CC BY
6
УДК 517.956.223
DOI: 10.14529/mmph230103
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РИКЬЕ-НЕЙМАНА
ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ
В.В. Карачик
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация E-mail: karachik@susu.ru
Аннотация. Определяется элементарное решение полигармонического уравнения и приводятся его свойства. Это элементарное решение совпадает с известными ранее элементарными решениями бигармонического и три-гармонического уравнений. Используя введенное элементарное решение, находится интегральное представление решений неоднородного полигармонического уравнения в ограниченной области с гладкой границей. На основе полученного интегрального представления исследуется разрешимость задачи Рикье-Неймана. Сначала определяется понятие функции Грина задачи Рикье-Неймана, а затем доказывается существование так определенной функции Грина. Затем, используя интегральное представление решений полигармонического уравнения и функцию Грина задачи Рикье-Неймана, находится интегральное представление решения задачи Рикье-Неймана в единичном шаре. Приведен пример решения задачи Неймана для уравнения Пуассона с простейшей правой частью, необходимый в дальнейшем.
На основе функции Грина задачи Рикье-Неймана доказана теорема об интегральном представлении решения краевой задачи Рикье-Неймана с граничными данными, интеграл от которых по единичной сфере обращается в нуль. В заключение на основании доказанной теоремы приводится пример вычисления решения задачи Рикье-Неймана с граничными функциями, совпадающими со следами однородных гармонических полиномов на единичной сфере.
Ключевые слова: полигармоническое уравнение; задача Рикье-Неймана; функция Грина.
Введение. Явный вид функций Грина для разных краевых задач представлен во многих работах. Приведем только некоторые из них. Например, в двухмерном случае, в работе [1], на основании известной гармонической функции Грина представлены функции Грина различных би-гармонических задач. Явный вид функции Грина для 3-й краевой задачи был найден в работах [2, 3], а функции Грина в секторе для бигармонического и 3-гармонического уравнений в работах [4, 5]. Исследования задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре можно найти в работах [6, 7]. В них получен явный вид функции Грина. Явное представление функции Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона получено в статье [8], а в [9] для 3-гармонического уравнения в шаре представлен оператор Грина, действующий на полиномиальные данные.
В связи с бигармоническим уравнением отметим недавние работы [10, 11], посвященные условиям разрешимости некоторых нестандартных задач в шаре для бигармонического уравнения. В качестве наиболее общих результатов по обобщённой задаче Неймана, содержащей степени нормальных производных в граничных условиях, отметим работу [12]. В статье [13] для бигармонического уравнения в шаре получен явный вид функций Грина задач Навье [14] и Рикье-Неймана. Функция Грина применяется также и для исследования нелокальных уравнений. Например, в работе [15] исследована разрешимость четырех краевых задач для одного нелокального бигармонического уравнения с инволюцией.
Известно [16], что для задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре £ = {хеКи :|х|<1} при n > 2 функция Грина имеет вид
G2( x,€) = E(x,€) - E(x/\x\,\x\£) , где E(x,£) - элементарное решение уравнения Лапласа. Элементарные решения бигармонического и 3-гармонического уравнений - функции E4(x,%) и E6(x,%) - были введены в работах [9, 17, 18]. Кроме того, в этих работах были найдены функции Грина соответствующих задач Ди-
Карачик В.В. Решение задачи Рикье-Неймана
для полигармонического уравнения в шаре
рихле в 5. В дальнейшем изложении нам понадобится функция Грина задачи Неймана для уравнения Пуассона в 5". Она была построена в работе [19]
ЛГ2(х,& = Е2(х,&-Е0(х,&, (1)
где гармоническая по хе 5 функция Е0(х,Я) имеет вид
Е0( х,£) = £(Е2(х/|х|, t\x\$) +1) - , •>0 t
причем Ё2 (х,£) = АхЕ2 (х,Я). Здесь обозначено Аы = ^ ■ Индекс х указывает, что оператор
г=1
8ы
А применяется по переменным х. Нетрудно заметить, что Аы = — на 55. Поскольку
8у
Е ( , = _|х| 2 _хЯ)
то функция
Е (х t\x\A =__1 _(_
^|хГ | (1 _2/(хЯ)+|х|2Я|2 ^)п/2
симметрична и, значит, функция Е0 (х, , а следовательно, и функция М2 (х, ¿Г) тоже симметричны. Функция М2{х,^) обладает свойствами [8, теорема 3.1] и [13, теорема 3]
КхЯ2(х,%) = КхЕ2(Х,%)-(КхЕ2){Х1\Х\,\Х\%)-\,
О У^
а поэтому верны равенства
гГ
^г ал^о^)^ |хеЭ5=^(х)|Э5-—Г' ущ)ж
ап Э5 8ух ь соп ■> 95 ь
В [13, теорема 3] показано, что для следующей задачи Неймана
8ы( х) I
Аы( х) = / (х), х е 5; -|Э5 = ^(х), х е85
8у
при выполненном условии
^ =£ № -Я
решение записывается в виде
соп ^ соп **
Для полигармонического уравнения задача Неймана исследована в работах [20, 21], а в [22] приведено решение этой задачи.
