Об одном подходе к определению понятия вольтеррового оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОНЯТИЯ ВОЛЬТЕРРОВОГО ОПЕРАТОРА

© Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский

Предложено общее определение свойства вольтерровости операторов. Показано, что для линейных обобщенно вольтерровых операторов имеет место ряд фундаментальных утверждений теории интегральных операторов volterra.

Ключевые слова: обобщенно вольтерровый оператор, уравнение volterra 2 рода, спектральный радиус, интегральный оператор, вольтерровость сопряженного оператора.

Важнейшим свойством динамических объектов является зависимость их состояний в данный момент времени только от предыдущих внешних и внутренних причин, т.е. от "прошлого", и независимость от "будущего". Это свойство легло в основу известного определения А.Н. Тихонова [1] вольтерровых операторов. Благодаря многочисленным приложениям и возможности содержательных абстрактных обобщений теория вольтерровых операторов в течение многих лет привлекает исследователей. Современные абстрактные трактовки свойства "вольтерровости" операторов предложены в работах [2-9]. Большинство предлагаемых определений означает, что вольтерровый оператор является линейным и обладает цепочкой инвариантных подпространств. Здесь предлагается достаточно общее определение свойства вольтерровости, пригодное как для линейных, так и нелинейных операторов. В работе показано, что для линейных операторов, удовлетворяющих предлагаемому определению, верны фундаментальные утверждения теории классических интегральных операторов Volterra.

Обозначения: m - натуральное число; Rm - m-мерное евклидово пространство с нормой | • |; S - топологическое пространство; C(S, Rm) - пространство ограниченных непрерывных функций x : S ^ Rт, ||х||с = sup |x(i)|; (E, Т,^) - пространство с мерой, т.е.

tes

множество E, на некоторой а-алгебре Е подмножеств которого определена счетно аддитивная функция ц; Lp (E, Rm) - пространство суммируемых в p-ой (1 ^ p < ж) степени функций y : E — Rm, \\y\\L = (/|y(s)|Pdsj1/р; L^(E, Rm) - пространство измеримых

Р E

ограниченных в существенном функций y : E — Rm, \\y\\L = vrai sup \y(t)\. В перечис-

“ te E

ленных обозначениях будем опускать индексы m = 1, p = 1. Кроме того, в обозначениях функциональных пространств не будем писать, где определены и в каких множествах имеют значения функции - элементы пространств, если это не вызовет недоразумений.

Основные понятия. Везде ниже предполагается, что B является линейным пространством над полем R действительных чисел либо над полем C комплексных чисел, на котором задана система V отношений эквивалентности и (7), 7 Є [0,1], удовлетворяющая

условиям:

V) 7 = 0 соответствует отношение и(0) = B2;

V ) 7 =1 соответствует отношение равенства;

V2) если 7 > п, то и(7) С v(n).

Кроме того, будем считать, что при каждом 7 Є (0,1), для любых элементов x,x,y,y Є B и всякого числа А,

(x,x) Є и(7), (y,x) Є и(7), ^ (x + y,x + x) Є и(7), (Ах, АХ) Є и(7). (1)

Пусть xY - класс элементов, и ^-эквивалентных элементу х Є B, B/v(7 ) - фактор-пространство, xY Є B/v(7), П7 : B — B/v(7) - каноническая проекция, т.е. линейное отображение, заданное равенством П7х = xY. Нулевой элемент фактор-пространства 0Y = { y Є B \ (y, 0) Є и(7) } является подпространством пространства B.

Определение. Оператор F : B — B называем вольтерровым на системе

V, если для каждого 7 Є (0, 1) и любых таких x,y Є B, что (x,y) Є и(7), имеет место (Fx,Fy) Є v(7).

Далее будем рассматривать только линейные операторы. Из приведенного определения следует, что линейный оператор F : B — B вольтерров на системе V, если для каждого 7 Є (0, 1) и любого y Є B из y Є 0Y следует F y Є 0Y. Для линейного вольтеррового на V оператора F : B — B обозначим FY : B/v(7) — B/v(7) - линейный оператор, определяемый равенством FY xY = П7 Fx, где x Є xY. Отметим, что натуральную степень

F)• : B/v(y) —— B/v(y) оператора F7 можно находить с помощью равенства (F7)г= П7 Fгx, x Є xY, т.е. (Fy)г = (Fг)7.

