CC BY
32
Механика и машиностроение
УДК 534.282
РАЗРАБОТКА ОБОБЩЁННОГО МЕТОДА РАСЧЁТА КОРОТКОГО ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ДЕМПФЕРА С УЧЁТОМ ШЕРОХОВАТОСТИ РАБОЧИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
© 2011 В.Б. Балякин, И.С. Барманов
Самарский государственный аэрокосмический университет
Поступила в редакцию 10.11.2011
Наибольшее распространение в отечественных и зарубежных двигателях летательных аппаратов получили гидродинамические демпферы (ГДД). Они образуются (рис.1) путем установки наружной обоймы подшипника или втулки, с ней связанной (втулки вибратора 1) во втулку статора 2 с зазором 3 величиной 0,1...0,3мм, в который подается смазка через канал 4.. Вибратор фиксируют от вращения с помощью штифта 5, оставляя, однако, свободу колебательного движения. Для этого штифт 5 устанавливают в корпус с зазором большим радиального зазора 3.
При колебаниях вибратора жидкость перетекает по демпферному зазору в двух направлениях (рис.1) - вдоль оси Z (продольная ось двигателя) и вдоль оси X (по окружности, в плоскости, перпендикулярной оси вращения). Если при колебаниях преобладают потоки в осевом направлении, то демпфер считается коротким, если в окружном - то длинным. В коротком ГДД для улучшения снабжения демпфера маслом питающие отверстия обычно объединяются питающей канавкой 6. В опорах ДЛА длинный ГДД обычно реализуется постановкой концевых уплотнений 7 различного типа (рис.1,г).
Для снижения расхода смазки через демпфер в коротких ГДД также часто используют уплотнения (рис.1,в). В таких демпферах при колебаниях масло в основном вытесняется назад в канавку.
При работе вибратор совершает сложное движение, которое можно представить как сумму двух движений (рис. 1): прецессии линии центров О1О2, соединяющей геометрические центры Оi корпуса и
О2 вибратора, с частотой Q= Ф, и движение вдоль линии центров со скоростью e . Для описания течения жидкости в зазоре введем декартову систему координат xOy, жестко связанную с вибратором. Начало координат - произвольная точка O на поверхности вибратора. Ее угловое положение относительно линии центров определяется углом q>. Положение линии центров OiO2 определяется углом Ф, отсчитываемым от неподвижной горизонтальной оси О2х. Так как вибратор совершает прецессионное движение, то все его точки будут в данный момент иметь линейную скорость прецессии V = e Q, в том числе и точка O начала декартовой системы координат xOy. Течение жидкости в демпферном зазоре описывается системой уравнений сохранения массы (уравнение неразрывности) и второго закона Нью-
тона (уравнения Навье-Стокса). В описанной системе координат эти уравнения имеют вид
div V=0,
— + (V • v) V=F -1 grad P+ ^ V 2 V,
dt y ’ p p
\ C1)
где V, F - векторы скорости и массовой силы элементарной частички жидкости; V- оператор Лапласа; P - давление; р, р -динамическая вязкость и плотность смазки соответственно; t - время.
Эти уравнения выводятся в предположении изо-термичности и ламинарности течения. За один цикл колебаний температура демпферной жидкости поднимается не больше, чем на 0,03 °С, поэтому, обеспечив небольшой проток, течение можно считать изотермическим.
Общего метода решения системы дифференциальных уравнений (1) не существует, поэтому необходимы некоторые упрощения. В частности, можно использовать обычные в теории смазки допущения о малости массовых сил и коэффициента ц=28Ю = SIR = 0,001...0,003, где 8 - радиальный зазор в демпфере при концентричном положении вибратора; D и R - диаметр и радиус вибратора.
Рис. 1. Схема демпфера: а - поперечный разрез; б - короткий проточный; в- длинный; г- короткий непроточный.
Малая величина позволяет пренебречь градиентом давления по толщине смазочного слоя (оси у). В случае медленных течений можно пренебречь также и силами инерции смазочного слоя. При таких
957
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 13, №4(3), 2011
предположениях уравнения Навье-Стокса и неразрывности преобразуются в уравнение Рейнольдса
д h 3 д P ] + f R л
др 1 д ру 1L У
h3 дP
д z"
12^
гял 2
J У
(2)
{еФsin р+scos р)
где z = z/L - безразмерная осевая координата; L -
длина вибратора; h =8(1+е cosp) - величина демпферного зазора на углер; е = е 18 - относительный
эксцентриситет или амплитуда колебаний; е -относительная скорость вибратора вдоль линии центров.
