CC BY
19
МАТЕМАТИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2020. Т. 5, вып. 4, ч. 1. С. 391-399.
УДК 519.635.1+517.956.223
БОТ: 10.47475/2500-0101-2020-15401
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИЮ ГРИНА
В. В. Карачик
Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский
университет), Челябинск, Россия
Получено представление решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в единичном шаре через функцию Грина задачи. При помощи функции Грина, найденной ранее, сначала исследован случай простых полиномиальных граничных условий. Затем справедливость полученной в простом случае формулы доказывается для граничных данных задачи Дирихле общего вида.
Ключевые слова: функция Грина, бигармоническое уравнение, задача Дирихле.
Введение
Одним из эффективных методов представления решений краевых задач для эллиптических уравнений является метод, основанный на построении функции Грина задачи. Много работ посвящено построению функции Грина в явном виде для различных классических краевых задач. Функции Грина бигармонических задач Дирихле, Неймана и Робина в двумерном диске построены с помощью гармонических функций Грина задачи Дирихле в [1]. Статьи [2; 3] посвящены построению функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения в единичном шаре, а в статье [4] для бигармонического уравнения в единичном шаре найден оператор Грина задачи Дирихле при полиномиальных данных. В [5] дано явное представление функции Грина задачи Робина для уравнения Пуассона, а в [6] приведён явный вид функции Грина для 3-гармонического уравнения в единичном шаре.
Хорошо известно (см., например, [7]), что функция Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре Б = {х € Кга : |х| < 1} при п > 2 имеет вид
(1)
где
Е(х,£)
|х - £|2-п, п> 2, £1, п = 2,
1п |х - £I
Работа выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление №211 от 16.03.2013 г.), соглашение №02.Л03.21.0011.
есть элементарное решение уравнения Лапласа. С помощью функции G2(x,C) решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в S
Ди(ж) = f (x), x Е S; u|ds = <^(С), С € dS представляется в виде
u(x) = -— í ^G2(x, C)ds? + ^ í G2(x, С)f (С) С (2)
ши Jas dv ^n Js
где wn — площадь единичной сферы dS. По аналогии с E(x,C) в работе [8] было определено элементарное решение
1 |x - C|4-n, n> 4, n = 3,
E4(x,C)
2(n - 2)(n - 4)
-4in |x - c1, n = 4,
ir - el2
|x e| (ln |x - С|- 1), n = 2,
4
бигармонического уравнения и доказано, что при n > 3 функция вида
G4(x,e) = E4(x,e) - E4( ^, ixic) - ^^ e (^, ие) (4)
является функцией Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре. Целью настоящей работы является нахождение представления, аналогичного формуле (2), для задачи Дирихле для бигармонического уравнения
Д2«^) = f (x), x € S,
uids = ые), ^ = vi(e), e е dS, (5)
dv dS
где v — внешняя единичная нормаль к dS, через функцию Грина G4(x,C).
1. Полиномиальные граничные условия
Пусть сначала граничные данные задачи (5) имеют простой вид
ЫС) = Е«^«(С), ^i(e) = Е^Я°(С), С Е dS, (6)
k,i k,i
где а^ и bki) — константы, {H^(x) : i = 1,...,hk, k € N0} — полная система однородных степени k Е N0 ортогональных на dS сферических гармоник (см., например, [9]), нормированных так, что Jds(Я^(С))2 ds? = Шп, и hk = 2kn+n2-2 (k+n-3) при n > 2 (hk = 2 при n = 2) — размерность базиса однородных гармонических многочленов степени k [10]. Суммирование в (6) ведётся по конечному значению индексов k € N0 и i = 1,..., hk.