Элементарное решение. Пусть т е N. Тогда множество N \ {1} можно разбить на два непересекающихся подмножества = {п е N: п > 2т > 1} ^ (2М + 1) и дополнение к нему №т ={2,4,...,2т}. Поскольку множество - конечное, то КГт - бесконечное. Ясно, что | с , а поэтому с 1У/Н , . Определим элементарное решение т -гармонического уравнения А ты = 0 в виде
' {-\)т\х-%\2т-п
Е2т (х,Я) = <
йбМ
т'
, (2)
т-п! 2 1 т-1
(2 _ п,2)т (2,2)т_1
/ 1 \т | ¿г |2т-п „ т-та л т-1 1 _
Н) -(1п|х-#|-У —- У —), „еГС
{2-п,2)1(2,2)^4 ' " ^2к ¿¡22к'' т
где (a,b)k =a(a + b)...(a + kb-b) - обобщенный символ Похгаммера с соглашением (а,Ь)0 = 1,а
символ (а,Ь)*к означает, что если среди сомножителей а, (а + Ь),.. ,,(а + кЬ — Ь). входящих в
(a, Ъ)к, есть 0, то его следует заменить на 1, например, (—2,2)* = (—2)-1-2 = —4. Кроме того, если в суммах, входящих в (2), верхний индекс становится меньше нижнего, то сумма считается равной нулю. Заметим, что (2 — п,2)т=(2 — п)(4—п)...(2т — п)Ф0 при п еМ/н и, значит, первая часть формулы (2) определена корректно.
Справедливы следующие простые утверждения.
Лемма 1. Функция Е2т (x,Z) совпадает с элементарными функциями E(x,Z), Е4 (x,Z) и Е6 (x, Z) при m = 1, m = 2 и m = 3 соответственно.
Лемма 2. Симметричная функция Е2т (x, Z), определенная при x , удовлетворяет равенствам
AJЕ2т (*,#) = ~Е2(т-1) <Х 4), А{Е2 <Х £) = 0 •
Найдем интегральное представление функций и eC2m(D)r\C2m~1(D), где Del" - ограниченная область с гладкой границей 3D с помощью Е2иг (x, Z) .
Теорема 1. Для любой функции u е C2m (D) о C2m—1(D) справедливо следующее представление:
u(x) = -lS(—1)k ^kZ) ^ —3Е k Aku) ds^ + <"^ f E2m(x,^)Amu(^) dZ,
dv dv (0n iD
где con =| 8S | - площадь единичной сферы e R", v - внешняя единичная нормаль к 3D. Доказательства этих утверждений опустим.
Пусть n > 3. В рассуждениях, приводимых ниже, необходима также следующая функция, задаваемая рекуррентно:
Е2к (x,Z) = — f Е2к—2 (x, y)E2 (y, Z) dy, k > 2,
®n JS
где Er2 (x,¿) = E2 (x,¿) . Например,
E(x,Z) = — f E2(x,y)E2(y,¿)dy, Er6 (x,¿) = -1 Г E2(x,j) f E2(í],y)E2(y,¿)dydr¡.
ajs s Js
Лемма 3. Функция Er2m(x,i) (m > 1) определена при ¿,x e S, ¿ Ф x и имеет, быть может, особенность при ¿ = x такую, что E2m(x,¿) < C | x -¿|3-n, где C -некоторая положительная константа. При ¿Ф x справедливо равенство AE2( x,Z) = -Er2m-г( x,¿).
