Разрешимость задачи Неймана для полигармонического уравнения в шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.575

В. В. Карачик

Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет)

Разрешимость задачи Неймана для полигармонического уравнения в шаре

В работе приводится представление решения задачи Неймана для полигармонического уравнения в единичном шаре через решения задач Дирихле для уравнения Лапласа и функцию Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения.

Ключевые слова: задача Неймана, полигармоническое уравнение, функция Грина, фундаментальное решение

V. V. Karachik

South Ural State University (National Research University)

Solvability of the Neumann problem for the polyharmonic

equation in a ball

The paper presents a representation of the solution to the Neumann boundary value problem for the polyharmonic equation in the unit ball through solutions to the Dirichlet problems for the Laplace equation and the Green's function of the Dirichlet problem for the polyharmonic equation.

Key words: Neumann problem, polyharmonic equation, Green's function, fundamental solution

1. Введение

Одним из эффективных методов представления решений краевых задач для эллиптических уравнений является метод, основанный на построении функции Грина для задачи. Функции Грина бигармонических задач Дирихле, Неймана и Робина в двумерном диске построены с помощью гармонических функций Грина задачи Дирихле в [1, 2]. В [3-5] приведен явный вид функции Грина для бигармонического и 3-гармонического уравнения в единичном шаре. Явный вид функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения в единичном шаре построен различными способами в работах [6-11]. Фредгольмовость и индекс обобщённой задачи Неймана исследовались в [12-13]. Как альтернатива методу функции Грина в работе [14] приводится представление решения задачи Дирихле для однородного полигармонического уравнения в единичном шаре через решения задач Дирихле для уравнения Лапласа. В настоящей работе эта идея распространяется на задачу Неймана, сформулированную для полигармонического уравнения A.B. Бицадзе в [15, 16]:

du I Зш— I

Amu(x) = f(х),х е S; — \ds = фо(в),..., д ! \дз = Фт-1 (s),s е dS, (1)

где S - единичный шар в Мга.

© Карачик В. В., 2024

© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024

2. Однородное уравнение

Для построения решения задачи (1) при / (ж) = 0 необходимы предварительные обозначения. Введем полиномы специального вида

Я*(Д) = (21НЛ(Л - 2) ••• (Л - 2S + 2)' S G N' (2)

и определим факториальную степень Л в форме А[т] = Л(Л — 1)... (Л — т + 1), т Е N, причем = 1. Обозначим также через hm коэффициенты похожего полинома hm(A) = Л(Л — 2)... (Л — 2т + 2) в его представлении в форме

hrn(A) = А[1] + Л[21 + ... + h^ АН. (3)

Кроме этого, введем операцию дифференцирования полинома Р(Л) в виде

Р (0)(Л) = Р (А), Р (k)(A) = (Р (k-1)(A))(1) = Р(k-1) (Л + 1) — Р (k-1)(A). (4)

Пусть гармонические в S функции qk(ж) являются решениями следующих задач Дирихле в S:

A^k(ж) = 0, ж Е 5; qk|as = ^k(s), s Е 95", (5)

где фk Е С2т-1_^е(95), к = 0,..., т — 1, е > 0. Рассмотрим еще следующие полиномы по А, зависящие также от ж:

т—1

Кт_1(А; |Ж|2 — 1) = £ (|Ж|2 — 1)kHk(А), (6)

k=0

где полиномы Hk (А) находятся из равенства (2). Производную от ^т_1(А; |ж|2 — 1) по А порядка j в смысле определения (4) обозначим как Ä^^^A; |ж|2 — 1). Нам будет необходим также оператор Л = ^Xkaa^-

Теорема 1. Для существования решения задачи Неймана, (1) при f (ж) = 0 и фk Е С2m—1_k+e(95"); fr = 0,..., т — 1, е > 0; необходимо и достаточно выполнения условия,

+ ^1(0 +... + h™vm-1(e)) = 0, (7)

as v y

g(9e числа hm определены в (3). Решение задачи Неймана может быть представлено в виде

Г1 fa

•и(ж) = ^(¿ж) — + С, (8)

Jo i

g(9e С - произвольная постоянная и

т— 1 k

(ж) = £ (|ж|2 — 1)k £ -1Я^(1 — Л)^(ж). (9)

Fl — ^ /^J'±Ak к=0 i=0 '

Доказательство. Сделаем в задаче (1) замену переменных в виде v = Ли. Тогда поскольку ДЛ-и(ж) = (Л + 2)Ди(ж), то ДтЛ-и(ж) = (Л + 2т)Дт-и(ж) = (Л + 2т)/(ж), и мы получаем следующую граничную задачу для функции -и(ж):

Дт^(ж) = (Л + 2т)/(ж), ж Е 5; = ^j(s),..., (Л - 1)[т—%|ös = ^m-i(s), s Е 95, (10)

где было учтено, что |as = Л[^]w|as- Воспользуемся решением задачи Дирихле, найденным в [14, теорема 4]. После формальной замены оператора Л на оператор Л — 1 и с учетом равенства (6) решение этой задачи можно записать в виде

т— 1 1 т— 1

ф) = £ ^т—1(1 — Л; |ж|2 — 1)9j(ж) = £ (|ж|2 — 1)fc £ -Я^(1 — Л)9,-(ж), i=o ^' fc=0 i=0 ^'

