Обобщенная импульсная функция семейства течений газа в каналах ДЛА и ЭУ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6

МАШИНОСТРОЕНИЕ • ТЕПЛОВЫЕ, ЭЛЕКТРОРАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ И ЭНЕРГОУСТАНОВКИ ЛА

Э. Г. ГИМРАНОВ

ОБОБЩЕННАЯ ИМПУЛЬСНАЯ ФУНКЦИЯ СЕМЕЙСТВА ТЕЧЕНИЙ ГАЗА В КАНАЛАХ ДЛА И ЭУ

Приводится обобщенная импульсная функция течения газа в каналах ДЛА и ЭУ, выраженная в модифицированных газодинамических функциях полного импульса. Решение системы уравнений законов сохранения дано для газодинамики торможения вязкого сверхзвукового потока, для псевдоскачков в каналах, принадлежащих к семейству со степенной зависимостью между давлением и площадью поперечного сечения. Импульсная функция; торможение вязкого сверхзвукового потока; псевдоскачок

Установление закономерностей изменения параметров газового потока на псевдоскачке [1] имеет важное значение для решения целого ряда практических задач, разработки методов расчета газодинамики технических устройств.

Параметры газа за псевдоскачком определяются законами сохранения массы, импульса и энергии. Эти законы связывают между собой значения параметров газа перед псевдоскачком с параметрами газа за псевдоскачком со скоростью движения газа. Под параметрами газа на псевдоскачке здесь понимаются приведенные скорости Х1 в начальном х1 и ; в конечном х2 сечении полностью развитого псевдоскачка отношение статических давлений р = р2 /р1 и полных а = р*2 /р*1 - коэффициент восстановления полного давления на псевдоскачке.

Приближенное определение соотношения параметров развитого псевдоскачка производится методами одномерной газовой динамики установившихся течений с использованием модифицированных газодинамических функций потока полного импульса, учитывающих неравномерность распределения параметров газа в каналах газодинамических установок или струях по площади поперечного сечения.

1. ОБОБЩЕННАЯ ИМПУЛЬСНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ИНТЕГРАЛЫ

Уравнение импульсов для течения газа с трением, подводом или отводом массы вторичного газа в канале переменного поперечного сечения запишется в виде

АФ = pdF + пхёЫ-хкёЕк. (1)

Здесь их — осевая составляющая скорости

й т = с, Ри_

вторичной массы газа; № 1 2 — касатель-

ное напряжение на стенке канала, С, — коэффициент гидравлического трения.

После несложных преобразований уравнения (19) получим

,А „ их АО 1 й Ах

АФ = pdF + Ои —----------ХОи— ...

и О 2 П , (2)

где X = 4Cf - коэффициент гидравлического сопротивления (важнейшая гидравлическая характеристика канала); Дг = 4 ^/П - гидравлический диаметр канала; П — периметр сечения канала.

Уравнение состояния совершенного газа записывается в виде

р=рЯТ Т . (3)

Связь между заторможенными изоэнтропи-ческими параметрами и параметрами газа в потоке определется известными газодинамическими функциями:

— = 1-У—=т(1);

Т * у+1

л_

р=ї1—1^2 Г =Р1);

р*

У+1 У—1

(4)

-^=1 1—^-12 I =е(1).

У+1

|У—1

Используя выражения для потока полного импульса типа (3), представим уравнение (2) в следующих трех различных видах:

Контактная информация: (347) 273-09-44

= рсір+ви^——1 £ри—; (5)

ив 2 Д,

а

рр

(1о)

их ао 1 ах

= рар + Ои —----------------ХОи —;

и О 2 Д

а Г р * р 1 (10)] = рйЕ+Ои—аО—1 х,Ои—. Г 0 ] и О 2 Д

В уравнениях (5) индексом ' обозначены формы записи модифицированных газодинамических функций потока полного импульса. Разделив почленно соответственно первое У+1^. |

т I, второе на (pF)1 и

уравнение на

У

третье на (р*Р)ъ после ряда преобразований уравнения (1) запишутся в безразмерном виде:

+ау—я' (1о) С—Г1—я'(1о)11ОаО+

7'(10) у р Г J О Г1

О

+ 2 Х Г1 Я' (1о)] = 0;

+ П— я' (10)1 €—Г1—я' (10)11ОаО +

р к(10) Г 0 ] р Г 0 ] О ^

О

(6)

^О—+Г!—я' (10)1 ^—Г!—я' (1 11ОаО +

О Р(10) Г 0] р Г 0] О ^

О

+ 2хГ1 я(1о)]0.

