Развитие энтропийного метода анализа процессов в системах горного производства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622: 338.4 Р.Ю. Замараев

РАЗВИТИЕ ЭНТРОПИЙНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Значимая нестационарность и переменный шаг наблюдения за функционированием систем горного производства требуют разработки новых методов анализа данных и сигналов. Основная идея заключается в замене сигналов и оперирование их энтропийными моделями, свободными от известных ограничений для спектрального или регрессионного анализа.

Ключевые слова нестационарные состояния, системы горного производства, сигналы, энтропийные модели, анализ данных.

Актуальность задачи

'Щ~р стественные свойства систем горного производства являются причиной того, что на их выходе наблюдаются процессы, отличающиеся существенной нестационарно-стью, что в совокупности с переменным шагом наблюдения сильно ограничивает применение известных методов анализа процессов (сигналов).

При этом даже серьезные усилия по адаптации развитых методов анализа сигналов зачастую не дают для предметных областей (геомеханика, рудничная аэрогазодинамика и др.) необходимых инструментов, т.к. заключения в них даются в непригодных для интерпретации привычными прикладным инженерным дисциплинам терминами и величинами.

В большинстве случаев интерес для управления системами горного производства представляют констатация факта радикальной смены состояния системы или неслучайного изменения соотношения компонент процесса. Но именно такие заключения представляют наибольшую трудность, например, для корреляционных и спектральных методов. В работе излагаются подходы к анализу сложных нестационарных процессов, опирающиеся на энтропийные модели с акцентом на прикладные предметно независимые приемы анализа и заключения.

Основы энтропийного метода анализа

Теоретические основы ЭМА с обоснованиями корректности алгоритмов и примерами использования были изложены ранее в ряде крупных публикаций [1-5], поэтому здесь остановимся на ос-

новном содержании метода.

Пусть задан вектор x = |х}. 1 , образованный положи-

тельными значениями показателя для совокупности R мощностью т однотипных объектов. Для перехода к безразмерным величинам в унифицированном масштабе используется преобразование данных к долевой модели q = {1п хр } , 1 = 1,..., т,

где Р = 1/1п П X .

Важнейшими свойствами этого преобразования являются:

• аддитивность элементов модели q, т.к. для произвольного

подмножества W из R можно вычислить сумму

X ъ=1п Пхр

¿еШ ¿еШ

• аддитивность набора моделей ql,...,qп, т.к. правило вычисления суммы имеет вид

Xq, ={щПхй} • 1 = 1>....т , J = и>п.

Отождествление значения I -го элемента модели q с весом или

вероятностью выбора 1 -го объекта по показателю X из совокупности позволяет перейти к энтропийной модели данных E = ^ ® 1п q = 1п }.

Эта формула подобна определению информационной энтропии по К. Шеннону [4], что и определило название метода. Сумма элементов модели Б из ее определения является характеристикой упорядоченности совокупности по уровням (логарифмическим) показателя X . Правомерность перехода от распределения вероятностей к распределению долей элементов некоторого вектора данных была показана в работе С. Кульбака [6].

Таким образом элементы Е1 модели являются мерами неопределенности выбора 1 -го объекта: чем больше Е1, тем больший вес

имеет 1 -й объект в совокупности и меньше неопределенность (риск) его выбора.

137

Важнейшим следствием связи энтропийной модели с полной энтропией системы является то, что свойства элемента модели являются характеристикой состояния выборочного объекта в заданной энтропийной моделью системе.

Моделирование и анализ процессов

На стадии основных алгоритмов МЭА был установлен ключевой признак исходных данных - неупорядоченность. Однако это не ограничивает разработанные модели только выборками. Отсутствие в алгоритмах построения моделей жесткого индекса не исключает использование параметрически упорядоченных данных - сигналов. Изменяется восприятие сигнала: каждый отсчет параметра рассматривается как самостоятельный объект и только на стадии интерпретации моделей привлекается дополнительное знание о существе системы через объединение изображающих точек в траекторию по порядку следования отсчетов.

Принципиальное отличие сигналов от неупорядоченных систем состоит в том, что i -й отсчет параметра автономным элементом не является и не характеризует какое-либо состояние системы. Характеристикой состояния является количество информации произведенное системой, но не в момент времени t, а к моменту времени t от начала отсчета t = 0.

Таким образом для строгой последовательности значений некоторого показателя X = } 1

можно предложить энтропий-

ную модель кумулятивного сигнала

Е * =

1хк

к=1

/

I(т+1 - ох

і=1

-1п

I хк

к=1

I

V і=і

(т +1 - і)хі

і=1,.

