разности чисел на двух диагоналях и их «параллелях» взаимно просты с п. При этом & п.

Во второй главе автор исследовал л.к. с шагом ц = 2. Для них Эйлер сформулировал теорему: «Все квадраты 2-шагового типа не могут дать никакой трансверсали, за исключением случая, когда п: 4» [4, с. 114]. Ученый провел ее доказательство, используя Рис. 4 метод от противного. При этом он применил результаты,

полученные им в первой главе. Далее автор доказал также методом от противного, что среди р, у, ... должны быть четные. Исходя из теоремы, Эйлер сделал ряд важных выводов: только в квадрате четвертого порядка может встретиться одна четная величина; среди величин р, у, ... половина должна быть четной и п должно делиться на 4; для квадратов нечетно-четных порядков с ц = 2 нельзя составить трансверсали.

Используя его метод нами реконструирован полный 2-шаговый квадрат для п = 4 (рис. 5). Откуда, используя теорему, он построил трансверсаль а, Ь, с, й для экспоненты 1. Она имеет вид: а = 2, Ь = 3 + 1 = 4, с = 4 + 2 = 6, й = 5 + 3 = 8. Кроме того, автор указал, что из исходной трансверсали можно получить другие.

При этом использовал те же правила, что и в случае циклических квадратов. На их основе Эйлер получил формулу для нахождения X при различных значениях £ и х в виде X = Ь — х + 2 ± 1. Ученый ставил знак «+» только при нечетном £ и четном х, а при остальных значениях - знак «—».

Впоследствии он привел еще один способ построения полного квадрата.

77

12 26 38 44

28 14 42 36

34 48 16 22

46 32 24 18

Рис. 5

ВЕСТНИК ПГТПУ Серия №2. Физико-математические и естественные науки

Автор показал также, что из транверсали для экспоненты 1 можно получить и другие трансверсали для нечетных экспонент, добавляя каждый раз число 2. Аналогично, зная трансверсаль для экспоненты 2, можно отыскать и остальные трансверсали для четных экспонент. Это утверждение Эйлер подтвердил доказательством. Ученый сделал вывод о том, что начать заполнение квадрата можно с какой-либо трансверсали для экспоненты первой строки, продолжив размещать остальные в соответствии со столбцом. Однако он заметил, что этот метод можно применить лишь тогда, когда полная система трансверсалей получается из заданной.

В третьей главе автор исследовал л.к. с шагом ц = 3. Они имели порядок п = 3т, где т. - число блоков л.к. Под последними Эйлер понимал л.к. третьего порядка. Вначале ученый рассмотрел простейший вид квадрата при п = 3. Далее он сформулировал и доказал теорему для случая п = 6, показав, что трансверсаль построить нельзя. Впоследствии автор обобщил ее для квадратов с любым ц = 2к + 1. При этом Эйлер отметил, что трансверсали не существуют, т.к. в блоках нечетное число членов.

Ученый рассмотрел далее квадраты порядков п = 9 и п = 12. Для построения их трансверсалей он сформулировал ряд правил. При этом автор использовал те же обозначения, что и в предыдущих главах. Эйлер получил формулу для нахождения х. Она имела вид: х = Ь + и — ш, где ш равно 1 или 4 в зависимости от остатка при делении £ и и на 3 соответственно. На основе ее ученый составил таблицу 2 значений х. Таким образом, ш = 4, если х = 1, 1, 2; £ =2, 3, 3, а в остальных случаях остаток равен 1.

Таблица 2

Числовые значения букв

г 1 1 1 2 2 2 3 3 3

и 1 2 3 1 2 3 1 2 3

ш 1 1 1 1 1 4 1 4 4

X 1 2 3 2 3 1 3 1 2

Впоследствии он показал, как из исходной трансверсали получить другие.

При этом автор использовал обозначения и правила, указанные ранее в главах 1 и 2.

78

Эйлер положил Т = х и X = £. Новую трансверсаль ученый получал из исходной путем применения инверсии. Так, при Т = Ь он нашел X = Ь — х + ш, где ш равно 1 или 4.

В четвертой главе автор исследовал л.к. с шагом ц = 4 порядков п = 4т, где т. - число блоков. Как и в предыдущих главах, Эйлер привел правила для построения греко-латинских квадратов и отыскания полного множества трансверсалей, используя при этом те, что были указаны им ранее в главах 1-3. Однако он показал, что их применение в этом случае затруднительно. Впоследствии автор предложил другой способ решения задачи. Отметим, что методы Эйлера для построения л.к. с шагом ц применяются и в настоящее время.

В заключительной части мемуара ученый рассмотрел вопросы, касающиеся составления, перечисления и отождествления л.к. В ней он обратился к задаче «о 36 офицерах», которую так и не смог решить. Эйлер пытался построить полный квадрат и из нерегулярных л.к., рассмотрев большое число последних. Однако решить задачу ему все-таки не удалось. В дальнейшем ученый распространил это на случай всех нечетно-четных квадратов. Он указал, что для них нельзя построить полную систему трансверсалей и сформулировал гипотезу: не существует греко-латинской пары порядка п = 2(2к + 1), к Е N.