Зафиксируем произвольное y Є (0, 1). Отношение эквивалентности v(£), £ Є [0, 1], можно рассматривать не на всех элементах В, а лишь на элементах подпространства 0Y. Таким образом, на подпространстве 0Y оказывается заданной система отношений эквивалентности, удовлетворяющая условиям V0) — V2) и (1). Из вольтерровости линейного оператора F : В — В на совокупности V следует вольтерровость его сужения F1 : 0Y — 0Y на (сужении) v.

Система отношений V пространства В порождает отношения эквивалентности в фактор-пространстве B/v(y) : классы xY,yY Є В/и(y) называем и1 (Z)-эквивалентными, Z Є (0,1), если существуют (и, следовательно, любые) элементы x Є xY, y Є yY, удовлетворяющие отношению v(£), £ = yZ- Таким образом, заданная на B/v(y) система

V1 = {v1 (Z)} отношений эквивалентности также удовлетворяет условиям V0) — V2) и (1). Если оператор F : В — В вольтерров на системе V, то оператор F7 : B/v(y) — B/u(Y ) будет вольтерровым на системе V1.

Приведем критерий вольтерровости обратного оператора.

Предложение. Пусть существует обратный оператор F-1 к вольтерровому оператору F. Для того чтобы F-1 был вольтерровым оператором, необходимо и достаточно, чтобы операторы FY : B/v(y) — B/v(y) были обратимы для каждого 7 Є (0,1). В этом случае имеет место равенство (F-1) Y = (FY )-1.

Отметим, что для вольтерровых по А.Н. Тихонову операторов, действующих в пространствах суммируемых функций, приведенное утверждение было получено А.И. Булгаковым (и доложено на Пермском семинаре проф. Н.В. Азбелева в 1978 г).

Линейные вольтерровые операторы в нормированных пространствах. Везде далее предполагаем, что линейное пространство В нормировано, и наделяем фактор-пространство B/v(y) нормой [10, с. 128]

llxJL, , = inf ||x|| .

Il 711 B/v(y) H 11B

x ~ x y

Теорема1. Если В - нормированное пространство, линейный ограниченный оператор F : В — В является вольтерровым на системе и, то при любом 7 Є (0,1) линейный оператор FY : B/v(y) — В/и(y) ограничен и ||F7|| ^ ||F|| .

Следствие І. Пусть действующий в банаховом пространстве B линейный ограниченный вольтерровый на V оператор F обратим. Если оператор F-1 вольтерров, то операторы F-1 : B/v(y) — B/v(y) ограничены в совокупности.

Следствие 2. Если B - нормированное пространство, линейный ограниченный оператор К : B — B является вольтерровым на системе и, то при любом y Є (О, І) спектральный радиус р(К) оператора KY : B/v(y) — B/v(y) удовлетворяет неравенству p(K-,) Í Р(К).

Пусть пространство B* является сопряженным к пространству B. Определим при каждом y Є [О, І] в пространстве B* отношение эквивалентности v*(y), полагая (l,l) Є v*(y), если для любых x,x Є B таких, что (x, x) Є и (І —y) выполнено l x = l x.

Теорема 2. Если линейный ограниченный оператор К : B — B является вольтерровым на системе и, то сопряженный оператор К * : B* — B* будет вольтерровым на системе v*(y)■

Если пространство B банахово, и если при любом y Є (О, І) подпространство 0Y замкнуто, то мы говорим, что в пространстве B выполнено V-условие (относительно системы отношений V). В этом случае, при каждом y Є (О, І) пространство B/v(y) является банаховым.

Т е о р е м а З. Если в пространстве B выполнено V -условие, то для линейного ограниченного вольтеррового на системе V оператора К : B — B со спектральным радиусом р(К) К І, оператор (I — К)- 1 также будет вольтерровым на v.

Для того чтобы сформулировать утверждение, позволяющее оценивать, а в ряде случаев и вычислять спектральный радиус вольтеррового оператора, нам потребуется определить следующие операторы. Пусть О К п К Y К І Для вольтеррового на совокупности

V оператора К : B — B рассмотрим сужение Кп : 0П — 0П, которое является вольтерровым на (сужении) V оператором. Это позволяет задать оператор К y : 0П/и (y) — 0п /v(y), К y xY = П Кп x, где x Є 0п - представитель класса xY Є 0п /и (y )■ Возьмем произвольное натуральное k и любые числа 0 = Yo К Y1 К ' ' ' К Yk = І. Определим операторы

КYl = КY1 : B/u(Y1) — B/u(Yl),

Къ-1 : 0Yi-i/v(Yi) — °7i-i/u(Yi), і = 2, k —1,

КYk-l = КYk-l : 0 —> О

К Yk = К : ОYk-l — ОYk-l ■

Заметим, что р(К11-1) ^ р(К) при всех г = 1, к и, согласно следствию 2 к теореме 2, выполнено неравенство

Р(К?-') < Р(К).