По теореме о стирании особенностей [23] функция (x,¿) = E2k (x,¿) - E2k(x,¿) является k -гармонической в S по ¿ .
Функция Грина задачи Рикье-Неймана. Задача Рикье-Неймана, сформулированная в [24], состоит в нахождении функции u e C2m (S) o C2m-1(S), которая является решением следующей граничной задачи для неоднородного полигармонического уравнения
Amu(x) = f(x), xeS, = fedS. (3)
ov ov ov
Определение. Функцию вида
Ar2Jx,í) = E2Jx,í) + g"2Jx,í), т> 1, где g2m(x,i) - m -гармоническая функция по переменным x,¿e S такая, что ñAUx^), _ аА-2АА2и(х,#)| _ 6ApM2m(^)\
\¿GdS~---~ - keds~ U> - keds~ V Ч >
O v¡, О v¡, О v¡,
где x e S назовем функцией Грина задачи Рикье-Неймана (3).
2g Bulletin of the South Ural State University
Ser. Mathematics. Mechanics. Physics, 2023, vol. 15, no. 1, pp. 26-33
I # Г = (4)
т ¿Ъ |7/ + 7¥7/+7А- + и1
Карачик В.В. Решение задачи Рикье-Неймана
для полигармонического уравнения в шаре
Теорема 2. Функция М2т(х,при х е 5 м /н > 1, определяемаярекуррентноравенством
= —(Г Ы2п_2(х,у)Ы2(уЛ)йу- — Г Я2т_2(х,у)с1у\ Ы2{уЛ)йу), С0п -15 -15 -15
где тп=\Б\, а М2(х,у) - функция Грина задачи Неймана из (1), является функцией Грина задачи
Рикье-Неймана (3). Функция М2т(х,<Ц) обладает свойством
АЛ(х,^)Ц=0Л>1, ЛхЛ/"2(х^)Ц = -1, Пример 1. Для нахождения решения задачи Рикье-Неймана с многочленами в граничных условиях или в правой части уравнения необходима следующая формула:
— Г Л/-2(х,#)|#|2/^ =--^-+---,
а>„^ 24 * (21 + 2)(2/ + п) (21 + 2)(п - 2)
где / е ГЧ0 . Докажем ее. В работе [19, замечание 2] была получена аналогичная формула
|2/+2
соп^ " (2/ + 2)(2/ + 2£ + я)
где Нк (х) - однородный гармонический полином степени к , которая не работает в рассматриваемом случае, так как правая часть в ней не определена при к = 0 .
Рассмотрим полную систему однородных степени ортогональных на дБ гармониче-
ских полиномов {Н^(х)'л =\,...,кк,к [25] такую, что (Н(кг) (¿;У)2 = соп, где Ик - раз-
мерность базиса. В [8, теорема 1] установлено, что имеет место равенство
-1 1 е2( х.йОРН О) ¿О=- |х|"'2 Н(х) +-Н»(х)-,
£9й-!5 2 к (21 + 2)(2/ + 2к + п) (21 + 2)(2к + п-2)
где к е ГЧ0 и / е М0 . Отсюда получаем
— I е2( х.0)101 21 ¿о=—^^—+-1-.
О1* * (21 + 2)(21 + п) (21 + 2)(п-2)
В [19, теорема 1] доказано, что при х е 3 и О е 3
причем приведенный ряд сходится равномерно по О . Поэтому имеем
I Е0(х.О)| О |21 = 2Н°(х)IН?)(О)| О |21 ¿О = о,
к=1 К(2К + п 2) г=:
и значит, учитывая (1), получаем доказываемую формулу.