и кумулятивную энтропийную модель сигнала

( м

Ес,х =

-I-

х,,

1п

-I

х

х

I х

V і=1 У

і=1,...,т

т

В работе [5] показано, что формы исходного распределения значений показателя по элементам, долей и энтропийной модели подобны, поэтому и две модели не будут иметь качественных отличий, т.к. являются результатами интегрирования: первая -исходного сигнала; вторая - энтропийной модели сигнала.

Существование кумулятивной энтропийной модели можно обосновать и через представление о ней как о энтропийной модели

кумулятивного сигнала для производной сигнала X = |х;.} ^ по t.

В виду родства суммы энтропийных моделей с мультипликативными функциями можно поставить задачу оценки изменений в сигналах со сложной структурой генерации, например, с амплитудной модуляцией.

Действительно, если измерены два сигнала х (t ) = gl (t) Ц (t) и

у (t) = ^ (t) Ь2 (t), то их энтропийные модели можно представить

как результат объединения частных энтропийных моделей модулирующего и несущего сигналов

ЕХ = Е + Е. ,

Х gl

Еу = Е + Е. ,

У g2 *2 ’

соответственно, разность моделей сигналов будет иметь вид

ЕХ - Еу = Е0 -Е„ + Е. - Е. .

ХУ gl g2 *1 *2

Из такого представления естественным образом решается задача выявления изменившейся компоненты сигнала: комбинированная модель сохранившеся компоненты вырождается в ноль, а форма комбинированной модели двух сигналов будет определяться изменившейся компонентой.

На рис. (1)-(4) показан пример моделирования и сравнительного анализа двух сигналов с меняющимися компонентами. В первом случае (рис. (1)-(2)) изменилась нестационарная часть сигнала - сложный экспоненциальный тренд, которым модулировался тригармонический несущий сигнал. Во втором случае (рис. (3)-(4)), наоборот, тренд остался неизменным, но изменился частотный состав несущего сигнала.

Рис. 1. Два экспоненциальных модулирующих тренда и их разность - слева; свертка модулирующих трендов с тригармо-

ническим несущим сигналом - справа

Рис. 2. Стандартизированные комбинации кумулятивных энтропийных моделей и энтропийных кумулятивных моделей модулированных сигналов с рис. 1

Рис. 3. Два тригармонических несущих сигнала - справа; свертка модулирующего тренда с тригармоническими несущими сигналами - слева

Рис. 4. Стандартизированные комбинации кумулятивных энтропийных моделей и энтропийных кумулятивных моделей модулированных сигналов с рис. 3

Сравнивая формы комбинированных энтропийных моделей на рис. (2) и (4) нетрудно вынести заключение о свойствах сигналов: в первом случае, очевидно, изменился тренд, во втором - несущий полигармонический сигнал.

Простота и наглядность результата позволяет предложить этот прием как препроцессор для принятия решения о качественном различии генерирующих систем и, при необходимости, с последующим частотным, корреляционным или вейвлет анализом сигналов.

----------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Логов А.Б., Замараев Р.Ю., Логов А.А. Анализ состояния систем уникальных объектов / Вычислительные технологии, том 10, №5, 2005, - с. 49-53.

2. Логов А.Б., Замараев Р.Ю., Логов А.А. Моделирование тенденций поведения элементов систем уникальных объектов / Вычислительные технологии, том 10, №5, 2005, - с. 54-56.

3. Логов А.Б., Замараев Р.Ю., Логов А.А. Алгоритмы энтропийного метода анализа для отображения свойств объекта в фазовом пространстве / Вычислительные технологии, том 10, №6, 2005, - с. 75-81

4. Логов А.Б., Замараев Р.Ю., Тайлаков В.О. Моделирование временных рядов биржевых показателей на фазовых плоскостях / Вычислительные технологии, том 13, №2, 2008, - с. 91-98.

5. Логов А.Б., Замараев Р.Ю. Математические модели диагностики уникальных объектов - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999 - 228 с., ил.

6. Кульбак С. Теория информации и статистика: Пер. с англ. - М.: Наука,

1967. - 408 с. ВШЭ '

Zamaraev R

THE ENTROPY METHOD EXTENDING FOR PROCESSES ANALISYS OF MINING SYSTEMS

The unsteady state and variable step of supervision over mining systems the new methods analysis of data and signals are demand. The basic idea of the paper consists in replacement of signals and then operate over their entropy models, free from known restrictions for spectral or regression analysis.

Key words: unsteady state, mining systems, signals, entropy models, data analysis.

___ Коротко об авторе ________________________________________________________

Замараев Роман Юрьевич - старший научный сотрудник, кандидат технических наук, доцент. Институт угля и углехимии СО РАН,

E-mail: [email protected]