Разработка методики расчета уширения при прокатке в калибрах простой формы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Д.И. Кинзин

ФГБОУ ВПО «Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И.Носова»

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РАСЧЕТА УШИРЕНИЯ ПРИ ПРОКАТКЕ В КАЛИБРАХ ПРОСТОЙ ФОРМЫ

В статье рассматривается вывод единой формулы для расчета ушире-ния при прокатке на гладкой бочке и в двухвалковых калибрах простой формы.

Ключевые слова: прокатка в калибрах, формоизменение, уширение.

Несмотря на обширный экспериментальный и теоретический материал, имеющийся в литературе, вопросы расчета показателей формоизменения и энергосиловых параметров не являются изученными в степени, достаточной для решения конкретных задач прокатного производства и, в частности, для расчетов калибровок валков. Подтверждением этому является то обстоятельство, что большинство профессиональных калибровщиков при расчетах ушире-ния до сих пор опираются на собственный опыт и интуицию, чем на строго разработанные научные методики. Такое положение объясняется целым рядом причин. Прежде всего, следует отметить, что большая часть экспериментальных исследований и имеющихся формул для расчета показателей формоизменения и энергосиловых параметров относятся к простейшему случаю прокатки полосы прямоугольного сечения в гладких валках. Формулы, которые выводятся специально для случая прокатки в калибрах, имеют достаточно узкий спектр применения, так как работают только для типовых систем калибров.

При этом для решения многих практических задач, например, оптимизации калибровки простых сортовых профилей, необходима единая аналитическая формула расчета уширения, которая подходила бы для любых типов и форм простых калибров. Проведенное исследование литературных источников показало, что на сегодняшний день подобной методики, которая отвечала бы

требованиям необходимой простоты и универсальности, не существует. В связи с этим в данной главе решается задача разработки единой формулы для расчета среднего показателя поперечной деформации при прокатке в калибрах простой формы.

1. Выбор базовых положений для разработки методики оценки уширения

С практической точки зрения в подавляющем большинстве случаев нет нужды в определении напряженно-деформированного состояния в каждой точке очага деформации, тогда как расчет средних параметров позволяет решать многие важные технические задачи: оптимального управления технологическим процессом, определения размеров заготовки и параметров деформирующего инструмента, расчета режимов обжатий и конечного формоизменения. Преимущество подобных методик по сравнению с вариационными методами заключается в их простоте и в некоторых случаях возможности получения аналитического решения, хотя за это приходится платить некоторой потерей точности [1]. Вариационные методы механики твердого деформируемого тела позволяют получать более точное решение задачи конечного формоизменения и определять поля распределения различных параметров в объеме деформируемого тела. Однако использование данных методов сопряжено со значительными вычислительными трудностями, тем более при численном решении задач оптимизации технологических процессов ОМД, когда многократно приходится определять напряженно-деформированное состояние при варьировании технологических параметров. Кроме того, получение очень точных результатов при определении напряженно-деформированного состояния может оказаться бесполезным при разработке оптимальных технологических режимов в силу того, что в реальных условиях имеют место постоянное колебание различных технологических параметров (температуры раската, размеров заготовки, обжатия, скорости прокатки) и износ деформирующего инструмента.

Таким образом, для решения многих технологических задач сортопрокатного производства необходима простая и адекватная аналитическая формула, отражающая зависимость средних показателей формоизменения от основных факторов. Постановка подобной задачи не может быть успешно осуществлена без правильной количественной оценки величины уширения, в качестве меры которой, чаще всего, принимают абсолютные или относительные изменения размеров деформируемого тела. Тогда как при прокатке в калибрах приращение ширины не может быть мерой поперечной деформации, так как в зависимости от формы калибра и степени заполнения его металлом можно получить большее увеличение ширины полосы при меньшей поперечной деформации и наоборот. Правильная количественная оценка величины деформации предполагает интегрирование относительных изменений размеров тела в соответствующих пределах, что позволяет получать истинную деформацию [2]. Поэтому в качестве показателя уширения правильнее использовать величину смещенного объема металла в поперечном направлении. Однако подобный показатель уширения используют сравнительно немногие авторы [3].