(2)

Теорема 4. Пусть в банаховом пространстве B относительно системы V выполнено V-условие, и пусть линейный ограниченный оператор К : B — B является вольтерровым на и. Тогда его спектральный радиус определяется формулой

р(К ) = max р(К Y- )

i=1, k

(З)

где {yí,} - любой конечный набор чисел 0 = Yo К Y1 К ' ' ' К Yk = 1.

В качестве примера применения доказанной теоремы вычислим спектральный радиус интегрального оператора

1

К : Ь([0,1],Я) ^ 1],Я), (Кх)(і) = [ К (і, в) х(в) ¿в, (5)

где K(t, s) = <

1, если 0 ^ s К min|[t k]k+ 1 , 11 , t Є [0,1]

0, если шт|^ кк+ 1 , 11 ^ ^ 1 , £ € [0,1];

число. Схематично это ядро представлено на рис. 1.

k - некоторое натуральное

t

І

І

k

k 1

k -

о о

t

і

і

0 І s 0 k s

Рис. і Рис. 2 k

Этот оператор не является вольтерровым по А.Н. Тихонову. Определим в пространстве L = L([0,1], R) систему V отношений эквивалентности и (7), 7 Є (0,1), следующим образом

h к 1

V x,y Є L (x,y) Є и (y ) x(t) = y(t) при почти всех t Є [0,—-—].

к

Классы и(7)-эквивалентности можно отождествить с функциями, определенными на

ÍY к] -

eY = [0,—к—], т.е. В/и = L(eY,R). Соответственно, 0п/u(y) С L(eY,R) - подпространство функций, которые равны нулю на еп. На рассматриваемой системе V оператор (4)

будет вольтерровым. Выберем y- = k, і = 1,k. Оператор K^l 1 : 0Yi-l/v(y-) — 0Yi-l/v(y-)

также является интегральным,

Yi

(KYi-1 x)(t) = KYi-1 (t, s) xy(s) ds■

Его ядро (см. рис. 2) KY- 1 (t, s) = < ’ ’ i 11 i ’ Спектральный

i-l (t s) = і 1, если (t, s) Є [ Yi-l, Yi V ^ І0, если (t,s) Є [0, Y i ]2\[ Yi-l ,Yi ] 2 ■

радиус оператора K2¡-1 легко вычислить: р(КIі-1 ) = — . Таким образом, на основании

1 н k теоремы 4 получим р(К) = — ■

k

Следствие. Пусть в банаховом пространстве B относительно системы V выполнено V-условие, и пусть линейный ограниченный оператор К : B — B является вольтерровым на и. Тогда спектральный радиус этого оператора удовлетворяет неравенству

р(К) ^ max ЦК^-11|, где {y-} - любой конечный набор чисел 0 = Yo К Y1 < ' ' ' К Yk = 1. i=1,k

Чтобы сформулировать еще некоторые утверждения об обратимости вольтерровых операторов (в том числе и следующие из теоремы 4), определим отображение ZB : [0,1] х

B — R Zb (Y,y) = llnYУІІ BI () при Y є (0,1), Zb (1,У) = ІІУІІ в, Zb (0,У) = lim+n Zb (Y,y).

B/u(Y) Y^-ü+o

Нам потребуется следующее

Определение. Линейный оператор К : B — B называем улучшающим на системе

V , если образом единичной сферы U С B является множество элементов с равностепенно непрерывными нормами, т. е.

Vє> 0 З т> 0 Vx Є U Vy1,Y2 Є [0, і]

|Y2 — Yl| <т ^ | Z(Y2,Kx) — Z(Yl,Kx)| к є, (5)

и, кроме того,

Z(0, Kx) = 0 (б)

при всех х Є и.

Теорема 5. Пусть в банаховом пространстве В выполнено условие V; линейный оператор К : В ^ В является улучшающим вольтерровым на системе и. Тогда спектральный радиус этого оператора р(К) = 0.

