CC BY
0
Разработка кусочно-линейной регрессионной модели сталелитейной компании с помощью непрерывной формы метода максимальной
согласованности
С.И. Носков, Ю.А. Бычков Иркутский государственный университет путей сообщения
Аннотация: В работе представлен краткий обзор публикаций, описывающих опыт применение методов математического моделирования для решения различных задач. Построена многофакторная кусочно-линейная регрессионная модель сталелитейной компании с помощью непрерывной формы метода максимальной согласованности. Для оценки адекватности модели использованы критерии: средняя относительная ошибка аппроксимации, непрерывный критерий согласованности поведения, сумма модулей ошибок аппроксимации. Сделан вывод о том, что полученная модель обладает достаточной точностью и может быть использована для прогнозирования. Ключевые слова: математическое моделирование, кусочно-линейная регрессия, метод наименьших модулей, непрерывная форма метода максимальной согласованности, сталелитейная компания.
Математическое моделирование является эффективным инструментом изучения и прогнозирования явлений и процессов в разных областях знаний [1, 2]. Среди методов математического моделирование широкое распространение получил регрессионный анализ, который позволяет исследовать взаимосвязи между переменными и строить прогностические модели на основе имеющихся данных [3, 4]. В зависимости от целей исследования и совокупности исходной информации исследователь может выбирать различные виды регрессий - линейная [5, 6], кусочно-линейная [7, 8] и нелинейная [9, 10].
Рассмотрим производственную функцию некоторого объекта, выраженную в виде кусочно-линейной регрессионной модели (1):
(1)
Здесь у - зависимая переменная (обычно выпуск продукции), х{, 1 = 1, т - независимые переменные (ресурсные показатели), а, I = 1, т - подлежащие оцениванию параметры, £к, к = 1, тт - ошибки аппроксимации и п - количество наблюдений.
и
Как отмечено в работе [11], аппроксимирующая модель (1) обладает особенностью - значение выходного показателя зависит от лимитирующего входного фактора, при этом увеличение других факторов не приводит к увеличению выхода.
Идентификация параметров подобной регрессионной модели может быть осуществлена с помощью непрерывной формы метода максимальной согласованности [12, 13], которая сводится к следующей задаче линейно-булевого программирования:
Г£ к=1 (Цк - ук) +(1-г) £111 £ I= к+± Iк5 - тт, (2)
?к + ик-ук= у к, к = 1, п, (3)
, (4)
а 1хкI -2к<( 1- ОкдМ, к = 1, п,1 = п, т, (5)
£ ™ 1 Ок5=1 ,к = 1 , п, (6)
Vкз- г5) + 1к5 > о,к = 1 , п п 1 = 1 п 1 , п, (7)
окI Е { 0 , 1 },к = 1, п,1 = 1 , 1. (8)
где М - большое положительное число, г Е (0, 1] - выбираемое исследователем число, устанавливающее компромисс между методом наименьших модулей (далее - МНМ) и непрерывной формы метода максимальной согласованности:
Г Ук - Уз > 0 -1- Ук - Уз < О О, Ук~Уз = О,
к=1 , 111, б = 111, п.
Особенности выбора параметра г при построении регрессионных моделей отражены в работе [14].
Верифицировать построенные варианты регрессионной модели будем с помощью следующих критериев адекватности:
1. Средняя относительная ошибка аппроксимации Е:
Е=^^
ук-тт{а1хк1,а2хк2,...,атхкт}
1 0 0 о/о.
Ук
2. Непрерывный критерий согласованности поведения Ь:
I — уп-1уп 1 ь = ¿-> к=г^Б=к+1ькБ.
3. Сумма модулей ошибок аппроксимации М:
а2хк2> ■ ■ ■> атхкт}I .
В качестве объекта исследования выделено ПАО «Северсталь» (далее -Компания) - крупная отечественная вертикально-интегрированная сталелитейная и горнодобывающая компания, создающая новые продукты и комплексные решения из стали вместе с клиентами и партнерами. Компания контролирует все этапы создания стоимости - от добычи железной руды и выплавки стали до производства готовой продукции, дистрибуции, создания готовых комплексных решений для потребителей, а также сервисного обслуживания. Продукция компании включает в себя высококачественный металлопрокат, в том числе переработанный, стальные трубы, метизы, используемые в различных отраслях промышленности, а также железорудное сырье и здания из металлоконструкций полного металлургического цикла, специализирующееся на выпуске листового и сортового проката и стальных труб черных металлов широкого ассортимента, а также метизной и штамповочной продукции.
Введем следующие обозначения: у - выручка, млн. долларов, х1 - горячекатаный лист, тыс. т.,
- холоднокатаный лист, тыс. т., х3 - оцинкованный лист и лист с другим металлическим покрытием, тыс. т, х4 - сортовый прокат, тыс. т., х5 - трубы большого диаметра, тыс. т., х6 - прочие трубные изделия, профили, тыс. т.
М Инженерный вестник Дона, №4 (2023) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2023/9095
Исходные данные для моделирования отражены в табл. 1 и получены из официальных отчётных документов Компании «Операционные результаты «Северстали» за четвёртый квартал и двенадцать месяцев года» (использовались отчеты с 2010 по 2021 год) [15].