Теорема 1. Решение задачи Дирихле (5) при f (x) = 0 и n > 4 можно представить в виде
u(x) = — Í ЫС)^ДG4(x,C) ds? - —Í ^1(С)ДсG4(x,C) ds?. (7)
шп Jas dv шп Jas
Доказательство. Рассмотрим гармонические полиномы вида Р (х) = £ а«Я«(х), Д(х) = £ Ь«Я«(х),
где коэффициенты а^ и взяты из (6). Ясно, что Р= <^0(£) и Я|ад = и,
значит, задача (5) фактически имеет полиномиальные данные на границе. В работе [4, теорема 6] было найдено решение задачи (5) при полиномиальных данных. Воспользуемся однородным дифференциальным оператором вида Ли = ^П=1 хк. Тогда решение задачи (5) можно записать в форме
|х|2 - 1 (Iх|2 - 1)2
и(х) = Р(х) + |х| 1 (Я(х) - ЛР(х)) + (|х| 1) х
'0
1 С (1 (¡a^-ia''*- R) - <«x) ^
s=0
или с учётом гармоничности Р (х) и Д(х) в виде
1 - \х\2 1 - \х\2 и(х) = P (х) +-ЛР (х)--^ R(x) =
£(4° + (ка£г) - b«))я«(х). (8 fc,i
Если заметить, что в силу ортогональности полиномов Я(г)(х) на dS имеем
4г) = - Í я«(£ые) ^, bf = -/ H0®^) ,
^Wds —Wds
и учесть конечность суммирования по k и i, при этом суммирование и интегрирование можно менять местами, то будем иметь
(х) = - Í + к)я«(х)я«(е)^о(е)^-
1 - Iх!2 1 [ V^ tt(í)
]>>(г)(х)Я(г)(£)Ы£) = U0(х) + «1(х). (9)
Преобразуем найденное решение. В работе [11, теорема 3] при п > 4 и |х| < |£| < 1 было дано следующее представление функции Грина С4(х,£):
G (х п = 1 ^ iei-(2fc+n-4) -1 _ iei-(2k+n-2) - ieI2 |х|2_
^4(х'?) + n - 2)(2k + n - 4) (2k + n - 2)(2k + n)|х|
(|х|2 - 1)(iei2 -1)
2(2k + n - 2)
Ея(г)(х)я)
i=1
Видно, что G4(x, = 0. Убедимся, что и нормальная производная G4(x, £)
обладает этим свойством. Поскольку верно равенство ^^г lag = ЛС4|ад, то вычислим значения G4(x,£) при |x| < |£| < 1. Если учесть, что — однородный оператор, и принять во внимание равномерную сходимость ряда по £ при |£| > |x| + £ (е > 0) и
фиксированном х Е Б [11], в силу которой ряд можно почленно дифференцировать, то будем иметь
Л _ (х £ 1 ^ (-|е!-(2к+га-4) -(2к + п-2)|е|—(2к+п—2) -2|е|2 х2_
Л ^4(х,и_2^ 2к + п - 2 (2к + п - 2)(2к + п) |Х|
1-12 1 \ кк 1 ^ , hfc |х| - 1 - ^е я«(х)я«(е)+!
г=1 к=0 ' г=1
|£|2 Е Я^ЯЧо + 2 5 (■ ■ ■) 5кЯ«(х)Я®К)
где выражение (■ ■ ■) такое же, как и в аналогичной скобке в формуле для С4(х, £). Оно обращается в нуль при £ Е дБ, и, значит, в силу равномерной сходимости полученного ряда предел можно внести под знак суммы, поэтому получаем
$С4(х, £)
Себ5
1 / 1 Ы2 Ы2 1 \ Нк
2 5 2ь+Ь + - 5 _
к=0 \ / г=1
Теперь вычислим Д^С4(х,£). Поскольку
Ас(|ГН«(£)) _ а(а + 2к + п - 2)|£Г2Я«(£),
то найдём
|£|— (2к+п—4) _ 1 2|£| — (2к+га—2)
, |£|_1 н(г)(£) ___Н(г)(
с (2к + п - 2)(2к + п - 4) к (£) 2к + п - 2 к (
, |£|—(2к+™—2) - |£|2 Я«(£) _ 2 (, с (2к + п - 2)(2к + п) к (£) 2к + п - 2 к (
(|£2 - Ч^Ю _ (|х|2 - нк')(
и, значит,
л^ ^ 1 ^ /-2|£|—(2к+п—2) 2 |х |2 .. |2 ^ 2к + п
ДсС4(х,£)_->—^--—и--(|х|2 - 1) —- |х
с ^ 2к + п-2 2к + п-2 4 | ;2к + п-2
к=0
Е «(£)_ Е (цжп^ + Е
г=1 к=0 \ / г=1
Умножая полученное равенство на <^(£)/шп и интегрируя по £ Е дБ, найдём
-/ ДсС4(х,£М£)^ Енкг)(х)Я«(£)^1(£)^ _ -«1(х). (11)
Кроме этого из (10) следует, что
1 _ |х|2 ч Нк
Лс Дс С4(х,£)|?€д5 _ £ (1 + ^Якг)(х)якг)(£),
к=0 г=1
и, следовательно, учитывая равенство ^^г |ds = ЛС^ад, нетрудно получить 1 Г д
1 Г V^ Л 1 - |x|2
i E + ^H^H0®^) = uo(x). (12)
./as ТГ v 2 y
Таким образом, используя (11) и (12), решение (9) можно записать в виде (7). Заметим, что в формулах (11) и (12) суммы по к и г конечные. □
Замечание 1. Пусть функции и0(ж) и и^ж) — решения задач Дирихле для уравнения Лапласа с функциями и ^ на границе соответственно такие, что функции А2и0(ж), Ли0(ж) и Ли^ж) ограничены в Б Тогда решение задачи (5) при f (ж) = 0 можно записать в виде
1 - |ж|2 1 - |ж|2 и(ж) = и0(ж) +----Ли0(ж)----«1 (ж). (13)
Это обобщение формулы (8) для решения задачи Дирихле. Действительно, нетрудно видеть, что представленная функция и(ж) бигармоническая. В силу условия ограниченности Л2и0(ж), Ли0(ж) и Ли1(ж) в Б она удовлетворяет граничным условиям задачи Дирихле на дБ
и(ж)|э£г = ^0,
дм д^
2. Общие граничные условия
Оказывается, что формула (7) верна и для более общих граничных условий.
