CC BY
9
УДК 519.6:656.2.022.846
М. Б. КУРГАН (ДПТ)
РОЗРОБКА МЕТОДА ОПТИМАЛЬНО? ПЕРЕБУДОВИ Д1ЛЯНКИ ЗАЛ1ЗНИЦ1 ДЛЯ ОРГАШЗАЦП ШВИДК1СНОГО РУХУ ПО1ЗД1В
Запропонований метод оптим1зацп базуеться на використаннi неадитивно! функцп скорочення часу руху по!здв на донках (об'ектах), що пiдлягають реконструкци. Ефект у процедурi оптимiзацil досягаеться зав-дяки введенню нових полуадитивних (знизу i зверху) функцiй, що скорочуе час оптимiзацil у порiвняннi з прямим перебором варiантiв.
Предложенный метод оптимизации базируется на использовании неадитивной функции уменьшения времени хода поездов на участках (объектах), которые подлежат реконструкции. Эффект в процедуре оптимизации достигается благодаря введению новых полуадитивных (снизу и сверху) функций, что уменьшает время оптимизации по сравнению с прямым перебором вариантов.
The proposed optimization method is based on usage of a non-additive function of cutting the train running time upon sections (facilities), subject to reconstruction. The effect in the optimization procedure is being reached thanks to introduction of new semi-additive (from bottom and from top) functions, which reduces the optimization time in comparison with linear search of the options.
1. Постановка задачi - системний пщхщ
Перебудова дшянок затзнищ тд швидюс-ний рух поlздiв вимагае певних витрат. Як по-казуе практика, одночасна перебудова велико! кшькост об'екпв на напрямках, яю модершзу-ються, неможлива за безлiччю рiзних причин, основними з яких е обмеження фшансових i матерiально-технiчних ресуршв. Звщси виникае задача вибору оптимально!' послщовносп реконструкци лши при обмежених ресурсах. При цьому важливо не тшьки рацюнально розпод> лити каштальш вкладення по дшянках, що вхо-дять у м1жнародн1 транспортш коридори, але й ефективно !'х використовувати.
При виршенш задач1 оптимально!' перебу-дови дшянки транспортного коридора зал1з-нична лшя розглядаеться як комплексна система, що складаеться з пристрой i споруд, яю через недосконалий техшчний стан можуть об-межувати рiвень швидкостей руху по!'здiв на кожиш конкретнiй дiлянцi [1]. Тому виникае необхщшсть по кожному бар'ерному мюцю на залiзницi знати допустиму швидкiсть руху по-!'здiв, а також параметри пристро!'в, пiд яю не-обхiдно перевлаштувати залiзницю, щоб реал> зувати цi швидкостi.
Для проведення дослiджень на рiзних етапах функцюнування система роздiляеться на шд-системи:
Q - пiдсистема 2-го рiвня (перегiн, стан-цiя) - множина об'екпв ю, що обмежують швидкiсть руху i тдлягають реконструкци
(крива, дiлянка хворого земляного полотна, дефектна штучна споруда, пере!'зд тощо);
ю - об'ект, що характеризуеться довжиною (l), i вартiстю реконструкци (K) для досяг-нення допустимо! швидкостi [V] iз кшцево!' кiлькостi можливих варiантiв (m );
Q* - шдмножина Q* cQ, що складаеться з об'екпв ю , яю пiдлягають реконструкци; At - скорочення часу руху; fT - результати тягових розрахункiв, що
враховують стан перегону до (Q jk) i пiсля (q *j k ) реконструкци, результати на поперед-нш (q *_1 k ) i наступнiй (q *+1 k ) дiлянках, а
також параметри д^нки (П j k ) , що не вклю-
ченi в об'екти можливо! реконструкци;
H - пiдсистема 1-го рiвня (вгдокремлена д> лянка) - множина дшянок 2-го рiвня; вгдокрем-леною будемо вважати таку залiзничну д^нку, яка складаеться з одного або декшькох перего-нiв, та починаеться i закiнчуеться станцiею, де по!'зд мае обов'язкову зупинку;
M - система ^жнародний коридор) -множина дшянок 1-го рiвня;
D - перелш затримок у русi по'зда, що не врахованi в структурi пiдсистеми H ;
i - номер об'екта реконструкци (ю) вщ 1 до n у множит Q;
7 - номер перегона (О) вщ p до г у множит H ;
к - номер вгдокремленог д^нки (Н ) вiд г до q у множинi М.
