CC BY
71
УДК 629.7.036
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РЕЛАКСАЦИОННОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ОПОРЫ РОТОРА ЧАСТЬ 2. НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ
© 2002 Ф.М. Шакиров, В.Б. Балякин
Самарский государственный аэрокосмический университет
В работе приведены исследования опор роторов двигателей летательных аппаратов (ДЛА) с помощью реологических моделей релаксационного демпфирования. Получены амплитудно-частотные и резонансные характеристики относительного эксцентриситета в демпфере и коэффициента передачи динамического усилия через опору при различных условиях ее функционирования.
Квадратичное трение
Рассмотрим динамику опоры ротора газотурбинного двигателя (ГТД) при турбулентном течении смазки (квадратичное трение) в демпферном зазоре гидродинамического демпфера (ГДД) (описание опоры, ее расчетной схемы и приведение к упруго-демпферным моделям рис.1 смотри в 1-ой части статьи [1]).
Динамика массы М на упруго-демпферной подвеске в виде реологической модели Пойнтинга-Томсона (рис.1в) с жесткостями опоры - С0 и слоя смазки ГДД - С} при квадратичном (нелинейном относительно скорости) трении описывается системой уравнений [2]:
Мх(г) + СО х(г) + С1 [х(г) - х1 (г)] = Рв (г )1
С1 [х(г) - х1(г)] = Л [х^)]2 • 8§П[Х1(Г)], (1)
которая сводится к дифференциальному уравнению третьей степени:
-Л Хк + к1(1 + П /0(Хк - Ха) + Хк = 0, (2)
где
А = -1 х(ґ) + -1 \м'х(ї) - Рв (Г)] в = ■
N
В
С
(3)
Мх(г) + В3 В2 Л БВИ В + ВСУ х(г) = Рв (г), (4)
где В = ВВ х(г)+-В— \мх(г) - Рв (г)].
В ВС П
В уравнениях (1)-(4) х(г)- функция от времени смещения массы ротора из равновесного положения под действием возбуждающей силы Рв(0, а х(г), х(г), х (г) - первая, вторая и третья производные по времени функции х(1;), соответственно; Рв (г) - производная по времени от функции Рв(0; х1(^), х1 (г) - смещение и скорость точки сочленения упругого и диссипативного элементов в функции от времени; СП и СУ - жесткости подшипника и упругого элемента, соответственно (рис.1).
Сравнение уравнений движения (2) и (4) позволяет сделать вывод о динамической эквивалентности колебательных систем, представленных на рис.1б и рис.1в. При сопоставлении коэффициентов однородных членов указанных выражений видно, что при квадратичном демпфировании в ГДД
'1 # +1' Динамика колебательной системы, изображенной на рис.1 б, соответствует иной системе уравнений:
Мх0) + СП [х(г) - х1(г )] = Рв (1) 1
С П Х(г) - х (г)] = йхх (г) + Су хх (г) ]
приводимой к дифференциальному уравнению вида
а)
б)
в)
Рис.1. Реологические модели опоры ротора
СО /СУ = N /(N+1); d/d = [N /(N+1)] 3, (5)
где d, d - коэффициенты квадратичного демпфирования в моделях рис.1.в и рис.1.б, соответственно; N = СП /СУ= С1 /С0 - безразмерная жесткость. Соотношения (5) позволяют результаты, полученные для одной из колебательных систем на рис.1б или рис.1в, интерпретировать для другой. Поэтому ниже будем рассматривать только колебательную систему по рис.1в.
Для оценки виброзащитных свойств опоры ротора, определяющих уровень вибрации корпуса ДЛА и величины амплитуд резонансных колебаний ротора, вновь используем функции коэффициента передачи динамической силы |1С (далее - коэффициент передачи силы) и относительного эксцентриситета £ = х/50 от относительной частоты возбуждения n = w /w0 - |1С(п) и £ (п). Здесь 80 -величина демпферного зазора ГДД в концентричном положении втулки-вибратора; w -частота вращения ротора; ю0=(ССТ/М)0,5 - собственная частота недемпфированной колебательной системы, где ССТ = СО для упругодемпферной модели на рис.1в и
С = С С /(С +С )
СТ П ^у'У^П у'
для модели на рис.1б.
