Об операторах Вольтерра в банаховых функциональных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК517.91 1

ОБ ОПЕРАТОРАХ ВОЛЬТЕРРА В БАНАХОВЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

© Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский

Zhukovskaya T.V., Zhukovsky E.S. On the Volterra operators working in arbitrary Banach functional spaces. Linear generalised Volterra operators working in arbitrary Banach functional spaces are considered. Conditions are obtained under which the functional spaces should satisfy the Volterra operators retaining their «classical» properties. The property of necessary and sufficient Volterra convertibility is received and statements about the spectral radius of the Volterra operator are suggested.

Исследованный Вольтерра [1,2] интегральный опе-

I

ратор (К ^)(/) = |ЛГ (/, £)у(5)г/$ , действующий в а

пространстве суммируемых функций, обладает рядом •замечательных свойств, нашедших многочисленные применения в теории уравнений и приложениях. Большинство этих свойств сохраняет класс вольтерровых операторов, рассмотренный А.Н. Тихоновым [3] и определенный им следующим образом: «Функциональный оператор V (/. ф) мы будем называть функциональным оператором типа УоНегга, если его величина определена значениями функции ф( Т) в промежутке 0 < Т < / ». Перефразируя процитированное определение, называют действующий в пространстве определенных на [а,Ь] функций линейный оператор К вольтерровым по А.Н. Тихонову, если для любого элемента ф и каждого 1е[а,Ь] из ф(т) = 0,

те [а,1] следует (К ф)( т) =0, т е [а, /]. Эта импликация означает, чго при каждом / подпространство функций, тождественно равных нулю на |а, /],

является инвариантным для оператора К . Приведенное свойство, образно называемое разными авторами «эволюцией», «последействием», «наследстве!шостью» и т. д., допускает дальнейшие полезные обобщения [4-11 ], основанные в основном на двух подходах.

1. Замена системы отрезков {|я. /11 / е (я, Л]}

другой системой множеств [4-7].

2. Рассмотрение другой системы инвариантных подпространств оператора [8-11].

Безусловно, использование последней идеи позволяет охватил, более широкий класс операторов. Однако некоторое уменьшение общности, присущее первому подходу, нам кажется, должно компенсироваться большей содержательностью и применениями к теории функциональных уравнений. Впрочем, это только субъективное мнение, в защиту которого мы собираемся привести нижеследующие результаты.

Приведем определение вольтеррового оператора, которое используется в настоящей работе. Пусть каждому у6 [0, Ь—а) поставлено в соответствие некото-

рое измеримое множество еу с мерой \1(еу) — у таким образом, что ^'у,Т| € [0, Ь — а ] у<Г| => еусеп.

Обозначим V ={ еу }. Пусть У , IV - линейные

пространства функций Линейное ото-

бражение I7 :У —>И/ будем называть вольтерровым на системе V , если для каждого еу е V и любого у еУ из у (.9) = 0 на еу следует ^у)($) = 0 на еу .

Это определение несколько расширяет понятие вольтерровости по А.Н. Тихонову. Для вольтеррового по А.Н. Тихонову оператора еу = \а, а+у\.

Непосредственно из определения следует, что сумма и произведение линейных вольтерровых па системе

V операторов является линейным вольтерровым на системе V оператором. Рассмотрим условия, гарантирующие, что предел последовательности вольтерровых операторов также является вольтерровым оператором.

Будем говорить, что в банаховом пространстве В выполнено V -условие, если для любого множества еу 6 V из того, что для всех членов каждой сходящейся последовательности {у, }с£, || V, - у || Н► 0

имеет место у, (/) = () при / е ву, то и предельная функция у (/) = 0 при / е еу .

Теорема 1. Пусть У — линейное пространство функции у : [д, Ь ] —> У? ; в пространстве В выполнено V -условие; { Р к } - последовательность линейных вольтерровых на V операторов, I7 к У —> В. Если | [7к у — Л7 у | —» 0 при каждом у е У , то и

предельный оператор И : У —> В также вольтерров на системе V.

