CC BY
23
УДК 539.3
Н.Н. БЕЛОВ, докт. физ.-мат. наук, профессор,
Н.Т. ЮГОВ, докт. физ.-мат. наук, профессор,
Д. Г. КОПАНИЦА, докт. техн. наук, профессор,
Ю.А. БИРЮКОВ, канд. техн. наук,
А. А. ЮГОВ, аспирант,
А.Н. ОВЕЧКИНА, аспирант
РАЗРУШЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ ИЗ ХРУПКИХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ МНОГОКРАТНОМ УДАРЕ ПО ЖЕСТКОЙ СТЕНКЕ*
В работе представлена математическая модель, позволяющая рассчитывать в рамках механики сплошной среды напряженно-деформированное состояние и разрушение в хрупких материалах в условиях многократного ударного нагружения. Методом компьютерного моделирования исследован процесс дробления сферических частиц различного диаметра из карбида бора при многократном ударе по жесткой стенке. Исследовано влияние угла соударения на процесс дробления частиц.
Введение
Задачи о расчете разрушения хрупких материалов при многократных ударных нагрузках возникают как при анализе механизмов дробления частиц из высокопрочной керамики и минерального сырья в пневмоциркуляционных аппаратах [1, 2], так и при анализе разрушения железобетонных конструкций зданий при динамических воздействиях [3]. Современные тенденции развития техники измельчения показывают, что для получения субмикронных порошков наиболее эффективны пневматические методы, использующие газ с давлением 0,4-1 МПа. Этот принцип успешно реализован в пневмоциркуляцион-ном аппарате путем воздействия на насыпной слой материала недорасширен-ных затопленных газовых струй [1]. В основе работы циркуляционных аппаратов с затопленными струями лежит управляемое циркуляционное движение потоков газ - твердые частицы в замкнутых объемах. Принципиальным отличием этого метода от других известных пневматических методов измельчения являются непрерывный выход из зоны измельчения готовых фракций и многократная рециркуляция неизмельченного материала. При этом обеспечивается возможность силового взаимодействия частиц материала между собой, что в конце концов приводит к их разрушению. При взаимодействии высокоскоростных недорасширенных газовых струй с плотным слоем дисперсного материала происходит процесс самоистирания частиц. На границе «струя - насыпной слой» за счет большого градиента скоростей идут интенсивные взаимодействия между частицами, так как в этой узкой граничной зоне их относительные скорости составляют порядка 100-300 м/с. В пневматических циркуляционных аппаратах своевременное удаление частиц требуемо-
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 04-01-00856).
го размера и возврат недоизмельченных частиц повышает эффективность использования энергии непосредственно на измельчение.
В данной работе приводится математическая модель, позволяющая в рамках механики сплошной среды исследовать процессы дробления частиц из хрупких материалов при их многократном соударении.
1. Математическая модель
Хрупкие материалы содержат большое число концентратов напряжений (пор, границ зерен, трещин), зарождение разрушения на которых происходит в области упругого деформирования. Микроразрушения в них могут появляться при сжатии под действием девиаторных напряжений, что приводит к падению сопротивления разрушению. Эта стадия деформирования характеризуется процессами образования, роста и слияния микротрещин. До выполнения критерия прочности поведение материала описывается в рамках модели линейного упругого тела. Поведение разрушенного материала описывается в рамках упругопластической среды.
Неоднородная пористая среда представлена как двухкомпонентный материал, состоящий из твердой фазы - матрицы и включений - пор. Предполагается, что форма пор близка к сферической, а функция распределения по размерам такова, что они могут быть охарактеризованы некоторым общим для всего ансамбля пор характерным размером а0. Удельный объем пористой среды и представляется в виде суммы удельного объема материала матрицы ит, удельного объема пор ир и удельного объема и, образующегося при раскрытии трещин:
и = и т +и р +4 .
Пористость материала характеризуется относительным объемом пустот ^ = £, р + £, ( либо параметром а = и / ит, которые связаны зависимостью
а = 1/(1 -^). Здесь £,р =ир /и, ^ = и /и - относительные объемы пор и
трещин соответственно.
Система уравнений, описывающих движение пористой упругопластической среды, имеет вид [4]
= п - с dS,
d
J pEdV = | п -с- udS, (1)
„ _ + с°2 (1 -У° П /2)П ° (1 - дц)2
е =------------+ ks .