Для определения выражений функций ДС(П) и £(п) воспользуемся процедурой эквивалентного вязкого демпфирования [2], предполагающей аппроксимацию нелинейной диссипативной силы эквивалентной ей линейной силой вязкого демпфирования по равенству энергий, рассеиваемых за цикл колебаний нелинейным и вязким демпферами, возбуждаемых одним и тем же гармоническим относительным смещением [3]. Данное допущение сравнимо с аппроксимацией функции нелинейной силы от времени первым членом ее разложения в ряд Фурье. Большее число членов разложения в ряд Фурье может быть учтено для повышения точности и для оценки искажения формы возмущающего сигнала, но это связано с усложнением анализа. Отметим, что устойчивые решения, получаемые в предположении эквивалентного вязкого демпфирования, идентичны получаемым с использованием метода усреднения
Ритца [4].
С учетом аппроксимации квадратичного демпфера система уравнений (1) запишется в виде
Мх (ґ) + СО х(ґ) + С1 [х(ї) - х1 (ґ)] = ¥В (ґ )1
С1 [х(ґ) - х1(ґ)]= Лэквх1(ґ)’ (6) где ^ = 8ёю х10/3л - коэффициент эквивалентного вязкого демпфирования для квадратичного демпфера; х10 - амплитудное значение функции х1(ґ). После ряда преобразований на основании системы уравнений (6) получаются приближенные выражения искомых функций [2]:
22
1 + H[(N +1)/(N +1 -г )]
(1 -n )2 + H
є(Г)
u {г + Е[п /(N +1 -Г )]2}
(1 -r2)2 + Е
(7)
(В)
где параметр
- (1 -п2)2}/2;
в2С=ёы02Е0 /ССТ2 - безразмерный параметр квадратичного демпфирования при силовом нагружении; ^0=Аю2 - амплитуда возбуждающей нагрузки на частоте вращения ротора; и = А /МЬ0 - относительный дисбаланс ротора; А - рабочий дисбаланс ротора.
Зависимости (7) и (8) для значений параметров N = 3 и и = 0,3 в графическом виде представлены на рис.2.
Из анализа функции ДС(л) следует, что при нулевом и бесконечно большом значениях демпфирования (параметра в2С ) линия АЧХ занимает предельные положения по частоте (рис.2а). При в2С = 0 (то есть релаксационная связь разорвана и масса М поддерживается только пружиной с жесткостью СО - рис.1в) система превращается в консервативную, коэффициент передачи силы у которой:
0
1/(1 -n2)
Бесконечная реакция реализуется при П = 1, что соответствует условию равенства частоты возбуждения ю собственной частоте недемпфированной системы. При в2С =
а)
б)
Рис.2. Амплитудно-частотные характеристики коэффициента передачи силы (а) и относительного эксцентриситета (б) при N = 3 и и = 0,3
(масса М поддерживается обеими пружинами суммарной жесткостью С0(\+Ы) - рис.1в) система ведет себя как консервативная; коэффициент передачи силы при этом имеет вид
ЦС«Н( N + 1)/( N + 1 - п2 )1,
а бесконечная реакция реализуется на относительной частоте п = (1+^0,5, что соответствует равенству частоты возмущения ю собственной частоте юто передемпфированной системы:
■ ^СО (1 + N)/ М =ю0л/1 + N .
частоте п = ^2 при в2С = 0, смещаясь с ростом демпфирования до частоты п =^/2( N +1) при в2С = то. Рост параметров в2С и N уменьшает область высокочастотной виброизоляции и ухудшает ее качество.