О 7 ,к = {ю 1,7,к ,<
Ю 2, ],к , Ю г,7 ,к Ю
г, 7 ,к'
п,],к < '
};
ю=[[,[К], Кх ], 5 =[1; т]; е [1; т] К, = 0, [К], = шт {[V]} ;
1 (О к )>!1 ( г );
О *,к сО к ;
О *,к = {ю е° М!А(О *,к )-
•шах.
-К (О М)
■ Ш1П
;
А (О*,к)
( гл*
= Л
О 7 -1,к , О 7 ,к , О 7 ,к, О
],к> " ],к> " ]+1,к> -1-1 },к ■
п
Л
V: П ;,к \О к =1
К (О *,к ) = ! К (« г,к е° *,к ) ; Н к ={о р, О р+1, • , О г}; 7 е[р; г];
1 (н к ) = !1 (О к);
]=р
Н к с Н к ^
^ (Н к )
К(н к)-
> шах • ш1п
К (Н к Ы К (О *,к );
]=р
А^(н к) = /т (н к);
М = {Нг, Нг+1, •.., Нч}; к е [г; q]; I (М ) = £ I (Нк );
к=г
М с М
Аt (М * ) К (м *)-
шах
ш1п
К (М * ) = Е К (н* );
к=г
Аt
(М *) = £/т (Н*)-^ .
к=г
Сформулюемо задачу оптимiзацií. Знайти такi технiчнi характеристики [V] 5 i К 5 для всiх елементарних об'екпв ю системи М (М = {ю г 7 к}), при яких реконструйована
система М * дасть скорочення часу руху Аt не менше потрiбного АТ при мшмальнш вартостi реконструкцií К :
М с М
'а/ (М * )> АТ К (м *)
Ш1П
При обмежених iнвестицiях на реконструк-цiю К 0 задача може бути сформульована у на-ступному вигщщ
М сМ
Аt (М *) К (м * )< К
шах
2. Метод виршення - застосування функцп множини в модел1 ращональноТ реконструкцп дiлянок залпииЫ при неадитивному критерп
Представимо локальну дiлянку затзнищ як набiр об'ектiв ю г. Нехай О - безлiч об'ектiв ю г. Тодi задача зводиться до визначення тако''
пiдмножини О *, щоб реконструкщя обраних об'ектiв забезпечувала скорочення часу не менше заданого, а и вартiсть при цьому була м> нiмальна.
Розглянемо кiлька тишв такого роду задач, що вiдрiзняються рiзновидом деяких умов.
Задача 1. Знайти О * сО так, щоб
|К(О *) ^ ш1п
^Аt (О *) > АТ '
К (О *) = X* С о(ю):
юеО
г=1
А^О *) = (о * )> X* Аф),
юеО
де К (О *) - вартють реконструкцií набору об'ектiв О *; Аt(О *) - скорочення часу руху за рахунок реконструкци набору об'ектiв О *. Визначення величини Аt (О *) е складною
задачею, тому що об'екти, розташоваш вщнос-но недалеко друг вщ друга, будуть впливати на визначення вщповщних величин Аt(ю г), рис. 1.
Тому функщю скорочення часу Аt (О *) неправильно розглядати як суму скорочень часу по кожному об'екту. У бшьшосп випадкiв виграш часу вiд усунення обмеження залежить вiд того, на якiй швидкост по'зд наближаеться до бар'ерного мюця i яку може набрати швидюсть пiсля його проходження. Тому тд час рiшення задачi оптимiзацií для кожного набору об'екпв О *, що розглядалися, значення функци Аt(ю г) визначалися в процесi виконання тягових роз-рахункiв [2].