Важным технологическим фактором является качество обработки поверхностей, образующих рабочие зазоры. Влиянию шероховатости на работоспособность подшипников уделялось большое внимание в течение последних 30 лет. Известны работы [1..3], посвященные анализу влияния шероховатости поверхности на среднее давление и несущую способность подшипников в условиях гидродинамической смазки.
Наиболее общую модель трехмерной шероховатости применили Патир и Чжен [1]. Они предложили метод получения усредненного уравнения Рейнольдса с помощью средней величины расхода смазки через зазор с изотропной и направленной шероховатостью поверхностей. Согласно их методике математическое ожидание выражения толщины пленки смазки в формуле расхода заменяется произведением Нх h 3 и Нг h 3, где Нх и Нz - коэффициенты расхода, которые определяется в зависимости от вида шероховатости и значений скоростей вдоль координатных осей х и z. коэффициенты расхода, например, для поверхностей с изотропной шероховатостью хорошо аппроксимируются выражением [1]
Нг = Н х =1 - 0,9exp(-0,56 h /oj ) ,
где h - номинальная величина зазора, определяемая как расстояние между средними уровнями рабочих
поверхностей;
oi = у1о1 + o
среднеквадра-
тичное отклонение совместной шероховатости поверхностей. Сложность данного метода заключается в определении коэффициентов расхода. Аналитически удобно определять номинальную толщину смазочного слоя как расстояние между средними уровнями каждой поверхности. Первыми использовали стохастический подход для решения уравнения Рейнольдса в радиальных под-шипниках Кристенсен и Тондер [2], представив толщину смазочного слоя в виде h =h(p,z)+hs(8), где hs(8) стохастическая составляющая, измеренная от номинального положения поверхности, а % - случайная переменная, характеризующая шероховатую поверхность. В случае
предположения о Гауссовском (нормальном) распределении шероховатости поверхностей, что справедливо при обработке рабочих поверхностей шлифованием или тонким точением, номинальное значение зазора определяется в виде 8=8+3 oj, где 80 -величина демпферного зазора в концентричном положении, измеренная между вершинами микронеровностей. Можно доказать, что среднее абсолютное отклонение Raj=oi 421л =0,798 о [4], следова-
тельно, о =1,25Яаг-. Влияние шероховатости поверхностей будем рассматривать в области малых величин демпферного зазора, поэтому при использовании таких допущений гидродинамическая задача для ГДД, в выбранных координатах (рис.1), сводится к решению усредненного уравнения Рейнольдса в виде
— (Hxh3 —) + R2 Hzh3
др др
д2 P dz2
12^R 2(eQ sinp + e cosp),
где h =80 + 3o j + e cosp - величина номинального демпферного зазора на угловой координате р
Повышение частоты вращения и температуры в авиационных ГТД приводит к росту инерционных сил, появлению турбулентных зон и кавитации в демпфирующем слое смазки гидродинамических демпферов. О важности учета сил инерции, турбу-лизации и кавитации смазки при решении задач гидродинамики в тонких кольцевых щелях неоднократно отмечалось в работах, как отечественных, так и зарубежных авторов [5,6,7 и др.]. Совместный учет этих явлений рассмотрим на примере обобщенной методики расчета короткого непроточного ГДД (см. рис.1,в).
Течение смазки в кольцевом зазоре описывается уравнением Рейнольдса, а для учета местных пульсаций скоростей при турбулентном течении воспользуемся методом В.Н. Константинеску [6] в модификации А.И. Поддубного [7], ограничившись случаем прямой синхронной прецессии с круговой орбитой (е = 0).
Дифференциальное уравнение, опи-сывающее выбранную расчетную модель короткого ГДД, при смешанном режиме течения смазки имеет следующий вид [7]:
_d_ f Hzh3 dPЛ dz ^ Kz dz у
где dP/dz - градиент давления в демпферном зазоре, K -коэффициент степени турбулентности, кото-
12^eQ sinp, (3)
рый согласно [7] принимает значения
1 -при ламинарном
, W4 течении (4) {Re JRe * ) - при турбулентном.