Таблица 1.
_Исходные данные для моделирования_
год У Xi X2 X3 X4 X5 X6
2009 13050 5977 2599 2228 759 390 435
2010 13573 6403 2252 1733 762 471 490
2011 15812 6053 1916 1991 805 501 636
2012 14104 6439 1835 2071 819 318 636
2013 9434 4206 1419 615 889 321 741
2014 8296 3662 1443 592 1168 400 862
2015 6396 3988 1336 624 1269 548 830
2016 5916 4080 964 560 1401 389 839
2017 7848 3949 1324 654 1406 416 830
2018 8580 3895 1286 835 1460 440 762
2019 8157 4382 977 934 1234 383 789
2020 6870 4442 918 939 668 188 997
2021 11638 4815 1092 1015 651 343 758
Моделирование осуществлялось с помощью специализированной программы [16]. Результаты моделирования отражены в табл. 2.
Таблица 2.
Варианты регрессионные модели_
Построенная модель
Значения критериев адекватности
1 2
y = min (2,203x1; 8,703x2; 13,626x3; 17,498x4; 41,930x5; 30,00x6)
r = 0,1 E = 11,875; L = 3203,316; M = 12936,439; X = (6, 4, 1, 5, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 2, 5, 2)
y = min (2,242x1; 8,859x2; 13,871x3; 17,812x4; 42,682x5; 30,00x6)
r = 0,2 E = 11,447; L = 3260,807; M = 12646,524; X = (6, 4, 1, 5, 3, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 5, 2)
y = min (2,330x1; 8,349x2; 12,947x3; 17,812x4; 44,352x5; 30,00x6)
r = 0,5 E = 10,393; L = 4363,724; M = 11258,273; X = (6, 4, 1, 5, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 2)
1 2
У = тт (2,341x7; 8,349х2; 12,472х^; 17,812х4; 44,352х5; 30,00хб)
г = 0,7 Е = 10,152; Ь = 4876,496; М = 10936,110; X = (6, 4, 1, 5, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 2)
У = тт (2,369х7; 8,349х2; 12,283х^; 17,812х4; 44,352х5; 30,00хб)
г = 0,8 Е = 9,983; Ь = 5519,213; М = 10755,577; X = (6, 4, 4, 5, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 2)
У = = тт (2,369х7; 8,349х2; 12,00х^; 17,812х4; 44,352х5; 30,00хб)
г = 1 Е = 9,858; Ь = 6335,380; М = 10577,191; X = (6, 4, 4, 5, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 2)
Здесь X - вектор срабатываний с компонентами, рассчитанными по правилу: Лк = б, если тт ( агхк±, а2хк2, аЗхк3) = а5хк5.
На основе анализа таблицы 2. можно сделать следующие выводы:
1. Построенные варианты кусочно-линейной модели обладают достаточно высокой точностью. Значение Е не превышает 12%, что является хорошим показателем для негладких моделей.
2. С увеличением г улучшаются и значения критериев адекватности, при г = 0,8 они достигают своего оптимального значения.
3. Вектор срабатывания X с большей частотой содержит показатель х3, что свидетельствует о том, что именно он является проблемным фактором и для наращивания выручки необходимо, в первую очередь, увеличивать именно его.
17000 15000 13000 11000 9000 7000 5000
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 —•—Фактические значения < значения НММС > Значения МНМ
Рис. 1. Фактические и расчетные значения переменной у.
На рис. 1 представлены фактические и вычисленные по модели с г = 0,8, а также с соответствующим МНМ г = 1 значения у.
Таким образом, именно модель при г = 0,8 и подлежит дальнейшему использованию для решения с ее помощью различных практических проблем анализа и прогнозирования.
1. Платонов А. А., Терновская О. В. Математическая модель оценки качества работ по расчистке территорий от нежелательной растительности //
ivdon.ru/ru/magazine/archive/n6y2022/7746.
2. Зятева О. А. Имитационное моделирование показателей научной деятельности вузов // Инженерный вестник Дона. 2022. № 5. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n5y2022/7670.
3. Rishi T. Proceedings of the Jepson Undergraduate Conference on International Economics, 2022, Vol. 4, Article 4. URL: scholarworks.uni.edu/jucie/vol4/iss1/4.
4. Lee S. Y., Lee J. J., Lee H. Frontiers in Public Health, 2022, Vol. 10. URL: frontiersin.org/j ournals/public-health/articles/10.3389/fpubh.2022.1024751/full.
5. Гурова Л. П. Особенности линейной парной регрессии и её применение в экономике // Аллея науки. 2020. Т. 1. № 7(46). С. 278-282.
6. Иващук О. Д., Пузырев Н. С., Родионов А. Ю. Разработка системы прогнозирования цен акций с использованием LSTM-сетей и метода линейной регрессии // Информационные системы и технологии. 2023. № 6(140). С. 47-52.
7. Жижин К. С., Благородова Н. В. Использование кусочно-линейной регрессии в прогнозировании чрезвычайных ситуаций // Международный журнал экспериментального образования. 2016. № 5-3. С. 337-338.