Здесь у - комплексный параметр

= ОТ* у = ОЛ т;у

— я. 1 / [ ^ я.

= Ов,

у ; V у

где О = О / О1 — коэффициент массового воздействия; 0 = ^Т* /Т* — коэффициент теплового

воздействия;

в = .ц УН я1 / (ОН л

— коэф-

фициент термического воздействия; р = р / р — безразмерная площадь поперечного сечения канала; 1о = 1Ох /1 — относительная безразмерная скорость подведенной (отведенной) массы газа, приведенной к расчетному сечению.

Общие интегралы дифференциальных уравнений (6) будут определять изменение приведенной скорости и относительного давления в конечном сечении псевдоскачка в функции начальных условий, физических воздействий и изменения геометрии канала:

а2‘ (10) + ау—я' (і) ар—

(І0) у

— Г1—я' (І0) ] 1оО +

+ 0 ХГ1 я’ (10)] = 0;

ар—ая' (10) р — я' (І0)

+[і—я' (І0)] р—

—[1—* м] 1оАО + (7)

+2 Х -1—Л'(1о)] =0;

Аа—¿рсхо)+,-1—# (Хо)п £— а Р'(10) - 0J F

— -1—Л' (1о)] 1о“О~ +

+2 Х1>—*' (1о)]:А| = °.

Здесь для краткости записи принято I'(10) = 1 — Л'(10). Правые части уравнений

(7) представляют собой произведения четырех сомножителей, где первый сомножитель 1 / у учитывает влияние внутренних воздействий теплом 0 массой О и изменением термодинамических свойств потока газа Ф; второй

сомножитель

ехр

і

или ехр

1 і' (і0)а іпр

учитывает влияние изменения геометрии канала F = F(х); третий сомножитель

ехр

11' (і 0)іОа іпО

учитывает влияние изменения потока полного импульса за счет подведенной (отведенной) массы газа О = О( х); четвертый сомножитель

ехр

1 X

-21 л«

л

ах

учитывает влияние закона трения X = Х(х) .

Влияние начальной неравномерности потока определяют модифицированные газодинамические функции потока полного импульса 21(^0), яг(^0) и /(Х0), р(^0). Таким образом, уравнения (6) представляют собой дифференциальные (а с учетом интегральных характеристик вязкого диссипативного слоя — интегро-дифференциальные) уравнения движения газа в псевдоскачке, а уравнения (7) — уравнения движения в интегральной форме. Указанные

1

а

уравнения по форме и содержанию напоминают уравнения Л. А. Вулиса [2] — «условия обращения воздействия» и уравнения движения недиссоциированного газа В. Н. Крымасова [3], но при этом существенно отличаются от них модифицированными газодинамическими

функциями потока полного импульса и дозвуковыми решениями при сверхзвуковых начальных условиях с высоким переходным непрерывным (только в одном частном случае локальным) градиентом параметров газового потока. В этом смысле уравнения (6-7) могут быть названы как общие условия перехода от сверхзвукового (М > 1) течения к дозвуковому (М < 1) в псевдоскачке. В частном случае, в предельно упрощающем предположении об отсутствии начальной неравномерности потока в канале, физических воздействий и трения в канале постоянной площади поперечного сечения уравнения (7) приводятся к виду

2 (12) = ^ (11),

р = г (12)/ Г (1Д

а = / (11)/ / (12),

решение которых дает известные соотношения для единичного прямого скачка уплотнения: ^2 = 1 — основное кинематическое соотношение для прямого скачка уплотнения;

У —1

с„

p=ь=

Pi

— P2->2

— * —1

g+1

1-

g-1 g+1

Pi

g+ 1

1i2

g- 1 J_

g+ 1 If

по отношению к которым в последующих расчетах будут даны сравнительные оценки.

Точные решения уравнений (6—7) можно получить, если известны зависимости у = у( х)

или О = О(х), 0 = 0(х), у = у(х), F = F(х), Х = Х(х), 10 = 10 (х) или М0 = М0 (х), а также начальные условия: числа М\ и Яв\ , профиль скорости вязкого слоя и = и(^) (пограничного слоя или в сечении канала, заполненного вязким течением). При этом подынтегральные выражения получаются достаточно сложными, что приводит к существенным затруднениям аналитического метода, который рациональнее использовать для решения частных задач. В общем случае лучше переходить к приближенным или численным методам.

Форма записи уравнений (7) позволяет рассматривать раздельно и в любой комбинации воздействия на газовый поток на длине псевдоскачка.