где н"-1 (А) - производная от Нк(А) порядка а гармонические функции qj(х) являются решениями задач Дирихле (5). Полученная функция и(х), очевидно, является полигармонической и формально удовлетворяет всем граничным условиям из (10). Проверим, что гладкости накладываемой на граничные данные задачи Неймана Ф- достаточно для включения V € Ст(Б) а значит, и для того, чтобы и € Ст(Б). Поскольку Ф- € С2',п—1—-+£(дд) то qj € С2т-1—'+е(5) [17, лемма 2.7]. Так как Н^ (А) - полином степени к — то при

к = 0,... ,т — 1 имеем н"\1 — Л)qj(х) € С2т-1-к+£(д) с Ст+£(Б), и этого достаточно для того, чтобы Л^-и € Се(Б) при всяком г = 1,... ,т. Поэтому граничные условия из (10), а значит, и из (1) выполнены.

и(х)

нения Ли = V в т-гармонических в Б функциях. В [18] доказано, что уравнение Ли = V т (0) = 0

(0) = 0

т- 1 т- 1

у1(х) = Е 1Кт-1(1 — Л; |х|2 — 1)(д3(х) — ц(0)), Уо(х) = £ ЦАкти! |х|2 — 1). j=0 ' j=0 '

Нетрудно видеть, что поскольку Л(qj(0)) = 0 и Кт^_1(А; |х|2 — 1) - полином по А, то справедливы следующие равенства:

т— 1

ф) = £ -Кт—1(1 — Л; |х|2 — 1)(Я-(х) — ц(0)) + j=o '

т—1 1

+ Е -К™—1(1 — Л; |х|2 — 1)<ц(0) = У1(х) + Уо(х), (11) j=0 '

где функция ьо(х) - полиномом. Ясно, что функции ы(х) являются т-гармоническими по построению. Отметим, что для произвольной т-гармонической в Б функции р(х) верно равенство (Лр)(0) = 0 и поэтому г^(0) = 0. Найдем значение ьо(0). Нетрудно видеть, что

т— 1 /гЛ т—1 /гЛ т—1 ,Л

-0(0) = £ ^кт—М —1) = £ йМ( £(—1)кНк(X))(12)

j=0 ■' j=0 ■' к=0

Лемма 1. Пусть в соответствии с (2) Нк (А) = (21_,, А(А — 2) ■ ■ ■ (А — 2к + 2), к € N Н0 (А) = 1. Тогда, для ] € N верно следующее равенство:

т—1 ДЯ^ч , 1 2т

(Е (—1)кНк (А)) и>(1) = (—1)т—1 ^н(т+1)(0). (13)

к=0

т

т = 0 т = 1

равенство н0^(1) = -^Н^11 (1) для ] € N0- Предположим, что равенство (13) верно при т ^ 1, и докажем, что оно справедливо и для т = т + 1. В соответствии с определением производной (4) имеем (/(А)д(А))(1 = /(1\А)д(А + 1) + /(А)д(1_(А) и поэтому, учитывая, что Нт+1 (А) = Нт(А)(А — 2т)/(2т + 2), можно записать:

т_ 1

Нт+1(А) = Нт_(А)(А — 2т + 1) + Нт(А)),

откуда следует

Н&1 (А) = (Нт_(А)(А — 2т + 2)+2НЦ (А)),

и поэтому

= ¿¿^№+1)(Л)(Л - 2т + ; + 1) + + 1)Я^(А)). Таким образом, правая часть равенства (13) при т = т + 1 преобразуется к виду

(-1Г ЯЙ1)(0) = (Я0'+1)(0)(-2т + ; + 1) + (^ + 1)Я^(0)) =

= (-1)т-1 ^ яГ+1)(0) + (-1)т(я^+1)(0) + Я^(0)) =

т— 1 т

= е (-1)" я^0(1)+(-1)т^т)(1)=Е (-1)" якл> к=0 к=0

который доказывает шаг индукции. Здесь, во второй строчке, были использованы предположение индукции и равенство (4) при А = 0. Лемма доказана. Следствие 1. Имеет место равенство

«(0) = ^ (^пч (о++...+^т—1(0) ^. (м)

Доказательство. Из равенства (11), учитывая, что 1^(0) = 0, получаем ^(0) = зд(0). Заметим, что поскольку (А[ к1)(т) = &[т1А[ к—'т\ то го (3) следует Л,Гг+1)(0) = 0' + 1)!Л,Гг+1)-Если теперь в (12) воспользоваться равенством (13) и учесть, что Ят(А) = Л,т(А)/(2т)!!, то будем иметь

т—1 И (^'+1)(0) «(0) = г>о(0) = (-1)т—12т £ ^(0)^+^ =

( 1)т— 1 т—1 Ь(-7+1)(0) ( 1)т—1 т—1

^^гЕ ®<»)^ = "(0)"т+,)- <15>

Теперь, если в последней сумме учесть, что qj(0) = (£) то получим (14).

Следствие доказано.