Литература
Инженерный
вестник
Дона. 2022. № 6. URL:
8. Гордиенко А С., Лозинская А. М., Тетерина Д. В., Шенкман Е. А. Исследование зависимости потребления электроэнергии и температуры в России: региональный разрез // Известия Российской академии наук. Энергетика. 2019. № 1. С. 15-27.
9. Князева С. В., Никитина А. Д., Белова Е. И., Плотникова А. С., Подольская Е. С., Ковганко К. А. Методические подходы к оценке характеристик лесов по данным спутниковой съемки сверхвысокого пространственного разрешения в оптическом диапазоне // Лесоведение. 2021. № 6. С. 645-672.
10. Синдеева Л. В., Медведева Н. Н., Николаев В. Г., Стрелкович Н. Н., Орлова И. И. Применение методов регрессионного анализа в биомедицинских исследованиях // Вестник новых медицинских технологий. 2013. Т. 20, № 2. С. 216-219.
11. Иванова Н. К., Лебедева С. А., Носков С. И. Идентификация параметров некоторых негладких регрессий // Информационные технологии и проблемы математического моделирования сложных систем. 2016. № 17. С. 107-110.
12. Носков С. И. Применение непрерывного критерия согласованности поведения при построении регрессионных моделей // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2021. № 6. С. 74-78.
13. Носков С. И., Бычков Ю. А. Регрессионная модель динамики дорожно-транспортных происшествий в Российской Федерации // ЮжноСибирский научный вестник. 2023. № 1(47). С. 37-42.
14. Носков С. И., Бычков Ю. А. Вычислительные эксперименты с непрерывной формой метода максимальной согласованности в регрессионном анализе // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2022. Т. 18, № 2. С. 7-12.
15. ПАО «Северсталь»: официальный сайт. URL: severstal.com/rus/ir/indicators-reporting/operational-results.
16. Носков С. И., Бычков Ю. А. Программа оценивания параметров кусочно-линейной регрессионной модели на основе применения непрерывной формы метода максимальной согласованности. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2023619993, 2023. URL: elibrary.ru/item.asp?id=53820507.
References
1. Platonov A. A., Ternovskaya O. V. Inzhenernyj vestnik Dona. 2022. № 6. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n6y2022/7746.
2. Zyateva O. A. Inzhenernyj vestnik Dona. 2022. № 5. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n5y2022/7670.
3. Rishi T. Proceedings of the Jepson Undergraduate Conference on International Economics, 2022, Vol. 4, Article 4. URL: scholarworks.uni.edu/jucie/vol4/iss1/4.
4. Lee S. Y., Lee J. J., Lee H. Frontiers in Public Health, 2022, Vol. 10. URL: frontiersin.org/j ournals/public-health/articles/10.3389/fpubh.2022.1024751/full.
5. Gurova L. P. Alleya nauki. 2020. T. 1. № 7(46). pp. 278-282.
6. Ivashchuk O. D., Puzyrev N. S., Rodionov A. Yu. Informatsionnye sistemy i tekhnologii. 2023. № 6(140). pp. 47-52.
7. Zhizhin K. S., Blagorodova N. V. Mezhdunarodnyj zhurnal eksperimental'nogo obrazovaniya. 2016. № 5-3. pp. 337-338.
8. Gordienko A S., Lozinskaya A. M., Teterina D. V., Shenkman E. A. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Energetika. 2019. № 1. pp. 15-27.
9. Knyazeva S. V., Nikitina A. D., Belova E. I., Plotnikova A. S., Podol'skaya E. S., Kovganko K. A. Lesovedenie. 2021. № 6. pp. 645-672.
10. Sindeeva L. V., Medvedeva N. N., Nikolaev V. G., Strelkovich N. N., Orlova I. I. Vestnik novykh meditsinskikh tekhnologiy. 2013. T. 20, № 2. pp. 216219.
11. Ivanova N. K., Lebedeva S. A., Noskov S. I. Informatsionnye tekhnologii i problemy matematicheskogo modelirovaniya slozhnykh sistem. 2016. № 17. pp. 107-110.
12. Noskov S. I. Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Tekhnicheskie nauki. 2021. № 6. pp. 74-78.
13. Noskov S. I., Bychkov Yu. A. Yuzhno-Sibirskiy nauchnyj vestnik. 2023. № 1. pp. 37-42.
14. Noskov S. I., Bychkov Yu. A. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. 2022. T. 18, № 2. pp. 7-12.
15. PAO «Severstal'»: ofitsial'nyj sayt. [PJSC Severstal: official website]. URL: severstal.com/rus/ir/indicators-reporting/operational-results.
16. Noskov S. I., Bychkov Yu. A. Svidetel'stvo o gosudarstvennoy registratsii programmy dlya EVM № 2023619993, 2023. [A program for measuring the parameters of a piecewise linear regression model based on the application of the continuous form of the method of higher consistency]. URL: elibrary.ru/item.asp?id=53820507.
Дата поступления: 19.02.2023 Дата публикации: 21.03.2024
