CC BY
53
Тепловые, электроракетные двигатели, энергетические установки ЛА
УДК 533.697.3
Э. Г.ГИМРАНОВ
РАЗВИТИЕ МЕТОДА КРОККО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В КАНАЛАХ ДЛА И ЭУ
Получены частные решения системы обобщенных квазиодномерных уравнений установившегося движения газа в каналах ДЛА и ЭУ, принадлежащих к семейству, для которых давление и площадь поперечного сечения канала связаны степенной зависимостью. Рассмотрено семейство сверхзвуковых течений с переходом от М > 1 к М <1 (псевдоскачок) в каналах с развитым пограничным слоем. Полный импульс; модифицированные газодинамические функции полного импульса; физические воздействия на газовый поток
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
х — продольная координата канала;
р — давление;
.Р — площадь поперечного сечения канала;
е — показатель степени;
— скорость потока газа;
0 — расход газа;
7 — показатель адиабаты;
Ф — полный импульс;
акр — критическая скорость звука;
А0 — приведенная скорость на оси потока в канале;
/(е, А0), г(е>'М, Ао) — газодинамические функции полного импульса;
) — газодинамическая функция относительного давления;
А0), Д(е, А0), А0), 1(е, А0) м°-
дифицированные газодинамические функции полного импульса;
— параметр комбинированного воздействия на газовый поток;
а — коэффициент восстановления полного давления;
£ — коэффициент трения.
Индексы:
* — параметры торможения;
1 — вид, форма модифицированных газодинамических функций;
х — проекция скорости на продольную координату;
( ) — относительные величины;
кр — критические значения параметров.
Все физические величины в системе СИ.
ВВЕДЕНИЕ
В [1] приведены обобщенные квазиодно-мерные уравнения установившегося движения газа в каналах ДЛА и ЭУ (дифференциальная и интегральная формы), позволяющие рассматривать изменение параметров потока в условиях влияния начальных факторов и различных физических раздельных и комбинированных активных воздействий (задача управления), осуществляемых подводом (отводом) в основной поток ( в пограничный слой) дополнительной массы газа (жидкости), подводом (отводом) тепла (нагревание или охлаждение) от посторонних источников, изменением геометрии проточного канала газодинамических устройств.
Даны только общие решения приведенных уравнений движения в форме интегральных соотношений и в предельно частном случае отсутствия физических воздействий и трения, воздействия геометрией канала и вязкого взаимодействия (модифицированные газодинамические функции переходят в известные для одномерных течений [3], что приводит к кинематическому соотношению приведенных скоростей на локальном прямом скачке уплотнения и к ударной адиабате Рэнкина-Гюгонио.
В настоящей работе предлагается обобщенное, но остающееся частным, решение как дальнейшее развитие метода Крокко [2], течения газа в каналах, принадлежащих к семейству, для которых давление и площадь поперечного сечения канала связаны степенной зависимостью.
1. Семейство течений газа в каналах,
£
гд epF--1 = const
Пусть зависимости вида р(х) и F(x) будут объединены функцией [р(ж), F(x)), которая представляет собой степенное выражение вида
pF '-1 = const.
(1)
заимствованное из [2]. Предполагается существование течения в таком канале, для которого в каждом сечении справедливо соотношение
pF~ = piF^^1 = p-iF.^1 = const.
p F
1
r(e.Ao).
1 — є „ , nx d,G .dx
=---------Fdp + Gii— — - -G<— ;
и G
гі,[р*РРг(£Л0)] =
1^є+ Он — — - -Сіі£— є *аР + иии о 2и ^ Б/
Разделив почленно соответственно первое уравнение на , второе на (рР)і и
третье на (р*Р)ь после преобразований уравнения импульса запишем в безразмерном виде
Рассмотрим семейство сверхзвуковых течений с переходом отМ>1кМ<1 (псевдоскачок) в таких каналах сначала в общем виде.
Поток обобщенного полного импульса («обобщенная импульсная функция» по Л. Крокко) запишется следующим образом:
dZ’(e, А0) # £ 1 пі/ \ ^dP
гуА { 4- -j~ it Ао J _
Zl(e, А0) Ф є р
с!С
- [1 - Л'(є.Ао)] Ад-^ +
+ |[1-В'(е,Л.)]«^.в;
Ф = вМУ + ерР
или с помощью газодинамических функций для однородного потока
Ф = —Оокр^Ао):
7
1
®=pF-
г(є. А0)
Ф = P*Ff (є. А0).