Низкочастотный коэффициент передачи силы равен единице, а высокочастотный зависит от демпфирования, безразмерной жесткости, частоты и амплитуды вибровозбуждения:
Через точку пересечения предельных линий АЧХ (инвариантную точку) проходят кривые при всех промежуточных уровнях демпфирования (0 < в2С < то). С ростом параметра в2С от 0 до то резонансные значения функции |!С(п) вначале снижаются, затем проходят через минимум, совпадающий с инвариантной точкой и определяющий оптимальный уровень демпфирования в системе, а затем возрастают. Рост безразмерной жесткости N сопровождается снижением величины минимакса АЧХ, то есть благоприятно сказывается на возможности ограничения вибрации на резонансе.
Высокочастотная виброизоляция осуществляется в области, верхний предел которой отсутствует, а нижняя граница соответствует
1 + (N +1)2 Н
1 + Н
(9)
где Н = 0,5^д/Г^(16в2С"/зжУ)2 -1].
Из равенства (9) видно, что темп затухания высокочастотных колебаний равен 40 дБ/дек, как у консервативной колебательной системы, то есть в 2 раза выше аналогичного показателя системы с упруго-демпферной подвеской в виде модели Кельвина.
Из выражения (8) следует, что резонансная амплитуда колебаний ротора прямо пропорционально зависит от величины его дисбаланса (параметра и), в то время как демпфирование на тот же параметр влияет неоднозначно. Из рис.2б видно, что рост уровня демпфирования (параметра в2С) сопровождается первоначальным снижением резонанс-
ных величин АЧХ, прохождением их через точку минимума (соответствующую оптимальному демпфированию в системе), а в дальнейшем - увеличением. При в2С = 0 и в2С = то резонансные кривые функции £(п) занимают предельные положения по частоте и описываются выражениями £0=|ип2 /(1 - п2)|
- при нулевом и £то = |ип2 /(Ы + 1 - П2)| - при бесконечном демпфировании.Через точку пересечения (инвариантную точку) предельных резонансов проходят все линии АЧХ при промежуточных уровнях демпфирования (0 < в2С < то). Расположение пика резонансной кривой в инвариантной точке означает достижение минимакса АЧХ и является условием его определения. Снижение уровня минимакса можно осуществлять путем увеличения значения безразмерной жесткости N.
Относительный эксцентриситет при П^то принимает значение £ = и, а при п^ 0 - £ = ип2. Таким образом, на рабочих оборотах величина безразмерной амплитуды коле -баний ротора стремится к значению безразмерного дисбаланса, а темп снижения низкочастотных колебаний равен 40 дБ/дек (как у консервативной колебательной системы).
Следовательно, при заданном относительном дисбалансе и выбор величин параметра в2С и безразмерной жесткости N обусловлен достижением компромисса между двумя требованиями: с одной стороны - по ограничению амплитуд передаваемой на кор-
пус силы и смещения ротора на резонансе, а с другой - на диапазон и качество виброизоляции.
На основании численного анализа выражений (7) и (8) получены зависимости резонансных значений коэффициента передачи силы ^Ср и относительного эксцентриситета £р в функции от безразмерного параметра квадратичного демпфирования в2С для ряда значений безразмерной жесткости N (рис.3 и рис.4).
Линии графика функции |1 (в2С) имеют вид, близкий к квадратичным параболам с минимумами по ординате, которые соответствуют оптимальным величинам параметра в2С (рис.За). В окрестности минимаксов функция имеет наименьшую чувствительность к изменению уровня демпфирования. При N > 0,5 и величинах параметра в2С < 0,03 функция существенно независима от значения безразмерной жесткости.
Безразмерные резонансные частоты пр (рис.Зб) приблизительно равны единице для всех значений безразмерной жесткости при величинах параметра в2С < 0,05. При N < 1,0 линии графика функции Пр(в2С) только возрастают, стремясь к величине ^+ 1)0,5 при Р2С^то.
Для значений N > 1,0 они вначале снижаются (тем больше, чем выше значение безразмерной жесткости), а затем возрастают, стремясь в пределе к величине ^ + 1)0,5. В
Рис.3. Резонансные характеристики по коэффициенту передачи силы
Рис.4. Резонансные характеристики
случае N = то для любых уровней демпфирования справедливо неравенство < 1, что соответствует резонансной характеристике колебательной системы с упруго-демпферной подвеской в виде модели Кельвина.