Теорема 2. Пусть € С2+£(дБ), € С1+£(дБ) и f € С1(Б?); тогда решение задачи Дирихле (5) при п > 4 или п = 3 можно представить в виде
1 г д 1 Г
м(ж) = — Ы^ТТД?С4(ж,С) --^4(ж,С) +
«/дй1 ./дй
+ — /с4(ж,е)f(е) с (14)
Доказательство. Случай неоднородного уравнения и нулевых граничных условий был рассмотрен в [8, теорема 2], и в связи с этим в формуле (14) появился последний член. Поэтому достаточно рассмотреть однородное бигармоническое уравнение.
Пусть ж = е € Б. Ясно, что С4(ж,е)|,едй = 0. Исследуем нормальную производную С4(ж,е) на дБ. Используя (4), найдём
= (Лио(х) - |x| Лио(х) + |x| ui(x)) Ids = Ul(x)|dS =
dS
л,С4(ж,е) = Л,(^4(ж,е) - Е4(-ж, |ж|е)) - Л,(е(ж, |ж|е)). (15)
По первой формуле из (3) имеем
А е ( е.= л,|ж - е|4-и = -1 а е* - ж» = -1 |е|2 - (ж,е)
,4(ж,е) 2(п - 2)(п - 4) 2(п - 2)^е |ж - еМ 2(п - 2) |ж - еМ ,
А е (, ,л = Л,(1 -2(ж,е) + |ж|2|е=|2)2-и/2 = -1 |ж|2|е|2- (ж,е)
?Ч |ж|, |ж|^ 2(п - 2)(п - 4) 2(п - 2) |ж/|ж| - |ж|е|и-2 ,
л д^х , ,Л | х 12 |£ 12 - (х,£) ЛсПЫ' |х | Ч _ - 1х/|х|- |х|£|™ , (16)
■|х|' / |х/|х| - |х|£|?
откуда следует, что
Лс(Е.(х,£) - Е.(^,|х|£)) _ |х|2|£|22" (х-£)Е(^,|х|£) - Е(х,£)
и
Л (|х|2 - 1 |£|2 - 1 Е( х )ч |х|2|£|2 - |£|2 Е( х л
Ч—2--2~ЧЩ,|х|£]] _-2-ЧЩ,|х|£] +
х|2 - 1 |£|2 - ^ х
+
2 2 с |х|
(х
Подставляя найденные выше выражения в (15) и учитывая при этом равенство (1), нетрудно получить
ЛсС4(х,£) _ (Е(^, |х|£4 - Е(х,^ - Ц-1 ^х
х ЛсЕ(* |х|£Ч _ -|£|2 - (х,£)С2(х,£) - ^^^ЛсЕ(* |х с V |х| Ч 2 А 2 2 с V |х|
Поскольку известно, что С2(х,£)|сед5 _ 0, то имеем ЛсС4(х,£)|сеа5 _ 0. Теперь вычислим значение ДсС4(х,£), которое разделим на три компоненты.
1. В работе [8] было доказано, что ДсЕ4(х,£) = -Е(х, £).