Таким образом, из следствия 1 вытекает, что равенство г>(0) = 0 эквивалентно условию (7). Поэтому при выполнении условия (7) решение уравнения Ли = V может быть записано в виде (8) -и(ж) = /0 ^(¿ж) у + С. Из гладкости граничных функций фк £ С2т—1—к+е(95), к = 0,..., т - 1, как было показано выше, вытекает, что V = Ли £ значиТ)

в соответствии с (8) имеем и £ (5) Тогда т-гармоническая функция (8) является

уже настоящим решением задачи Неймана (1). Обратно, если решение задачи Неймана ■и(ж) существует, то функция -и(ж) из (9) должна удовлетворять равенству Ли = V, которое возможно, только если г>(0) = 0, откуда, в силу следствия 1, следует равенство (7). Построенное решение -и(ж) задачи Неймана единственно с точностью до постоянной, как и решение уравнения Ли = V. Теорема доказана.

Замечание 1. Коэффициенты нГ в разложении (3) являются строками треугольника Неймана с точностью до знака и имеют вид [18, лемма 6]:

Л(к) = (-1)к+1(2т - к - 1)!

' т (2т - 2Л)!!(Л - 1)! . 1 ^

Пример 1. Найдем решение задачи Неймана (1) для однородного 3-гармонического уравнения в единичном шаре (т = 3). Для решения этой задачи, в соответствии с методом

построения решения задачи Неймана из теоремы 1, нам необходимо найти функцию и(х) по формуле (9):

у(х) = н001(1 — Л) (Ю(х) + (|х|2 — 1)(Н^_(1 — Л) (Ю(х) + Н11_(1 — Л) д1(х)) +

+ (|х|2 — 1)2(Н20)(1 — Л) (ю(х) + Н21](1 — Л) д1(х) + \н{2)(1 — Л) д2(х)), (17)

(01,

т(1_,

где Н0(А) = 1, Н1(А) = Ш, Щ(А) = ±А(А — 2) = -1 (А^ — А^).

Используя равенство (А[к])(т_ = к[тА[к т\ получим Н^^А) = 2, н21_(А) = (2А[1] — 1),

= 4Л- Поэтому по формуле (17) находим

у(х) ={1 — 2(|х|2 — 1)(Л — 1) + 11!(1х12 — 1)2(Л2 — Я0(х)+

+ {2(1х12 — 1) — 4й(1х12 — 1)2(2Л — д1(х) + ^х^ — 1)2д2(х).

Нетрудно видеть, что в этом случае

у(0) = (^1 —1 — 1) Я0(0) + (—2 + 0 Я1(0) + 1 Я2(0) = 8(3 Я0(0) — 391(0) + Я2(0)).

Заметим, что поскольку к3(А) = А(А — 2)(А — 4) = (А[2 — А[1])(А — 2 — 2) = А[3] — 2А[2 — —А(А — 4) = ЗА — 3А[2] + А И, то в полученном равенстве коэффициенты при qj (0) действительно соответствуют коэффициентам ь3!+11 из формулы (3), как и утверждается в (15). Теперь нетрудно найти решение задачи Неймана по формуле (8). Сделаем это для конкретного случая ф0 = 0 Ф1 = 1 Ф2 = 3. Видно, что поскольку 3ф0 — 3ф1 + Ф2 = 0, то условие разрешимости (7) выполнено. Гармонические функции Цк(х) из (5) имеют вид 0 = 0 1 = 1 2 = 3

У(х) = 1(|х|2 — 1) + ¿(|х|2 — 1)2 + 3(1х12 — 1)2 = ^(И2 — 1) + 1(|х|2 — 1)2.

Поэтому по формуле (8) находим

и(х) = ^

М

2 — 1 + |х|4^ — 2|х|2^ + 1)-+С =

11

2

| х| 4 | х|

0

^ — хч) м + с = — + с.

Полученная функция, очевидно, является 3-гармонической и удовлетворяет граничным

условиям:

|х|4 |х|2 Ли|^ = — 2

= 0, Л2^ = 3^ — ^

эз

= 1, Л^^ = 6 ^

эз

= 3.

эз

3. Неоднородное уравнение

Для построения решения однородной задачи Неймана для неоднородного уравнения

ди дт 1и

Ати(х) = ¡(х), х € Б; — = 0,... = 0, 5 € дБ,

(18)

необходима будет функция Грина С2т(х, £) задачи Дирихле, найденная в [10, 11].

т

гармонического уравнения вида

(—1)т |х—е|

2т—п

Яо (х Р) = } (2 — П, 2)т(2, 2)т — 1

°2т(х, = \ ( — 1)т\х _ С\2т-п , х

( ^ |х е| - (ш|х — я — ЕИГЧ),

П € N

(2 — п, 2)т(2, 2)т-1

1), п € ^т,

1

х

0

2

х

где Мт = {2,4,..., 2т} (а, Ь)к = а(а + Ь) ■ ■ ■ (а + ЛЬ — Ь) - обобщенный символ Похгаммера с соглашением (а, 6)о = 1, а символ * у символа Похгаммера означает, что если среди сомножителей а, (а + 6),..., (а + — 6), входящих в (а, &)&, есть 0, то его следует заменить на 1, например, (—2, 2)3 = (—2) ■ 1 ■ 2 = —4. Кроме того, если верхний индекс суммы становится меньше нижнего, то сумма считается равной нулю. Заметим, что в [10] рассматривалось элементарное решение полигармонического уравнения ^2т(ж, £), которое совпадает с (ж, С) при п € Мт, но

(_1)т|ж — £|2т-га т-1 1

О = ¿их, О — (2 — п, 2)т(2,2)т-1 ^ 2с

при п € Мт> Фундаментальное решение ¿2т(ж, £) незначительно отличается от фундаментального решения полигармонического уравнения Ст,га(ж), рассмотренного Соболевым в [19]. Функция Грина ^2т(ж, £) задачи Дирихле при п ^ 2 и т € N может быть представлена в виде (см. другое представление в [6, 7]):