Выражение для определения изменения

F = F (х)

площади поперечного сечения канала 4 ! (обратная задача) находится из решения первого дифференциального уравнения (6), которое после ряда преобразований приводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка относительно ис-

комой функции yl~F и производной

-+-

1

d4F

+

2R (10)

dn (yZ (1о)) ]

dx

i' а,)^

dx

R (I,)

--1

X( x).

(8)

Общее решение уравнения (8) запишется в виде

4F —

— exp |^-J p(x)dx J {| Q(x) exp I p(x)dx J dx + C;},

где

p( x)

1

2R (1о)

i . Y dlnG dn(yZ‘ (1о))

) 1 (10)1G

Q( x) — 4

R (lo)

-1

dx

X( x).

dx

Если возмущающая функция Q(х) ° 0, то уравнение (8) становится линейным однородным и решается способом разделения переменных

АЫлГТ =----------1--{/' (10)I-А 1пО —

Я' (10)г 0 О

А 1п (у 2' (10) )}.

Тогда после интегрирования получим

{1 X 1

11ЯЖ)А1п -у2'(1|) ]—

—1 х[_0_1_А1пО 1.

20 Я (10)

К обратной задаче можно отнести определение из первого уравнения (6) при известном характере изменения площади поперечного сечения канала F = F(х) коэффициента внутреннего воздействия на газовый поток на длине псевдоскачка, у = у(х) . Эта зависимость имеет вид

1

1

(

1

1

j R' (10)dlnF-

G 1 X '

+ j i' (10 )1sdbG—j i' (10 )X( x )dx

(9)

2. СЕМЕЙСТВО течения газа в каналах, ДЛЯ КОТОРЫХ ДАВЛЕНИЕ И ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ СВЯЗАНЫ СТЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ

Пусть зависимости вида p(x) и F (x) будут объединены функцией [p(x),F(x)] , которая

представляет собой степенное выражение вида

£

pFe-1 = const, (10)

заимствованное из [1]. Предполагается существование течения в таком канале, для которого в каждом сечении справедливо соотношение

£ £ £ pF£-1 = p1F1e~1 = p2F2£-1 = const.

Рассмотрим семейство сверхзвуковых течений с переходом от М > 1 к М < 1 (псевдоскачок) в таких каналах сначала в общем виде.

Поток обобщенного полного импульса

(«обобщенная импульсная функция» по

Л. Крокко) запишется следующим образом:

Ф = GW + epF или с помощью газодинамических функций для однородного потока

g+1 1

Ф = — Ga Z(e,lo); Ф = p^-рр;;

g r(£, 1o) (Ц)

Ф = p* Ff (e, lo),

где газодинамические функции обобщенного полного импульса имеют вид

Z (e, I0) = 2 1

2g-e(g-1). + e

•к +-—

1

g+1 - +(e-1);

к

(12)

г (е, ^0) г (^)

/ (е, 10) = (е — 1)Р(^0) + / (10).

Согласно (5) поток полного импульса представим в следующих трех различных видах:

у+1

d

g

р¥

Ga„Z: (e, Х0)

:iz£ Fdp+Gui^ -1 GuX ÎX- ;

e u G 2 Dr

1

1 - e u x dG 1 dx

----Fdp + Gu—-------------Gux—:

e u G 2 Dr

d [ p * FF‘ (e, 10)] =

1 -e ux dG 1 dx

=-------Fdp + Gu—------------Gut—.

e u G 2 Dr

Разделив почленно соответственно первое

Г g+1 ^

уравнение на I------Ga I , второе на (pF) и

I g А

третье на (p F)1, после преобразований уравнения импульса запишем в безразмерном виде

dZ'10) + iiy + e-i R (e, 10) & -

Z (e, lo) y e p

dG

-[1-R (e, 10)] 1gG +1 [1-Ri (e, 10)] x;jb =0;

2L

dp - dR (e, 10) р R‘ (e, 10)

e-1

e

R (e, 10)-1

ф

P

s- dG

-[1-R (e, 10)] 1g~GT

( 13)

+1 [1-r (e, 10)] X-d= = 0;

d s dF dF ' (e, 10)

-+—+—. ^ +

s F F ' (e, 10)

+e-1 R (e, 10) # - [1-R (e, 10)] К-G e P G

+2 [1-R- (e, 10)] = 0.

Общие интегралы дифференциальных уравнений (13) имеют такое же содержание, что и обобщенные уравнения движения газа в

[4].

Z (e, 10) = exp

У(х )

j R (e, 10)dlnF

xexp

j г(e, 10)1G ~GG exp- 2 j1 10)x^dXr

j —Ri (e \,)dlnP = ln R ((e,10)) +

1 e R (e, 101)

+j I' (e, ^TT - 1 jl-(e, ^ ;

F' (e, 101) s =—г—r0^- exp

F- (e, 10)

G

G 2;

:e_-1

e

xexp

j Г (e, 10)1gG

f-----1' (e, 10)dlnp

e0

2 j Г'(еД0)Х TF.