При исследовании трансверсалей л.к. автор был близок к рассмотрению вопроса о группе его подстановок. Эйлер ввел понятие общего преобразования, понимая под ним «преобразование, с помощью которого каждый квадрат может быть преобразован в большое количество других, обладающих теми же свойствами по отношению к трансверсалям, что и исходный» [4, с. 120]. Он указал два его частных случая. В первом рассматривалась композиция трех подстановок: элементов, строк и столбцов. Второй представлял транспозицию латинского и греческого квадратов. Автор, по сути, указал на возможности разбиения полного квадрата на классы сетевого изоморфизма.

Исследования, выполненные в заключительной главе мемуара [3], Эйлер

считал весьма важными. Он вплотную приблизился к изучению л.к. с помощью

подстановок, к чему математики пришли лишь в начале XX столетия. Ученый

79

отметил значимость полученных результатов, заключающуюся в том, что перечисление квадратов впоследствии будут представлять достойный интерес, тем более, что все принципы, известные в комбинаторике, не могут быть пока использованы. Рассмотренная задача, будучи сама по себе не слишком полезной, оказала влияние на развитие общей теории чисел и комбинаторики, в частности.

Таким образом, в мемуаре Эйлера по существу заложены основы комбинаторной теории л.к., содержащие доказательства теорем, формулировку и решение системы фундаментальных задач. К ним могут быть отнесены: вопросы, связанные с существованием трансверсалей для квадратов различных порядков; приемы их получения; составление полных квадратов; исследование внутренней структуры; всестороннее изучение «регулярных» квадратов; разработаны перечислительные методы, нашедшие применение в ряде современных комбинаторных исследований; нахождение числа нормализованных л.к. порядка п {п = 2; 5) и нахождение для них классов изоморфизма.

На протяжении полувека, прошедшего со времени появления мемуара, идеи и результаты Эйлера не получили сколь-нибудь заметного продвижения. По-видимому, этот факт можно объяснить чрезвычайно высоким авторитетом ученого, получением столь значимых результатов, что почти никто не пытался превзойти их.

Кроме того, оказало влияние и его пессимистическое заключение относительно практической значимости задачи «о 36 офицерах». Однако уже со второй половины XIX в. теория л.к. после длительного перерыва получила бурное развитие.

Что же касается знаменитой гипотезы Эйлера, то одним из первых на рубеже XIX-XX вв. французским математиком Гастоном Тарри (1843-1913) было найдено 9406 нормализованных л.к. порядка 6 [5]. Их он объединил в 17 типов неизоморфных квадратов, назвав базовыми: 12 из них были классами изоморфизма, а оставшиеся объединены в пары классов.

Таким образом, более чем через 120 лет со времен Эйлера французский

ученый Гастон Тарри впервые выполнил не только перечисление всех

80

нормализованных л.к. порядка 6, но и осуществил их классификацию, используя комбинаторные инварианты. К каждому из полученных типов он пытался построить ортогональную пару. Однако результат был отрицательный. Этот факт подтвердил справедливость гипотезы Эйлера для п = 6. Тем не менее в общем виде она ждала своего решения. С 40-х гг. XX в. появилась серия статей американских ученых [6-9]. Результатом их исследований явился факт, что гипотеза выполняется только для порядков 2 и 6. Относительно же всех остальных п = 10, 14, 18, 22, ... она не выполняется, а потому в общем случае не верна.

Список литературы

1.Малых А.Е., Бойко А.С. Развитие Леонардом Эйлером некоторых классических комбинаторных задач // В сб. «Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона». - Киров, ВятГГУ, 2015. - Вып. 17. - С. 34-39.

2.Малых А.Е., Каленкова А.С. Исследование Л. Эйлером магических квадратов // Сб. док. всеросс. науч.-практ. конф. молодых ученых с междунар. участием «Математика и междисциплинарные исследования - 2016» (г. Пермь, 16-19 мая 2016). - Пермь, ПГНИУ, 2016. - С. 30-34.

3. Euler L. Recherches sur une nouvelle espece de quarres maqicues. - Verh. Zeeuwsch. Genootsch. Wetensch. Vlissengen., 1782. - Vol. 9. - P. 85-239.

4. Малых А.Е. О создании Эйлером комбинаторной теории латинских квадратов // ИМИ. - М.: Наука, 1983. - Вып. XXVII. - С. 102-123.

5. Tarry G. Le problème des 36 officiers // C.R. Assoc. France Av. Sci. - 1900. - V.29. - N.2. -P.170-203.

6. Bose R. C., Nair K.R. On complete sets of Latin squares // Sankhya. - 1941. - V.5. - Part 4. -P.361-382.

7. Bose R.C., Shrikhande S.S. On the falsity of Euler's conjecture about non-existence of two orthogonal Latin squares of order 4t+2 // Proc. Acad. Sci, USA. - 1959. - № 45. -P. 734 -737.

8. Bose R.C., Shrikhande S.S. On the construction of sets of mutually orthogonal Latin squares and the falsity of a conjecture of Euler // Trans. Amer. Math. Soc. - 1960. - Ser. A. - № 95. -P. 191 - 209.

9. Bose R.C., Shrikhande S.S. Further results on the construction of mutually orthogonal Latin squares and the falsity of Euler's conjecture // Canad. J. Math. - 1960. - V.12. -P.189 - 203.