'Р
о §
Об'ект 2
Об'ект 1
Крива
швидкостi
Об'ект 3
Рис. 1. Вплив близько розташованих об'екпв на визначення функци Аt(О )
Одним зi способiв ршення задачi 1 е пере-бирання ушх можливих варiантiв О * з визна-ченням для кожного з них параметра Аt в про-цесi тягових розрахункiв. У такий спошб кшь-кiсть переборiв складе 2 т -1, де т - кшьюсть розглянутих об'ектiв.
Основною складнiстю в застосуванш для рiшення розглянуто'' задачi математичних ме-тодiв оптимiзацií функци множини е неадитив-тсть функци скорочення часу руху вщ набору об'екпв, що тдлягають реконструкции
Одним iз способiв вирiшення неадитивностi може бути видшення тiльки незалежних об'ектiв, розташованих на такш вiдстанi друг вщ друга, що наявнiсть чи вщсутшсть обме-жень на одному об'екп не впливае на криву швидкост руху поíзда по iншому об'екту. Таю ршення пропонувалися в рядi робiт [3-5], од-
нак такий тдхвд сильно обмежуе застосування методики, а для виршення задачi на локальнш дiлянцi, наприклад, у межах перегону, немож-ливий.
Для розробки новоí методики будемо уск-ладнювати задачу поетапно. На початковому етапi приймемо, що
At(Q *) = X At(ш),
юеО
де At (ш) - скорочення часу руху вщ зняття обмеження по одному об'екту ш
At (ш) = T (Q * = {}) - T (Q * =ш), (2)
де T (Q *) - час руху по дшянщ, отриманий за результатами тягових розрахунюв при знятп обмежень з об'екпв, що складають шдмножину Q *.
Тепер можна сформулювати бшьш просту задачу.
Задача 2. Визначити шдмножину Q cQ, щоб мало мюце
J K (Q *) ^ min [Ai(Q *) > AT '
к(Q *) = X с о(ш);
®GQ
At(Q *) = X At(ш).
шей
Для виршення задач1 скористаемося методом, запропонованим проф. Босовим А. А. [6]. Ршенням буде шдмножина Q * (ц)
Q *(ц) = {ш е Q: K(Q *) - ^At(ш) < о},
де ц - невизначений множник.
Для кожного об'екта ш визначаеться ств-K (ш)
в1дношення
At (ш)
. Формуеться множина Q'.
що мютить у соб1 елементи множини Q, упо-
K (ш)
рядковаш по зростанню вщношения -.
At (ш)
Шукана шдмножина визначаеться як
Q *(ц) = )oeQ': K-)- <ц!. (3) W I At(ш) Н V '
Множник ц керуе, на якому об'екп множи-ни О' необхiдно зупинитися при формуванш пiдмножини О *, i визначаеться з нерiвностi
£ Дt(ю) >&Т .
юеО )
Функцiю Дt(ю), визначену за формулою (2), можна вважати натвадитивною знизу. Позна-чимо И як Дt н, тодi вiрна нерiвнiсть
& н (ю) < & (О *),
юеО
де & (О *) - скорочення часу вщ реконструкци
об'ектiв пiдмножини О *, визначене за результатами тягових розрахунюв.
Аналогiчно можна визначити функщю скорочення часу руху, що буде натвадитивною зверху
& в (ю) > & (О *),
юеО
де &в (ю) = Т(О * = О \ ю) - Т(О * = О).
З урахуванням уведення нових mдходiв про натвадитившсть функцШ, можна одержати ршення задачi 2 для розглянутого прикладу з використанням функцп скорочення часу як на-твадитивног зверху.
Грунтуючись на вищевикладеному, остаточ-ний алгоритм рiшення задачi 1 буде наступним.
1. Задаеться множина О - перелш об'екпв можливо! реконструкци з вiдповiдними рiвня-ми швидкостей i вартiстю переходу, К(ю). Задаеться необхщне скорочення часу руху ДТ 0.