Следствие. Пусть в банаховом пространстве В выполнено условие V; линейный оператор К : В ^ В является улучшающим вольтерровым на системе V. Тогда обратный оператор (I — \К)_1 при любом А является вольтерровым на V.

Теорема 6. Пусть в банаховом пространстве В выполнено условие V; линейный оператор К : В ^ В является улучшающим вольтерровым на системе и, линейный оператор Б : В ^ В ограничен и вольтерров на системе и. Тогда, если один из операторов

I — К — Б, I — Б обратим и обратный к нему оператор вольтерров на и, то обратим и другой и обратный к нему также будет вольтерровым.

Следствие. Пусть в банаховом пространстве В выполнено условие V; линейный оператор К : В ^ В является улучшающим вольтерровым на системе и, линейный ограниченный оператор Б : В ^ В вольтерров на системе и. Тогда спектральные радиусы операторов К + Б, Б одинаковы: р(К + Б) = р(Б).

Обобщенно вольтерровый интегральный оператор. Проиллюстрируем использование приведенных выше утверждений на примере интегрального оператора, для чего приведем некоторые результаты работ [7, 8]. Здесь будем предполагать, что измеримая по совокупности аргументов функция К : [а, Ь] х [а, Ь] ^ Я такова, что интегральный оператор

ь

(КУ)(і) = I К(і,в)у(в)^в , і Є [a,Ь}, (7)

а

непрерывно действует в пространстве Ьр = Ьр([а,Ь], Я), 1 ^ р < ж, и является регулярным.1

Пусть каждому 7 Є [0,1] поставлено в соответствие некоторое измеримое множество е1 С [а, Ь] с мерой ц(е1) = 7(Ь — а) таким образом, что

V^, П Є [0, 1] 7 < п ^ е~( С еп. (8)

В пространстве Ьр при любом 7 Є (0,1) определим отношение эквивалентности и (7) сле-

хУсловия действия и регулярности оператора К : Ьр ^ Ьр см., например, в [10, 11, 8, 2].

дующим образом:

V x,y Є L([a,b],R) (x,y) Є v (y) x(s) = y (s) при почти всех s Є eY. (9)

Система V таких отношений удовлетворяет условиям V0) — V2) и (1).

Теорема 7. Для того чтобы оператор K : Lp ^ Lp, заданный формулой (7),

являлся вольтерровым на системе и, необходимо и достаточно выполнения равенства

K(t, s) = 0 почти всюду на { (t,s) | t Є [a, b], s Є [a, b] \ eç(t) }■ Здесь ç(t) = inf{ y | t Є eY }.

Частным случаем приведенного утверждения является известное условие вольтерро-

вости по А.Н. Тихонову оператора (7), состоящее в равенстве K(t,s) = 0 почти всюду

в треугольнике { (t,s) I t Є [a, b], s Є [a, t] }. Отметим, что множество E = { (t,s) | t Є

(b — a)2

[a, b], s Є [a, b] \ ея(t) } С R2 измеримо, его мера /iE = -^-.

В предположении регулярности интегрального оператора K : Lp ^ Lp вычислим n-ую (п = 1, 2,...) степень оператора IK | :

b

(|K|1У)(t) = (|K y)(t) = / Kl(t,s) y(s) ds, где Kl(t,s) = ;

a

b b

(|K| ny)(t)= i Kn(t, s) y(s) ds, где K.n(t,s)=i K\t,Ç) Kn-1({,s) d{.

aa

При каждом t Є [a, b] зададим множества

ш? = { s Є [a, b] | Kn(t, s) = 0 }, шt = [J ш?.

n=1

Пусть Mn(t, s) = K1(t, s) + K2(t, s) + • • • + Kn(t, s).

Теорема 8. Для того чтобы существовала такая система множеств, удовлетворяющих требованию (8), что регулярный интегральный оператор (7) являлся бы вольтерровым на совокупности отношений (9), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1. Mn(t, s)Mn(s,t) = 0 при любом п и почти всех (t,s) Є [a, b] x [a, b];

2. mes {11 mes (шt) ^ y } ^ Y, при всех y Є [0, b — a].

Т еорема9. Для того чтобы положительный интегральный оператор K | : Lp ^ Lp, 1 ^ p < то являлся улучшающим на любой совокупности отношений, определенных формулой (9), необходимо, а при p =1 и достаточно, чтобы для любого є > 0 существовало такое положительное т, что для любых измеримых множеств E, e С [a, b] из неравенства mes e < т следовало

Приведенное утверждение позволяет сказать, что при необременительных "естественных" ограничениях интегральный оператор является улучшающим. В этом случае из воль-терровости оператора следует равенство нулю его спектрального радиуса. Оказывается, что для интегрального положительного оператора \К\ вольтерровость на какой-нибудь системе V является и необходимым условием того, что р(\К\) = 0.

