CC BY
56
УДК 517.946
©О.Ю. Николаев
РАЗРЕШИМОСТЬ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С НЕИЗВЕСТНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПОГЛОЩЕНИЯ
Статья посвящена исследованию параболического уравнения высокого порядка ut +ихххх + с/(х)п — f(x,/), где вместе с решением u(x,t) ищется также и коэффициент q(x). При выполнении естественных граничных условий, некоторых условий переопределения, условий принадлежности входных данных определенным функциональным пространством доказывается теорема существования решения. При доказательстве используется комбинация методов линеаризации, продолжения по параметру и теорема Шаудера.
Ключевые слова: параболические уравнения высокого порядка, обратные задачи математической физики.
О. Yu. Nikolaev
RESOLVABILITY OF A RETURN TASK FOR THE PARABOLIC EQUATION OF A HIGH ORDER WITH UNKNOWN FACTOR OF ABSORPTION
Article is devoted to research of the parabolic equation of a high order ut + н........ + t/(x)n — fix, t) , where
together with the decision u(x,t) is looked for as well factor of q(x). At performance of the natural boundary conditions, some conditions of redefinition, conditions of accessory of entrance data a certain functional space proves the theorem of existence of the decision. At the proof the combination of methods of linearization, continuation on parameter and Shauder's theorem is used.
Keywords: parabolic equations of a high order, return problems of mathematical physics.
Введение
Исследуется задача нахождения вместе с решением u(x,t) параболического уравнения высокого порядка
ut+uxxxx+q{x)u = f{x,t)
также коэффициента q(x). При выполнении естественных граничных условий, начального условия и условия переопределения, принадлежности входных данных определенным функциональным пространствам доказывается теорема существования решения. Ранее подобные задачи изучались при специальных (менее общих, чем в настоящей работе) условиях, в статьях [1, 2].
1. Постановка задачи.
Пусть область Q есть прямоугольник {(х,/) | х е (О,1),( е (О, Т)\,(Л = {х | х g (0,1)}. Функции f(x,t), щ(х), urfx), (po(t), (рi(t) , (р2(t), (рs(t) заданы при/^х,?) е L2(Q), ft(x,t) е L2(Q).
Обратная задача: найти функции u(x,t), q(x), связанные в прямоугольнике Q уравнением
ч + иш+ Ф)и = /<>> 0, (1)
при выполнении для функции u(x,t) условий
м(х,0) = мо(х),хе Q, (2)
и(х, Т) = щ (х), хеО, (3)
и(0,0 = % (0, м( 1,0 = (рх it), t е (0, Т) (4)
Щ (о, 0 = (рг (0, Щ (1,0 = <ръ (0, t е(0,Г). (5)
2. Разрешимость обратной задачи.
Определим пространства V,VX:
V = {v(x,t): v(x, t) g L2(Q),vt(x,t) g g L2(Q),
v(x,T) g L2(Q),v(0,t) = v(l,0 = vx(0,t) = vx(1,t),t g (0,T)j, с нормами Vl = {v(x,t): v(x,t) eV,vt(x,t) e Vj
С помощью сдвига
у(х, /) = и(х,1)-(!(х,1), и(х,1)= -2^1(0 + ^з(0 + 2^0(0 х3+
+ Ъ(рх (0 -сръ t - 1(р2 t - Ъ% t х2 + ср2 t х + <р0 t , уравнение (1) и начально-краевые условия (2), (3), (4), (5) преобразуются к виду
^+^+Ч(х)(у + и) = /1 х,* ,
/0,0 = / 0,0, у(х,0) = у0(х),у0 х =м0 х -С/ х,0 ,хе 0,1 у(х,Т) = ^(х),^ х = м1 х -С/ х,Г ,хе 0,1 у(0,0 = у(1,0 = их 0,? =ух 1,? = 0,?е О,Г .