2ц
2
5 : 5 = — с
3
где ^ - время; V - объем интегрирования; S - его поверхность; п - единичный вектор внешней нормали; р - плотность; с = -pg + 5 - тензор напряжений;
5 - его девиатор; р - давление; g - метрический тензор; и - вектор скорости; Е = в + и - и / 2 - удельная полная энергия; в - удельная внутренняя энергия; е = d - ^ : g)g /3 - девиатор тензора скоростей деформаций;
— —Т ,
d = (У и + У и ) / 2 - тензор скоростей деформаций; 5 = 5 + 5 - ю - ю - 5 - производная девиатора тензора напряжений в смысле Яуманна - Нолла; Ц = Ц ° (1 - Ъ)[1 - (6р ° с°2 + 12ц ° )£, /(9р ° с°2 + 8ц °)] - модуль сдвига;
сТ = [° + кр\/а - предел текучести; ю = (У и - Уи)/2 - тензор вихря; р°, с°,
ц°, 7°, к, д , у° - константы материала матрицы; п = 1 - р°и / а .
Параметр X исключается с помощью условия текучести. 7° и к можно
определить, сопоставляя расчетную и ударную адиабаты [4].
Для замыкания системы (1) необходимы уравнения, описывающие изменение параметра а при растяжении и сжатии. Разрушение хрупких материалов происходит главным образом в связи с возникновением и ростом микротрещин. Максимальное упругое полураскрытие монетообразной трещины под действием растягивающего напряжения, перпендикулярного плоскости трещины, определяется из соотношения [5]
5=_ Крт ,
ПЦ 0
где V - коэффициент Пуассона; Я - радиус трещины; рт = ар - давление в материале матрицы.
Предполагая, что при раскрытии трещины ее берега образуют эллипсоид вращения с полуосями 5, Я, Я, найдем объем трещины:
VT =- 8(1 - У) ЯЗар . (2)
3Ц °
Пусть в процессе нагружения не происходит образования новых трещин, а деформирование материала сопровождается ростом изначально существующих с характерным размером Я, тогда из (2) следует
Ъ =- N° Я3 ар, (3)
3Ц °
где N° - число трещин в единице объема.
Считая, что до начала фрагментирования поврежденного трещинами материала объем пор остается неизменным и равен ¿0, получим
а -а
о
(4)
Подставляя (4) в (3), окончательно имеем
3ц о (а - а о)
Р =
8(1 -v) N 0 а 0 R За2
(5)
Из уравнения (5) вытекает, что с увеличением радиуса трещины рост несплошностей облегчается. Рост трещин определяется уравнением
Я / Я = ^ + ^2, (6)
где ^ = (а.5 - 5*)/ п при asi > 5»; = 0 при а.^ < 5»; ^2 = (|ар| - р*)/ п2
3
p > 0 v |ар| < p*; st = J-s : s ;
при р < 0 л |ар| > р*; F2 = 0 при
s* = s01(1 -R/R*); p* = (1 -R/R*); R* =pN0 ; s01,p0, Пь П2, в - константы материала.
Уравнение, описывающее изменения параметра а при растяжении и сжатии на упругой стадии разрушения, можно получить из уравнения состояния (четвертое уравнение в (1)) и уравнения (5)
Р 0 Y 0 s+-
3 ц 0(а-а 0) 8(1 - v)N0 а 0 R За
= 0.
(7)
Слияние микротрещин в случае достаточно пластичных материалов происходит в результате их непосредственного соприкосновения. Расчеты системы упругих трещин показывают, что взаимодействие между ними и слияние имеют место при расстояниях между ближайшими их концами порядка двух-трех размеров трещин [6]. Это критическое расстояние связано с размером зоны вокруг трещины, где существенна концентрация их напряжений, обусловленная трещиной (область влияния трещины). Построение количественной модели слияния микродефектов вплоть до образования микроскопических фрагментов является сложной задачей. Предполагается, что слияние микротрещин происходит, когда их характерный размер Я при постоянной концентрации N достигает критической величины Я* = в / 3N0 .
Поведение разрушенной керамики описывается в рамках модели пористой упругопластической среды. Если керамика изначально пористая (например, АД-85), то при уплотнении пористой фрагментированной среды система уравнений (1) замыкается уравнением [4]
аp +-----
к
1-
а
а -1
2к
3-2к
Уравнение (8) используется при p >--------—
ак
= 0
2к
а ^3-2к
а -1
0
При растяжении фрагментированный материал описывается как порошок, движение которого происходит в соответствии с уравнениями для среды, лишенной напряжений. Пористость а в материале определяется уравнением
У о П
У 0 6+ (1 - ,п)! = °. (9)
Константы уравнения состояния и параметры модели разрушения для некоторых материалов приведены в табл. 1.