Т е о р е м а 10. Если интегральный оператор К : Ьр ^ Ьр, определяемый равенством (7), является регулярным, и если спектральный радиус положительного оператора \К\ : Ьр ^ Ьр равен нулю, то существует такая система V отношений, определяемых формулой (9), что оператор К вольтерров на этой системе.

Отметим, что в формулировке последнего утверждения нельзя заменить условие р(\К\) = 0 более слабым р(К) = 0. Так, например, оператор К : Ь([0,1], К) ^ !([0,1],Д),

(Ку)(Ь) = (£ — 0, 5) у y(s)ds не является вольтерровым ни на какой системе V отношений о

(9), хотя его спектральный радиус р(К) = 0.

1. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Вып. 8.

Т. 1. С. 1-25.

2. Забрейко П.П. Об интегральных операторах Вольтерра // УМН. 1967. Вып. 1. Т. 22. С. 167-168.

3. Курбатов В.Г. Об обратимости запаздывающих операторов // Теория операторных уравнений. Воронеж, 1979. С. 43-52.

e E

1

ЛИТЕРАТУРА

4. Feintuch A., Saeks R. System Theory. A Hibert space approach. Academic Press. New York, London, 1982.

5. Гусаренко С.А. Об одном обобщении понятия вольтеррова оператора // Докл. АН СССР. 1987. Т. 295. № 5. С. 1046-1049.

6. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // Докл. АН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056-1059.

7. Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 9. С. 1599-1605.

8. Жуковский Е.С. Линейные эволюционные функционально-дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Тамбов: Изд-во ТГУ, 2003. 140 с.

9. Жуковский Е.С. Неравенства Вольтерра в функциональных пространствах // Ма-тем. сб. 2004. Т. 195. № 9. С. 3-18.

10. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

11. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустырник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 500 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, №07-0100305, темплана 1.6.07, Норвежской национальной программы научных исследований FUGU при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского комитета по развитию университетской науки и образования NUFU, грант PRO 06/02, Центра общей генетики CIGENE при Норвежском университете Естественных наук, Норвежского ученого Совета и Норвежского государственного образовательного фонда Lanekassen

Поступила в редакцию 10 ноября 2008 г.

The generalized definition of the Volterra property for operators is represented. It is shown that a series of fundamental statements of the integral Volterra operators theory are also true for linear Volterra-generalized operators.

Key words: Volterra-generalized operator, second order Volterra equation, spectral radius, integral operator, Volterra property of a conjugate operator.

ЛИТЕРАТУРА

1. Tichonov A.N. On functional equations of Volterra type and it’s applications to some problems of mathematical physics // Bulletin of Moscow University. Section A. 1938. V. 1, № 8. P. 1-25.

2. Zabreyko P.P. On Integral Volterra operators // UMN. 1967. V. 22, № 1. P. 167-168.

3. Kurbatov V.G. On reversibility of operators with delay // Operator equations theory. Voronezh, 1979. P. 43-52.

4. Feintuch A., Saeks R. System Theory. A Hibert space approach. Academic Press. New York, London, 1982.

5. Gusarenko S.A. On a one geralization of Volterra operators conception // Rep. SA USSR. 1987. V. 295, № 5. P. 1046-1049.

6. Sumin V.I. Functional-operator Volterra equations in optimal control of allocated systems theory // Rep. SA USSR. 1989. V. 305, № 5. P. 1056-1059.

7. Zhukovskiy E.S. To theory of Volterra equations // Differ.equations. 1989. V. 25, № 9. P. 1599-1605.

8. Zhukovskiy E.S. Linear evolutionary functional-differential equations in Banach space. Tambov: Publishing house of TSU, 2003. 140 p.

9. Zhukovskiy E.S. Volterra inequalities in functional spaces // Math. col. 2004. V. 195, № 9. P. 3-18.

10. Kantorovich L.V, Akilov G.P. Functional analysis. M.: Science, 1984. 752 p.

11. Krasnoselskiy M.A., Zabreyko P.P., Pustyrnik E.I., Sobolevskiy P.E. Integral operators in summable functions spaces. M.: Science, 1966. 500 p.