2. Если обозначить Ь _ 1-2(х, £) + |х|2|£|2, то Е4(Д, |х|£) _ Ь2—га/2/(2(п-2)(п-4)), и поэтому
д Р ( х \гт- |Л — хг + £г|х|2 1—™/2
д£ЕЧтхт, |х|^ _ - 2(п - 2) Ь д2 / х , ,л 1 '-12
1—п/2
адЕ< й^О _2<-х. + ^и2)2<^ - ^Ь
ДсЕ (Щ ■| х | £) _ 2 | х | 2Ь'—"/2 - ф) | х | ^ _ - | х | 2Чй х
3. Наконец, найдём третий компонент: А ( |х|2 - 1 |£|2 - 1 Е ( х
Ч—2--2— Ч Щ,|х
_ ^(пЕ(щ, | х | £) + 2ЛсЕ(щ, | х | £)) _ ^(2Лс + п)Е(Щ, | х | £).
Объединяя полученные выше формулы, запишем
ДсС4(х,£) _ -Е(х, £) + |х|2Е (^, |х|£) + (2Лс + п)Е(^, |х|£) _
_ -С2(х,£) + (2Лс + п - 2)Е(^, |х|£). (17)
а значит,
Ещё преобразуем полученное выражение. Используя (16), найдём x . ,л 2|x|2|£|2 - 2(x,£)
(2Л? + n - |-|£) = -
|-| ' / |-/|-| — |x|£|n
+
+ 1 - 2(x,£) + |x|2|£|2 = 1 — |-|2|£|2 (18) + |x/|x| - |e/|e|-|e|x|-, ( )
а также при £ E dS будем иметь
л G (£) |£|2 - (-,£) + |-|2|£|2 - (-,£) 1 -|x|2 Ле G2(- £) = —г-—-г;— + -
|х - £|™ |х/|х| - |х|£|™ |х - £
и, значит, из (17) при £ Е дБ следует
1 - 1т12 1 - 1т12 д ДсС4(х,£) _ -С2(х,£)--ЛсС2(х,£) _--д^С2(х,£).
Умножая полученное равенство на ^1(£)/шга и интегрируя по £ Е дБ, пользуясь при этом свойством (2) функции Грина С2(х,£), запишем
— [ ДсС4(х, £)Ы£) ^с _
_ -/ д;с2(х,£)^1(£) ^ _1-2^и1(х), (19)
По
где, как и раньше, и1(х) — решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с функцией на границе.
Вернёмся к равенству (17). Из него следует, что
Лс Дс С4(х,£) _ -Лс С2(х,£) + Лс (2Лс + п - 2)Е |х|£),
и, значит, согласно (18)
. , . ч / x , д 1 - |x|2|£|2 д 1 - |x|2|£|2
Л(2Л^ + П - 2Кы'|Х|£) = Л Ix/lx - шn =Л | |
.|x|" 'V ? |x/|x| - |x|£|n x |x/|x| - |x|£|n' Следовательно,
1 _ |x|2 1 _ |x|2 Л? Д? G4(x,£)|?€ds = -Л? G2(x,£)|?€ds + —^ Лж j--keas =
1 - |X|2
= -Л? G2(x,£)|?€ds--G2(X,£ )|fess.
Умножая полученное равенство на ^0(£)/wra и интегрируя по £ E dS, пользуясь при этом свойством (2) функции Грина G2(x,£), получим равенство
1 Г д 1 Г д
~ G4(x,£)^0(£) =--—G2(x,£VO(£) -
wWds dv W^as dv
1 - 1 f д ^ . ^ _ , . . 1 - |x|2 . . .
--Лх— — G2(X,£)^O(£) = UO(X)+----ЛхUO(X).
2 w^ds dv 2
Таким образом, с учётом (19) сумма первых двух членов в формуле (14) может быть записана в виде
u(x) = uo(x) + 1—ЛжМо(х) - 1—Ui(x),
что совпадает с формулой (13), и, значит, эта функция — решение задачи Дирихле (5) для однородного бигармонического уравнения. В силу работы [12, лемма 2.7] условия замечания 1 об ограниченности функций Л2и0(х), Ли0(х) и Ли1(х) в S выполнены, если е C2+e(dS) и е C 1+£(dS). И наконец, при f е C1 (S?) последний член в формуле (14) даёт решение однородной задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения [8]. Теорема доказана. □
Список литературы
1. Begehr, H. Biharmonic Green functions / H.Begehr // Le Matematiche. — 2006. — Vol. LXI. — P. 395-405.
2. Boggio, T. Sulle funzioni di Green d'ordine m / T. Boggio // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1905. — Vol. 20. — P. 97-135.
3. Kalmenov, T. Sh. Green function representation for the Dirichlet problem of the polyharmonic equation in a sphere / T. Sh. Kalmenov, B. D. Koshanov, M. Y. Nemchenko // Complex Variables and Elliptic Equations. — 2008. — Vol. 53. — P. 177-183.