Положим а х =/ Х,Т ~и^х\р х =---------------3_5
(6)
(7)
(8) (9)
иг(х)
а(х) = г^^,Ь(х) = /1 х,0 -и0хххх0)-^-[/ х,Т -и1хххх х ]. м1 х м1 (х)
Пусть числа к0,кг,к2,к4,а0, Д//0 - некоторые положительные числа, роль которых мы проясним
ниже. Определим также числа а,(3,а,а1,а2,Ь,Ь2,и1,/1,с0,В,К6:
а = ||а х II ,В = \\В х || ,11, =||£Л(х,0||, ^ ,о = ||о х ||
II III* п \у 11^ п ’ 1 II д ’ II п ’
Ь = \\Ь х
,а, = а„ х
,«2=Рх* х
’2 хх
/ = /, х,Н ,с0 = аа2+аЬ2+ 2а\ +аха2+2а\Ь2,
II \\Ь1 Q
В =
12 а а\ 4с0-------„-г — - 7-----
■ н--- аа2+2а\ +2а1Ь2 ч-агбг+ашг
—2—2 )3 и,т.
Теорема 1. Пусть выполняются условия
и0 х е С4 <2 ,м1 х еС4 е ,(pi ? еС О,?7 ,/ = 1,________,4,
Г6<1
|М1(х)|>^0>0,хее, 1 - а > ^ > О,
| а х | >а0> 0,| Р х | <
о</,0<^.
0 р
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
Тогда для любой функции Д.х,1) такой, что /(х,1) е 1,1(0),/1(х,1) е /<2(0), обратная задача
имеет решение и(х,1)^}¥2л(())^(х)еЬ2 О .
Доказательство. Перейдем к прямой задаче нахождения у(х,0. Из уравнения (1) при 1=7 имеем представление для д(х):
((хА)-и, х — V, х,Т я(х) = М 1Ш. ---5 я(х) = а(х) + Д х)уДх, Т).
щ{х)
При t=0 выполняется
уДх,0 ) = а(х)у((х,Т)+Ь(х). ^
Продифференцируем уравнение (6) по V.
V*+''***+ «(х) + Дх)уДх,Г) у(+У( =/Дх,0- (16)
Рассмотрим краевую задачу: найти функцию \(х, 0, являющуюся в прямоугольнике <2 решением уравнения (16) и удовлетворяющую условиям (7), (8), (9), (15). Разрешимость данной краевой задачи докажем комбинируя метод срезывающих функций, метод продолжения по параметру и метод неподвижной точки. Именно с помощью решения данной краевой задачи и будет построено решение исходной обратной задачи.
Определим срезывающую функцию (Цс):
^,если\^\ < /и0
&(%) = \^если£, >М0’
-ц0,если% <-ц0.
Применим операцию срезки к уравнению (16) и рассмотрим краевую задачу: найти функцию у(х,1), являющуюся в прямоугольнике <2 решением уравнения
V* + ^ + Г «О) + Р(Х)С V, Х,Т ] V, =
(17)
= /и(х,0~[а(х) + /3(х)С V, х,Т ][/,
и удовлетворяющую условиям (7), (8), (9), (15). Разрешимость этой задачи мы докажем с помощью метода продолжения по параметру и теоремы Шаудера.
Пусть г(х,0 есть произвольная функция из пространства V/. X есть число из отрезка 0,1 .
Рассмотрим еще одну краевую задачу: найти функцию у(х,1), являющуюся в прямоугольнике <2 решением уравнения
Vы+VШct+\a X +/3 X С 2, Х,Т ]у,=
Г 1 (17г)
= х^ -\ а х + /3 х О х,Т £/,
и такую, что для нее выполняются условия (7),(8), (9), а также следующее условие:
^(х,0 ) = Аа(х)^(х,Г) + й(х). (15х)
При Х=0 данная задача есть начально-краевая задача для линейного параболического относительно функции уравнения, разрешимость ее в пространстве V при выполнении
некоторых условий согласования и гладкости (которые будут указаны ниже) известна, см. [3]. Зная функцию уДх,0, нетрудно найти саму функцию \’(х, / ) из пространства V/. являющуюся
решением задачи (17г) с условиями (7), (8), (9), (15;) при /. 0. Для того, чтобы получить
разрешимость задачи (17г), (7), (8), (9), (15; ) при всех X (в том числе и при X = 1), достаточно
установить наличие равномерной по X априорной оценки возможных решений этой задачи в пространстве К;.