Таблица 1
Параметры модели
Параметр АД 85 тш2 В4С
р0, г/см3 3,66 4,51 2,52
с0 см/мкс 0,66 0,9 0,93
ч 0,88 0,75 1,44
У0 1,94 1,5 1,5
Но, ГПа 92 210 182
V 0,233 0,28 0,17
Я0, мкм 2,5 2,5 2,5
Я*, мкм 11,6 11,6 11,6
Ж0*10-7, см-3 64,0 64 64
Пь ГПа*мкс 0,705 0,705 0,7
П2, ГПа*мкс 0,1 0,5 0,5
Р0, ГПа 0,38 0,5 1,8
Зоь ГПа 2,6 5,0 6,0
в 1 1 1
У0, ГПа 0,15838 0,16 0,16
а0 1,0706 1,0006 1,0006
к 0,75 0,75 0,75
2. Результаты исследований
Важной характеристикой процесса дробления порошков из высоко-
прочной керамики в пневмоциркуляционных аппаратах является степень дробления частицы фиксированной массы и размера при единичном столкно-
вении с подобной частицей. Поскольку в аппаратах реализуются многообраз-
ные соударения под углом к оси от 0 до 85° частиц, движущихся в одном на-
правлении, то важным моментом становится математическое моделирование
воздействия частиц при ударе под углом. При этом важна оценка степени разрушения частиц из конкретного материала при заданных условиях соударе-
ния. В [7] приведены результаты математического моделирования процесса соударения сферических частиц из корундовой керамики с жесткой стенкой при ударе в нормаль. В данной работе представлен анализ процесса соударения частиц из карбида бора трех диаметров 0,1, 1 и 10 мм с жесткой стенкой
со скоростями 150 и 300 м/с в диапазоне углов встречи от 0 до 85° от нормали. На границе контакта «частица - жесткая стенка» задавалось условие скольжения без трения.
0° 30° 45° 60° 75° 80°
а)
0° 30° 45° 60° 75° 80°
б)
Рис. 1. Разрушение сферических частиц диаметром 1 мм при ударе о жесткую стенку под углом 0:
а - скорость удара 150 м/с; б - скорость удара 300 м/с
В [7] отмечалось и проводилось обоснование того, что при фиксированной скорости удара разрушение частицы тем меньше, чем меньше ее диаметр. Анализ результатов показывает, что частица из карбида бора диаметром 0,1 мм при данных скоростях удара не разрушается во всем рассмотренном диапазоне углов встречи. Для частицы диаметром 1мм отмечается незначительное разрушение при скорости удара 150 м/с и несколько более сильное разрушение при скорости удара 300 м/с (рис. 1).
Для частицы диаметром 10 мм при данных скоростях наблюдается более выраженное разрушение, чем для частиц диаметром 1 мм (рис. 2).
0° 30° 45° 60° 75° 80°
а)
0° 30° 45° 60° 75° 80°
б)
Рис. 2. Разрушение сферических частиц диаметром 10 мм при ударе о жесткую стенку под углом 0:
а - скорость удара 150 м/с; б - скорость удара 300 м/с
На рис. 3 приведен график изменения остаточной массы т/т0 частицы от угла соударения 0 для разных скоростей удара, где т0 - начальная масса частицы, т - масса частицы после удара.
т
0 25 50 75 0, град.
Рис. 3. Расчетные зависимости остаточной массы частицы т/т0 от угла соударения 0
Кривые 1, 2 соответствуют диаметру частицы 10 мм и скоростям соударения 150 и 300 м/с соответственно. Кривые 3, 4 соответствуют диаметру частицы 1 мм при тех же скоростях соударения. Для частицы диаметром 1 мм степень разрушения при увеличении угла 0 от 0 до 30° не изменяется, а при увеличении угла 0 с 30° плавно уменьшается для обеих скоростей соударения. Из графика следует, что сколько-нибудь существенное разрушение частиц диаметром 1 и 10 мм при скоростях соударения 150 и 300 м/с происходит до углов встречи 0 = 75°. Отсюда можно сделать вывод, что для данной керамики, диаметров частиц и скоростей соударения угол встречи 75° является критическим.
В связи с тем, что при однократном соударении происходит лишь частичное разрушение частиц, были проведены расчеты многократного соударения частиц до их полного разрушения.
Расчеты показали, что для частицы диаметром 1мм при соударении в нормаль (0 = 0°) со скоростью 300 м/с необходимо 7 соударений (рис. 4) до полного разрушения.
Рис. 4. Разрушение частицы диаметром 1 мм при многократном ударе под углом 0 = 0°, скорость удара 300 м/с
Частица диаметром 10 мм при тех же условиях соударения разрушается при четырехкратном соударении (рис. 5).