Сопоставление рис.За и рис.Зб показывает, что оптимальные значения параметра в2С соответствуют участкам с наибольшим темпом изменения функции резонансной частоты Пр(в2С) как и в случае с вязким демпфированием. То есть, малое отклонение параметра в2С от оптимума по причине, например, изменения режима силового нагружения опоры или температурных колебаний, может вызвать значительное смещение резонансной частоты системы. Таким образом, для минимизации резонансного коэффициента передачи силы оптимальная величина параметра квадратичного демпфирования желательна, однако высокая чувствительность резонансной частоты к величине параметра в2С может быть неприемлемой при условии необходимости поддержания ее относительной стабильности. В таких случаях предпочтительным является (как видно из рис.З) более низкий уровень параметра в2С в сравнении с оптимальным, что позволяет сгладить данный негативный эффект.
Из рис.За и рис.4а видно, что характеры функций ер(р2С) и |і (в2С) аналогичны. Поэтому выводы, сделанные выше в отношении влияния вариации безразмерных параметров
по относительному эксцентриситету
в2С и N на резонансный коэффициент передачи силы, правомочны и для относительного эксцентриситета на резонансе. Рис.4а свидетельствует также о том, что для и = 0,3 и N < 1 при любых уровнях параметра в2С эксцентриситет на резонансе имеет величину, недопустимую с точки зрения обеспечения работоспособности нерегулируемого ГДД. Данное обстоятельство накладывает дополнительные ограничения на область допустимых значений параметров опоры при ее проектировании.
Относительные резонансные частоты для всех значений безразмерной жесткости и небольших величин квадратичного демпфирования (в2С< 0,1) приблизительно равны недемпфированной собственной относительной частоте (Пр ~ 1) - смотри рис.4б. Линия графика при N = то соответствует резонансной характеристике колебательной системы с упруго-демпферной подвеской в виде модели Кельвина. С ростом параметра в2С линии графика функции Пр(в2С) плавно растут, асимптотически приближаясь к величине (N+1)^ при Р2С^то, причем темп роста увеличивается при N^то. Наибольшая скорость изменения резонансной частоты при фиксированном параметре N соответствует окрестности значений параметра в2С ~(Р2С)ор1, что имеет негативные последствия, подобные описанным выше для резонансной частоты по коэффициенту передачи силы.
Уровень квадратичного демпфирования в рассматриваемой колебательной системе может быть оптимизирован посредством определения оптимальной величины безразмерного параметра в2С = (в2С)ор при заданных значениях безразмерной жесткости и амплитуды вибровозбуждения. Способ определения оптимальной значения параметра в2С связан с феноменом минимакса реакции на вибровозбуждение, о котором выше уже упоминалось. При данной величине безразмерной жесткости N значение в2С = (в2С)ор определяется по совпадению резонансного пика АЧХ с инвариантной точкой. Определенные численным методом для рассматриваемых АЧХ значения (в2С)ор в функции параметра N представлены на рис.5а. На рис.5б приведена кривая минимаксных значений рассматриваемых АЧХ при относительном дисбалансе ротора и = 0,3, которые через безразмерную жесткость можно привести в соответствие со значениями (в2С)ор на рис.5а.
Из рис.5 видно, что при оптимальных величинах параметра в2С с ростом безразмерной жесткости резонансные значения коэффициента передачи силы асимптотически стремятся к единице, а относительного эксцентриситета - к величине относительного дисбаланса. В общем случае оптимальное демпфирование (как и при линейном трении) имеет разные величины для коэффициента передачи силы и относительного эксцентри-
ситета, которые однако практически совпадают при значениях параметра N < 1.
Таким образом, невозможно обеспечить одновременно оптимальный уровень демпфирования для коэффициента передачи силы и относительного эксцентриситета при N > 1. Данное обстоятельство наряду с необходимостью соблюдения требований по диапазону и качеству виброизоляции является причиной принятия компромиссного решения на этапе выбора уровня квадратичного демпфирования в рассматриваемой колебательной системе с релаксационным механизмом демпфирования. На принятие решения в каждом конкретном случае оказывают влияние конструктивные и функциональные ограничения на опорный узел ротора в совокупности с выявленными в настоящей работе закономерностями и особенностями динамики подобных конструкций.