0

+

x

d

Использование обобщенных уравнений (13) и (14) для решения практических задач по расчету параметров псевдоскачка требует определения значений е. Так, в [1] показано, что физический смысл имеют значения е, заключенных в пределах

У — 1

0 <e<

g

Соответствующим образом представленные уравнения законов сохранения массы, энергии и обобщенного полного импульса приводит к «обобщенному уравнению Ренкина-Г югонио» -«псевдоударная адиабата».

(

Р2

Pi

Рг 1 + пч>

А

VP

Pi Пкр (

Р v рі

где

п2 = кр

e(g- 1) 2g-e(g-1)

Для воздуха (g = 1,4) 0 < e < 3,5, а и кр = = 0,4e / (2,8 - 0,4e). При e = 0 имеет место течение с постоянным давлением без трения, p=const (р =1). При e = 1 - течение без

трения в канале постоянной площади поперечного сечения, F = const ( F=1). При є = _ g

g-1

«обобщенное уравнение Ренкина-Гюго-

нио» совпадает с уравнением изоэнтропы, =

= 0. При всех остальных значениях е происходит увеличение энтропии, > 0, при условии

р/р > 1, т. е. в соответствии со вторым законом термодинамики физически осуществляются только течения сжатия.

Тогда может быть предложен следующий способ решения смешанной задачи при заданных р2/р1 > 1 и F2/Fl < 1 или F2JF\ > 1 (слабо-расширяющийся или слабосужающийся канал без нарушения одномерности течения). Из условия Л. Крокко получим

e = ln — / ln

( р2_ F1Л

\Pi Fi J

(15)

а затем из уравнений (13) или (14) определяются закономерности р = р(х) и F = F(х). Заметим, что разрешить уравнения относительно искомых функций в явном виде не удается. Вместо (15) может быть предложено соотношение, полученное с использованием уравнения расхода, записанного в виде

или

m 1 У ( 1 01) F1-T= = m 2 У ( 1 02 ) F2~J=

р2 F2 = mi T2 У(101)

Pi F1 m2\ T1* У(102) .

Тогда получим

e = ln —2 / ln

Pi

(16)

т. е. вместо геометрии канала (отношение площадей) можно использовать чисто газодинамические и термодинамические параметры потока. При T = const будем иметь

.V(101)

e = ln — / ln

Pi y(102) '

(17)

Pi

Pi

Рис. 1. Сравнительные характеристики:

1 - идеальной адиабаты Пуассона; 2 - ударной адиабаты Рэнкина-Гюгонио; 3 - псевдоударной обобщенной адиабаты Рэнкина-Гюгонио; у = 1,4.

El

л

Рис. 2. Характеристики обобщенной псевдоударной адиабаты Рэнкина-Гюгонио; у = 1,4

На рис. 1 и 2 представлены характеристики адиабаты Пуассона, ударной адиабаты и обобщенной псевдоударной адиабаты Рэнкина-Гюгонио.

ВЫВОДЫ

Таким образом, получены:

• обобщенная импульсная функция семейства течений газа в каналах ДЛА и ЭУ, позволяющая рассматривать изменение параметров потока в условиях влияния начальных факторов и различных физических воздействий;

• уравнения законов сохранения массы, энергии и импульсов функции приводят к «обобщенному уравнению Рэнкина-Гюгонио -псевдоударная адиабата» в каналах, принадлежащих к степенному семейству между давлением и площадью поперечного сечения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крокко Л. Одномерное рассмотрение газовой динамики установившихся течений // Основы газовой динамики. 1963. С.64-324.

2. Вулис Л. А. Термодинамика газовых потоков. М.: Госэнергоиздат, 1950. 320 с.

3. Крымасов Н. Н. Газодинамические течения в каналах при наличии тепломассообмена // Тр. ЦАГИ. 1973. Вып. 1443. 64 с.

4. Гимранов Э. Г., Михайлов В. Г. Обобщенные квазиодномерные уравнения движения газа в каналах ДЛА и их интегралы // Вестник УГАТУ. 2006. Т. 7, № 1(14). С. і 53-160.

ОБ АВТОРЕ

Гимранов Эрнст Гайсович,

проф. каф. прикладной гидромеханики. Дипл. инж.-мех. по авиац. двигателям (УАИ, 1965). Д-р техн. наук по тепловым двигателям (УАИ, 1990). Иссл. в обл. газовой динамики двигателей.