Обзор методик расчета средних показателей формоизменения металла при прокатке показывает, что большинство теоретических методик основано на анализе формоизменения прямоугольного параллелепипеда при равномерной осадке, так как осадка параллелепипеда и процесс прокатки, в том числе и в калибрах, могут рассматриваться как достаточно близкие процессы. «Процесс осадки параллелепипеда выбирается как типичный процесс с трехмерным характером формоизменения, когда условие постоянства объема для определения даже средних размеров параллелепипеда после деформации между плоскими бойками на заданную величину бывает недостаточно (в отличие, например, от случая осадки цилиндрической заготовки, когда по заданным начальным размерам требуется определить средний диаметр заготовки после осадки ее плоскими бойками до заданной высоты). Многие авторы рассматривали в своих исследованиях осадку параллелепипеда как ключевой процесс для понимания

закономерностей формоизменения в различных процессах обработки давлением» [1].

Таким образом, выберем в качестве базового процесса для разработки методики определения уширения при прокатке в калибрах простой формы процесс осадки прямоугольного параллелепипеда в плоских бойках. Будем определять только средние показатели формоизменения в виде истинных деформаций.

2. Процесс осадки параллелепипеда как типичный процесс с трехмерным характером формоизменения

Для выявления основных закономерностей трехмерного течения металла будем рассматривать типичный и наиболее простой процесс осадки прямоугольного параллелепипеда. При этом даже такая простая задача решается достаточно трудно. Поэтому необходимо найти допущения, упрощающие систему уравнений теории пластичности, которые позволят решить поставленную нами задачу.

Среди приведенных ниже допущений нет чего-то нового, чтобы не использовалось ранее другими авторами. Мы лишь применили новую комбинацию данных допущений, что было необходимо для разработки единой зависимости, позволяющей определять средние показатели формоизменения при прокатки в калибрах простой формы.

Рассмотрим допущения, которые были приняты для выявления основных закономерностей течения металла при осадке прямоугольного параллелепипеда (рис. 1).

Как и многие другие исследователи [2-8] воспользуемся инженерным методом, в соответствии с которым будем считать, что по направлению высоты параллелепипеда действует максимальное главное напряжение, а по направлениям длины и ширины параллелепипеда - среднее и минимальное напряжение. Какое из напряжений является минимальным, определяется соотношением длины и ширины контактной поверхности.

Рис. 1. Осадка пямоугольного параллелепипеда

Далее, по примеру И.Я.Тарновского, рассмотрим кинематическую схему истечения металла при осадке прямоугольного параллелепипеда. Как известно, при равномерной осадке или при полном отсутствии внешнего трения осуществляется радиальная схема течения. Другим предельным случаем является нормальная схема течения металла, которая имеет место при существенном влиянии внешнего трения и вытекает из предположения, что материал всегда стремится перемещаться в направлении наименьшего сопротивления, а направление нормалей к контуру поверхности контакта, дающее кратчайшее расстояние от взятой точки до контура, есть направление наименьшего сопротивления. По всей высоте параллелепипеда биссектрисы, проведенные из углов прямоугольной поверхности контакта, образуют плоскости, делящие объем параллелепипеда на четыре части, а именно: на две треугольные и две трапецеидальные призмы. На основании такого представления о процессе течения можно сказать, что весь металл, смещаемый при осадке по основаниям треугольных призм, перемещается в направлении наибольшей стороны прямоугольного основания, а металл, смещаемый по основаниям трапецеидальных призм, в направлении наименьшей стороны этого основания. В реальных условиях осадки кинематическая схема течения металла будет промежуточной между нормальной и радиальной (рис. 2) [2].

напряжений и деформаций для радиальной (а), нормальной (Ь) и промежуточной (с) схем течения металла

Условно будем считать, что весь объем, смещенный по высоте треугольной призмы, идет только на приращение длинной стороны поперечного сечения, а объем, смещаемый по высоте трапецеидальных призм, идет на приращение короткой стороны.