^ (|ж|2 - i)fc(ICI2 - i)fc

О = ¿2т(Ж, О — -2-2) (2 2) £*m-2fc(ж> 0> (20)

¡=0 (2— - 2, —2)fc(2, 2)fc

где обозначено £2т(ж,£) = £2т(ж/|ж|, |ж|£), а решение однородной задачи Дирихле имеет вид [11, теорема 2]:

(-1)т Г

ф) = ^ ^(ж, 0/(0 (21)

wra Js

Теорема 2. Для существования решения однородной задачи Неймана (18) при / G С 1(5) необходимо и достаточно выполнения условия,

£|2 - 1Г"1 Ж)^ = 0. (22)

s

С

постоянная, а функция г;(ж) находится, из равенства

(-1)т Г

ф) = ^ С^ж, £)(Л + 2т)/(£)^. (23)

wra Js

Доказательство. В соответствии с методом исследования задачи Неймана из предыдущего раздела однородную задачу Неймана (18) сведем к вспомогательной однородной задаче Дирихле типа (10), в которой ^(s) = 0 к = 0,..., m — 1. Эта задача, в силу нулевых условий на границе, легко может быть преобразована к виду

Amv (ж) = (Л + 2т)/(ж), ж G S ; v|9s = 0,..., Л[т-% |ss = 0, s G (24)

a ее решение, согласно с (21), записывается в виде (23). Таким образом, решение исходной однородной задачи Неймана будет представлено в виде (8) и(ж) = /0 г(ж) ^ + С с (ж)

функции -и(ж), как и в теореме 1, остается условие г>(0) = 0. Докажем, что условие г>(0) = 0 эквивалентно условию (22). Доказательство теоремы прервем и докажем несколько вспомогательных утверждений, а затем на их основе докажем и теорему.

Лемма 2. Пусть функции u, v интегрируемы, на S вместе с производными и f|as = 0, тогда

■и(Л + 2т>^ = — г;(Л + п — 2m)-ud{. (25)

s s

Доказательство леммы непосредственно следует из формулы Гаусса - Остроградского и поэтому его опустим.

Лемма 3. Пусть у(х) - решение задачи (24) при п € Тогда, верно равенство

»(0'> = ,М2ш-т2 /, ™2 — 1>т—1 <26>

( х)

, п € Nк,

^2к (0,0=\(2 / и , N ' (27)

1 (2— —^и. ('Шх ——Е^А). п € .к.

Поэтому поскольку £*к(0,£) = £2к(0,£/|£|), то

(—1)к

n G Nfc,

(0,0 =

(2 -n, 2)к (2, 2)k-i '

0, n = 2k, (28)

_(-1)к 1_spk-n/2 ± Nc

(2 -n, 2)1 (2, 2)k-i^ "=1 2°, П G N •

Пусть п € .2т, тогда п € .2к при 1 ^ к ^ т, и поэтому 6*к(0, £) берется из первой строчки в (28):

(—1)к

^(0, ^ = (2 — п, 2)к(2, 2)к—1.

к = 0

пения равенства (2, 2)т—к—1 (2т — 2, —2)к = (2, 2)т—1 получим

(-1)m(\d2m—n - 1) ^ (-1)k(\tf - 1)к (-1)

°2т(0, ® = (2 — n 2) 12 2Л -, - Е

т—к

(2 - n, 2)т(2, 2)т-1 (2m - ¡2, -2)к (2, 2)к (2 - n, 2)т-к (2, 2)т—к—1

(-1Г(1^т-п -1) + (-1)т-1 т- (¡¿¡г -1) + (22) ^

(2 - n 2)т(2, 2)т-1 (2 2)т-1 £[ (2 - n 2)т-к(2 2)к '

Отсюда видно, что G2m(0, £)|as = 0. Поскольку функция G2m(0,0 интегрируем а на S вместе с производными [11] и f G С 1(S), то к функциям и = G2m(0, £) и v = f применима формула (25) из леммы 2, а значит, справедливо равенство

( — Л)т f ( _-\)т-1 г

v(0)=(—^ G2m(0,0(A + 2m)f(0dC = - №(Л + п - 2rn)G2m(0, (29)

JS шп Js

Вычислим (Л + n - 2т) G2m(0, £). Поскольку (Л + n - 2т) l£l2m—n = 0 и

(Л + n - 2т) (|£|2 - 1)к = 2k(lCl2 - 1)к-1 + (n - 2т + 2k)(lЦ2 - 1)к, (30)

то будем иметь

im\G 0 Л (-1)m(2m - n) (-1)m-1 m- 2k(ltl2 - 1)к-1 +

(Л + п 2m) G2m(0 U = (2 - n, 2)m(2, 2)m-1 + (2, 2)m-1 ^ (2 -n, 2)m-k (2, 2)k +

(-1)m-1 m- (n - 2m + 2k)(lCl2 - 1)k = (-1)m(2m - n)