Интегральное представление решения. Верно следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть граничные функции задачи обладают гладкостью р0 е С(д3),
Р еС1+е(38) и при к = \,...,т-\, а / = 0. Тогда решение задачи Рикъе-
Неймана (3) существует и его можно записать в виде
т-1
и( х) = 2 ик [р ](х) + С. (5)
к=0
где обозначено
ик[Я>](х) =- Г
соп ^
Я°2к+2(х4) = — \Я2(х,у)Я°2к(у,^у,к> 0; Я°2(Х^) = Я2(Х^). соп ^
Для (к +1) -гармонической функции ик [р ](х) выполнены условия
Аик[<р](х) = „^(д ),|Э5= 0,к е М; А»0|^|(х) = О.^М \д8=ф).
оу оу
Пример 2. Вычислим функции ир[Нк](х) из формулы (5) при р е К1,,. где Н к (х) - однородный гармонический полином степени к е N. В этом случае условия теоремы 3 выполнены, поскольку справедливо равенство I Нк (£) ds¿ = 0 . В работе [19] было установлено, что при х е Е
дБ
и £ едЕ верны равенства
М2 (х, = Е(х, - Е0 (х, & = +
п-2
+
ht , ю , hk
-) 2Hk)(x)H«(Z) = -Ц + 21 k( x)Hki)(Z),
1 k + n — 2
2 2k + n — 2 k (2k + n — 2)y 2 * * n — 2 2 k 2
где система гармонических полиномов |н()(х)|, определенная в примере 1, ортогональна на дБ. Поэтому в силу равномерной сходимости ряда по £ едЕ имеем
и0[Нк](х) = —\М2(х,ОНк(^ = 1 +
соп ^ (п - 2)соп ^
Ш 1 кт 1 г 1
+Е-Ёнт\х)— г нт}(£)нк(£)ds,= -нк(х).
т^^ /?) •'дБ к-
т=1 т 1=1 шп к
Вычислим щ[Н ](х) . С помощью (4) при I = 0 и предыдущих вычислений найдем и1[Нк\(х) = -—\ Я°4(х,^Нк(^?=-— \Ы2(х,у)— Г Я2Ш)Нк(£)Ж^у =
со ¿дБ со СО ¿дБ ь
п п п
-—f Ai2(x,y)u0[Hk](y)dy = -j—\jV2(x,y)Hk(y)dy = jlx[ I 2[kHk(x).
m JS km JS к /(/ к 4-и!
cojs ^ " UL - k~^nJ5 - — — k 2(2k + n)
Аналогично в общем случае для ир[Нк](х) при р е N имеем
ир[Нк](х) = — Г Ml+2(x,Z)Hk(Z)ds? =-—f Я2(х,y)up_x\Hk\{y)dy. (6)
СО СО JS
Отсюда, используя найденную выше функцию щ [Нк ](х) и формулу (4), получим
и \Н 1(х) = Г |х|4-1-4/к \x\2lz2Ui)н (х)
к](х) Ч8к(2к + п)(2к + 2 + п) )4к2(2к + п)2 ) к(
Нетрудно убедиться, что 3-гармоническая функция и2 [Нк ](х) удовлетворяет условию ди2[Нк] | _( (к + 4)| х|4 -к-4 (к + 2)| х|2-к-2) |
дк |дЕ = (8к(2к + п)(2к + 2 + п) (к + 2) 4к2 (2к + п)2 )Н (х)|д =
и поэтому
Аи2[Нк ] = (-^---(к + 2) )нк (х) = щ[Нк ],
2 к' Ч2к(2к + п) 2к (2к + п/ - к
дАи2\Нк] | _(к + 2)| х |2 -к - 2 Л
дБ — . ч Нк(х) 95_ °.
ду 13 2k (2k + n) Кроме того, верны равенства
A2u2[Hk] =1 Hk(x) = u0[Hk], 3AUH] |Э5 = Hk(x). k 3у
Используя (6) и (4), можно последовательно найти любую функцию u [Hk ](x).
Литература
1. Begehr, H. Biharmonic Green functions / H. Begehr // Le Matematiche. - 2006. - Vol. 61, no. 2. - P.395-405.
Карачик В.В.