2. Виконуються тяговi розрахунки для оде-ржання значень функцш н (ю) i & в (ю), кшь-юсть розрахункiв 2т , де т - кiлькiсть об'ектiв.
3. Виршуеться задача 2 з функцiею Дt н (ю).
У результат одержуемо пiдмножину О * н сО, для яко! уточнюемо скорочення часу руху Дt(О * н) тяговими розрахунками.
4. Виконуеться операщя О * н = О * н \ ю к, де ю к - останнiй елемент шдмножини О * н. Для нового значення О * н тяговими розрахунками визначаеться величина Дt(О * н) . Пункт 4 по-вторюеться доти, поки вiрна нерiвнiсть Дt(О * н) >&Т .
5. Вирiшуеться задача 2 з функщею Дt в (ю). Для результату ршення - пiдмножини
О в сО - тяговими розрахунками визначаеться скорочення часу руху Дt(О * в).
6. Виконуеться операцiя О * в = О * в / ю ^,
поки не виконаеться нерiвнiсть Дt(О * в) > &Т , де ю ■ - елемент множини О' (див. алгоритм ршення задачi 2), що йде за останнiм елемен-том у пiдмножинi О * в.
7. Як остаточне ршення вибираеться те з двух, вартють об'ектiв якого мiнiмальна
О * =■
| О * н, К (О * н) < К (О * в), |о * в, К (О * в) < К (О * н) ■
Необхiднiсть у виконаннi пунктiв 4 i 6 ви-пливае з властивостей натвадитивних функцШ, тому що для УО* сО будуть справедливi наступи нерiвностi:
Дtн(ю)> Дt(О*);
юеО
Дt в (ю) (О *).
юеО
Основнi витрати часу при машинному р> шенш розглянутих задач приходяться на вико-нання тягових розрахункiв■ При переборi усiх варiантiв !х необидно виконати 2 т -1 раз, де т - кiлькiсть об'екпв. При використаннi розглянутого алгоритму кшьюсть тягових розра-хункiв буде залежати вщ збiжностi (сходимо-сп) процесiв у пунктах 4 i 6, у самому неспри-ятливому випадку загальна кiлькiсть складе 3т +1 раз. У такий спошб буде досягнуте скорочення часу розрахунюв не менше, шж у 2 т -1
- разiв■ Для розглянутих дев'яти об'екпв
3т +1
час розрахунюв скорочуеться в 9 разiв, а, на-приклад, для двадцяти об'ектiв - у 17190 разiв■ Важливо вiдзначити, що при використанш за-пропонованого алгоритму, по-перше, час роз-рахункiв лiнiйно залежить вщ кiлькостi об'ектiв, i, по-друге, при 1хньому збiльшеннi буде спостерiгатися тенденщя змiщення кшь-костi розрахункiв до величини 2т + 2. Зазна-ченi переваги дозволяють застосовувати запро-поновану методику для одержання швидкого рiшення для дiлянки з декшькома десятками взаемозалежних об'ектiв обмеження швидкосп
руху.
При необхiдностi одержати ршення для всiх можливих &Т, щоб мати можливiсть пщбрати
оптимальне сп1вв1дношення м1ж скороченням часу ходу 1 необхщними для цього засобами, можлива наступна змша розглянутого алгоритму.
1-2. Див. вище.
3. Виршуеться задача 2 з функщею М н (ю) для М(О * н) е (М(О * = {}; М(О * = О)] й уточ-нюеться М(О * н) тяговими розрахунками. Результатом е множина А, елемент яко! складае-ться з набору об'екпв О *, скорочення часу М (О *) { 1хньо! вартост К (О *), причому еле-менти множини А упорядковаш по М(О *) \ К (О *).
4. Формуеться множина В аналопчно множит А в попередньому випадку, але з викори-станням функци М в (ю).
5. Формуеться множина С = А и В \ упо-рядковуеться за величиною М(О *) .
6. З множини C виключаються i-mi елемен-ти, якi не задовольняють yMOBi K(Q * г _j) < K(Q * г) < K(Q * г+1). Сформована множина е остаточним результатом.