+ (2, 2)m-1 ¿=1 (2 -n, 2)m-k (2, 2)k = (2 - n, 2)m(2, 2)m-1 +

. (-1)m-12 (-1)m-1 m- Щ2 - 1)k-1 +

(2, 2)m-1(2 - n, 2)m-12 (2, 2)m-1 ¿2 (2 -n, 2) m—к (2, 2)k-1

■ (-1)m-1 m— (n - 2m + 2kMl2 - 1)k

(2, 2)m—1 ^ (2 -n, 2) mm—к (2, 2)k ' K }

Так как

(2 -п, 2)? = (2 -п, 2)m_i(2rn -п), (32)

то сумма первых двух слагаемых в правой части (31) сократится. В первой сумме из правой части (31) заменим индекс суммирования к ^ к + 1 и, используя равенство (32) при т = т - к

(-1Г-1 у2 (|Ç|2 - 1)к = (-1)m-1 у2 (2m - 2к - п)(|{|2 - 1)к (2, 2)m_1 ¡=1 (2 - п, 2)m-fc_1(2, 2)fc = (2, 2)?_1 к= (2 - п, 2)m_fc(2, 2)fc ,

что похоже на последнюю сумму из (31). Поэтому, после сложения двух сумм в правой части (31), останется только последний член во второй сумме при к = m - 1. Поэтому имеем

(Л+п 2-)Г (0Л (-1)т_1 (п - 2т + 2т - 2)(|Ç|2 - 1)-_1 (-1)"(|С|2 - 1)то_1 (Л + п - 2m)G2„(0,0 = -(2 -п, 2)1(2,2)т_1-= ((2т - 2)!!)2 ,

где учтено, что (2, 2)m_1 = (2т - 2)!!. Таким образом, из равенства (29) получаем (26). Лемма доказана. □

Из доказанной леммы следует, что при п G N2?™ условие г>(0) = 0 эквивалентно условию (22), а значит, теорема 2 верна в этом случае. Как же быть при п G N"? Например, вычисления показывают, что (см. также [5]):

2(п - 2Хп -4)- + , п> 4,п = 3,

^4(0,0 4 -|£| + 8(|^|2 -1), п = 4, (33)

|£|- 8(|С|2 - 1), п = 2.

Лемма 4. Пусть v(ж) - решение задачи (24) при п G N". Тогда, верно равенство (26). Доказательство. Пусть п G N" = {2, 4,..., 2m} и, значит, N" = {2, 4,..., п,..., 2т}. Тогда при к таких, что ^ к ^ m, верно включение п G и поэтому

(_1)к|™_ t|2fc_n . к га/2 1 N

В соответствии с (20) функция G2m(0, £) представляется в виде

m_ra/2_1 ™_1 ^ 1)k ( .)k gw», {) = i2m(0, о -( £ + £ ^т-Л -ад^ь<»•«)• <35>

к=0 к=т,_га/2

Заметим, что значение 2к(0,О в первой сумме из (35) надо брать из (34), а во второй сумме - из первой и второй строк в (28). Тогда из (35), обозначая ^к=11/(2^) = Лк (надо иметь в виду, что Ло = 0) и выделяя отдельно первый член в первой сумме, получим

G2™(0, = (2 -п, 2)"(2, 2)т_Л1П - + (2 -п, 2)"(2, 2)™_1 +

, (-1)" (|d2 - 1)к^_к_п/2 , (-1)"_1 (|С|2 - 1)к

(2, 2)™_1 к= (2 -п, 2)"_к(2, 2)к (2, 2)?_1 к=т_^/2+1 (2 - п, 2)?_к(2, 2)к" 1 j

Здесь, как и в лемме 3, было учтено, что (2, 2)т_к_1(2т - 2, -2)к = (2, 2)т_1. Нетрудно заметить, что и в этом случае G2m(0, £)|ds = 0 Поскольку функция G2m(0, £) интегрируема на S вместе с производными [11] и / G С 1(S), то справедливо равенство (29):

(_1)"_1 г

V(0) = ^- /(£)(Л + п - 2m) G2"(0, £) (37)

wra Js

Вычислим значение (Л+п — 2т) ^2т(0,0- Применим оператор Л+п — 2т к каждому из четырех слагаемых (суммы считаем за одно слагаемое) в правой части равенства (36) и обозначим полученные слагаемые как Д, /2, /3 и /4, т.е. (Л+п — 2т) С2т(0, £) = Д + /2 + /3 + Д. Нетрудно видеть, что поскольку (Л + п — 2т) |£|2т-п = 0 и Л 1п |£| = 1, то

(_1) т | £ 12т-п

1

)* т

(2, 2)т-1 (2 — п, 2)т

Рассмотрим Д. Если п = 2т, то /2 = 0, так как Ло = 0. Иначе, учитывая, что

(п — 2т)Лт-п/2 = (п — 2т)Лт-п/2-1 — 1, (2 — п, 2)т = (2 — п, 2)т-1(2т — п), (38)

найдем

( —1)т(п — 2т)Лт-п/2 ( —1)т-1Лт-п/2-1 ( —1)т-1 1 2 = —тт;-.. »ч. ^- = ТТТ^-ТТ;-—^--+

(2 — п, 2)т(2, 2)т-1 (2, 2)т-1 (2 — п, 2)т-1 (2, 2)т-1 (2 — п, 2)т'

3

= ( —1)т т-^2-1 2к(|{|2 — 1)й-1 Лт_,_п/2 + 3 (2, 2)т-1 (2 — п, 2)т_*(2, %

+ (—1)т ^^ (п — 2т + 2к)(|С|2 — 1)й Лт-й-п/2 (2, 2)т-1 (2 — п, 2)т-,(2, 2)* .