Обозначим о) = у1 .
Для получения первой априорной оценки умножим уравнение (172) на со и проинтегрируем обе части по области <2. Интегрируя по частям, получим следующее равенство:
— |со2{х,Т)йх|®2(х,0)б/х + ^со2хх(1х(1т+
2 П 2 п о п
т
+1 |[аг(х) + /?(х)0( ъ((х,Т))\о}2ёхс!т =
о о
т т
1^ (х,г)<ж/х£/т - ||[а(х) + /?(х)б( гДх,Г))]?7гйж/хб/г.
В силу (13)и(14) выполняется неравенство
а(х) + /3(х)0(г1(х,Т)) > 0,х е 0,1 ,
что позволяет оценить интеграл
т
||[а(х) + /?(х)С(гг(х,77))]®2й6сй?т > 0.
о о
Используя неравенство Юнга и условие (15^), получаем оценки
\а>2(х,0)<±с < а2(1 + З2) \а>2(х,Т)сЬс + (1 + —т)62,
п п 3
т е2 с2 т
| ||[сг(х) + Р(х)0(1,)У\и,а>сЬс1т |< (—+ —) 11®2йхёт +
о п ^ ^ о п
ДДл|г(1 П1Г
282 231
Т 2 Т
| ^/и(х,т)о)(х,т)сЬсс1т\< — Л<г/(х, т^йхйтл—
О П ^ О О 2^4
Можно оценить
I Т |
— ^со2(х,Т)сЬс + ||©^(х,г)й?хй?г< — а2{\ + 82) ^со2{х,Т)ёх +
п 00 _ _ п_ Число 8\ выберем с
+ ^+8^8^ | р ^ т)с1хс1т +1 (1 + 1 + + X. + ри±_ т и 2<(х Т) |£
2 ой 2 8, 282 284 2<?3
учетом условия (12): <^2 =
Положим <5? = &2 = 82 = —,к2 — тт(—).
2 3 4 2 4 4
Первая априорная оценка будет иметь следующий вид:
|о2(х,77)б/х+ ||®^.бйсб/г < Кх +К21| гДх,Г)
^1=1(^ + у;2 + 1(1 + ^ )й2),
/^2 ^ /С|
К2=—(32и2Т.
к/
кс(п)’
Для получения второй априорной оценки умножим уравнение (17г) на й)[ и проинтегрируем обе части по области <2. Интегрируя по частям, получим следующее равенство:
Т | |
||©2б/хб/г + — ^со^х^^х + — |[а(х) + /3(х)С(г1(х,Т))]а>2(х,Т)с1х =
I XX \ 7 ' /-Ч
О. п
- ^со^х, 0)б/х + — |[аг(х) + +
2 п ^ п
т
ш. (х,т)сотёхёт - | |[«(х) + Р(х)С(21(х,Т))]ита>^хс1т.
т
+
00 00 Применяя неравенство Юнга и условие (15^), придем к следующим неравенствам:
х + р х О г( х,Т ~^я2 х,0 с!х =
О.