Тангенс угла наклона плоскости симметрии напряжений и деформаций будем определять по формуле И.Я.Тарновского [2]:

(1)

где Ь и I - ширина и длина параллелепипеда;

/ - коэффициент трения.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

При отсутствии внешнего трения имеет место равномерная осадка и из уравнения (1) получим — Ь/1, что соотвествует радиальной схеме истече-

ния металла. При неравномерной осадке параллелепипеда с квадратным поперечным сечением Ь/1 — 1 и из уравнения (1) получим — 1 при любом зна-

ь 1 + Г ь ^ -4/'

—

21 V 1 V

чении коэффициента внешнего трения. При нормальной схеме истечения 1§Ы — 1. Если при осадке коэффициент трения достаточно велик и при этом > 1, то имеет место нормальная схема истечения металла и тангенсу угла присваиваем значение единица. В других случаях имеет место промежуточная схема [2].

Определив положение плоскости симметрии напряжений и деформаций, можно вычислить площади поперечного сечения треугольных и трапецеидальных призм, а так как мы условились считать, что смещенные объемы по высоте данных призм перемещаются в различных направлениях, то получаем следующую зависимость для определения соотношения смещенных объемов металла в длину и ширину:

V* Ах

К Ау

(2)

где Ух и Уу - смещенные объемы металла в длину и ширину;

У

Ах и Ау

площади поперечного сечения треугольной и трапецеидальной призм (рис. 3).

и трапецеидальном призм

Или, сократив объемы металла:

ІП л Ах

, (3)

1п Р ЛУ

где /Л и Р - коэффициенты вытяжки и уширения.

Воспользовавшись формулой (3) и законом постоянства объема можно, вычислить коэффициенты деформации параллелепипеда.

3. Распространение закономерностей формоизменения

при осадке параллелепипеда на прокатку в гладких валках и калибрах простой формы

Процесс прокатки металла как в гладких валках, так и в калибрах будем рассматривать как близкий к процессу осадки прямоугольного параллелепипеда по своим основным закономерностям формоизменения. Тогда для случая прокатки в гладких валках будет справедлива формула (3), то есть отношение действительной деформации будет равно отношению площадей, являющихся зонами контактной поверхности, смещенные объемы по высоте которых идут на приращение длины и ширины прокатываемой полосы соответственно.

Таким образом, для определения уширения металла при прокатке в гладких валках достаточно вычислить параметры Ах и Ау. Для этого упростим

сложную форму контактной поверхности до соответственного прямоугольника, ширину и длину которого будем определять из системы уравнений:

1 1 макс

1с 1од

Ьс1с = Рк

(4)

где Ьс и 1С - размеры соответственной контактной поверхности; ¿1 - ширина раската на выходе из валков;

>

¡Мдкс - максимальная длина очага деформации;

Ек - площадь контактной поверхности.

Определив размеры соответственной контактной поверхности и воспользовавшись формулой (1) для определения угла наклона плоскости симметрии напряжений и деформаций, можем вычислить площади Ах и А и, как следствие, величину уширения.

При вычислении ширины и длины соответственной контактной поверхности необходимо учитывать тот факт, что форма контактной поверхности может быть как узкой, так и широкой, а так как в выражении (1) Ь - это всегда меньшая сторона, то для узких очагов деформаций буквой Ь будем обозначать ширину контактной поверхности, а для широких - длину.

Проведем анализ формулы (3) и построим график зависимости отношения действительных деформаций от коэффициента трения / и формы контактной поверхности Ь/(рис. 4). Полученный график можно разделить на две характерные части: Ь/Од™ >1 (широкий очаг деформации) и

Ь/ 1ОМдКС < 1 (узкий очаг деформации).