Все рассмотренные выше реологические модели упругодемпферных опор (рис.1) теоретически обоснованы для линейных областей зависимостей параметров жесткости и демпфирования от амплитуды колебаний. В реальных конструкциях опор роторов используются в основном демпферы, имеющие в области больших амплитуд прецессии нелинейные демпфирующие характеристики. Например, нерегулируемые гидродинамические демпферы опор роторов имеют линейные участки демпфирующих характеристик лишь
а) б)
Рис.5. Оптимальные величины параметра квадратичного демпфирования (а)
и минимаксы АЧХ (б)
в области значений относительного эксцентриситета е < 0,4, тогда как в таких конструкциях по физическим соображениям колебания ограничены значением е = 1; это сужает границы использования предлагаемых моделей.
Из графиков рис.5б видно, что при относительном дисбалансе и = 0,3 область применения рассматриваемых теоретических моделей для опор с нерегулируемыми ГДД (е < 0,4) ограничена снизу значением параметра N ~ 6. В связи с этим для оптимизации опорного узла с нерегулируемым ГДД на рис.6 приведены АЧХ для случая значений параметра N = 8.
Увеличение значения параметра N для модели, изображенной на рис.1 б, возможно за счет повышения жесткости подшипника Сп (например, осевым поджатием радиально-упорного подшипника или уменьшением радиального монтажного зазора в роликовом подшипнике), а также снижением жесткости упругого элемента С . Однако, предложенные в работах [5, 6] конструкции регулируемых ГДД позволяют расширить линейную область демпфирующих и жесткостных характеристик до значений параметра е = 0,7.. .0,8. Причем, реальные значения относительного эксцентриситета в этих конструкциях могут принимать значения е >1, что объясняется дефор-
мациями рабочих поверхностей демпферного зазора под действием гидродинамического давления. В связи с этим, приведенные в статье АЧХ относительного эксцентриситета ограничены значением е >1, что позволяет использовать их для анализа работы опор роторов с любыми типами ГДД.
Для выбора типоразмера гидродинамического демпфера необходимо знать ограничения, предъявляемые к конструкции опоры. В частности, максимально возможное смещение х ротора относительно статора, которое обычно ограничивается радиальными зазорами по лопаткам, либо в лабиринтных уплотнениях. В современных ГТД радиальные зазоры по лопаткам компрессора позволяют использовать в опорах роторов ГДД с 80 < 0,2 мм. Это необходимо учитывать при выборе и оптимизации величин параметров демпфера.
Алгоритм выбора типа ГДД , его параметров и оптимизации их величин
Для реализации алгоритма выбора параметров нерегулируемого ГДД (рис.1 б) необходимо знать массу ротора М, приходящуюся на опору, а также рабочий дисбаланс ротора А, жесткости подшипника СП и упругого элемента Су
Алгоритм выбора типа ГДД и его параметров можно представить в следую-
а) б)
Рис.6. Амплитудно-частотные характеристики коэффициента передачи силы (а) и относительного эксцентриситета(б) при N = 8 и и = 0,3
щем виде:
1. Определение безразмерного параметра N и относительного дисбаланса и, для чего задаются величиной демпферного зазора 80 < 0,2 мм.
2. Выбор для полученных величин параметров N и и оптимального демпфирования в системе с линейным трением на основании оптимизации параметра [1]
^=0,5ё/^МСо ,
с последующим вычислением коэффициента демпфирования ё ё
3. Выбор типа демпфера - "короткий" или "длинный".
4. Оптимизация геометрических параметров (радиуса Я и длины Г) сначала " короткого" ГДД в предположении полного охвата смазкой с целью обеспечения коэффициента демпфирования
<=П^(Г/80)3= ^ где |1 - вязкость смазки [7].
