Разрешимость уравнений Вольтерра в банаховых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.939

РАЗРЕШИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ вольтерра в банаховых пространствах

© Т.В. Жуковская

Zhukovskaya T.V. Solvability of Volterra equations in Banach space. The conditions of solvability of the equation x = Ax are obtained for operator A of Volterra type acting in space W[a of real measurable functions. In this note Volterra operator A is considered in sense: let E be such system of sets e,<z [a, b], that Vie[0,b - a] meseT = T, Vy т<у ^ e,c eY ; suppose, that, for all x, y eW [a, b] and all eT 6 E if x (t) = y (t), 16 eT , then

(Ax )(t) = (Ay )(t^ te e,.

В теории интегральных уравнений особое место занимают уравнения Вольтерра (уравнения с последействием), типичные при описании процессов, в которых состояние системы в каждый момент времени зависит от состояния системы в предшествующие моменты. На специфические особенности «последействия» обратили внимание В. Вольтерра, А.Н. Тихонов, Н.Н. Красовский, основополагающие идеи которых [1] легли в основу многочисленных исследований. В настоящей работе рассматриваются операторы, действующие в произвольных полных функциональных пространствах, родственные по определению и свойствам операторам Вольтерра.

Пусть Е - такая система множеств етс [а, Ь], что

Утє[0, Ь - а] даетех=т, Ут, ух<у^ ет с еу .

Рассмотрим некоторое банахово пространство W[а Ь] вещественных измеримых на [а,Ь] функций. Будем предполагать, что для любого множества ет є Е, если все члены некоторой сходящейся последовательности хі єW[а Ь], хі ^ х отвечают условию хі (ґ) = 0 при ґ є ет, то и предельная функция х (ґ) = 0 при ґ є ет. То есть множество Wx0 = {х єW[а Ь] | х(ґ)=0 при ґє ет} замкнуто.

Обозначим через W (ет) пространство сужений функций из W [а Ь ] на множество ет. Это пространство изоморфно факторпространству W[а Ь] ^х0 . Согласно [2], норму в пространстве W (ет) можно задать формулой

II x J = inf II;

II xllW (e,) II

где нижняя грань берется по всевозможным функциям х е W[а Ь], являющимся продолжениями функции

х теW (ет) . При таком определении нормы пространство W (ет) является банаховым [2].

Определим оператор П у т : W (еу )^■W (ет), у >т равенством (Путху)^) = ху^) при всех tе ет. Ддя каждого фиксированного х е W[а Ь] норма

1|Х т|1 (е,) = ||П Ь - а,гх\1 (ет} является ШубЩ^ЩШ

функцией аргумента т . Мы будем предполагать, что эта функция является непрерывной. Отметим, что таким свойством обладает норма в пространстве Ьр[аЬ] суммируемых в р -ой степени функций, 1< р «х>, в пространстве Ь „ [аЬ] существуют такие элементы, что х т является разрывной по т функцией. В про-

II 11Ь (ет )

странствах С [аЬ] непрерывных функций и Ор[аЬ] абсолютно непрерывных функций следует, естественно, брать в качестве множества ет отрезок, и тогда норма будет непрерывной по т функцией.

Непрерывность функции ||хт|^ ( ) по аргументу

т позволяет доказать необходимое условие предком-пактности множества в пространстве W[а Ь].

Т е о р е м а 1. Если множество Не W[а Ь] пред-

компактно, то оно ограничено и функции множества Н имеют равностепенно непрерывные нормы, т. е.

Ve> 0 38> 0 V х еН VI, у

|т- у |< 6

Pb - a,,x I

і ,е,,-||П

b - a,y

IIw (eT)

< є.

Мы будем пользоваться следующим определением, предложенным в [3-5]. Оператор

А 'Ж[аЬ]-^[аЬ] назовем вольтерровым на системе

Е , если для любого те[0,Ь - а] и всех х, у е W [а Ь]

из равенства П Ь - ат х =ПЬ - ату следует

ПЬ-атАх =ПЬ-атАу . Это определение обобщает

г

свойство вольтерровости по А.Н. Тихонову [1]. Вольтерровый на системе Е оператор А 'Ж[aЬ]^■W[аЬ]

порождает семейство операторов А т: W (ет) ^ ^ W (ет), определяемое следующим образом. Пусть Рт у : W (ет) ^ W (еу), у >т - оператор, продолжающий некоторым образом функцию хт є W (ет) , хт: ет ^Я на множество еу. Обозначим

Ат=П Ь - а,т АРт, Ь - а , А т : W (Єт ) ^W ( Єт )- Вследст-

вие вольтерровости оператора А определенный здесь оператор Ат не зависит от способа продолжения функций х тєW (ет) на [а,Ь] оператором Р.

т, Ь - а '

Т е о р е м а 2. Если вольтерровый на системе Е оператор А 'Ж [а ,Ь]^ [ аЬ] непрерывен, то для любого тє[0, Ь - а] оператор Ат 'Ж (ет) ^W (ет)

также непрерывен.

Т е о р е м а 3. Если вольтерровый на системе Е оператор А 'Ж[aЬ]^W[аЬ] компактен, то для любого тє[0, Ь - а] оператор Аг'Ж (ет) (ет)

также компактен.

Рассмотрим уравнение

x = Ax

(1)

с вольтерровым на системе Е оператором А'УУ[aЬ]^W[аЬ]. Вольтерровость оператора А позволяет говорить о локальной разрешимости уравнения (1). Локальным решением уравнения (1), определенным на ет, назовем такую функцию zTеW (ет) , которая удовлетворяет уравнению х т=Атх т . Локальное решение г ^еЬр[а?] называется продолжением решения гт, а решение гт - частью решения

г^ , если гт=Р?тг£ > т. Функция гр:[а,Р)^,К называется предельно продолженным решением уравнения (2), если при любом т<Р элемент

гтеЬр[ат] , гт=Ррт2р, является локальным решением уравнения (1), и либо Р=Ь, либо гр£Ьр[ар].

Т е о р е м а 4. Если вольтерровый на системе Е оператор А 'Ж[аЬ]^^[аЬ] вполне непрерывен, то

уравнение (1) локально разрешимо, любое локальное решение является частью некоторого предельно продолженного решения.

Оператор А Ж[аЬ]^Ж[аЬ] будем называть улучшающим, если образом всякого ограниченного множества Нс W[а Ь] является множество элементов с равностепенно непрерывными нормами, т. е.

Ує> 0 38> 0 V х єН Ут, у

Fb - а^А

і (e,)

||П

b - a,y

A x

III (e.,)

< є.

Заметим, что согласно теореме 1 компактный оператор является улучшающим.

Т е о р е м а 5. Пусть вольтерровый на системе Е оператор А 'Ж[аЬ]^^[аЬ] является линейным

улучшающим. Тогда уравнение х -Ах = / при каждом / є W[а ь] имеет единственное решение г є W[а ь]. Если {гі} с W [а Ь] - решения уравнений х -Ах = /і, где последовательность {/■} С W [а,Ь] сходится к элементу / є W[а Ь], то

"z<- zIW

[a,b]

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюл. Московск. ун-та. Секция А. Т. 1, вып. 8, 1938. С. 1-25.

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.. Наука, 1984. С. 128-129.

3. Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 9.

4. Жуковский Е.С. Вольтерровость и спектральные свойства оператора внутренней суперпозиции // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 3О. № 2.

5. Жуковская Т.В. Разрешимость нелинейных уравнений с воль-терровыми операторами // Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения VIII. Воронеж, 1997. С. 52.

Поступила в редакцию б сентября 1999 г.