При Ь — 1од1КС смещенные объемы металла в продольном и поперечном

направлениях равны независимо от коэффициента трения, так как его изменение приводит к одинаковым изменениям напряжений, действующих в продольном и поперечном направлениях. При прокатке в калибрах картина будет иметь более сложный вид из-за появления еще одного фактора - формы калибра.

Для определения максимальной длины контактной поверхности и площади контакта воспользуемся хорошо разработанным и подходящим для этих целей векторным описанием очага деформации, являющимся одной из составных частей структурно-матричного подхода к моделированию процессов сортовой прокатки [9-13]. Данный метод позволяет достоверно определять геометрические параметры очага деформации, так как представляет собой его дискретное описание, точность которого может быть практически любой (рис. 5).

/ .

л г оо

),1 0,2 0,3 0,4 оС

1п л 1п р

Рис. 4. График зависимости отношения действительных деформаций от коэффициента трения и формы контактной поверхности

Рис. 5. Векторное описание очага деформации

Такое описание позволяет разбить очаг деформации на тонкие слои и определить длину каждого слоя а, значит, и площадь контакта металла с валком.

Данный способ расчета по своей сути является формализацией графического метода [14, 15], который имеет такую же точность и универсальность определения площади контакта металла с валком, но вместе с тем легко поддается автоматизации расчетов на ЭВМ.

Далее получим общую формулу для расчета уширения не только при прокатке в гладких валках, но и в калибрах.

Допустим, что гладкие валки приобрели вогнутость и превратились в овальный калибр (рис. 6) (пунктиром на рисунке показаны контуры гладких валков).

Рис. 6. Схема к выводу формулы для расчета уширения при прокатке в калибрах

Предположим, что трение на контакте металла с валком изменилось таким образом, что уширение осталось прежним. Тогда смещенный объем металла в продольном направлении (в направлении вытяжки) увеличится на ту величину, на которую возросла площадь выходящего сечения при переходе от гладкой бочки к овальному калибру. Отсюда получаем следующую формулу:

л Ах 1 ^г

1п и = —х •—1п—, (5)

Л Ау Sг S„

где S - площадь выходящего сечения;

Se - площадь фигуры ADEL;

Sn - площадь фигуры BCFK.

Данные рассуждения будут справедливы и для других видов калибров (рис. 7). Таким образом, мы получили формулу для расчета уширения при прокатке металла в калибрах простой формы.

На основе выражения (5) была разработана САПР калибровок простых сортовых профилей, отличающаяся большой универсальностью и гибкостью. Однако из-за того, что в основе методики лежит рекуррентное уравнение, связывающее сложным образом различные геометрические параметры очага деформации, расчет показателей формоизменения для стана из двадцати клетей может занимать значительное время, что обусловлено алгоритмом расчета, который представляет собой постепенное приращение ширины профиля и проверку на каждом шаге степени приближения к решению.

Для снижения вычислительной сложности методики расчета уширения упростим уравнение (5) путем явного выражения параметра Sj через остальные. Для этого воспользуемся разложением логарифма в ряд Дж. Грегори [16]:

о

ln — = 2

N

М - N 1

-----1—

М + N 3

г

М - N Y 1 ( М - N Y

V М + N у

+

5

V М + N у

+...

(6)

Данный ряд быстро сходится при отношении М/N близком к единице, что соответствует коэффициенту вытяжки, поэтому даже первый член ряда дает весьма точное приближение значения логарифма:

Ш 3> , 2^, (7)

где 30 - площадь входящего сечения.

Однако при такой замене получим квадратное уравнение относительно 3,, что не совсем удобно. Поэтому воспользуемся дальнейшим разложением

полученного выражения в ряд Тейлора в окрестности точки 3, = , что соот-

ветствует теоретической вытяжке, т.е. прокатке без уширения:

1п 5о - 2 _ 50 - 8Т _ 5р (5! - 8Т)

5, 5р + 5, 5р + 5т (5р + 5т )2

(8)

Ґ >

Рис. 7. Примеры площадей 3г и 3п для различных калибров

При этом мы получим линейную зависимость 3, от прочих параметров. Однако точность данного выражения сравнительно невелика, но потерю точности можно компенсировать следующей заменой:

При этом выражение (10) не только преобразует коэффициент вытяжки в линейное уравнение относительно 3, , но и имеет большую точность, чем формула (7).