Застосуемо викладений алгоритм для роз-глянуто! дiлянки «Кжин-Ношвка» Ивденно-Захщно! залiзницi. На рис. 2 показан дев'ять об'ектiв можливо! реконструкци i кривi швидкосп руху пасажирського по!зда, що вщпов> дають крайнiм станам системи: 1 - при наявно-стi обмежень швидкосп по всiх об'ектах, Q * = {}; 2 - при реконструкци всiх об'ектiв,
Q * =Q . У табл. 1 наведет вартосп реконструкци кожного з об'ектiв i скорочення часу руху по!зда, що будуть досягнув при реконструкци' тшьки одного з них, Q * =ю ■ .
ст. HociBKa
ст. Нiжин
к
>
160 140 120 100 80
Г
£
V I \ /
750
740
730
Довжина об'екту, м 1243 3332 э " ^ 1967° 5513 С С ■=} 1386 40 4341 t 2621 ™ 56 2492
Назва об'екту а к m 'о о Н ^ о с с а с Í е а ^ Кап1тальний ^ ремонт 0 1 н с с с с 5 а <п кап. ремонт 2 - Кап1тальиый J 3 ремонт м -IVIUOI 1 - кап. ремонт ПереТзд н и * Н ^ о
Умовне позначення об1 кр4 об2 кр2 i кр1 "Е
Рис. 2. Об'екти можливо! реконструкци i крив1 швидкосп руху пасажирського по!'зда, що ввдповщають крайшм техшчним станам системи
Таблиця 1
Варткть реконструкци об'екпв
Порядковый номер Позначення об'екта Швидюсть руху, км/год Варлсть реконструкци, тис. грн Скорочення часу , с
до реконстр. тсля реконстр.
1 Шжин 80 100 4750 42
2 п1 120 140 600 0
3 кр1 120 140 1570 0
4 м1 100 140 200 12
5 кр2 120 160 3040 12
6 про1 100 160 2875 42
7 кр4 120 160 3860 30
8 про2 120 160 9760 6
9 Ноавка 100 120 1980 6
Примака. Наведене скорочення часу руху вщ реконструкцiï кожного з об'екпв окремо
Поступове отримання результат наведено часу руху AT не задавалося, а розглядалися Bei
в табл. 2-4. На рж. 3 показане зютавлення за- можливi варiанти AT е [0; At(Q * = Q)], з нахо-
лежностi вартостi реконструкци вщ скорочення .. •
^ ^ ^ _ ^ . дженням оптимально1 пiдмножини за критерieм
часу руху, отримане суцшьним перебором вар> *
антiв, i за розглянутим алгоритмом. Для наоч- K(Q ) ^ min .
носп рiшення конкретне значення скорочення
Таблиця 2
Множина A
Вартасть реконструкци Скорочення часу At(Q *), с Наб1р об'екпв,
K(Q *), тис. грн що тдлягають реконструкци, Q *
12 200 4,
54 3075 4, 6,
114 6935 4, 6, 7,
180 9975 4, 6, 7, 5,
186 11955 4, 6, 7, 5, 9,
228 59455 4, 6, 7, 5, 9, 1,
258 69215 4, 6, 7, 5, 9, 1, 8,
258 69815 4, 6, 7, 5, 9, 1, 8, 2,
294 71385 4, 6, 7, 5, 9, 1, 8, 2, 3,
Таблиця 3
Множина B
Вартасть реконструкци Скорочення часу At(Q *), с Наб1р об'екпв,
K(Q *), тис. грн що тдлягають реконструкци, Q *
12 200 4,
54 3075 4, 6,
102 6115 4, 6, 5,
180 9975 4, 6, 5, 7,
Зак1нчення табл. 3
Вартють реконструкцИ Скорочення часу *), с Наб1р об'екпв, *
К (О *), тис. грн що тдлягають реконструкци, О
210 11545 4, 6, 5, 7, 3,
210 12145 4, 6, 5, 7, 3, 2,
240 21905 4, 6, 5, 7, 3, 2, 8,
246 23885 4, 6, 5, 7, 3, 2, 8, 9,
294 71385 4, 6, 5, 7, 3, 2, 8, 9, 1,
Таблиця 4
Множина С
Вартасть реконструкцп Скорочення часу *), с Наб1р об'екпв, *
К (О *), тис. грн. що тдлягають реконструкци, О
12 200 4,
54 3075 4, 6,
102 6115 4, 6, 5,
114 6935 4, 6, 7,
180 9975 4, 6, 7, 5,
210 11545 4, 6, 5, 7, 3,
240 21905 4, 6, 5, 7, 3, 2, 8,
246 23885 4, 6, 5, 7, 3, 2, 8, 9,
258 69215 4, 6, 7, 5, 9, 1, 8,
294 71385 4, 6, 7, 5, 9, 1, 8, 2, 3,
>
X &
г?