= Л^сс х + /5 х О г( х,Т а2 х са2 х,Т +2а х со х,Т Ь а +Ь2 х с!х <
п
< х + Р х О г( х,Т ^ 1 + <502 а2 х со2 х,Т + 1 "^2"^
^<о2а х,0 с!х = {(«« Х>Т “ * + 4тхх х,Т сох х,Т а х ах х +
£2 я
+2шх> х,Т со х,Т а х х +2еоа х,Т а(х)Ьхх(х) + 4со2(х,Т)а2(х) + +4сох{х,Т)са{х,Т)ах{х)ахх{х) + 4юх{х,Т)ах{х)Ьхх{х) +
+со2(х,Т)а2хх + 2о{х,Т)ахх(х)Ъхх(х) + Ъ2хх(х)) <
< А^а>2хх(х,Т)с1х + В6 ^сд2(х,Т)сЬс+С.
(
А = а +аа\
д-
2
252 + —у
-\-оо23^ + оЬа + 2о\3^ -\-0\023^3^ +2^/1^2^§,
оо\ ааг 2о\ —
В г = —=—7 н-------------------т- н—т- + 002
о с*2 с*2 с*2 с* 2
^1 2 ^3 5
-2 2й1 Ь2 - - 2
+ 02 Н------~---Н О2О2ОП
С =
агбг 72 а Ь0 ----^ + Ь 2+-----^
Следовательно,
, %о + %+%У'
1
^со2с1х1т + — 1 - А |<
со2 х.Т7 б/х +
+ -][« х + /3 х С х,Т ~^о2 х,Т йх<
< — Л~а х + /3 х С х,Т ^
1 + ^2 а2 х со2 х,Т +
Г, 1 н—— >
Ь2 х ёх +
1 ; У
+ —В£ \со2 х,Т сЬс + А,+А, ||г» х,Т
9 •*
А ~?2 f \ + Г. С.2 аи\+ ,^2 /? с/, г.
2<3,„ 20,, 2 20,,
1 21| г ||^ п ,
1 —2—2л
'12
1—2 1 —2—2 С
2"
Условие (12) позволяет положить
30=^,32 = 32=Л^,32=32=32=32 = 32=^-,
2 а
\2аа\
31=39= 1Д2 = £2 = £2 =
4с„
Тогда ^3 = ппп^;^|.
Вторая оценка будет иметь вид:
||ют2б/х^г + |е£ х,Т ёх < К3 + ||гг х,Т
-2 / —2 \С —2 Л
1 ъ , 2а - р
1 + а + —
к3 2 к, 2
- V 1 /V /
-2 —2 Л —2—2
1 6 , 2а 1 + + вр и!
^3 4 К \ 1 / 2 к2
1 —2 —2—2 1-2-2 1 —2 2 С„ 2
+ —/, +« С/1 + —агЬг + —Ъг н-------------аЬг
2 2 2 к
Т + /3 ихт
порядка с
Третья оценка для а>(х, £) получается после умножения уравнения (17г) на Л)гггг (х.Г) и интегрирования по области <2. Приходим к равенству:
т \ т
+ - х,т * + * + Р X О г, х,Т У)(ошсёхёт =
о а а о а
1 т т
= - ||ИХ) + Р(х)С(гХх,Т))]игат<Ыт.
п о о о п
Оценим сверху функцию а х + р х С х,Т :
а х
+ р х G zt х,Т <a + p\zt х,Т | < « + /?-=■ = а + а0.
Применяя данную оценку, неравенство Юнга, первую и вторую оценки, а также представление
для |й£ х,0 dx, можно записать:
п
т к
J $®LcdxdT + XJ 2 dx<
0 Q Q
J » J 2 2 1 2 ___2
<— B\co2 x,T dx л—aibi н—bi н----abi +
1 J 9 lb
28
я2 + я2 + я2 + я2 T.. a + an T,
+ 1 -t -1 ^
on
1 —2 1 —2—2 1 —2—2 и
+ -=-/! + ^a Ui +^P U,T\\zt x,T S2 1 2&2 28. 11 '
| ^ordxd т -
1 0 Q
|2
Зафиксируем
S2 = S22 = Sl = S2 =^,K=
В результате получим третью априорную оценку:
<К5 +К6 \zt х,Т
К<-±-
— 2 -2-2 -2 4 Сп 2 —2 —2—2
В + 4а + а0 Kl+ci2b2+b2-\----------abi +4/j +4а U\
1 — 2
— В + 4 сс + ссГ< + 4
P2UiT.