При п = 2т имеем /3 = 0. Если п < 2т, то выделим отдельно первый член в первой сумме, а в оставшейся части первой суммы изменим индекс суммирования к ^ к + 1 и учтем, что (2, 2)^ = 2к(2, Во второй сумме используем равенства (38) при т = т — к.

Тогда получим

= ( —1)т Лт-п/2-1 + ( —1)т ^у2-2 (|{|2 — 1)кЛт-^-1-п/2 3 (2, 2)т-1 (2 — п, 2)т-1 (2 2)т-1 ¿1 (2 — п ^-Л2, %

_ ( —1)т т-у-1 (|С|2 — 1)* Лт-.-1-п/2 ( —1)т ^^ (|С|2 — 1)*

(2,2)т-1 ¿1 (2—п2)т-/с-1(2,2ь (2,2)т-1 ¿1 (2—п,2)т-,с(2,%.

При сложении первой и второй сумм останется только последний член второй суммы при к = т — п/2 — 1, который содержит множитель Ло = 0, а поэтому он равен 0. Следовательно, имеем

( 1)т Л , ( 1)т-1 т-п/2-1 (, >|2

= ( —1) Лт-п/2-1 . ( —1) у^ (|4| — 1)

3 (2 2).__ (2-п 2)* .+(2 2) _

(2, 2)т-1 (2 — п 2)т-1 (2, 2)т-1 ¿1 (2 — п, ^-/с(2 4

1 = (—1)т-1 ( т-1 2к(|{|2 — 1)й-1 + т-1 (п — 2т + 2к)Щ2 — 1)й \

4 (2, ^ 4=^/2+1 (2 — п, 2)т-.(2, 2)* ^/2+1 (2 —^ 2)т-*(2, 2)*

В первой сумме изменим индекс суммирования к ^ к + 1 и сократим дробь. Во второй

т = т - к

Тогда получим

( у- (|£Г —1)__у- (|^г —1) А =

^ ^п/2 (2 — п, 2)т-.-1(2, 2). й=т-п/2+1 (2 — п, 2)т-й-1(2, 2Ч

= (—1)т-1 / (|е|2 — 1)т-п/2 — ш2 — 1)т-1 \

(2, 2)т-Л (2 — п, 2)п/2-1(2, 2)т-п/2 (2, 2)т-1 '

Вычислим сумму всех /к. Если п = 2т, то имеем

(-1)т (-1)т-1 (Л + п - 2т)С2т(0,0= h + h =jz-(nJfnn,-+ ( )

(2 - п, 2)т(2, 2)т-1 (2, 2)т-\(2 - п, 2^

(-1)т-1№2 - 1)т-1 = (-1)т (j ^ - 1)т-1^ (зд)

С2, 2)т-1(2, 2)т-1 ((2, 2)т-1)

поскольку (2 - п, 2)т = (2 - п, 2)т-1 при п = 2т. Если же п < 2т, то имеем

(_~\)т\С\2т-п

(Л + п - 2т)С2т(0,0= h + h + h + h = (e)2, ' ¡У п 2)* +

(2, 2)т—1(2 п, 2)т

т

+ (-1)т 1Ьт-п/2-1 +__(-1)т 1__

(2, 2)т_ 1(2 - п, 2)т_ 1 (2, 2)т_ 1(2 - п, 2)т

+ ±1г_f к-п/2-1 +т-^-1 ш2- 1)fc V

+ '""4 -Л (2-п, 2)т_ ! + f- .........' +

(2, 2)т-1 V (2 -п 2)*т-1 ^ (2 -п 2)*т-к (2 2)к<

(-1)т-1 , (|£|2 - 1)т-п/2 (j^j2 - 1)т-Ь

+

v us! - 1У - (!q - 1У * ^

1 (2 - п, 2)п/2 1(2, 2)т п/2 (2, 2)т 1

(2, 2)т-1 (2 - п, 2)п/2-1(2, 2)т- п/2 (2, 2)т-1

Приводя подобные члены, присоединяя к сумме члены при к = 0 и к = т - п/2 и учитывая при этом, что (2 - п, 2)*п/2 = (2 - п, 2)n/2-1i получим

(Л + п - 2т) С2т(0,0 = -2)1)т 1 +

(2, 2)т— 1 (2, 2)т— 1

, (-1)т~1 (т^2 Ш2 - 1)к _ iет~п \

(2 2)т- Л к=0 (2 -п 2)*т-к (2 2)к (2 -п 2)тУ

Воспользуемся леммой 5, из которой следует, что выражение в скобках равно нулю, т.е. получаем, как и в (39),

( 1)т

(Л + п - 2т) С2т(0, о = ( J 2 (!£|2 - 1.

((2, 2)т 1)

Если подставить найденное значение в (37) и учесть, что (2, 2)т-1 = (2т - 2)!!, то получим (26). Лемма доказана.