го
ф
т о ср
о ^
О
350 300 250 200 150 100 50 0
В
♦ ♦ 0
Я 1« • 4 *
Е а
Б 4 * >
1 С < ► □ алгоритм
в* ♦ переоор
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 Вартють реконструкци, тис.грн.
Рис. 3. Залежшсть вартосп реконструкцп в1д скорочення часу руху, отримане сущльним перебором варшнпв 1 за розглянутим алгоритмом
Порiвняння результатiв розрахункiв пока- риманими методом суцшьного перебору. Однак зуе, що використовуючи запропоновану мето- деякi з можливих рiшень виявилися пропуще-дику отримаш набори об'ектiв збiгаються з от- ними. Це можна пояснити тим, що для окремих
б' • •• К(ю) .
об ект1в сп1вв1дношення - 1стотно зале-
Аt (ю)
жить вщ того, чи тдлягають реконструкци су-сщш об'екти { змшюе його положення при упо-рядкуванш, див. формулу (3). Як правило, про-пущеними виявляються об'екти, близько роз-ташоваш до шших за параметрами К (О *) {
Аt(О *), однак загальна тенденщя залежност вартост реконструкци вщ необхщного скорочення часу не порушуеться. Таким чином, за-пропонована методика може бути прийнята як оптим!зацшний спошб ршення як задач! 2, так { бшьш складно! - задач! 1.
Новий шдхщ до оптишзаци став можливим завдяки консультац!ям проф. Босова А. А. щодо застосування нового класу функцш, а розробка програмного забезпечення - завдяки учасп доц. Кургана Д. М., за що автор висловлюе !м щиру подяку.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Босов А. А., Корженевич И. П., Курган М. Б., Курган Д. М. Виршення задач1 оптимально! пе-ребудови д1лянки для орган!зац1! швидшсного
руху по!зд1в / Транспорт // Зб. наук. пр. Д11Ту. Вип. 12. - Д., 2002. - С. 43-49.
2. Босов А. А., Рыбкин В. В., Курган Н. Б., Хар-лан В. И. Назначение этапности мероприятий в путевом хозяйстве по повышению скоростей движения поездов / Вестник Белорусского государственного университета транспорта // Научно-производственный журнал «Наука и транспорт». - 2002, № 2(5). - С. 32-38.
3. Гавриленков А. В., Иванов Г. Г., Макушкина Е. А. Оптимальная стратегия повышения скорости движения поездов // Межвуз. сб. науч. тр. / МИИТ. - 1986. - Вып. 771. - С. 9-12.
4. Копыленко В. А. Технико-экономическая модель задачи оптимального переустройства эксплуатируемой линии для повышения скорости поездов // Межвуз. сб. науч. тр. / МИИТ. - 1986. Вып. 771. - С. 50-66.
5. Игнатова Ж. А., Карпов М. И., Матвиенко А. А. Влияние распределения локальных ограничений на повышение скоростей движения пассажирских поездов / Меж. сб. науч. тр. - Д., 1989. -С. 63-66.
6. Босов А. А. Применение функций множества в инженерных и экономических задачах / Транспорт / Зб. наук. праць Д11Ту. Вип. 12. - Д., 2002. - С. 20-29.
Надшшла до редколеги 08.10.03.