Решение задачи Рикье-Неймана для полигармонического уравнения в шаре
2. Begehr, H. Modified Harmonic Robin Function / H. Begehr, T. Vaitekhovich // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2013. - Vol. 58, Iss. 4. - P. 483-496.
3. Sadybekov, M.A. On an Explicit Form of the Green Function of the Robin Problem for the Laplace Operator in a Circle / M.A. Sadybekov // Advances in Pure and Applied Mathematics. - 2015. -Vol. 6, no. 3. - P. 163-172.
4. Wang, Y. Biharmonic Green Function and Biharmonic Neumann Function in a Sector / Y. Wang, L. Ye // Complex Variables Elliptic Equ. - 2013. - Vol. 58, Iss. 1. - P. 7-22.
5. Wang, Y. Tri-harmonic Boundary Value Problems in a Sector / Y. Wang // Complex Variables Elliptic Equ. - 2014. - Vol. 59, Iss. 5. - P. 732-749.
6. Boggio, T. Sulle funzioni di Green d'ordine m / T. Boggio // Rend. Circ. Matem. Palermo. -1905. - Vol. 20. - P. 97-135.
7. Kalmenov, T.Sh. Green Function Representation for the Dirichlet Problem of the Polyharmonic Equation in a Sphere / T.Sh. Kalmenov, B.D. Koshanov, M.Y. Nemchenko // Complex Var. Elliptic Equ. - 2008. - Vol. 53, Iss. 2. - P. 177-183.
8. Karachik, V.V. On Green's Function of the Robin Problem for the Poisson Equation / V.V. Karachik, B.Kh. Turmetov // Advances in Pure and Applied Mathematics. - 2019. - Vol. 10, Iss. 3. - P. 203-214.
9. Карачик, В.В. Полиномиальные решения задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Журнал Сибирского федерального университета. Серия «Математика и физика». - 2012. - Т. 5, № 4. - С. 527-546.
10. Карачик, В.В. О задаче Дирихле-Рикье для бигармонического уравнения / В.В. Карачик, Б.Т. Торебек // Матем. заметки. - 2017. - T. 102, № 1. - С. 39-51.
11. Карачик, В.В. Об одной задаче типа Неймана для бигармонического уравнения / В.В. Карачик // Математические труды. - 2016. - Т. 19, № 2. - С. 86-108.
12. Солдатов, А.П. О фредгольмовости и индексе обобщённой задачи Неймана / А.П. Солда-тов // Дифференциальные уравнения. - 2020. - Т. 56, № 2. - С. 217-225.
13. Карачик В.В. Функции Грина задач Навье и Рикье-Неймана для бигармонического уравнения в шаре // Дифференц. уравнения. - 2021. - Т. 57, № 5. - С. 673-686.
14. Sweers, G. A Survey on Boundary Conditions for the Biharmonic / G. Sweers // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2009. - Vol. 54, Iss. 2. - P. 79-93.
15. Karachik, V. Four Boundary Value Problems for a Nonlocal Biharmonic Equation in the Unit Ball / V. Karachik, B. Turmetov, H. Yuan // Mathematics. - 2022. - Vol. 10, Iss. 7. - P. 1-21.
16. Бицадзе, А.В. Уравнения математической физики / А.В. Бицадзе. - М.: Наука, 1982. - 336 c.
17. Karachik, V.V. Greens Function of Dirichlet Problem for Biharmonic Equation in the Ball / V.V. Karachik // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2019. - Vol. 64, Iss. 9. - P. 1500-1521.
18. Карачик, В.В. O функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2019. - Т. 59, № 1. - С. 71-86.
19. Карачик, В.В. O функции Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона / В.В. Карачик, Б.Х. Турметов // Матем. труды. - 2018. - Т. 21, № 1. - С. 17-34.
20. Бицадзе, А.В. О некоторых свойствах полигаpмонических функций / А.В. Бицадзе // Дифференц. ур-ния. - 1988. - Т. 24, № 5. - C. 825-831.
21. Бицадзе, А.В. К задаче Неймана для гармонических функций / А.В. Бицадзе // ДАН СССР. - 1990. - Т. 311, № 1. - С. 11-13.