(2)
где газодинамические функции обобщенного полного импульса имеют вид
Z(eAo) = l 1
1
2j — є (7 — 1) ч , є 7+1 Ао
(є -1);
(З)
г(є.Ао) ?’(А0)
/(є,А0) = (є- І)тг(Ао) + /(А0).
dp dRl(e, Ао) р R1 (є. А0)
—Я':(є,Ао)^1
d,p
Р
dC
[1 — і?'(є, А0)] Ай-^ +
1 - Н'Т
+ -[1 —ff(E,Ao)k^y = 0; (4)
d(J dF 4,Р!(£,Х0) £ — 1 , ^1р
— + \ V +------Д1 е, А0 — -
(7 Р Р (е. Ао) £ р
(\С
— [1 — Д*(е; Ао)] +
+ ^[1-дЧ£,л„)]^ = о.
Общие интегралы дифференциальных уравнений (4) имеют такое же содержание, что и обобщенные уравнения движения газа
в[1].
Согласно [1] поток полного импульса представим в следующих трех различных видах:
7 + 1 7
GnKpZl(£,XQ)
-___-Fdp + G11 — — - -Gut— ■
X £ * '_* tAt _ } ^
11 G
rjit X x Z‘(£,Xoi)
Z (є. Ao) =----773^—exp
P
ф(Я)
a
Д(є, A0) rZlnF
x exp
ЛП
Г(£, Xo)h^
x exp
—Д'(е, Л0) dlnp = In ^(£; Aq) £ R{£, Aqi)
jI'ie,Ao)S^; (5) 1 0
i^Aoi)
<7 = --;—— CXp
F*'(e, A0)
e — 1
Г(е, Ao) <iln£>
G
x exp
Г(сЛ0)\сГМ
x exp
Использование обобщенных уравнений (4) и (5) для решения практических задач по расчету параметров псевдоскачка требует определения значений е. Так, в [2] показано, что физический смысл имеют значения е, заключенных в пределах
7'
1
7
Соответствующим образом представленные уравнения законов сохранения массы, энергии и обобщенного полного импульса приводит к «обобщенному уравнению Рэнкина-Гюгонио» — «псевдоударная адиабата».
Р2
Pi
Р2
.2 а
КР
Р'2
Pi и
КР
где «2р = 27-6(7-1) • ДлЯ В03ДУха (7 = 1;4) О ^ £ < 3,5, а г4р = 0,4е/(2,8 - 0,4е).
При е = 0 имеет место течение с постоянным давлением без трения,
= 1). При е = 1 — течение без трения в канале постоянной площади поперечного сечения, Д = СОПЙ^-Р = 1). При £ = «обобщеи-ное уравнение Рэнкина-Гюгонио» совпадает с уравнением изоэнтропы, йз = 0. При всех остальных значениях происходит увеличение энтропии, , при условии ,
т. е. в соответствии со вторым законом термодинамики физически осуществляются только течения сжатия.
Тогда может быть предложен следующий способ решения смешанной задачи при заданных 21 > 1 и |г- < 1 или уг > 1 (слаборасши-
ряющийся или слабосужающийся канал без нарушения одномерности течения). Из условия Л. Крокко получим
1 Р2
£ = Ш----
И
,п I ~TF
Pi Fi
(6)
а затем из уравнений (4) или (5) определяются закономерности р = р(х) и Д = Д(ж). Заметим, что разрешить уравнения относительно искомых функций в явном виде не удается. Вместо (6) может быть предложено соотношение, полученное с использованием уравнения расхода, записанного в виде
ГО1?у(Ао1)^1-^= = т2?/(Ао-2)^2 ^
или
P2F2 Pi Fi
Тогда получим
£ = In — / in Pi
m2 У Tf у (А02)
(7)
т. е. вместо геометрии канала (отношение площадей) можно использовать чисто газодинамические и термодинамические параметры потока. При будем иметь
е = (8)
Pi У (М2)
2. Частные решения уравнений семейства течений
Рассмотрим некоторые частные случаи. При Ag = 0 уравнения (4) запишутся в виде
dZ’(e, А0) с1ф е-1 . dp
^ым+~ + ~п{£Ла)1 +
dp
Р
1
Д*'(е,А0)-1
dp
Р
dR! (e, А0) R(e, А0)
i [1 - Я'Се.Ло)] - 05
da d,F £ — 1 ■ , .dp d,F’{£, Ao)
— + ~W + ---------R ^ A0 + \ V +
ct F £ p Fl {£, Ao)
+ \ [1 -ЯЧе,Л0)] =0.
а) Течение газа в канале при условии
£{х) = 0:
d,Z’(£, А0) # - ^riF
+ T ( ! о)Т"°!