Kz =
Здесь Rc z — локальное число Рейнольдса, ха-
рактеризующее режим течения смазки ( Rc z <2000 -
958
Механика и машиностроение
ламинарный, Rez >2000 - турбулентный) и определяемое выражением
Rez = 2hpVz / Ц, (5)
где Vz - среднерасходная скорость смазки вдоль оси z:
Vz = qjh. (6)
Здесь qz - расход смазки через демпферный зазор
единичной ширины вдоль оси z, определяется зависимостью [7]
qz
Hzh3 dP_ \2цК2 dz
(7)
Проинтегрируем уравнение (3) при следующих граничных условиях (рассматривается одна половина демпфера по оси z, рис.2):
z = 0 Т = 0; z = zгР Я dz dz
P = P ■ z = L P = P
ГТ!Р ГЛ!Р; z 2 P Pn ,
dPT dP j,
Т гр Л гр
dz
(8)
VIII
VI r VII
V
IV
II
Рис. 2. Распределение режимов течения в демпферном зазоре.
где P и P - давление в ламинарной и турбулентной зонах; P и P - давление на границе
Лгр Тгр
этих зон с координатой zzp ; - давление пода-
чи смазки. Тогда получим
dP K ^ .
= 12-----pzeQ s in (р . (9)
dz
Hz h
Проведя подстановки уравнений (6) и (7) в уравнение (5), получим выражение для числа Рейнольдса в виде
Rez = 2peO^ sin р / ц . (10)
Модуль функции sin р в уравнении (10) принимается для того, чтобы иметь всегда положительное число Рейнольдса.
Для решения задачи в аналитическом виде заменим нелинейное уравнение (4) в области с турбулентным течением эквивалентным линейным
Kz = aRez + b. (11)
z3K6 z
Постоянные линеаризации а=3-10-4 и b=0,39 позволяют вычислить значения коэффициента степени турбулентности в интервале чисел Рейнольдса 2000<Re<10000 c погрешностью, не превышающей 5%. Для смешанного течения потока найдем границы перехода режима течения от ламинарного к турбулентному (рис.2), приняв в уравнении (11)
K =1. Для снижения числа переменных в задаче
z3K6
и упрощения анализа перейдем к безразмерным параметрам. Тогда координаты границ в безразмерных параметрах будут
= С1 - ь)т , (12)
р 2asia sin р
где i=L/R; iR=S/R; a= S1 рЮ/ц .
Р1Т ,2Т
<
Р3Т ,4Т
=----+ arccos
2
3 _
= — я + arccos 2
(1 - Ъ)Р
2asiaz (1 - Ъ)Р 2asiaz
(13)
При оценке влияния сил инерции на динамические характеристики при смешанном режиме течения смазки, учет конвективных и локальных сил инерции осуществляется добавкой инерционного слагаемого в уравнение (9) для производной давления. В данном случае согласно [8] после определения постоянной интегрирования из граничных условий (8) уравнение примет вид
dP Р ъ2,
— +------ze И (cosp +
dz H^S
+ 2e
а
Н z/3s
sin2
Р) = 12
Kz
Н zS3
pzeQ, sin р,
(14)
где а=1,2- коэффициент профиля скорости смазки.
Интегрируя уравнение (14) с учетом граничных условий (8), получаем следующие выражения для распределения давления в безразмерных параметрах в демпферном зазоре короткого непроточного ГДД при ламинарном режиме течения (зоны I, IV, V, VII на рис.2):
Рл = Рп - Рв + Ри; (15)
рв =
si (о,25 - z 2 )sinp
2Н z h
3
— s ai2(о,25 -z2 )assin2 р cosp4 П(Л
pU =i/o ( тгз 1 ~ ), (16)
12H 1/3h H ^ 3h 2
S2 Р„
S2 P„
где Pe = -
12pQR
2 и Pu =
12ц QRZ
959
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 13, №4(3), 2011
вязкостная и инерционная безразмерные составляющие давления.