Лемма 5. Имеет место равенство

И!2т~п ш2- 1)к

(2 -п, 2)т к=0 (2 -п, 2)т_к(2, 2)к

Доказательство. Пусть ап = (2 - п) ■ ■ ■ (-2). Нетрудно видеть, что (2 - п, 2)*т_к = = (2 - п) ■ ■ ■ (-2)2 ■ ■ ■ (2т - 2к - п) = ап(2т - 2к - п)\\. Тогда имеем

тп/2 ш2 - 1)к =^т^п/2 (icI2 - 1)к =

(2 -п 2)* А2. 2). л- 2-*/

к=0 (2 -п 2)*т-к(2 2)к Лп (2т - 2к -п)\\(2к)\\

т п/ 2 к

= 1 у- (2т -п)!!(|С|2 - 1)к =

(2т - п)!!лп (2т - 2к - п)!!(2к)!!

1 т^.2 (т - п/2\ . (!С!2 - 1 + 1)т~п/2 _ !^!2т~п

I V-/ V / ,

£ О" 7"' )(!С!2 - 1)к =

U—п \

(2т — п)Иап \ к ) (2т — п)Иап (2 — п, 2)т

Лемма доказана.

Таким образом, из леммы 4 следует, что при п € .т условие ь(0) = 0 эквивалентно условию (22), а значит, теорема 2 верна и в этом случае. Теорема доказана.

4. Основной результат

Теорема 3. Для существования решения задачи Неймана (1) при / € С ^к € С2т-1-к+е(95"); ^ = 0,..., т — 1; необходим,о и достаточно выполнения условия

(—1)т-1 / (л^МО + (6 +... + ^т-1(£)) ^ = I (1(Гт Лт-1 /(О (4°)

\'"т г^^ | та ..... т гт-1 уч/ / I 9чм

о« 4 / Js (2т — 2)!!

г(9е находятся из (16). Решение задачи Неймана (1) может быть представлено в виде (8) -и(ж) = /0 ^(¿ж) ^ + С, где функция 1)(ж) находится из равенетва,

т-1 к 1 (_1)т г

(ж) = ^(|ж|2 — 1)к^ -#кЛ(1 — + С2т(ж, 0(Л + 2т)/(0^, (41)

т-1 к

|ж|2 — 1)к Е ^к . ..... ш .

в котором первое слагаемое определено в (9), а, второе в (23).

Доказательство. Применяя способ представления решения задачи Неймана из теорем 1 и 2 задачу Неймана (1) сведем к вспомогательной однородной задаче Дирихле типа (10). Решением этой задачи является функция г>(ж) = ^(ж) + г>2(ж) (41), в которой функции г>1(ж), г>2(ж) берутся из теорем 1 и 2 соответственно. Необходимое и достаточное условие существования решения -и(ж) из (8) имеет вид г^(0) +^(0) = 0. Используя формулы (14) и (26), получим

1 (—1)

т— 1

(лтчю+лт^ю+...+лт^т-1(б) ^

/1 (От 9М! I \'"т г^ | '"т г^ч/....."т ТУт-1

()т — 2)П

1 ' — 1)т-1 /(о^е = 0.

шга((2т — 2)!!)2 ^

Учитывая замечание 1, перенося объемный интеграл в правую часть равенства и сокращая равенство, получим условие (40). Теорема доказана.

Пример 2. Рассмотрим следующую задачу Неймана для бигармонического уравнения:

Л 2 / ч п 9-и

Д2-и(ж) = 1, ж € 5; —

1

= 1 ^ 2п"

^ 2п + 4' 9г/2

Так как А(А — 2) = А[2] — А[1], то условие разрешимости (40) из теоремы 3 примет вид

— / (^00 — = ^ (|ж|2 — 1)/(ж)^ж.

./аз 2 J s

Легко подсчитать, что в нашем случае это условие выполнено:

5 ) — = — "" =4 (|ж|2 — 1)/(ж)^ж.

п(п + 2) 2/5.

Для вычисления объемного интеграла в (41) с функцией Грина (33) воспользуемся оператором Грина, используемым при полиномиальных /(ж), и учтем, что Дз(А) = 1, А1 (А) = ^(1)(А) = 2- Тогда получим

1 |ж|2 — 1 / 1 1 \ (|ж|2 — 1)2 , _/2 1 ,

^ (ж) =--+ —---1--+ —-— (1 — а)ага/2-1 =

1 ; 2п + 4 2 \2п + 4 2п/ 8 У0 1 ;

1 /I |2 14 +1 (| ж |2 — 1)2 1 /. |2 . |4\

= -7-^ + (|ж|2 — 1)-,-- + ^Ц-V = -,-- (П — 1)|ж|2 + |ж|4 ,

2(п + 2) 41 ;2п(п + 2) 2п(п + 2) 2п(п + 2) V1 л 1 1 1 )

а поэтому решение рассматриваемой задачи имеет вид

Список литературы

1. Begehr Н. Biharmonic Green functions // Le Matematiche. 2006. V. LXI. P. 395-405.

2. Begehr H., Vaitekhovich T. Modified harmonic Robin function // Complex Variables and Elliptic Equations. 2013. V. 58. P. 483-496.

3. Ying Wang, Liuqing Ye. Biharmonic Green function and biharmonic Neumann function in a sector 11 Complex Variables Elliptic Equ. 2013. V. 58, N 1. P. 7-22.

4. Ying Wang Tri-harmonic boundary value problems in a sector // Complex Variables Elliptic Equ. 2014. V. 59, N 5. P. 732-749.

5. Karachik V. V. Greens function of Dirichlet problem for biharmonic equation in the ball // Complex Variables Elliptic Equ. 2019. V. 64, N 9. P. 1500-1521.