Обозначим через р(А') спектральный радиус линейного ограниченного оператора К : В —» В . Если р( К ) < 1, то к оператору I -К существует ограни-

чеиный обратный оператор, представимый суммой

ряда Неймана (/ - А.' )_1 = / + К + К2 + ________ Из

теоремы 1 вытекает

Следствие. Если К : В —» В линейный ограниченный вольтерровый на V оператор со спектральным радиусам р ( АГ ) < 1, то оператор (/ — К ) 1 также вольтерровый на системе V .

Отметим, что V -условие выполнено для любой системы V в банаховых пространствах непрерывных функций, функций ограниченной вариации, суммируемых функций и т. д.

Обозначим В(еу) - пространство сужений функ-

ций из В на множество еу. Норму в пространстве

В (еу ) зададим формулой || уу | д^ ^ = іігї||у | в ,

где нижняя грань берегся по всевозможным продолжениям у є В функции уу є В(еу ). Если выполнено

V -условие, то подпространство

Ву = {у | _у(/) = 0</€ 1'у}сВ замкнуто, и, согласно [12, с. 128-130], при таком определении нормы пространство В (еу ) является банаховым. Определим

оператор П у:В—>В(еу) равенством

(П Уу)(()=у(1) при всех І Є еу. Пусть оператор Ру : В (еу ) —> В некоторым образом продолжает

каждую функцию уу навесь [а,Ь\.

Рассмотрим вольтерровый на системе V оператор Q : В —> В . Обозначим

О у = П у О Ру : В (еу ) —» В (еу ). Хотя оператор Ру

может быть нелинейным, тем не менее, вследствие вольтерровости линейного оператора О оператор ()у

линеен.

Теорема 2. Пусть в банаховом пространстве В выполнено V -условие, оператор () : В —> В является линейным ограниченным и вольтерровым на системе V. Тогда при любом у є [0, Ь—а] линейный опе-

ратор О у ограничен и || С? у | — 10 || •

Теорема 3. Пусть в банаховом пространстве В выполнено V -условие. Если вольтерровый на системе

V оператор О В —> В об/хітим, то для вольтер-

ровости на V оператор О-1 необходимо и достаточно обратимости операторов Оу для каждого у е [0, Ь-а].

Следствие 1. Если оператор О 1 вольтерров, то операторы О у' В(еу ) В (еу ) ограничены в

совокупности.

Следствие 2. Спектральные радиусы вольтерро-вого оператора К \ В В и оператора

К у = П у К Ру : В (еу ) —> В (еу ) при любом у

удовлетворяют неравенству р(К у )<р(К ) .

Будем говорить, что в пространстве В выполнено С -условие, если для каждого у е В норма

= Пї В(еу) II '■

каждого является

непрерывной

I В(еу)

функцией аргумента у.

Линейный оператор И : В —> В назовем улучшающим, если образом единичной сферы II является множество элементов с равностепенно непрерывными нормами,т. е. V £>0 3 8>0 Ухе II V х, у

| т—у |<5 I т I < 5 =!

В(ех)

< г.

- П7/Гдг < є , II У II «(ву)!

т И )

Теорема 4. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V , С ; оператор К в -»в является линейным улучшающим вольтерровым на системе V . Тогда спектральный радиус этого оператора р (А.' ) = 0.

Следствие. Для вольтеррового на V линейного улучшающего оператора К обратный оператор

{1-му при любом X является вольтерровым на V.

Доказанное утверждение несколько обобщает известный результат [13, с. 153] не только тем, что здесь рассматривается абстрактное пространство, но и благодаря условию улучшаемости оператора К , являющемуся, как N«>1 сейчас покажем, более слабым по сравнению с «традиционным» требованием компактности.

Теорема 5. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V , С . Если множество Н с В

предкомпактно, то это множество ограничено, и его элементы имеют равностепенно непрерывные нормы:

V е> 0 В6>0 У*єЯ VI, у

т—у |<5 => | || П тдг т | < 8 => ІП Хх

В(ех )

< Є .

П-уХ < є,

у Нв(*т)1

I В(ех)

Следствие. Если в банаховом пространстве В выполнены условия V, С , то спектральный радиус вполне непрерывного вольтеррового на V линейного оператора равен нулю.