В зонах II и VI выражение для распределения давления имеет вид
(l - b3 )¥2
P = Р - Р + Р -1 Л РП Рв + Ри
as2Ao sin2 y 12 ¥ Hzh3 '
24a2so2Hzh3 sin y
(17)
В зонах III и VII при турбулентном режиме течения распределение давления определяется по формуле
Р = Р - ЬР + Р -
РТ РП ЬРв + Ри
as2A3o(o,125 - z3) |siny| siny . (18) 12 ¥Hzh3
Полученные зависимости (15)...(18) позволяют определить распределение давления в демпферном зазоре короткого гидродинамического демпфера с учётом шероховатости рабочих поверхностей. Составляющие реакции смазки находятся как удвоенная сумма составляющих реакции в каждой из областей с различным режимом течения смазки (зоны I-VIII на рис. 2)
_ VIII _ _ VIII _
FT= 2 £Fy- ; Fr = 2TFRj .(19)
j=1
j=1
здесь p. = — J dZ J p (y, z) sin ydy,
zj Ущ
zkj ykj
FRj = — J dZ J Pi (y, z) cos ydy ,
£2 Fd
r _j J - j
zy ун
= F,
- и F = -
12^R Rj
Где FV = ,п..гл n 2
Rj
- тангенци-
12pDR2
альная и радиальная безразмерные составляющие гидродинамической силы соответственно; P. (y, z) -
безразмерное давление в j-ой зоне; z ■; yHj - ко-
z
kk
ординаты начала, а z, ; yj - координаты конца j-ой зоны.
Подставив в формулу (19) выражения для рл , РЛ и Рт (15)...(18), получим окончательно выражения для безразмерной тангенциальной составляющей гидродинамической силы с учётом шероховатости (здесь и в дальнейшем обозначается верхним индексом i ) в виде
pi _ sA т-2,0|2я as А ° з ,0\2я
F тТ = , ~тт J 3 0 ,,, J 2 0
12H
z
72Н 2
+ 21 zэкв cosyyep +
| Ун
' n z экв c
32
, (1 - b)3 ¥ J 0.0
24a 2so2Hz 3
23
as Ao J3,0 I y2T
16¥H 3 y
(1 - b)4 ¥ 3 _!,o| y2T
J 3 У1Т
?1T 48a 2s2Ao2H
z
(1 h)sk J 2,0 I У2Т + sA
12HZ 3 y Hz
f-
-3 Л
zэкв zэкв
4
3
г2,0 Увр J 3 \Унр
asAo r30 У1в as2A2o 2- z экв -3 У z экв J3’0 J 2
J 3 6¥H z 3 У1н 6H Z/3 4 3 У
(! -b)gA z J2.oI У2в , (1 - b)3¥2 z
4 H7 экв J 3 1У2н + 12a2 so2 H7
23
as A o - 4
3 ¥H,
(1 - b)4 ¥3
z экв J ■
3,0 У2. 3 У2
(1 - b)sA2
3H
z экв J 3
48a 3s2Ao3 H
T-1,0 У2в "J 3 У н
(1 - b)eA2
z
12H
z
T2,0 y4T
J 3 У3Т
as Ao
,__________J3,0 I У4Т , (1 b) ¥ j0,01 y
+ J 3 У7 „2 20- j 3 У
16¥H
z
^ 24a"so2H
(1 - b)4 ¥3 ^-1,0
48a 2s2Ao2Hz 3
z
sA o т-111 2я
+ 144H1/3 J1 I0 •
Зде
м
сь и далее J n интегралы вида
J n = J h ^ sin 1 y cos" y d y ,
где h = 1 + S cos y , i, j, N - целые числа. Для безразмерной радиальной составляющей гидродинамической силы с учётом шероховатости выражение будет иметь следующий вид:
F rt =
sA2
2 л2
as A o
12H
J,
1,1 2я
72H,
2,1 2я 2/3 J 2 0
J
Z
sA2o
+------тлт J02 2я + 2 рП z экв siny
144H1/3 1
Увр
Унр
23
as A o 21
+------Jp
16¥H
(1 - b)3 ¥2
У2Т + У1 b) ¥ J “I.!