6. Boggio T. Sulle funzioni di Green d'ordine m // Palermo Rend. 1905. V. 20. P. 97-135.

7. Begehr H., Vu T.N.H., Zhang Z.-X. Polvharmonic Dirichlet Problems // Proceedings of the Steklov Institute of Math. 2006. V. 255. P. 13-34.

8. Кальмепов Т.Ш., Сураган Д. О новом методе построения функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения // Дифференц. уравнения. 2012. V. 48, № 3. С. 441-445.

9. Kalmenov T.Sh., Koshanov B.D., Nemchenko M.Y. Green function representation for the Dirichlet problem of the polvharmonic equation in a sphere // Complex Var. Elliptic Equ. 2008. V. 53. P. 177-183.

10. Карачик В.В. Представление функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59, № 8. С. 1057-1069.

11. Karachik V. V. On Green function of the Dirichlet problem for polvharmonic equation in the ball 11 Axioms. 2023. V. 12, N 6. P. 543.

12. Солдатов А.П. О фредгольмовости и индексе обобщённой задачи Неймана // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56, № 2. С. 217—225.

13. Кошанов В.Д., Солдатов А.П. Краевая задача с нормальными производными для эллиптического уравнения высокого порядка на плоскости // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52, № 12. С. 1666-1681.

14. Карачик В.В. Решение задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре // Матем. тр. 2021. Т. 24, № 2. С. 46-64.

15. Бицадзе А.В. О некоторых свойствах полигармонических функций // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 5. С. 825-831.

16. Бицадзе А.В. К задаче Неймана для гармонических функций // Докл. АН СССР. 1990. Т. 311, № 1. С. 11-13.

17. Али,мое Ш.А. Об одной задаче с наклонной производной // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17,№ 10. С. 1738-1751.

18. Карачик В.В. Об условиях разрешимости задачи Неймана для полигармонического уравнения в единичном шаре // Сибирский журнал индустриальной математики. 2013. Т. 16, № 4(56). С. 61-74.

19. Sobolev S.L. Введение в теорию кубатурных формул. Москва : Наука, 1974.

References

1. Begehr H. Biharmonic Green functions. Le Matematiche. 2006. V. 61. P. 395-405.

2. Begehr H., Vaitekhovich T. Modified harmonic Robin function. Complex Variables and Elliptic Equations. 2013. V. 58. P. 483-496.

3. Ying Wang, Liuqing Ye. Biharmonic Green function and biharmonic Neumann function in a sector. Complex Variables Elliptic Equ. 2013. V. 58, N 1. P. 7-22.

4. Ying Wang Tri-harmonic boundary value problems in a sector. Complex Variables Elliptic Equ. 2014. V. 59, N 5. P. 732-749.

5. Karachik V. V. Greens function of Dirichlet problem for biharmonic equation in the ball. Complex Variables Elliptic Equ. 2019. V. 64, N 9. P. 1500-1521.

6. Boggio T. Sulle funzioni di Green d'ordine m. Palermo Rend. 1905. V. 20. P. 97-135.

7. Begehr H., Vu T.N.H., Zhang Z.-X. Polvharmonic Dirichlet Problems. Proceedings of the Steklov Institute of Math. 2006. V. 255. P. 13-34.

8. Kalmenov T.S., Suragan D. On a new method for constructing the Green function of the Dirichlet problem for the polvharmonic equation. Differ. Equ. 2012. V. 48, N 3. P. 441-445. (in Russian).

9. Kalmenov T.S., Koshanov B.D., Nemchenko M.Y. Green function representation for the Dirichlet problem of the polvharmonic equation in a sphere. Complex Var. Elliptic Equ. 2008. V. 53. P. 177-183.

10. Karachik V. V. Representation of the Green's function of the Dirichlet problem for the polvharmonic equation in the ball. Differ. Equ. 2023. V. 59, N 8. P. 1061-1074. (in Russian).

11. Karachik V. V. On Green function of the Dirichlet problem for polvharmonic equation in the ball. Axioms. 2023. V. 12, N 6. P. 543.

12. Soldatov A.P. On the Fredholm property and index of the generalized Neumann problem. Differ. Equ. 2020. V. 56, N 2. P. 212-220.

13. Koshanov B.D., Soldatov A.P. Boundary value problem with normal derivatives for a higherorder elliptic equation on the plane. Differ. Equ. 2016. V. 52, N 12. P. 1594-1609. (in Russian).

14. Karachik V. V. Solution to the Dirichlet problem for the polvharmonic equation in the ball. Siberian Advances in Mathematics. 2022. V. 32, N 3. P. 197-210. (in Russian).

15. Bitsadze A. V. Some properties of polvharmonic functions. Differ. Equ. 1988. V. 24, N 5. P. 543-548.

16. Bitsadze A. V. On the Neumann problem for harmonic functions. Dokl. Math. 1990. V. 41, N 2. P. 193-195. (in Russian).

17. Alimov Sh.A. On a problem with an oblique derivative. Differ. Equ. 1981. V. 17, N 10. P. 1738-1751. (in Russian).

18. Karachik V. V. On solvability conditions for the Neumann problem for a polvharmonic equation in the unit ball. Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2014. V. 8, N 1. P. 63-75. (in Russian).

19. Sobolev S.L. Introduction to theory of cubature formulas. Moscow : Nauka, 1974. (in Russian).

Поступим в редакцию 08.05.2024