Рис. 5. Разрушение частицы диаметром 10 мм при многократном ударе под углом 0 = 0°, скорость удара 300 м/с
Кроме того, был проведен расчет соударения в нормаль (0 = 0°) частицы диаметром 10 мм со скоростью 150 м/с. При данных условиях взаимодействия потребовалось 13 соударений до полного разрушения (рис. 6).
0 1 2 3 4 5
Рис. 6. Разрушение сферических частиц диаметром 10 мм при ударе о жесткую стенку под углом 0 = 0°, скорость удара 150 м/с
На рис. 7-8 представлены конфигурации частиц диаметром 1 и 10 мм при соударении со скоростью 300 м/с под углом 0 = 45°.
0 1 2 3 4 5
6 7 8 9
Рис. 7. Разрушение частицы диаметром 1 мм при многократном ударе под углом 0 = 45° (скорость 300 м/с, число соударений до полного разрушения 10)
Рис. 8. Разрушение частицы диаметром 10 мм при многократном ударе под углом 0 = 45° (скорость 300 м/с, число соударений до полного разрушения 7)
При данных скорости удара и угла встречи до 0 = 45° разрушение данных частиц происходит при 10 и 7 соударениях соответственно.
На рис. 9 представлены графики изменения остаточной массы частиц m/m0 от числа соударений п для скоростей удара 150 и 300 м/с.
Кривые 1, 2 соответствуют частице диаметром 10 мм, скорости соударения 300 м/с и углам встречи 0 = 0° и 0 = 45°. Частице диаметром 1 мм соответствуют кривые 3, 4. Кривая 5 соответствует частице диаметром 10 мм, скорости 150 м/с и 0 = 0°. Графики позволяют наглядно оценить степень дробления частиц от количества соударений, что является важным показателем при конструировании новых пневмоциркуляционных аппаратов для получения необходимых по размеру фракций конкретных керамических материалов.
m
Рис. 9. Расчетные зависимости остаточной массы частицы m/m0 от числа соударений п
Библиографический список
1. Способ пневматической классификации порошкообразных материалов и устройство его реализации: пат. 1273199 Рос. Федерация / Ю.А. Бирюков, А.Т. Росляк, П.Н. Зятиков [и др.]. Бюл. №18.
2. Механизм измельчения частиц при получении субмикронных порошков тугоплавких соединений в пневмоциркуляционном аппарате / Н.Н. Белов, Ю.А. Бирюков, А.Т. Росляк [и др.] // Докл. АН РФ, 2004. - Т. 397. - № 3. - С. 337-341.
3. Заключение Государственной комиссии о качестве проектирования и строительства жилых и общественных зданий массовых серий в северных районах Армянской ССР, причины их разрушения и предложения по совершенствованию практики проектирования и строительства в районах с повышенной сейсмостойкостью. - М., 1989. - 99 с.
4. Динамика высокоскоростного удара и сопутствующие физические явления / Н.Н. Белов, Н.Т. Югов, Д.Г. Копаница [и др.]. - Томск : STT, 2005. - 360 с.
5. Seaman L., Gurran D.R., Shockey D.A. // J.Appl. Phys, 1976. - V. - 47. - № 11. - P. 4814-826.
6. Салганик, Р.Л. Механика тел с большим числом трещин / Р.Л. Салганик // Изв. АН СССР. МТТ, 1973. - № 4. - С. 149-158.
7. Процессы ударного взаимодействия частиц керамических материалов при измельчении в пневмоциркуляционном аппарате / Н.Н.Белов, Ю.А. Бирюков, А.Т. Росляк [и др.] // Теоретические основы химической технологии, 2005. - Т. 39. - № 3. - С. 327-333.
8. Зельдович, Я.Б. Физика ударных волн высокотемпературных гидродинамических явлений / Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер. - М. : Наука, 1966. - 688 с.
N.N. BELOV, N.T. YUGOV, D.G. KOPANITSA, Y.A. BIRYUKOV,
A.A. YUGOV, A.N.OVECHKINA
DESTRUCTION OF SPHERICAL PARTICLES OF BRITTLE MATERIALS AT MULTIPLE IMPACT ON A SOLID WALL
The mathematical model that allows estimation of stressed-strained state and destruction of brittle materials at multiple impact loading is suggested in the paper. The process of crushing of boron carbide spherical particles of a different diameter at multiple impacts on solid wall has been computer modeled. The influence of an angle of a collision on the process of crushing of particles has been investigated.