Используя представление
v(x,t) = + V х,0 ,
нетрудно получить суммарную оценку \'(х, t) в пространстве F,:
llv хЛ II <N, +NAz. х,Т "
IL, Cl ’
N, = 2 + 4T К, +K^+ 1 + 2T K, + 2T ||vnf +||v0||2 , ,ro „
1 13 5 II 011^ Q II Oxcll^ n II OxxxxWi^ Q ’
+ v„
Т.к. выполняется неравенство
N2 = 2 + 4T K2+KA+ 1 + 2T K6.
zt(Х,Т) 111(n)^llz<X0l§
то краевая задача (17г), (7),(8), (9), (15; ) порождает оператор Ф, действующий из пространства V,
Выполнение условий теоремы позволяет подобрать числа Кц. ^ так, что оператор Ф будет переводить множество Wв себя.
Выберем произвольный элемент г(х.I) из множества W. Тогда
В качестве числа ^ возьмем произвольное число из промежутка [ + Л''2/^ 2 ,+ао). Тогда для
решения краевой задачи (17г), (7), (8), (9).( 15; ) будет выполняться неравенство
и оператор Ф будет переводить множество Wв себя.
Доказательство вполне непрерывности оператора Ф в пространстве при наличии полученных выше априорных оценок аналогично доказательству в работе [4]. Замкнутость, выпуклость и ограниченность множества Ж очевидна. Согласно теореме Шаудера, оператор Ф имеет в множестве W неподвижную точку, т.е. существует функция ) <Е Ж, являющаяся
решением краевой задачи (17г), (7), (8), (9), (15/;). Наличие равномерных по X априорных
оценок решения краевой задачи (17г), (7), (8), (9), (15я) является достаточным условием
существования решения краевой задачи (17г), (7), (8), (9), (15).
Для найденной функции имеет место оценка
Поэтому для выполняется равенство
С V, х,Т =у( х,Т .
Другими словами, решение v(л:,^) краевой задачи (17),(7),(8),(9),(15) является решением краевой задачи (16),(7),(8),(9),(15).
Выполним интегрирование в уравнении (16) по временной переменной от 0 до текущей точки и определим функции и(хА). с^х) следующим образом:
V2 + V,2 + + V2 + ёхЛ < Л,
в
14 п
2
Из третьей априорной оценки имеем
п
При выполнении условия (10) будет выполняться неравенство
е
и(х, 0 = у(х, 0 + и(х, 0, д(х) = а(х) + /3(х)уг(х,Т).
Очевидно, что функции и(х, t), связаны в области Q уравнением (1). Учитывая выполнение для функции u(x,t) условий (2), (3), (4), (5), а также полученную по ходу доказательства принадлежность функций v(x,t) и vf (Л', 7 ) пространствам V/ и Z2(Q) соответственно, мы окончательно получим, что функции u(x,t),q(x') представляют собой требуемое решение обратной задачи. Теорема доказана.
Заключение
Доказана разрешимость обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка с неизвестным коэффициентом поглощения при ненулевых начальных и краевых условиях с нелокальным условием переопределения.
Литература
1. Кириллова Г.А. Обратные задачи для параболических уравнений высокого порядка: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Рубцовск, 2004. - 102 с.
2. Кожанов А.И., Кириллова Г.А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, вып.1. С. 35-48.
3. Якубов С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.
4. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.
Николаев Олег Юрьевич, преподаватель кафедры математического анализа и методики преподавания математики ИМИ БГУ, тел. 8 914 6385317, e-mail: nikolaev.olegl@vandex.ru
Nikolaev Oleg Yurievich, the teacher of chair of the mathematical analysis and a technique of teaching of mathematics IMIBSU.