24a2 so2 Hz 3
(1 - b)4 ¥3 J-2,1 48a !s‘Ao3H, 3
У2Т У 7
(1 -b)sA2 jU
12H
У2Т
У-
+ ■
s2
-3 Л
zэкв zэкв J1,1 J 3
4 3
V У
Увр +
asAo
6¥HT
г2,Н У1в J 3 У1н
V
IT
У
вр
+
У
нр
+
V
4T
V
У
2Т
У
12'
нр
960
Механика и машиностроение
+
+
as2 а
(-
6Н
2/3
-3 Л
Zэкв Zэкв
4 3
2,1
<Рвр
<Рнр
(1 - b)sA2-3 i
3Н
J
Vi,
Vi,
(1 - b)sA2
4Н
z
v,p + as haj2,i
U i6^H
3
(1 - b)3 T2 12a2sa2Н
" Z экв J 3
z
23
as h Z4 J 2,11 V1,
z эквJ 3 U,
3 ТН
z
z
3
<p
Z экв J
4T
<P
3T
(1 - b)4 T3
48a 3s2Aa3 Н.
j-2,11 V2, (1 b)sh J 1,1
'J 3 V2, J
12Н
3
z
V4T
Ur
(1 - b)3 T2 24a2 sc2 Н
(1 - b)4 T
48a3 s'2 Ac3 Н,
-J.
1,1
z
43
J
4T
V3
2,1
(21)
Для оценки влияния шероховатости рабочих поверхностей на динамические характеристики ГДД, а именно на составляющие гидродинамической реакции слоя смазки выберем область изменения без-
_ а
размерного параметра шероховатости. а = — . При
h
<р
4T
существующих на практике значениях зазоров в коротком ГДД h =40...200 мкм и шероховатости рабочих поверхностей Ла=0,63.5мкм имеем
а = 0,01...0,2.
Рассмотрим зависимости относительных составляющих гидродинамической реакции плёнки смазки fR = / FTf и fR = Ff / Ff от безразмерного
параметра шероховатости а , рис. 3. За относительную тангенциальную составляющую гидродинамической реакции смазки f принимаем отношение
тангенциальной составляющей, вычисленной с учётом шероховатости для полного охвата вибратора смазкой при смешанном ламинарно-турбулентном режиме течения с учётом сил инерции, к тангенциальной составляющей, вычисленной при тех же режимах течения и работы ГДД, но без учёта шероховатости.
В качестве относительной радиальной составляющей f R принимаем отношение для аналогично вычисленных радиальных составляющих.
Учёт качества обработки поверхностей рабочего зазора короткого ГДД повышает точность расчёта
Рис. 3. Зависимости относительных составляющих гидродинамической реакции
от безразмерной шероховатости а .
его динамических характеристик, причём погрешность в расчётах в случае пренебрежения шероховатостью может достигать 80 %.
При значении параметра а< 0,01 можно пренебречь влиянием шероховатости поверхностей, так как погрешность в расчётах динамических характеристик не будет превышать 5%.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Патир, Чжен. Модель усредненного течения для определения влияния трехмерной шероховатости на частичную гидродинамическую смазку// Проблемы трения и смазки. -1978.- № 1.- С. 10-15.
2. Кристенсен, Тондер. Гидродинамическая смазка радиальных подшипников с шероховатыми поверхностями // Проблемы трения и смазки. 1973. -№2.- С. 53-62.
3. Чжоу, Сейбл. О влиянии шероховатости при гидродинамической смазке // Проблемы трения и смазки. - 1978. -№ 2.-С.34-38.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1973. -832с.
5. Nelson C.C. The effect of turbulence and fluid inertia on a squeeze film bearing damper. - AIAA/SAE/ASME 16th Joint Prop. Conf., 1980.
6. Константинеску В.Н. О влиянии инерционных сил в турбулентных и ламинарных самогенерирующихся пленках // Проблемы трения и смазки. -1970. - №3. - C.101-111.
7. Поддубный А.И. О совместном влиянии сдвиговых и напорных течений на характеристики несущего слоя смазки гидростатического подшипника // Исследование и проектирование гидростатических опор и уплотнений быстроходных машин: C6. науч. тр. - Харьков, 1976. - вып.3. -С.35-46.
8. Сидоренко А.В., Эскин ИД Теоретическое определение силы сопротивления короткого гидродинамического демпфера с уплотненными торцами с учетом инерции и турбулизации жидкости / Куйбыш. авиац. ин-т. - Куйбышев, 1984.- 23с.-Деп. в ВИНИТИ 1984, № 6356.
DEVELOPMENT OF GENERALIZED HYDRODYNAMIC METHOD OF CALCULATING SHORT DEMPER BASED ROUGHNESS OF WORKING SURFACES
© 2011 V.B.Baljakin, I.S.Barmanov
The Samara state aerospace university of a name of academician S.P. Korolev
961