22. Карачик, В.В. Об арифметическом треугольнике, возникающем из условий разрешимости задачи Неймана / В.В. Карачик // Математические заметки. - 2014. - Т. 96, № 2. - С. 228-238.
23. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. - М.: Наука, 1981. - 512 c.
24. Карачик, В.В. Задача Рикье-Неймана для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 2018. - Т. 54, № 5. - С. 653-662.
25. Karachik, V.V. On One Set of Orthogonal Harmonic Polynomials / V.V. Karachik // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1998. - Vol. 126, no. 12. - P. 3513-3519.
Поступила в редакцию 10 января 2023 г.
Сведения об авторе
Карачик Валерий Валентинович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа и методики преподавания математики, старший научный сотрудник, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-3077-3595, e-mail: karachikvv@susu.ru
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2023, vol. 15, no. 1, pp. 26-33
DOI: 10.14529/mmph230103
A SOLUTION TO THE RIQUIER-NEYMANN PROBLEM FOR POLYHARMONIC EQUATIONS IN A BALL
V.V. Karachik
South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation E-mail: karachik@susu.ru
Abstract. In this paper, an elementary solution for polyharmonic equations is determined and its properties are given. This elementary solution coincides with previously known elementary solutions of biharmonic and triharmonic equations. Using the elementary solution, an integral representation of the solutions of a non-homogeneous polyharmonic equation in a bounded domain with a smooth boundary is found. Based on the integral representation, the solvability of the Riquier-Neumann problem is investigated. First, the concept of the Green's function of the Riquier-Neumann problem is defined, and then the Green's function is proved. Using the integral representation of the solutions of the polyharmonic equation and the Green's function of the Riquier-Neumann problem, the integral representation of the solution of the Riquier-Neumann problem in a unit ball is found. An example of the solution of the Neumann problem for the Poisson equation with the simplest right-hand side is given, which is necessary in what follows.
On the basis of the Green's function of the Riquier-Neumann problem, a theorem on the integral representation of the solution of the Riquier-Neumann boundary value problem with boundary data, the integral of which over the unit sphere vanishes, is proved. In conclusion, on the basis of the theorem, an example of calculating the solution of the Riquier-Neumann problem with boundary functions coinciding with the traces of homogeneous harmonic polynomials on a unit sphere is given.
Keywords: polyharmonic equation; the Riquier-Neumann problem; Green's function.
References
1. Begehr H. Biharmonic Green Functions. LeMatematiche, 2006, Vol. 61, no. 2, pp. 395-405.
2. Begehr H., Vaitekhovich T. Modified Harmonic Robin Function. Complex Variables and Elliptic Equations, 2013, Vol. 58, Iss. 4, pp. 483-496. DOI: 10.1080/17476933.2011.625092
3. Sadybekov M.A. On an Explicit Form of the Green Function of the Robin Problem for the Laplace Operator in a Circle. Adv. Pure Appl. Math., 2015, Vol. 6, no. 3, pp. 163-172. DOI: 10.1515/apam-2015-0003
4. Wang Y., Ye L. Biharmonic Green Function and Biharmonic Neumann Function in a Sector. Complex Variables Elliptic Equ., 2013., Vol. 58, Iss.1, pp. 7-22. DOI: 10.1080/17476933.2010.551199
5. Wang Y. Tri-Harmonic Boundary Value Problems in a Sector. Complex Variables Elliptic Equ., 2014, Vol. 59, Iss. 5, pp. 732-749. DOI: 10.1080/17476933.2012.759566
6. Boggio T. Sulle fUnzioni di green d'ordine m. Rend. Circ. Matem. Palermo, 1905, Vol. 20, pp. 97-135. DOI: 10.1007/BF03014033
7. Kalmenov T.Sh., Koshanov B.D., Nemchenko M.Y. Green Function Representation for the Dirichlet Problem of the Polyharmonic Equation in a Sphere. Complex Var. Elliptic Equ., 2008, Vol. 53, Iss. 2, pp. 177-183. DOI: 10.1080/17476930701671726
8. Karachik V.V., Turmetov B.Kh. On Green's Function of the Robin Problem for the Poisson Equation. Advances in Pure and Applied Mathematics, 2019, Vol. 10, Iss. 3, pp. 203-214. DOI: 10.1515/apam-2017-0113
Карачик В.В.