;d,R'(£, А0);
dp £ 1 р “ е-1[Д*'(е,А0)]:
, И/, х n^ , flFl{e,Xo)
- + /(Е,А0)Т+ F:feAo) =0.
или в интегральной форме
■2
F(.t) = exp
1
А0)
exp
1
Ao)
d(nZ'(£, Ao)
£>(.т) = exp
і
є — 1 [і?'(є, Ao)]'
dKj(£,\ о)
d,F' (£, A0)
'r(x) = ад""
/' (є, A0) rflnF
(9)
Система уравнений (9) решается при заданных условиях на центральной струйке тока, а представляет собой параметр управления, обеспечивающий выполнение граничных условий.
При , т. е. при течении газа в кана-
ле постоянной площади поперечного сечения, из первого уравнения системы (5) определяется закономерность физических раздельных или комбинированных воздействий ф(х), также обеспечивающая выполнение граничных условий. В данном случае отношение давлений 21 > I. р 1
Течение газа в канале при условии и описывается уравнениями
(3),(4).
б) Течение газа в канале при условии . Рассмотрим еще один частный случай, выходящий за рамки допустимого значения е по Л. Крокко. Пусть функция
имеут простой вид или
Для течения газа в канале с переходом от к в псевдоскачке такой случай
можно допустить. При некоторой закономерности восстановления статического давления на длине псевдоскачка площадь поперечного сечения канала должна уменьшаться обратно пропорционально этой закономерности, т. е. F(x) = 1 /р(х). Так какр(ж) не может стремиться к бесконечности р(х) Ф оо, то и F(x) не может стремиться к нулю, F(x) ф 0.В реальных условиях р(х) И — величины конечные. Рассматриваемый случай из степеней зависимости Л. Крокко вытекает при условии
lim —
Є—ЮО £
1
= 1.
Рассмотрим более общую форму решения поставленной задачи. Запишем уравнение (2) в следующей форме:
d (Си) = pdF + Си—^ - 1{Си^-, и С 2 и1,
которое после преобразований приводится к виду
dVF
dx
АаД(Ао)
dlnG _ dR(Ар)
dx
dx
\/f =
1
= -R(X0)m- (10)
Общее решение уравнения (10) имеет такой же вид как и уравнения (5). При этом функции и будут выражаться следующим образом:
р(х) = \
din С d,Rl( А0)
dx
АаД(Ао)
F(x) = \r‘( АоК(х).
dx
Интеграл от преобразованного дифференциального уравнения потока полного импульса определяет относительные давления
Я'Ооі)
G
p
dlnF
x exp
AfjrflnG
exp
1 Г. . dx
2 S^Tf
0
а(т) = ^01) дг(Л01) х тг(Ло) Д'(А„)
р
х схр
1
[ЩЬо)
а
х схр
схр
с!ЫР
1 Г. . с1х О
Ниже приводятся формулы расчета параметров течения газа с постоянным секундным импульсом силы давления без дополнительного импульса подведенной (отведенной) к основному потоку массы при условии
:
р(х) =
а(х) =
\пР = К1(Х0) ^ К1(Х01);
р
Д(А01) „ [
Д(Ао) °ХРУ
1
|Д‘‘(А0)
с£1п.Р;
7г(Ар1) Дг(Аох) тг(А0) Д(А0)
р
х схр
1
|Д‘‘(А0) у{ Ао)
с£1п.Р:
?у(Аог)
ВЫВОДЫ
Таким образом, получены частные решения в обобщенных параметрах уравнений движения для семейства степенной зависимости давления и площади поперечного сечения канала.
Уравнения законов сохранения массы, энергии и полного импульса приводят к «обобщенному уравнению Рэнкина-Гюго-нио» — «псевдоударная адиабата».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гимранов, Э. Г. Обобщенные квазиодно-мерные уравнения движения газа в каналах ДЛА и их интегралы / Э. Г. Гимранов, В. Г. Михайлов // Вестник УГАТУ. 2006. Т. 7. №1 (14). С. 153-160.
2. Крокко, Л. Одномерное рассмотрение газовой динамики установившихся течений / Л. Крокко // Основы газовой динамики. М. : ИЛ, 1963. С. 64-324.
3. Абрамович, Г. Н. Прикладная газовая динамика : учебное руководство / Г. Н. Абрамович. М.: Наука, 1991. Ч.1. 600 с.
ОБ АВТОРЕ
Гимранов Эрнст Гайсович,
проф. каф. прикладной гидромеханики. Дипл. инж.-мех. по авиац. двигателям (УАИ, 1965). Д-р техн. наук по тепловым двигателям (УАИ, 1990). Иссл. в обл. газовой динамики двигателей.