Теорема 6. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V , С ; оператор К '. В —> В является линейным улучшающим вольтерровым на системе V, оператор Я : В —> В линейный ограниченный вольтерровый на системе V . Тогда, если один из операторов I — К — Я , I — £ обратим и обратный к нему оператор вольтерров на V . то обратим и другой и обратный к нему также вольтерров.

Следствие 1. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V, С ; оператор К : В —> В

является линейным улучшающим вольтерровым на системе V, оператор Л' : В —> В линейный ограниченный вольтерровый на системе V. Тогда спектральные радиусы операторов К + .V , $ одинаковы: р ( К + 5’) = р(5').

Следующие два утверждения для случая пространства суммируемых доказаны в книге [ 14, с. 86].

Следствие 2. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V, С ; оператор К : В —> В является линейным вполне непрерывным вольтерровым на системе V, оператор .V : В —» В линейный ограниченный вольтерровый на системе V. Тогда, если один из операторов I - К — $ , 1 — 8 обратим и

обратный к нему оператор вольтерров на V, то обратим и другой и обратный к нему также вольтерров.

Следствие 3. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V, С ; оператор К В —» В является линейным вполне непрерывным вольтерровым на системе V, оператор .V : В —> В линейный ограниченный вольтерровый на системе V. Тогда спектральные радиусы операторов К + $ , .V одинаковы: р ( К +5) = р(&).

Линейный оператор Т : В —» В будем называть Г -вольтерровым на системе V , если существует такое положительное число Т, что для любого х є В выполнено (Тх)(()=0 ПРИ /Є и для всех ує (т, Ь — а ] из х (/) = 0 , * є е у_х следует

(Т х)(/) = 0, /еег Отметим очевидные свойства

Т -вольтерровых на системе V операторов.

1. Композиция (в любом порядке) вольтеррового и Г -вольтеррового на системе V операторов является Т -вольтерровым на системе V оператором.

2. Г -вольтерровый на системе V оператор являегся нильпотентным.

3. Спектральный радиус Т -вольтеррового на системе

V оператора равен нулю.

4. Для т -вольтеррового на системе V оператора Т : В —» В оператор

Т у = П .(Т Ру : В (еу ) —» В (еу ) при любом у является Т -вольтерровым на системе V.

Теорема 7. Пусть оператор Т : В —> В является линейным Т -вольтерровым на системе V, оператор S : В —> В - линейный ограниченный вольтерровый на системе V. Тогда, если один из операторов

I —Т — S , I — S обратим, и обратный к нему

оператор вольтерров на V, то обратим и другой, и обратный к нему также вольтерров.

Следствие. Пусть оператор Т : В —» В является линейным Т -вольтерровым на системе V, оператор S : В —> В линейный ограниченный вольтерровый на системе V. Тогда спектральные радиусы операторов Т + .S’ , S одинаковы:

р(Т + S ) = p(S ).

ЛИТЕРАТУРА

1. Volterra V. //Rend Accad. Lincei 1896 Т. 5 P 177-185. 289-300.

2. Vollerra V. II Ann di math 1897. (2) T. 25. P 139-187

3. ТчхоиовА.Н. //Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1 Вып 8. С. 1-25.

4. Забрейко П.П. Об интегральных операторах Вольтерра // УМН 1967. Т 22. Вып. 1.С. 167-168

5. Сумин В.И. Функциональные волътерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Ч. 1. Нижний Новгород: ННГУ, 1992 110 с

6. Жуковский Е.С. И Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 9. С. 1599-1605.

7. Жуковский Е.С. //Дифференц уравнения 1994. Т. 30. № 2. С. 250-255.

8 Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука, 1967 508 с.

9. ЛившицМ.С. И Мат. сб. 1954. Т. 34 (76). С. 145-198.

10. Бродский М.С. Треугольные и жордановы представления лнней-ных операторов. М.: Наука, 1969.

11. Гусаренко С.А. II ДАН СССР. 1987 Т 295 № 5. С. 1046-1049.

12. Канторович Л.В., Акилов Г.П Функциональный анализ. М.: Наука. 1984. 752 с.

13. Забрейко П.П., Кошелев АЛ. и ор Интегральные уравнения. СМБ М : Наука. 1968 448 с.

14. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грангом Российского Фонда Фундаментальных Исследований №01-01-00140

Поступила в редакцию 20 апреля 2001 г.