Решение задачи Рикье-Неймана для полигармонического уравнения в шаре
9. Karachik V.V. Polynomial Solutions to Dirihlet Boundary Value Problem for the 3-harmonic Equation in a Ball. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, 2012, Vol. 5, Iss. 4, pp.527-546.
10. Karachik V.V., Torebek B.T. On the Dirichlet-Riquier Problem for Biharmonic Equations. Mathematical Notes, 2017, Vol. 102, Iss. 1, pp. 31-42. DOI: 10.1134/S0001434617070045
11. Karachik V.V. A Neumann-type Problem for the Biharmonic Equation. Siberian Advances in Mathematics, 2017, Vol. 27, Iss. 2, pp. 103-118. DOI: 10.3103/S105513441702002X
12. Soldatov, A.P. On the Fredholm Property and Index of the Generalized Neumann Problem. Differential Equations, 2020, Vol. 56, no. 2, pp. 212-220.
13. Karachik V.V. Green's Functions of the Navier and Riquier-Neumann Problems for the Biharmonic Equation in the Ball. Differential Equations, 2021, Vol. 57, no. 5, pp. 654-668.
14. Sweers G. A survey on boundary conditions for the biharmonic. Complex Variables and Elliptic Equations, 2009, Vol. 54, Iss. 2, pp. 79-93. DOI: 10.1080/17476930802657640
15. Karachik V., Turmetov B., Yuan H. Four Boundary Value Problems for a Nonlocal Biharmonic Equation in the Unit Ball. Mathematics, 2022, Vol. 10, Iss. 7, pp. 1-21. DOI: 10.3390/math10071158
16. Bitsadze A.V. Uravneniya matematicheskoy fiziki (Equations of Mathematical Physics). Moscow, Nauka Publ., 1982, 336 p. (in Russ.).
17. Karachik V.V. Greens Function of Dirichlet Problem for Biharmonic Equation in the Ball. Complex Variables and Elliptic Equations, 2019, Vol. 64, Iss. 9, pp. 1500-1521. DOI: 10.1080/17476933.2018.1536702
18. Karachik V.V. The Green Function of the Dirichlet Problem for the Biharmonic Equation in a Ball. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2019, Vol. 59, no. 1, pp. 66-81. DOI: 10.1134/S0044466919010113
19. Karachik V.V., Turmetov B.Kh. On the Green's Function for the Third Boundary Value Problem. Siberian Advances in Mathematics, 2019, Vol. 29, Iss. 1, pp. 32-43. DOI: 10.3103/S1055134419010036
20. Bitsadze A.V. Some Properties of Polyharmonic Functions. Differ. Equ., 1988, Vol. 24, no. 5, pp. 543-548.
21. Bitsadze, A.V. On the Neumann Problem for Harmonic Functions. Sov. Math. Dokl., 1990, Vol. 41, no. 2, pp. 193-195.
22. Karachik V.V. On the Arithmetic Triangle Arising from the Solvability Conditions for the Neumann Problem. Mathematical Notes, 2014, Vol. 96, Iss. 2, pp. 217-227. DOI: 10.1134/S0001434614070232
23. Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoy fiziki (Equations of Mathematical Physics). Moscow, Nauka Publ., 1981, 512 p.
24. Karachik V.V. Riquier-Neumann Problem for the Polyharmonic Equation in a Ball. Differential Equations, 2018, Vol. 54, no. 5, pp. 648-657.
25. Karachik V.V. On One Set of Orthogonal Harmonic Polynomials. Proceedings of the American Mathematical Society, 1998, Vol. 126, no. 12, pp. 3513-3519. DOI: 10.1090/S0002-9939-98-05019-9
Received January 10, 2023
Information about the author
Karachik Valeriy Valentinovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Mathematical Analysis and Methods of Teaching Mathematics Department, Senior Staff Scientist, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-3077-3595, e-mail: karachikvv@susu.ru