В случае, если полученные геометрические параметры демпфера превышают размеры, отведенные для ГДД в опоре ротора, необходимо уменьшить демпферный зазор и повторить оптимизацию. Но при выбранной потребной величине 80 < 0,1 для авиационных ГТД по технологическим соображениям рекомендуется перейти к схеме "длинного" ГДД и провести оптимизацию геометрических параметров с целью обеспечения коэффициента демпфирования по зависимости [7]
24*^8/= <р, .
5. Оценка наличия кавитации смазки в демпферном зазоре ГДД при выбранных параметрах по методике, изложенной в работе [7].
6. При наличии кавитации смазки уточняются геометрические параметры ГДД по зависимости для коэффициента демпфирования при половинном охвате смазкой
ак=0,5п\хЯ(Ь/Ъ) для "короткого" или
йд= 12п\\Ь(Я/Ъ0)3
для " длинного" демпфера.
7. Оценка режима течения смазки в демпферном зазоре - ламинарный или турбулентный - по методике, изложенной в работе [7].
8. При турбулентном режиме течения смазки выбор оптимального демпфирования производится для системы с квадратичным трением посредством оптимизации параметра в2с В этом случае для определения д. необходимо знать амплитуду возбуждающей нагрузки Г0=Аю2, где ю - частота вращения ротора на рассматриваемом режиме.
9. Определение оптимальной тангенциальной составляющей для рассматриваемого режима по зависимости (^т)ор=^ор1 хю.
10. Оптимизация геометрических параметров ГДД производится по зависимостям из работы [7] для тангенциальной составляющей гидродинамической силы "короткого" или "длинного" демпфера с учетом турбули-зации смазки.
Приведенный алгоритм позволяет на ранней стадии проектирования обоснованно выбрать тип и геометрические параметры ГДД для опоры ротора турбомашины. На этапе доводки изделия, когда уже сформирована роторная система, выбранные величины коэффициентов демпфирования могут быть уточнены с помощью более сложных методик расчета, например, основанных на методе начальных параметров [8] или конечных элементов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шакиров Ф.М., Балякин В.Б. Использование реологических моделей релаксационного демпфирования для исследования динамики опоры ротора. Часть 1. Линейное демпфирование // Известия Самарского научного центра РАН. 2001. Т.3. №2.
2. Шакиров Ф.М. К развитию методологии исследования динамики и узлов ДЛА как систем нелинейного релаксационного демпфирования // Труды Междун. науч.-техн. конф. по проблемам двигателестро-ения. Ч.3. Самара, 2001.
3. Вибрации в технике: Справочник: Защи-
та от вибрации и ударов. М.: Машиностроение, 1981.
4. Klotter K. Non-linear vibration problems treated by the averaging method of W. Ritz // Proc. First US nat. cong. appl. mech., ASME. New York, 1952.
5. А.с. 1567815 СССР, МКИ3 F16F 7/00. Гидродинамический демпфер / В.Б. Балякин, А.И. Белоусов, С.В. Фалалеев (СССР). -Опубл. 30.05.90; Бюл. № 20.
6. Балякин В.Б. Методика расчета эластогид-родинамического демпфера // Вестник
СГАУ Серия "Проблемы и перспективы развития двигателестроения ". Ч.2. Самара, 2000. Вып.4.
7. Белоусов А.И., Новиков Д.К., Балякин В.Б. Гидродинамические демпферы опор роторов турбомашин. Куйбышев: КуАИ, 1991.
8. Новиков Д.К., Балякин В.Б. Динамика ротора газотурбинного двигателя с гидродинамическими демпферами в опорах // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1999. № 2.
RELAXATION DAMPING RHEOLOGICAL MODELES USE FOR ROTOR SUPPORT OPERATIONAL ANALYSIS PART 2. NONLINEAR DAMPING
© 2002 FM. Shakirov, V.B. Bаlyaкin
Samara State Aerospace University
Engine rotor support study using relaxation damping rheological models is given in this article. Amplitude-frequency and resonant responses of a relative eccentricity in damper and dynamic force transmissibility across the support under different conditions of its operations are described.