4. Карачик, В. В. Полиномиальные решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре / В. В. Карачик, Н.А.Антропова // Дифференц. уравнения. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 250-254.
5. Karachik, V. V. On Green's function of the Robin problem for the Poisson equation / V. V. Karachik, B. Kh. Turmetov // Advances in Pure and Applied Mathematics. — 2019. — Vol. 10, no. 3. — P. 203-214.
6. Карачик, В. В. Функция Грина задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения в шаре / В. В. Карачик // Мат. заметки. — 2020. — Т. 107, № 1. — C. 87-105.
7. Бицадзе, А. В. Уравнения математической физики / А.В.Бицадзе. — М. : Наука, 1976. — 318 c.
8. Karachik, V. V. Greens function of Dirichlet problem for biharmonic equation in the ball / V. V. Karachik // Complex Variables and Elliptic Equations. — 2019. — Vol. 64, no. 9. — P. 1500-1521.
9. Karachik, V. V. On one set of orthogonal harmonic polynomials / V. V. Karachik // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1998. — Vol. 126, no. 12. — P. 35133519.
10. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. — М. : Наука, 1966.
11. Карачик, В. В. O функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре / В. В. Карачик // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2019. — Т. 59, № 1. — С. 71-86.
12. Алимов, Ш!. А. Об одной задаче с наклонной производной / Ш.А.Алимов // Дифференц. уравнения. — 1981. — Т. 17, № 10. — С. 1738-1751.
Поступила в 'редакцию 06.07.2020. После переработки 21.09.2020.
Сведения об авторе
Карачик Валерий Валентинович, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры математического анализа и методики преподавания математики, Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2020. Vol. 5, iss. 4, part 1. P. 391-399.
DOI: 10.47475/2500-0101-2020-15401
PRESENTATION OF SOLUTION OF THE DIRICHLET PROBLEM FOR BIGHARMONIC EQUATION IN THE UNIT BALL THROUGH THE GREEN FUNCTION
V.V. Karachik
South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia
A representation of the solution of the Dirichlet problem for the biharmonic equation in the unit ball through the Green function of the problem is obtained. Using the Green function, which was found earlier, first, the case of simple polynomial boundary conditions is investigated. Then the formula, which is obtained in the simple case, is proved for the boundary data of the general Dirichlet problem.
Keywords: Green function, biharmonic equation, Dirichlet problem.
References
1. BegehrH. Biharmonic Green functions. Le Matematiche, 2006, vol. LXI, pp. 395-405.
2. Boggio T. Sulle funzioni di Green d'ordine m. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1905, vol. 20, pp. 97-135.
3. Kalmenov T.Sh., Koshanov B.D., Nemchenko M.Y. Green function representation for the Dirichlet problem of the polyharmonic equation in a sphere. Complex Variables and Elliptic Equations, 2008, vol. 53, pp. 177-183.
4. Karachik V.V., Antropova N.A. Polynomial solutions of the Dirichlet problem for the biharmonic equation in the ball. Differential Equations, 2013, vol. 49, no. 2, pp. 251-256.
5. Karachik V.V., Turmetov B.Kh. On Green's function of the Robin problem for the Poisson equation. Advances in Pure and Applied Mathematics, 2019, vol. 10, no. 3, pp. 203-214.
6. Karachik V.V. The Green function of the Dirichlet problem for the triharmonic equation in the ball. Mathematical Notes, 2020, vol. 107, no. 1, pp. 105-120.
7. Bitsadze A.V. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1982. 318 p. (In Russ.).
8. Karachik V.V. Green's function of Dirichlet problem for biharmonic equation in the ball. Complex Variables and Elliptic Equations, 2019, vol. 64, no. 9, pp. 1500-1521.
9. Karachik V.V. On one set of orthogonal harmonic polynomials. Proceedings of the American Mathematical Society, 1998, vol. 126, no. 12, pp. 3513-3519.
10. BatemanH., ErdelyiA. Higher Transcendental Functions. New York, Toronto, London, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1953.
11. Karachik V.V. The Green function of the Dirichlet problem for the biharmonic equation in a ball. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2019, vol. 59, no. 1, pp. 66-81.
12. Alimov Sh.A. On a problem with an oblique derivative. Differentsial'nye Uravneniya [Differential Equations], 1981, vol. 17, no. 10, pp. 1738-1751. (In Russ.).
Accepted article received 06.07.2020.
Corrections received 21.09.2020.
The work was supported by Act 211 of Government of the Russian Federation, contract 02.A03.21.0011.