В итоге получаем:

Задавая в первом приближении ширину раската, равной ширине входящего сечения, определяем площадь поперечного сечения по формуле (11), а через площадь находим новое приближение ширины выходящего сечения. Продолжая данный цикл до удовлетворительной точности, получаем приближенное решение уравнения (11), что позволит на порядок быстрее найти решение.

4. Заключение

Полученная методика расчета уширения позволяет достаточно быстро и точно определять основные технологические параметры для широкого диапазона простых сортовых калибров, что дает возможность проанализировать большое количество вариантов технологических решений и выбрать из них оп-

(9)

В результате получим:

(10)

(11)

тимальное по производительности, стабильности, энергоэффективности, себестоимости, качеству продукции и другим критериям. Такая многовариантность и гибкость повышает эффективность работы технологов как при проектировании оборудования прокатных станов, так и при разработке и совершенствовании процессов на действующих агрегатах. Высокая скорость расчетов и гибкость САПР позволяет решать нестандартные производственные задачи в короткие сроки, что имеет существенное значение для действующего производства.

Библиографический список

1. Вайсбурд Р.А., Залазинский А.Г. Развитие исследований формоизменения в процессах, близких к осадке параллелепипеда // Актуальные проблемы теории и практики обработки металлов давлением: Сб. трудов УГТУ Екатеринбург, 1998. Вып. 3. С.24-40.

2. Тарновский И.Я. Формоизменение при пластической обработке металлов. М.: Металлургиздат, 1954. 532 с.

3. Минкин А.В. Расчет систем вытяжных калибров. М.: Металлургия, 1989. 207 с.

4. Евстратов В.А. Теория обработки металлов давлением. Харьков: Вища школа. Изд-во при Харьковском ун-те, 1981. 248 с.

5. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. М.: Ме-таллургия, 1968. 684 с.

6. Аркулис Г.Э, Дорогобид В.Г. Теория пластичности. Учебное пособие для вузов. М.: Металлургия, 1987. 352 с.

7. Смирнов-Аляев Г.А. Сопротивление металлов пластическому деформированию. Л.: Машиностроение, 1978. 368 с.

8. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. Учебник для вузов. Изд. 3-е перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1971. 424 с.

9. Эффективность деформации сортовых профилей / С.А.Тулупов, Г.С.Гун, В.Д.Онискив и др. М.: Металлургия, 1990. 280 с.

10. Тулупов С.А. Матричный способ представления процесса формоизменения при прокатке в калибрах простой формы. Сообщение 2 // Известия вузов. Черная металлургия. 1990. № 2. С. 48-50.

11. Тулупов С.А., Тулупов О.Н. Матрично-статистическая модель формоизменения / Магнитогорск. горно-металлург. ин-т. Магнитогорск, 1988. Деп. в ин-те Черметинформация. №3/Д-1412

12. Тулупов С.А. Разработка математической модели формоизменения металла в вытяжных калибрах на базе векторно-матричного способа представления процесса // Краевые задачи: Межвуз. сб. научн. трудов. Пермь, 1988.

13. Тулупов О.Н. Повышение эффективности процессов прокатки и точности сортовых профилей на основе совершенствования технологии с использованием структурно-матричных моделей: Дис. ... докт. техн. наук. Магнитогорск: МГТУ, 2001. 385 с.

14. Тринкс В. Калибровка прокатных валков. Часть 1. Объединен. науч-но-тех. изд. НКТП СССР, 1934. 144 с.

15. Чекмарев А.П., Мутьев М.С., Машковцев Р.А. Калибровка прокатных валков. - М.: Металлургия, 1970. 509 с.

16. Математический энциклопедический словарь./ Гл. ред. Прохоров Ю.В. М.: Советская энциклопедия, 1988. 847 с.